高一上期期末新定義壓軸匯編1.不動點問題及應用一．基本原理1.不動點:已知函數,若存在,使得，則稱為函數的不動點.不動點實際上是方程組的解的橫坐標，或兩者圖象的交點的橫坐標.2.穩定點:已知函數,若存在，使得，則稱為函數的穩定點.顯然,若為函數的不動點，則必為函數的穩定點.3.關于不動點和穩定點，有下面兩個結論：性質1：；性質2：若函數單調遞增，則.證明:不妨設,則由題知,則,故,所以,所以性質1得證;設,則,因為函數單調遞增,所以存在唯一,使,若,則,得到,與矛盾;若,則,得到,與矛盾,故必有,所以,即,又由性質（1）知,所以,當函數單調遞增,,故性質2得證.二．典例分析例1．對于定義在R上的函數，如果存在實數使，那么叫做函數的一個不動點.若函數存在兩個不動點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：要使函數存在兩個不動點，只需直線與函數的圖象有兩個不同的交點即可.當時，顯然與的圖象有一個交點；當時，需使與的圖象有且只有一個交點，如示意圖，則需的圖象最多向下平移1個單位長度，向上則可以任意平移，所以，即.故選：C.例2．設區間是函數定義域內的一個子集，若存在，使得成立，則稱是的一個“不動點”，也稱在區間上存在不動點，例如的“不動點”滿足，即的“不動點”是.設函數，．（1）若，求函數的不動點；（2）若函數在上存在不動點，求實數的取值范圍．解析：（1）由“不動點”定義知：當時，，所以，即，解得或（舍去），所以，且所以函數在上的不動點為.（2）根據已知，得在上有解，所以在上有解，令，，所以，即在上有解，所以在上有解，設，，則在上單調遞增，故，所以，可得，又在上恒成立，所以在上恒成立，則，則，綜上，實數的取值范圍是.例3．對于函數，，若存在，使得，則稱函數為“不動點”函數，其中是的一個不動點；若存在，使得，則稱函數為“次不動點”函數，其中是的一個次不動點．（1）判斷函數是否為不動點函數，并說明理由；（2）若函數在區間上有且僅有兩個不同的不動點和一個次不動點，求實數b的取值范圍．解析：（1）假設為不動點函數，則，使得，令，易知函數在定義域內為增函數，且，，根據零點存在性定理可知，函數在區間0,+∞上存在唯一的零點，所以為不動點函數．（2）函數在區間上有且僅有兩個不同的不動點，所以方程在區間上有兩個不同的解，則，令，因為在區間上單調遞增，所以，所以.要使與在上有兩個交點，則．又函數在區間上有且僅有1個次不動點，所以方程在區間上有唯一解，則，，令，在單調遞增要使，與在上有1個交點，則．所以經檢驗滿足在區間上恒成立，所以實數b的取值范圍為．例3．對于滿足一定條件的連續函數，存在實數，使得，我們就稱該函數為“不動點”函數，實數為該函數的不動點.若函數，，若存在，使得，則稱為函數的穩定點.（1）證明：函數不動點一定是函數的穩定點.（2）已知函數，（Ⅰ）當時，求函數的不動點和穩定點；（Ⅱ）若存在，使函數有三個不同的不動點，求的值和實數的取值范圍.解析：（1）證明：若實數是的一個不動點，則，所以，故函數不動點一定是函數的穩定點.（2）（Ⅰ）當時，，∴，解得：或，所以函數的不動點為1和；又∴，解得：或，或或所以函數的穩定點為1和；.解法2：所以函數的不動點為1和；由得，即，由（Ⅰ）可知函數的不動點1和一定是穩定點，故可令，從而由待定系數法可求得，，所以，解得或，或或，所以函數的穩定點為1和；（Ⅱ）若存在，使函數有三個不同的不動點，當時，令，當且僅當時取等號，又，由，可化為，關于的方程有三個不等實根，令，，由于非負數，如果有兩個不同正根，方程必有四個解即四個不同的不動點，與題設矛盾；如果有且只有一個正根，只有兩個不動點，與題設矛盾；所以必有一根為正根和一個零根，即或，則，因為，得：，則.故實數的取值范圍是，.例4．布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續函數，存在點，使得，那么我們稱該函數為“不動點”函數，而稱為該函數的一個不動點.現新定義：若滿足，則稱為的次不動點.（1）求函數的次不動點；（2）若函數在上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數的取值范圍.解析：（1）設函數的次不動點為，則，即，將等式兩邊平方整理得：或，均符合題意，故函數的次不動點為和.（2）設函數在上的不動點和次不動點分別為和.則由可得：，即：，化簡得：，，因在時為增函數，故，即；再由可得：，即：，化簡得：，，因在時為增函數，故，即.綜上所述，實數的取值范圍為.例5．對于函數，若，則稱實數為函數的不動點．設函數，．（1）若，求函數的不動點；（2）若函數在區間上存在兩個不動點，求實數a的取值范圍；（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數a的取值范圍．解析：（1）當時，方程可化為，解得或；所以，函數的不動點為0和1．（2）方程，即，可化為．令，則當時，關于單調遞增，且．由題意，關于的方程在上有兩個不等實根．由于對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，且．所以，．綜上，實數的取值范圍為．（3）不等式可化為．易知，函數在?1,0上最大值為，最小值為；由題意，，，即．上述不等式可化為．令，則當時，．由題意，，不等式恒成立．函數在上單調遞增，最大值為；函數在上單調遞減，最小值為．所以，，即．綜上，實數a的取值范圍為．例6．布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續實函數，存在一個點，使得，那么我們稱該函數為“不動點"函數，而稱為該函數的一個不動點．現新定義：若滿足，則稱為的次不動點．（1）判斷函數是否是“不動點”函數，若是，求出其不動點；若不是，請說明理由（2）已知函數，若是的次不動點，求實數的值：（3）若函數在上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數的取值范圍．解析：（1）依題意，設為f(x)的不動點，即，于是得，解得或，所以是“不動點”函數，不動點是2和.（2）因是“次不