綜合應(yīng)用知識要點梳理鴿巢原理定義：鴿巢原理又叫抽屜原理，它是組合數(shù)學(xué)的一個基本原理。類型：吧n+1個元素分成n類，不管怎么分，則一定有一類有2個或2個以上的元素。吧m個元素任意放入n（n≤m）各集合，則一定有一個集合至少要有k個元素，其中k=（當(dāng)n能整除m時），或k=[]+1（當(dāng)n不能整除m時）這里的[]表示不大于的最大整數(shù)。3.解題的步驟:第一步:分析題意，分清什么是“東西”，什么是“抽屜”。第二步:制造抽屜。這是關(guān)鍵的一步，這一步就是如何設(shè)計抽屜。根據(jù)題目的條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學(xué)知識，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設(shè)計和確定解決問題所需的抽屜及其個數(shù)，為使用抽屜鋪平道路。第三步:運用抽屜原理。植樹問題定義:植樹問題是指在某個固定圖形上，給定點之間的距離或其他條件，在這個圖形上最多能分布多少個這樣的點的問題。2.公式:直線植樹問題:計算兩端點時，樹木數(shù)=路線長度÷樹木間隔+1計算一端點時，樹木數(shù)=路線長度:樹木間隔不計算兩端點時，樹木數(shù)=路線長度÷樹木間隔-1圓周植樹問題:樹木數(shù)=路線長度÷樹木間隔三、雞兔同籠問題方法:假設(shè)法，方程法，抬腳法，列表法。假設(shè)法解題思路:提出假設(shè)一產(chǎn)生差異一分析原因一解決差異。公式1;(兔的腳數(shù)x總只數(shù)一總腳數(shù)):(兔的腳數(shù)一雞的腳數(shù))=雞的只數(shù);總只數(shù)-雞的只數(shù)=兔的只數(shù)公式2;(總腳數(shù)一雞的腳數(shù)x總只數(shù)):(兔的腳數(shù)一雞的腳數(shù))=兔的只數(shù);總只數(shù)-兔的只數(shù)=雞的只數(shù)公式3;(設(shè)兔為x只，雞為總只數(shù)-x）4x+2(總只數(shù)-想）=總腳數(shù)考點精講分析典例精講考點1鴿巢原理【例1】張阿姨給孩子買衣服，有紅、黃、白三種顏色，但結(jié)果總是至少有兩個孩子的顏色一樣，她至少有()個孩子。A.4B.2C.3【精析】把顏色的種類看作“抽屜”，把孩子的數(shù)量看作物體的個數(shù)，根據(jù)抽屜原理得出:孩子的個數(shù)至少比顏色的種類多1時，才能至保證少有兩個孩子的顏色一樣，即3+1=4(個)。【答案】A【歸納總結(jié)】元素大于抽屜數(shù)，解答此類題的關(guān)鍵是找出把誰看作“抽屜個數(shù)”，把誰看作“物體個數(shù)”。【例2】把56個蘋果裝在9個袋子里，有一個袋子至少裝()個蘋果。A.5B.6C.7【精析】把56個蘋果裝在9個袋子里，將這9個袋子當(dāng)做9個抽屜,56÷9=6個…2個，即平均每個袋子里裝6個后，還余下2個.根據(jù)抽屜原理可知，總有一個袋子至少要裝6+1=7個，據(jù)此即可判斷.解:56÷9=6(個)....2(個),6+1=7(個)。【答案】C【歸納總結(jié)】在此類抽屜問題中，至少數(shù)=物體數(shù)除以抽屜數(shù)的商+1(有余的情況下)。【例3】考點2植樹問題園林工人沿公路一側(cè)植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵，從第1棵到最后一棵的距離有多遠(yuǎn)?【精析】根據(jù)題干，此題屬于兩端都要栽的情況:間隔數(shù)=植樹棵數(shù)一1，由此可以求出從第1棵到最后一棵之間有36一1=35個間隔，再乘以6即可解決問題。【答案】(36一1)x6=35x6=210(米)答:從第一棵到最后一棵的距離是210米。【歸納總結(jié)】兩端都要栽時，間隔數(shù)=植樹棵數(shù)-1，由此即可解答。【例4】一個正方形花壇的周長是120米，在它四周每隔3米放一個花盆，每個角上都有一盆花，每邊放多少盆花?【精析】用正方形的周長除以4，求出每條邊的長度，再根據(jù)兩端都要栽的計算方法:棵數(shù)=間隔數(shù)+1，進行解答。【答案】120÷4÷3+1=10+1=11(棵)答:每邊放11盆花。【歸納總結(jié)】本題關(guān)鍵是求出每條邊的長度，再根據(jù)棵數(shù)=間隔數(shù)+1的計算方法進行計算。考點3雞兔同籠【例5】松鼠媽媽采松子，晴天每天可采20個，雨天每天只能采12個，它一連幾天采了112個松子，平均每天采14個，這幾天當(dāng)中有幾天是雨天?【精析】一連幾天采了112個，平均每天采14個，可以求出采松子的總天數(shù)，再用假設(shè)法就可以求出雨天的天數(shù)。【答案】采松子的天數(shù):112÷14=8(天)假設(shè)8天全為晴天，則可采20x8=160(個)雨天的天數(shù):(160一442)÷(20一12)=6(天)答:這幾天雨天有6天。【歸納總結(jié)】把兩種不同的量假設(shè)成同一量，算出總量，和實際總量相比較得出差異。名題精析【例】(江西某師大附中入學(xué))房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共60條，那么有()把椅子。【精析】這是一道典型的簡單的雞兔同籠問題，可用假設(shè)法。假設(shè)16個都是凳子，得出腿的總數(shù)，并求出總差。【答案】假設(shè)16個全是椅子，則16x4=64(條)(64一60）÷(4一3)=4(把)16一4=12(把)【歸納總結(jié)】此題屬于雞兔同籠問題，解這類題的關(guān)鍵是用假設(shè)法進行分析，進而得出結(jié)論;也可以用方程進行解答。畢業(yè)生學(xué)訓(xùn)練一、填空題1.30只鴿子飛進7個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進()只鴿子。2.在一個正方形花壇的四周種樹，四個頂點各種一棵，每邊種5棵，共種()棵。3.籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有16個頭，從下面數(shù)，有52個腳，那么雞有()只，兔有()只。4.13只雞放進4個雞籠里，至少有()只雞要放進同一個雞籠里。在100米的人行道兩邊栽樹，每隔4米栽一棵(兩端都要栽)需要栽()棵樹在一條馬路一邊從頭至尾植樹36棵，每相鄰兩棵樹之間隔8米，這條馬路有()。7一個魚塘的周長是1500米，沿魚塘周圍每隔6米栽一棵楊樹，需要種（）棵楊樹。8.全班46人去劃船，一共租了9條船，每條大船坐6人，每條小船坐4人，他們租用了()條大船。二、選擇題1一副撲克牌加上大、小王共有54張，至少抽取()張牌就一定能保證有兩張同色。A.5B.6C.7D.13小明要到一棟樓的第巧層上去，他從第一層走到第五層用了100秒，如果用同樣的速度走到15層，還要()秒。A.2008.2500.300D.3503.數(shù)學(xué)競賽共10題，做對一題得8分，做錯一題(或不做)，倒扣5分，小軍得41分，他做錯了()。A.3題B.4題C.5題D.2題4.強強一次捐款175元，分別是20元和5元的，共有23張，其中5元的有()張。A.48.19C.135.有紅、黃、藍(lán)襪子各10只，閉著眼睛，任意取出襪子來，使得至少有2雙襪子不同色，那么至少需要取()只襪子。A.9B.5C.16D.136.把56個蘋果裝在9個袋子里，有一個袋子至少裝()個蘋果。A.5B.6C.77一個盒子里有4個白球、3個紅球和2個黃球，至少摸出()個球才能保證摸出的球一定有兩種顏色的球。A.3B.4C.58.雞兔同籠，15個頭，40條腿，雞的只數(shù)與兔的只數(shù)的最簡整數(shù)比是()。A.3:1B.3:8C.2:1D.8:3三、解決問題1.小紅的存錢罐里有1元和5角的硬幣32枚，共有20元。則5角的有多少枚?2.在一座長800米的大橋兩邊掛彩燈，起點和終點都掛，一共掛了202盞，相鄰兩盞之間的距離都相等。求相鄰兩盞彩燈之間的距離。3一個木工鋸一根19米的木料，他先把一頭損壞部分鋸下來1米，然后鋸了5次，鋸成同樣長的短木條。每根短木條長多少米?4.商店委托搬運隊運送100箱熱水瓶，每箱6個。雙方商定每箱的運費2.4元，如果打破一個，這個不但不計運費，并且要賠償11.5元，結(jié)果搬運隊共得運費192.4元，運送過程中打破了幾個熱水瓶?5.某玻璃杯廠要為商場運送1000個玻璃杯，雙方商定每個運費為1元，如果打碎一個，這個不但不給運費，而且要賠償3元。結(jié)果運到目的地后結(jié)算時，玻璃杯廠共得運費920元。求打碎了幾個玻璃杯?6.育紅小學(xué)上學(xué)期共有學(xué)生750人，本學(xué)期男學(xué)生增加，女學(xué)生減少，共有710人，本學(xué)期男，女學(xué)生各有多少人?沖刺名校提升一、填空題1.(綿陽某中入學(xué))籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)有16個頭，從下面數(shù)，有52個腳，那么雞有()只，兔有()只。2.(成都某四中入學(xué))在一次考試中，某班數(shù)學(xué)得100分的有17人，語文得100的有13人，兩科都得100分的人有7人，兩科至少有一科得100的共有()人;全班45人中兩科都不得100的有()。3.(西安某鐵一中分班)有5瓶維生素，其中一瓶少了4片。如果用天平至少稱()次就能找到少藥片的那瓶。4.(成都樹德中學(xué)入學(xué))暗箱中混放著白、紅、藍(lán)、黃四種顏色的球各8個，至少需要摸到()個球，才能確保從中摸出四個不同色的球。5.(南昌某中入學(xué))房間里有若干個凳子和椅子，每個凳子有3條腿，每把椅子有4條腿，當(dāng)它們?nèi)蝗俗虾蠊灿?3條腿(包括每個人的兩條腿)，房間里有()個人。6.(西安某鐵一中入學(xué))布袋中裝有4個紅球、6個白球和8個黑球，它們除顏色外，完全相同，從袋中最少摸()個球，肯定有三種顏色的球。二、解決問題1.(西安某鐵一中分班)一個房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，如果椅子的腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60條，那么有幾個椅子和幾個凳子?2.(寶雞某一中入學(xué))某人以相同的速度沿著一排樹跑步，從第1棵跑到第6棵共用了30秒(每兩棵樹之間的距離相等，樹的數(shù)量足夠多)，如果跑120秒，他應(yīng)該跑到了第幾棵樹?3.(臨川某中入學(xué))雞兔同籠，30個頭，9條腿，雞兔相差多少只?4.(西安某鐵一中分班)從甲地到乙地原來每隔45米要安裝一根電線桿，加上兩端的兩根一共有25根電線桿。現(xiàn)在改每隔60米安裝一根電線桿，除兩端的兩根不需移動，中間還有多少根不必移動?綜合應(yīng)用畢業(yè)升學(xué)訓(xùn)練一、1.52.163.64.45.526.2807.2508.5二、1.C2.B3.A4.B5.D6.C7.C8.C三、1.【解析】假設(shè)32枚都是1元的硬幣，則共有32元。而現(xiàn)在一共有20元，多算了32-20-12（元）。如果用1枚5角的硬幣換1枚1元的硬幣，就要多1-0.5-0.5（元），那么看看這12元應(yīng)該有幾個0.5元來換，就有幾個5角。列式為12÷0.5，計算即可。【解析】5角-0.5元，所以5角的硬幣有：（1×32-20）÷（1-0.5）-（32-20）÷0.5-12÷0.5-24（枚）答：5角的硬幣有24枚。2.【解析】大橋兩邊一共掛了202盞彩燈，沒變各掛202÷2-101盞，101盞彩燈把800米長的大橋分成101-1-100段，所以，相鄰兩盞彩燈之間的距離是800÷100-8米。3.【解析】根據(jù)題意，把長19-1-18米長的木條鋸了5次，可以鋸成5+1-6段，所以每根短木條長18÷6-3米。4.【解析】假設(shè)全部安全運到，總運費是240元，比實際多了47.6元，原因在于打破一個不但不給運費還要賠償11.5元，則打破一個相差11.9元。2.4×100-240元（240-192.4）÷（2.4÷6+11.5）-4（個）答：運送過程中打破了4個熱水瓶。5.【解析】假設(shè)1000個玻璃杯全部運到并完好無損，應(yīng)得運費1×1000-1000元，實際上少得1000-920-80元，這說明運輸過程中打碎了玻璃杯。每打碎一個，不但不給運費還要賠償3元，這樣玻璃杯廠就少收入1+3-4元。又已求出共少收入80元，所以打破的玻璃杯數(shù)為80÷4-20個。6【解析】假設(shè)本學(xué)期女學(xué)生不是減少，而是增加，半學(xué)期應(yīng)該有750×（1+）-875人，比實際多875-710-165人，這165人是假設(shè)女學(xué)生也增加多出的人數(shù)，而實際女學(xué)生減少，所以，這165人對應(yīng)著女學(xué)生的（+）-。上學(xué)期女生：[750×（1+）-710]÷（+）-450（人）本學(xué)期女生：450×（1-）-360（人）本學(xué)期男生：710-360-350（人）答：本學(xué)期男學(xué)生有350人，女學(xué)生有360人。沖刺名校提升一、1.6102.23223.24.255.86.15二、1.【解析】假設(shè)法解決問題。假設(shè)16個都是椅子，16×4-64（條）（64-60）÷（4-3）-4（個）……凳子1