清華大學微積分歡迎參加清華大學微積分課程。本課程將帶您深入探索數學的奧秘，培養您的邏輯思維和問題解決能力。課程簡介課程內容涵蓋函數、極限、導數和積分等核心概念。學習方法理論講解與實踐練習相結合。考核方式平時作業、期中考試和期末考試綜合評定。學習目標1掌握微積分基礎知識2提高數學思維能力3應用微積分解決實際問題4為后續高等數學學習打下基礎先修知識代數掌握基本代數運算和方程求解。幾何了解平面和空間幾何基礎知識。三角函數熟悉三角函數的定義和性質。函數的概念定義函數是將一個集合中的元素映射到另一個集合的規則。表示方法可用公式、圖形或表格表示函數。分類包括一對一函數、滿射函數和雙射函數。基本初等函數多項式函數如y=ax2+bx+c指數函數如y=a^x對數函數如y=log_a(x)三角函數如y=sin(x),y=cos(x)基本初等函數性質1單調性函數在某區間內始終增加或減少。2周期性函數圖像按固定間隔重復出現。3奇偶性函數關于原點或y軸對稱。4有界性函數值在某個范圍內有上下界。極限的定義ε-δ定義當x接近a時，f(x)可以任意接近L。左極限x從左側接近a時的函數極限。右極限x從右側接近a時的函數極限。無窮極限當x趨于無窮時的函數極限。極限運算法則和差法則兩個函數極限之和（差）等于極限之和（差）。乘積法則兩個函數極限之積等于極限之積。商法則兩個函數極限之商等于極限之商（分母極限不為零）。復合函數法則內外函數極限都存在時，復合函數極限等于極限的復合。連續函數的概念定義函數在某點的極限等于函數值，則函數在該點連續。左連續函數的左極限等于函數值。右連續函數的右極限等于函數值。間斷點函數不連續的點，可分為跳躍間斷點和可去間斷點等。連續函數性質和差性質連續函數的和差仍為連續函數。乘積性質連續函數的乘積仍為連續函數。商性質連續函數的商在分母不為零處仍為連續函數。復合性質連續函數的復合仍為連續函數。導數的定義定義函數在某點的變化率極限。左導數函數在某點左側的變化率極限。右導數函數在某點右側的變化率極限。可導性左右導數存在且相等，則函數在該點可導。導數的運算法則1和差法則(u±v)'=u'±v'2乘積法則(uv)'=u'v+uv'3商法則(u/v)'=(u'v-uv')/v24鏈式法則(f(g(x)))'=f'(g(x))·g'(x)導數的幾何意義切線斜率導數表示函數圖像在該點的切線斜率。瞬時變化率導數描述函數在某點的瞬時變化速度。泰勒公式1定義用多項式函數近似表示復雜函數。2麥克勞林公式在x=0處展開的特殊泰勒公式。3余項表示近似誤差的項。4應用用于函數近似計算和誤差分析。洛必達法則0/0型適用于分子分母同時趨于0的極限。∞/∞型適用于分子分母同時趨于無窮的極限。使用條件分子分母均可導，且分母導數不為0。不定積分的概念定義原函數的全體。性質不定積分的導數等于被積函數。表示∫f(x)dx=F(x)+C基本積分公式換元積分法1選擇合適的替換變量2將原積分轉化為新變量的積分3計算新變量的積分4將結果轉換回原變量分部積分法公式∫udv=uv-∫vdu應用場景適用于積分式中含有不同類型函數的乘積。技巧選擇合適的u和dv，使積分簡化。定積分的概念定義黎曼和的極限，表示曲線與x軸圍成的面積。幾何意義曲邊梯形的面積。表示∫[a,b]f(x)dx定積分的性質可加性∫[a,b]=∫[a,c]+∫[c,b]線性性質∫[a,b](αf+βg)=α∫[a,b]f+β∫[a,b]g不等式性質若f(x)≤g(x)，則∫[a,b]f≤∫[a,b]g絕對值不等式|∫[a,b]f|≤∫[a,b]|f|洛必達法則在定積分中應用識別不定式找出積分中的0/0或∞/∞型不定式。應用洛必達法則對不定式部分進行求導。簡化積分將簡化后的表達式代入原積分。計算結果求解簡化后的定積分。微分中值定理1羅爾定理閉區間連續、開區間可導、兩端點函數值相等，則存在中間點導數為零。2拉格朗日中值定理閉區間連續、開區間可導，則存在中間點導數等于平均變化率。3柯西中值定理兩個函數滿足條件，則存在中間點導數之比等于函數值之差的比。積分中值定理第一積分中值定理連續函數在閉區間上的定積分等于函數在某點的值乘以區間長度。第二積分中值定理適用于乘積積分，將一個函數的積分轉化為另一個函數的值。幾何意義曲線下的面積等于矩形面積。微分中值定理在極值問題中應用1尋找臨界點通過一階導數等于零或不存在的點。2確定函數性質利用二階導數判斷極值類型。3應用羅爾定理在特定區間內尋找極值點。4利用拉格朗日定理估計函數值的變化范圍。積分中值定理在面積計算中應用平均值計算利用第一積分中值定理計算函數的平均值。面積估算用矩形面積近似曲邊