4．5．3函數(shù)模型的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用 2題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用 4題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用 6題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題 8題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型 10【重難點集訓(xùn)】 16【高考真題】 26【題型歸納】題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用1．（2024·高一·江蘇無錫·期中）某地區(qū)上年度電價為元/（kW·h），年用電量為kW·h，本年度計劃將電價下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之間，而用戶期望電價為0.4元/（kW·h）.經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增用電量和實際電價與用戶的期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)的電力成本價為0.3元/（kW·h）.記本年度電價下調(diào)后電力部門的收益為（單位：元），實際電價為（單位：元/（kW·h））.（收益=實際電量（實際電價-成本價））(1)寫出本年度電價下調(diào)后電力部門收益為關(guān)于實際電價為的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)時，實際電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長?(3)當(dāng)時，求收益的最小值.【解析】（1）由題意知，下調(diào)電價后新增用電量為，故電力部門的收益，.（2）當(dāng)時，，由題意知且，化簡得，解得或，又，，所以實際電價最低定為：0.6元/（kW·h）時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%.（3）當(dāng)時，，令，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故收益的最小值.2．（2024·高一·江西景德鎮(zhèn)·期中）景德鎮(zhèn)市，別稱“瓷都”，設(shè)鎮(zhèn)于東晉時期，始稱“昌南”，后易名“新平”，作為世界著名的陶瓷圣地，擁有豐富的文化遺產(chǎn)和自然資源，為旅游業(yè)的發(fā)展提供了得天獨厚的條件.近年來，隨著人們對傳統(tǒng)文化和手工藝的興趣日益增加，景德鎮(zhèn)的陶瓷文化和制作過程吸引了越來越多的游客.小李看到了旅游帶來的商機，想在景德鎮(zhèn)開民宿，他發(fā)現(xiàn)一處擁有40間房間的酒店正在轉(zhuǎn)讓，他有了想盤下來開民宿的想法.通過調(diào)研，該位置附近的其他相似的酒店每間定價150元時，每天都可租出全部所有的房間，若每間房價上漲10元，則會少租出一間.已知盤下這個酒店開民宿，小李投入成本需要252萬元，小李準(zhǔn)備依照調(diào)研的數(shù)據(jù)來預(yù)算盤下該酒店后的收支情況，按照每間房基礎(chǔ)定價150元，若每間房上漲了元，每天收入為元.(1)求出和之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)若小李想要一年（按照360天計算）收回成本，請問每間房價應(yīng)該定為多少元？(3)每間客房定價為多少時，利潤最大？【解析】（1）當(dāng)且時，；當(dāng)時，.∴（2）由題意分析可知：即：或故：或即：每間房價應(yīng)該定為之間.（3）設(shè)利潤為，則故對稱軸為，而，即：或12時，利潤最大.即：房價為270或280時，利潤最大，最大值為201600.3．（2024·高一·北京大興·期中）已知經(jīng)過年某汽車的總花費由購車費、維修費和其他費用組成，其中購車費用是22.5萬元，使用年的維修費為萬元，且每年的其他費用為0.8萬元．(1)求經(jīng)過2年該車的總花費為多少萬元；(2)設(shè)經(jīng)過年該車的年平均花費為萬元，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求的最小值．【解析】（1）設(shè)總花費為萬元，則，當(dāng)，（萬元），答：經(jīng)過2年該車的總花費為萬元；（2）由題意得：，，，當(dāng)且僅當(dāng)：，即，等號成立，故的最小值為萬元．題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用4．（2024·高一·福建泉州·階段練習(xí)）某開發(fā)商計劃2024年在泉州開發(fā)新的游玩項目，全年需投入固定成本萬元，若該項目在2024年有萬人游客，則需另投入成本萬元，且，該游玩項目的每張門票售價為元．(1)求2024年該項目的利潤（萬元）關(guān)于人數(shù)（萬人）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=銷售額-成本）；(2)當(dāng)2024年的游客為多少時，該項目所獲利潤最大？最大利潤是多少．【解析】（1）依題意，又，所以，即；（2）當(dāng)時，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，所以，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故，，綜上，游客為萬人時利潤最大，最大為萬．5．（2024·高一·江蘇·期中）中國“一帶一路”戰(zhàn)略構(gòu)思提出后，宜興某企業(yè)為抓住“一帶一路”的機遇，決定開發(fā)一款大型電子設(shè)備，生產(chǎn)這種設(shè)備的年固定成本為400萬元，每生產(chǎn)x臺需要另投入成本萬元，當(dāng)年產(chǎn)量不足80臺時，；當(dāng)年產(chǎn)量不少于80臺時，若每臺售價為200萬元.通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的該設(shè)備能全部售完.(1)求年利潤萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x臺的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)所獲的利潤最大，并求出最大利潤.【解析】（1）當(dāng)且時，；當(dāng)且時，綜上所述：（2）當(dāng)且時，當(dāng)時，此時最大值為2000，當(dāng)，且時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最大值2200，又，故當(dāng)年產(chǎn)量為91臺時，企業(yè)所獲利潤最大，最大值為2200萬元.6．（2024·高一·貴州·期中）某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：2公里以內(nèi)（包含2公里）收費6元，不到2公里按2公里算；超過2公里但不超過8公里的部分，每公里收費2元，不到1公里按1公里計算；超過8公里的部分，每公里收費3元，不到1公里按1公里計算.已知某人某次乘坐出租車從該市的A地到該市的B地，共付車費33元，則該出租車從A地到B地行駛的最大距離是里.【答案】13【解析】出租車行駛的距離為8公里時，乘客所付費用元，因為乘客共付車費33元，設(shè)出租車行駛的距離為公里，則乘客所付費用元，解得.故答案為：137．（2024·高一·吉林松原·階段練習(xí)）稿酬所得，是指個人因其作品以圖書?報刊形式出版?發(fā)表而取得的收入，稿酬所得稅是獲得稿酬所得時所繳納的一種稅款.當(dāng)每次稿酬所得不超過4000元時，扣除800元，剩余部分為應(yīng)納稅所得額；當(dāng)稿酬所得超過4000元時，扣除20%的費用，剩余部分為應(yīng)納稅所得額.已知某人某次稅后稿酬（作者在獲得稿酬所得后，繳納稿酬所得稅后實際到手的收入金額）為5328元，則此人這次稿酬所得為元.（注：稿酬所得稅=應(yīng)納稅所得額×14%）【答案】6000【解析】設(shè)某人某次稅后稿酬為元，此人這次稿酬所得為元.當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.因為，所以，解得.故答案為：6000.8．（2024·北京西城·一模）調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經(jīng)濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準(zhǔn)備給每個家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個家庭一個月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于，則額外獎勵分（為正整數(shù)）.月底積分會按照元/分進行自動兌換.①當(dāng)時，若某家庭某月產(chǎn)生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換元；②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當(dāng)月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為.【答案】【解析】①若某家庭某月產(chǎn)生生活垃圾，則該家庭月底的積分為分，故該家庭該月積分卡能兌換元；②設(shè)每個家庭每月產(chǎn)生的垃圾為，每個家庭月底月積分卡能兌換的金額為元.若時，恒成立；若時，，可得.故的最大值為.故答案為：①；②.題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用9．（2024·高一·上海·課后作業(yè)）通過實驗數(shù)據(jù)可知，某液體的蒸發(fā)速度（升/小時）與液體所處環(huán)境的溫度（℃）近似地滿足函數(shù)（、為常數(shù)）．該液體在0℃的蒸發(fā)速度是0.1升/小時，在30℃的蒸發(fā)速度為0.8升/小時，則該液體在20℃的蒸發(fā)速度為升/小時．【答案】0.4/【解析】由及已知條件得，所以，解得．又，所以，解得，所以，則該液體在20℃的蒸發(fā)速度為．故答案為：0.4.10．（2024·高一·上海·單元測試）里氏震級是由來自美國加州理工學(xué)院的地震學(xué)家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震級M的計算公式是，其中A是被測地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅．2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0地震并引發(fā)海嘯，造成重大人員傷亡和財產(chǎn)損失．一般里氏6.0級地震給人的震撼已十分強烈．按照里氏震級M的計算公式，此次日本東北部大地震的最大振幅是里氏6.0級地震最大振幅的倍．【答案】1000【解析】，，所以，所以．故答案為：1000.11．（2024·高一·湖南邵陽·期末）創(chuàng)新是一個國家?一個民族發(fā)展進步的不竭動力，是推動人類社會進步的重要力量.某學(xué)校為了培養(yǎng)學(xué)生科技創(chuàng)新能力，成立科技創(chuàng)新興趣小組，該小組對一個農(nóng)場內(nèi)某種生物在不受任何條件的限制下其數(shù)量增長情況進行研究，發(fā)現(xiàn)其數(shù)量（千只）與監(jiān)測時間（單位：月）的關(guān)系與函數(shù)模型且）基本吻合.已知該生物初始總量為3千只，2個月后監(jiān)測發(fā)現(xiàn)該生物總量為6千只.若該生物的總量再翻一番，則還需要經(jīng)過個月.【答案】24【解析】由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，解得，所以，設(shè)還需要經(jīng)過個月，該生物的總量再翻一番，則，所以，即，因為，所以，而函數(shù)在上時單調(diào)函數(shù)，所以，解得，所以該生物的總量再翻一番，則還需要經(jīng)過個月.故答案為：.12．（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）某駕駛員喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時50％的速度減少．為了保障交通安全，某地交通規(guī)則規(guī)定，駕駛員血液酒精含量不得超過0.02mg/mL，那么該駕駛員至少要過幾小時才能駕駛？（精確到1小時）【解析】1小時后駕駛員血液中的酒精含量為：，2小時后其血液中酒精含量為，即，…，x小時后其血液中酒精含量為，由題意知，即，用計算器可得，x最少4小時．至少要過2小時駕駛員才能駕駛．題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題13．（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）某地區(qū)上年度電價為0.8元/kw·h，年用電量為akw·h，本年度計劃將電價降到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之間，而用戶期望電價為0.40元/kw·h.經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k），該地區(qū)電力的成本價為0.30元/kw·h.本年度電價下調(diào)后，試用實際電價x表示電力部門的收益，（指出x的范圍），設(shè)，當(dāng)電價最低為時仍可保證電力部門的收益比上年至少增長.注：收益=實際用電量（實際電價-成本價）【答案】0.6元/kw·h【解析】第一空，由題意得：本年度實際用電量為：，所以；第二空，上年度電力部門實際收益為：，本年度電力部門預(yù)收益為，依題意，知：，化簡得，即，解得或，又因為，所以，即當(dāng)電價最低為0.60元/kw·h時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長.故答案為：；0.6元/kw·h.14．（2024·高一·廣東河源·期中）科學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為，則根據(jù)以上信息可得里氏9.0級地震釋放的能量是8.0級地震所釋放能量的倍.【答案】100【解析】由題意得，所以，即里氏9.0級地震釋放的能量是8.0級地震所釋放能量的100倍.故答案為：10015．（2024·高一·廣東佛山·期末）表觀活化能的概念最早是針對Arrhenius（阿倫尼烏斯）公式中的參量提出的，是通過實驗數(shù)據(jù)求得，又叫實驗活化能，Arrhenius公式中的k為反應(yīng)速率常數(shù)，為摩爾氣體常量，為熱力學(xué)溫度（單位為開爾文，簡稱開），為阿倫尼烏斯常數(shù)．已知某化學(xué)反應(yīng)的溫度每增加開，反應(yīng)速率常數(shù)變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t當(dāng)溫度從開上升到開時，=．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】根據(jù)題意，溫度每增加開，反應(yīng)速率常數(shù)變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t當(dāng)溫度從開上升到開時，反應(yīng)速率常數(shù)變?yōu)殚_時的倍，由，當(dāng)開，，當(dāng)開，，所以，，，，，，故答案為：.16．（2024·高一·四川廣元·階段練習(xí)）設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值萬元（為正常數(shù)），公司決定從原有員工中分流人去進行新開發(fā)的產(chǎn)品的生產(chǎn)，分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了.若要保證產(chǎn)品的年產(chǎn)值不減少，則最多能分流的人數(shù)是（

）A．15 B．16 C．23 D．28【答案】C【解析】依題意，分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為（萬元），分流人后，每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為，則，解得，又，所以的最大值為，即最多能分流的人數(shù)是.故選：C.題型五：根據(jù)實際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型17．（2024·高一·湖南株洲·期末）從A地到B地的距離約為，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q（單位：L）與速度v（單位：）（）的如下數(shù)據(jù)：v0406080120Q0781020為了描述汽車每小時耗油量Q與速度v的關(guān)系，下列最符合實際的函數(shù)模型是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意以及表中數(shù)據(jù)畫出散點圖，可知該函數(shù)必須滿足三個條件：第一，定義域為；第二，在定義域上單調(diào)遞增；第三，函數(shù)經(jīng)過坐標(biāo)原點.由散點圖可知，函數(shù)圖象不符合函數(shù)圖象特征，排除A，函數(shù)單調(diào)遞減，排除C，當(dāng)時，沒有意義，排除D，故最符合實際的函數(shù)模型為.故選:B．18．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某同學(xué)最近5年內(nèi)的學(xué)習(xí)費用y(千元)與時間x(年)的關(guān)系如圖所示，則可選擇的模擬函數(shù)模型是（）A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝aex＋b D．y＝alnx＋b【答案】B【解析】從所給的散點圖可看出函數(shù)的變化趨勢是先增后減，所以該函數(shù)模型是二次函數(shù).故選：B19．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）薯條作為一種油炸食品，風(fēng)味是決定其接受程度的基礎(chǔ).米其林三星餐廳大廚HestonBlumenthal對餐飲門店的不同油炸批次的薯條進行整體品質(zhì)的感官評價并提出了“油炸質(zhì)量曲線”（圖1），將油炸過程劃分為五個階段：誘導(dǎo)、新鮮、最佳、降解和廢棄階段，以解釋食物品質(zhì)與油炸時間之間的關(guān)系.

在特定條件下，薯條品質(zhì)得分與煎炸時間（單位：min）滿足函數(shù)關(guān)系（a、b、c是常數(shù)），圖2記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳煎炸時間為（

）A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min【答案】C【解析】由圖2知，解得，，，所以，所以當(dāng)時，取得最大值.故選：C.20．（2024·高一·湖北黃岡·階段練習(xí)）某企業(yè)現(xiàn)有，兩條生產(chǎn)線，根據(jù)市場調(diào)查，生產(chǎn)線的利潤（單位：萬元）與投入金額（單位：萬元）的關(guān)系式為，，生產(chǎn)線的利潤（單位：萬元）與投入金額（單位：萬元）的關(guān)系式為，．假定且．(1)求實數(shù)，，的值；(2)該企業(yè)現(xiàn)有萬元資金全部投入，兩條生產(chǎn)線中，問：怎樣分配資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤？并求出最大利潤．【解析】（1）因為，，，，所以，，，所以，所以，，（2）設(shè)生產(chǎn)線投入萬元，則生產(chǎn)線投入萬元，設(shè)企業(yè)獲得利潤為,則，，所以，所以，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以生產(chǎn)線投資萬元，生產(chǎn)線投資萬元時，企業(yè)獲得利潤最大，利潤的最大值為為萬元.21．聲音強度（分貝）由公式給出，其中為聲音能量．能量小于時，人聽不見聲音．強度大于60分貝時屬于噪音，其中70分貝開始損害聽力神經(jīng)，90分貝以上就會使聽力受損，而一般的人待在100分貝至120分貝的空間內(nèi)，一分鐘就會暫時性失聰．(1)求時的聲音強度；(2)求噪音的能量范圍；(3)當(dāng)能量達(dá)到多少時，人會暫時性失聰？【解析】（1）當(dāng)時，代入公式，可得（分貝）．（2）噪音的強度大于60分貝，代入公式可得，解得．故噪音的能量范圍為．（3）人在100分貝至120分貝的空間內(nèi)會暫時失聰．令，解得，令，解得，所以當(dāng)能量達(dá)到時會暫時失聰．22．（2024·高一·吉林延邊·期中）某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關(guān)系如下表所示：時間月123浮萍的面積359其函數(shù)解析式為，其中，，，均為常數(shù)，且.(1)求出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到，，所經(jīng)過的時間分別為，，，計算+-的值.【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知，時間每增加1個月，浮萍的面積增加量逐漸變大，，當(dāng)依次取1，2，3得，解得，即；（2）由（1）知，，則有，理出如下：依題意，得，，，即，，，于是，則，所以，則+-=123．（2024·高一·重慶·期中）為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對某路段作了調(diào)研，得到了某時間段內(nèi)的車流量（千輛/小時）和汽車平均速度（千米/小時）的下列數(shù)據(jù)：10304060700.8684.83.5為了描述車流量和汽車平均速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，(1)選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，請說明理由并計算的值；(2)計算該路段最大車流量及最大車流量時汽車的平均速度．【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，隨著汽車平均速度的增大，車流量呈現(xiàn)出先增大后減少的趨勢；再由一次函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)增大模式，由冪函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)減少模式；只有符合題意；將代入表達(dá)式可得，解得（2）由（1）可知，由基本不等式可得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立；因此該路段最大車流量為千輛/小時,最大車流量時汽車的平均速度千米/小時.24．（2024·高二·浙江·期中）生物鐘（晝夜節(jié)律）是生物體內(nèi)部的一個調(diào)節(jié)系統(tǒng)，控制著生物的日常生理活動．研究顯示，人體的某些荷爾蒙（如皮質(zhì)醇）在一天中的分泌量會隨著時間的不同而發(fā)生變化，從而影響人的活力和認(rèn)知能力．假設(shè)人體某荷爾蒙的分泌量（單位：）與一天中的時間（單位：小時，以午夜0點為起點）的關(guān)系可以通過以下分段函數(shù)來描述：●在夜間，荷爾蒙分泌量保持在較低水平，可以近似為常數(shù)．●在早晨，隨著人醒來和太陽升起，荷爾蒙分泌量線性增加，其關(guān)系為，當(dāng)時，分泌量達(dá)到最大值●在下午和晚上，荷爾蒙分泌量逐漸降低，可以用指數(shù)衰減模型描述，即．已知午夜時荷爾蒙分泌量為，峰值分泌量為(1)求參數(shù)，和的值以及函數(shù)的解析式；(2)求該同學(xué)一天內(nèi)荷爾蒙分泌量不少于的時長．【解析】（1）根據(jù)題意得，午夜時荷爾蒙分泌量，，在早晨，荷爾蒙分泌量滿足關(guān)系式：，當(dāng)時，分泌量達(dá)到峰值即，即，解得：，因此早晨時段的荷爾蒙分泌量關(guān)系為，在下午和晚上時段，荷爾蒙分泌量滿足：，所以，解得，所以荷爾蒙分泌量為，綜上，荷爾蒙分泌量的函數(shù)關(guān)系為；（2）①當(dāng)時，，解得，所以，②當(dāng)時，，，，，，綜上所述，該同學(xué)一天之內(nèi)荷爾蒙分泌不少于的時長為10個小時.【重難點集訓(xùn)】1．（2024·高一·陜西西安·期中）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價（元/件）與月銷售量（件）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件的成本為若每月獲得的利潤不少于元，該廠的月銷售量的不可能取值為（）A． B． C．. D．【答案】D【解析】設(shè)該廠月獲得的利潤為元，則.

由題意，，解得：，∴當(dāng)月產(chǎn)量在至件（包括和）之間時，月獲得的利潤不少于元.故選：D.2．（2024·高一·四川廣安·期中）友誼中學(xué)學(xué)校每周對會議室進行消毒，設(shè)在藥物釋放過程中，會議室空氣中的含藥量（毫克/每立方米）與時間（小時）成正比；藥物釋放完畢后（此時藥物含量），與滿足關(guān)系（為常數(shù)，）.據(jù)測定，空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時.會議室才能進入使用.則工作人員至少在會議開始時提前（

）分鐘進行消毒工作.A．50 B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，當(dāng)時，過點，則，解得，所以，當(dāng)時，空氣中每立方米的含藥量逐漸升高至毫克，當(dāng)時，空氣中每立方米的含藥量逐漸降低，由，解得，又，所以工作人員至少在會議開始時提前分鐘進行消毒工作.故選：.3．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）某市環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境污染情況進行調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn)，一天中環(huán)境污染指數(shù)與時刻（時）的關(guān)系為，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且．如果以每天的最大值為當(dāng)天的環(huán)境污染指數(shù)，并記為，若規(guī)定為環(huán)境污染指數(shù)不超標(biāo)，則該市中心的環(huán)境污染指數(shù)不超標(biāo)時，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故，當(dāng)時，，所以，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，，，所以即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以該市中心的環(huán)境污染指數(shù)不超標(biāo)時，的取值范圍為．故選：B．4．（2024·高二·湖南·開學(xué)考試）近日，我國某生命科學(xué)研究所的生物研究小組成員通過大量的實驗和數(shù)據(jù)統(tǒng)計得出睡眠中的恒溫動物的脈搏率（單位時間內(nèi)心跳的次數(shù)）與其自身體重滿足的函數(shù)模型.已知一只恒溫動物兔子的體重為2kg、脈搏率為205次，若經(jīng)測量一匹馬的脈搏率為41次，則這匹馬的體重為（

）A．350kg B．450kg C．500kg D．250kg【答案】D【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，則，故.故選：D.5．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）大氣壓強（單位：）與海拔（單位：）之間的關(guān)系可以由近似描述，其中為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強，為常數(shù).已知海拔為兩地的大氣壓強分別為.若測得某地的大氣壓強為80，則該地的海拔約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知①，②，①②兩式相比得到，所以③，當(dāng)時，由④，②④得到，所以⑤，由⑤④，得到，解得.故選：C.6．（2024·高一·湖北·階段練習(xí)）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)所傳信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當(dāng)比較大時，，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（

）（附：）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以的增長率約為.故選：D7．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某股民購買一公司股票10萬元，在連續(xù)十個交易日內(nèi)，前5個交易日，平均每天上漲5％，后5個交易日內(nèi)，平均每天下跌4.9％，則股民的股票盈虧情況（不計其他成本，精確到元）為（

）A．賺723元 B．賺145元C．虧145元 D．虧723元【答案】D【解析】由題意知第10個工作日股票剩余價值為，所以萬元，也就是虧723元.故選：D8．（2024·高一·浙江杭州·期末）在某種藥物實驗中，規(guī)定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現(xiàn)測得實驗動物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會以每小時的速度減少，那么至少經(jīng)過（

）個小時才會“藥物失效”．（參考數(shù)據(jù)：）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】物實驗中，血液中藥物含量為的濃度為，設(shè)至少經(jīng)過個小時才會“藥物失效”，根據(jù)題意，兩邊取對數(shù)得，可得.所以至少經(jīng)過個小時才會“藥物失效”.故選：D.9．（多選題）（2024·高一·浙江紹興·期中）某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系為常數(shù).若該食品在的保鮮時間是小時，在的保鮮時間是小時，則（

）A．B．儲存溫度越高保鮮時間越短C．在的保鮮時間是小時D．在的保鮮時間是小時【答案】BCD【解析】對于A，由題可知，，則，即，可得，即，故A錯誤；對于B，由A可知，在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，則儲存溫度越高保鮮時間越短，B正確；對于C，由A可知，小時，C正確；對于D，由A可知，小時，D正確.故選：BCD.10．（多選題）（2024·高一·山東濟寧·期末）計算機病毒就是一個程序，對計算機的正常使用進行破壞，它有獨特的復(fù)制能力，可以很快地蔓延，又常常難以根除．現(xiàn)有一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒，該病毒占據(jù)內(nèi)存y（單位：KB）與計算機開機后使用的時間t（單位：min）的關(guān)系式為，則下列說法中正確的是（

）A．在計算機開機后使用5分鐘時，該計算機病毒占據(jù)內(nèi)存會超過90KBB．計算機開機后，該計算機病毒每分鐘增加的內(nèi)存都相等C．計算機開機后，該計算機病毒每分鐘的增長率為1D．計算機開機后，該計算機病毒占據(jù)內(nèi)存到6KB，9KB，18KB所經(jīng)過的時間分別是，，，則【答案】ACD【解析】對于選項A：令，可得，所以在計算機開機后使用5分鐘時，該計算機病毒占據(jù)內(nèi)存會超過90KB，故A正確；對于選項B：因為不是定值，可知計算機開機后，該計算機病毒每分鐘增加的內(nèi)存不相等，故B錯誤；對于選項C：因為，所以計算機開機后，該計算機病毒每分鐘的增長率為1，故C正確；對于選項D：由題意可得：，可得，則，即，故D正確；故選：ACD.11．（多選題）（2024·高一·廣東惠州·期末）現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最好不要超過60，一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80，65，給出兩個茶溫T（單位：）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②.根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．選擇函數(shù)模型① B．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待3分鐘C．選擇函數(shù)模型② D．該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘【答案】AD【解析】選擇函數(shù)模型①，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合要求，選擇函數(shù)模型②，則當(dāng)時，，不符合要求，故選選擇函數(shù)模型①，即A正確，C錯誤；令，則有，即，即，故該杯茶泡好后到飲用至少需要等待分鐘，故B錯誤，D正確.故選：AD.12．（2024·高一·廣東深圳·期中）將進貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，每漲價1元，其銷售量就減少20個，為了使商家利潤有所增加（只考慮漲價的情況），售價的取值范圍應(yīng)是.【答案】【解析】設(shè)總利潤元，因為每個售價為元，則根據(jù)題意可得，現(xiàn)在商家的售價為90元，將其代入解析式得：，要使商家總利潤有所增加，則要滿足，即，則，所以，解得，所以售價的取值范圍應(yīng)是.故答案為：.13．（2024·高一·江蘇·階段練習(xí)）某工廠需要建造一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析運費與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的?離為3千米時，運費為9萬元，倉儲費為4萬元，則運費與倉儲費之和的最小值為萬元.【答案】12【解析】設(shè)工廠和倉庫之間的距離為千米，運費為萬元，倉儲費為萬元，依題意可設(shè).工廠和倉庫之間的距離為3千米時，運費為9萬元，倉儲費用為4萬元，代入求得：于是，運費與倉儲費之和為萬元，因，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，運費與倉儲費之和最小，最小為12萬元.故答案為：12.14．（2024·高三·云南楚雄·階段練習(xí)）已知海面上的大氣壓強是，大氣壓強P（單位：）和高度（單位：）之間的關(guān)系為（為自然對數(shù)的底數(shù)，是常數(shù)），根據(jù)實驗知高空處的大氣壓強是型直升機巡航高度為型直升機的巡航高度為時，A型直升機所受的大氣壓強是B型直升機所受的大氣壓強的倍（精確到0.01）.【答案】【解析】依題意，即，則A型直升機所受的大氣壓強，型直升機所受的大氣壓強，所以，所以A型直升機所受的大氣壓強是B型直升機所受的大氣壓強的倍.故答案為：.15．（2024·高一·福建福州·期中）某汽車制造企業(yè)計劃在2025年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新能源電動汽車.通過市場分析，生產(chǎn)此款新能源電動汽車全年需投入固定成本300萬，每生產(chǎn)x百輛新能源電動汽車，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每一百輛新能源電動汽車總售價700萬元，且全年生產(chǎn)的新能源電動汽車當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2025年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式.（注：利潤＝銷售額－成本）；(2)當(dāng)2025年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤、【解析】（1）由題意可得：.（2）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值；因為，可知當(dāng)2025年產(chǎn)量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為萬元.16．（2024·高一·江蘇無錫·期中）如圖，某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的十字形地域．四個小矩形、、、與小正方形面積之和為，且．計劃在正方形上建一座花壇，造價為元；在四個矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為元；在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為元．設(shè)長為（單位：）．

(1)用表示的長度，并寫出的取值范圍；(2)用表示花壇與地坪的造價之和；(3)設(shè)總造價為元，當(dāng)長為何值時，總造價最低？并求出最低總造價．【解析】（1）由題意：矩形的面積為，因此，因為，所以．（2）.（3）由題意可得：，（）由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以當(dāng)時，總造價最小，最小值為元．17．（2024·高一·重慶·期中）為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對某路段作了調(diào)研，得到了某時間段內(nèi)的車流量（千輛/小時）和汽車平均速度（千米/小時）的下列數(shù)據(jù)：10304060700.8684.83.5為了描述車流量和汽車平均速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，(1)選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，請說明理由并計算的值；(2)計算該路段最大車流量及最大車流量時汽車的平均速度．【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知，隨著汽車平均速度的增大，車流量呈現(xiàn)出先增大后減少的趨勢；再由一次函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)增大模式，由冪函數(shù)性質(zhì)可知成持續(xù)減少模式；只有符合題意；將代入表達(dá)式可得，解得（2）由（1）可知，由基本不等式可得，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立；因此該路段最大車流量為千輛/小時,最大車流量時汽車的平均速度千米/小時.18．（2024·高一·吉林·期中）某水庫有a萬條魚，計劃每年捕撈一些魚，假設(shè)水庫中魚不繁殖，只會因捕撈而減少魚的