PAGE第三章概率3.1隨機事務的概率3．1.1隨機事務的概率[目標]1.了解隨機事務發生的不確定性和頻率的穩定性以及頻率與概率的區分；2.通過實例，正確理解概率的意義，體會概率思想方法及應用價值．[重點]正確理解頻率與概率的關系，以及概率在實際中的應用．[難點]概率的意義的正確理解及隨機試驗結果的隨機性與規律性的關系．學問點一事務的分類[填一填]1．確定事務：在條件S下，肯定會發生的事務，叫做相對于條件S的必定事務，簡稱為必定事務；在條件S下，肯定不會發生的事務，叫做相對于條件S的不行能事務，簡稱為不行能事務．必定事務和不行能事務統稱為相對于條件S的確定事務，簡稱為確定事務．2．隨機事務：在條件S下可能發生也可能不發生的事務，叫做相對于條件S的隨機事務，簡稱為隨機事務．3．事務：確定事務和隨機事務統稱為事務，一般用大寫字母A，B，C，…表示．[答一答]1．定義中的“條件S”是唯一的嗎？提示：這里的S可以是一個條件，也可以是一組條件(可以理解為一個條件的集合)，此處的定義與初中教材中的定義(在肯定條件下)有所不同，新定義的表述更加簡潔．2．指出下列事務是必定事務、不行能事務還是隨機事務．(1)中國體操運動員將在下屆奧運會上獲得全能冠軍．(2)出租車司機小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈．(3)若x∈R，則x2＋1≥1.(4)拋一枚骰子兩次，朝上面的數字之和小于2.提示：由題意知：(1)(2)中事務可能發生，也可能不發生，所以是隨機事務；(3)中事務肯定會發生，是必定事務；由于骰子朝上面的數字最小是1，兩次朝上面的數字之和最小是2，不行能小于2，所以(4)中事務不行能發生，是不行能事務．學問點二頻率與概率[填一填]1．頻率在相同條件S下重復n次試驗，視察事務A是否出現，稱n次試驗中事務A出現的次數nA為事務A出現的頻數，稱事務A出現的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務A出現的頻率，其取值范圍是[0,1]．2．概率(1)定義：一般來說，隨機事務A在每次試驗中是否發生是不行預知的，但是在大量重復試驗后，隨著試驗次數的增加，事務A發生的頻率會漸漸穩定在區間[0,1]中某個常數上．這個常數稱為事務A的概率，記為P(A)，其取值范圍是[0,1]．(2)求法：由于事務A發生的頻率隨著試驗次數的增加穩定于概率，因此可以用頻率來估計概率．[答一答]3．隨機事務的頻率具有相對的穩定性，在大量重復試驗時，頻率會在一個常數旁邊搖擺．隨機事務A在n次試驗中發生了m次，則這個常數肯定就是eq\f(m,n)嗎？提示：不肯定．當試驗的次數n很大時，這個常數才近似地認為是eq\f(m,n).4．頻率與試驗次數有關嗎？概率呢？提示：(1)頻率是事務A發生的次數與試驗總次數的比值，當然與試驗次數有關．頻率本身是隨機的，是一個變量，在試驗前不能確定，做同樣次數的重復試驗得到的事務發生的頻率會不同．(2)概率是一個確定的數，是客觀存在的，與試驗做沒做、做多少次完全無關．比如，假如一個硬幣是質地勻稱的，則擲硬幣一次出現正面朝上的概率是0.5，與做多少次試驗無關．5．“小概率事務肯定不發生，也許率事務肯定發生”，這種說法對嗎？提示：不對．小概率(接近0)事務很少發生，但不代表肯定不發生；也許率(接近1)事務常常發生，但不代表肯定發生．類型一事務的推斷[例1]指出下列事務是必定事務、不行能事務還是隨機事務：(1)某人購買福利彩票一注，中獎500萬元；(2)三角形的內角和為180°；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現正面對上；(5)從分別標有1,2,3,4的四張標簽中任取一張，抽到1號標簽；(6)科學技術達到肯定水平后，不需任何能量的“永動機”將會出現．[解](1)購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機事務．(2)全部三角形的內角和均為180°，所以是必定事務．(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不行能事務．(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，不肯定都是正面對上，所以是隨機事務．(5)隨意抽取，可能得到1,2,3,4號標簽中的任一張，所以是隨機事務．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機”不會出現，所以是不行能事務．要推斷事務是何種事務，首先要看清條件，因為三種事務都是相對于肯定條件而言的.其次再看它是肯定發生，還是不肯定發生，還是肯定不發生，肯定發生的是必定事務，不肯定發生的是隨機事務，肯定不發生的是不行能事務.[變式訓練1]下列事務中，隨機事務的個數是(C)①某地1月1日刮西北風；②當x是實數時，x2≥0；③一個電影院某一天的上座率超過50%.A．0 B．1C．2 D．3解析：①③是隨機事務，②是必定事務．類型二試驗結果分析[例2]下列隨機事務中，一次試驗各指什么？試寫出試驗的全部結果．(1)拋擲兩枚質地勻稱的硬幣多次；(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個元素組成集合A的子集．[解](1)一次試驗是指“拋擲兩枚質地勻稱的硬幣一次”，試驗的可能結果有4個：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次試驗是指“從集合A中一次選取3個元素組成集合A的一個子集”，試驗的結果共有4個：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．[一題多變](1)在例2(2)中，從集合A中任取2個元素組成A的子集，有哪些？(2)在例2(2)中集合A換為A＝{a，b，c，d，e}，其他條件不變，則結果如何？[解](1)試驗結果有6個：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}．(2)試驗結果有10個：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{b，c，d}，{b，c，e}，{c，d，e}，{b，d，e}．不重不漏地列舉試驗的全部可能結果的方法(1)結果是相對于條件而言的，要弄清試驗的結果，必需首先明確試驗中的條件．(2)依據日常生活閱歷，依據肯定的依次列舉出全部可能的結果，可應用畫樹狀圖、列表等方法解決．[變式訓練2]袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個球，分別寫出以下隨機試驗的條件和結果．(1)從中任取1球；(2)從中任取2球．解：(1)條件為：從袋中任取1球．結果為：紅、白、黃、黑4種．(2)條件為：從袋中任取2球．若記(紅，白)表示一次試驗中，取出的是紅球與白球，結果為：(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)6種．類型三用頻率估計概率[例3]某商場設立了一個可以自由轉動的轉盤(如圖所示)，并規定：顧客購物10元以上就能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區域就可以獲得相應的獎品，下表是活動進行中的一組統計數據.(1)計算并完成表格；(2)請估計，當n很大時，落在“鉛筆”區域的頻率將會接近多少？(3)假如你去轉動該轉盤一次，你獲得鉛筆的概率約是多少？[分析]先依據頻率的定義求出各試驗的頻率，再由頻率去估算概率．[解](1)(2)當n很大時，落在“鉛筆”區域的頻率將會接近0.7.(3)獲得鉛筆的概率約是0.7.

概率的確定方法(1)理論依據：頻率在大量重復試驗的條件下可以近似地作為這個事務的概率．(2)計算頻率：頻率＝eq\f(頻數,試驗次數).(3)用頻率估計概率．[變式訓練3](1)從某自動包裝機包裝的食鹽中，隨機抽取20袋，測得各袋的質量分別為(單位：g)：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499依據用頻率分布估計總體分布的原理，該自動包裝的食鹽質量在497.5g～501.5g之間的概率約為0.25.解析：由頻率估計概率，食鹽質量在497.5g～501.5g之間的頻率是eq\f(5,20)＝0.25，故所求概率約為0.25.(2)在一個不透亮的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗后發覺其中摸到紅色球、黑色球的頻率穩定在15%和45%，則口袋中白色球的個數可能是16個．解析：∵摸到紅色球、黑色球的頻率穩定在15%和45%，∴摸到白球的頻率為1－15%－45%＝40%，故口袋中白色球的個數可能是40×40%＝16個．1．有下列現象：①擲一枚硬幣，出現正面對上；②實數的肯定值不小于零；③若a>b，則b<a.其中是隨機現象的是(B)A．②B．①C．③D．②③解析：①擲一枚硬幣，可能出現反面對上，所以①是隨機現象，②③均為必定現象．故選B.2．下面的事務，是不行能事務的有(B)①在標準大氣壓下，水加熱到80℃②a，b∈R，則ab＝ba；③一枚硬幣連續擲兩次，兩次都出現正面對上．A．② B．①C．①② D．③解析：①在標準大氣壓下，水只有加熱到100℃時才會沸騰，所以①是不行能事務；②是必定事務；③3．下列說法正確的是(C)A．任何事務的概率總是在(0,1)之間B．頻率是客觀存在的，與試驗次數無關C．隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率D．概率是隨機的，在試驗前不能確定解析：必定事務發生的概率為1，不行能事務發生概率為0，所以任何事務發生的概率總在[0,1]之間，故A錯，B、D混淆了頻率與概率的概念，故錯誤．4．玲玲和倩倩是一對好摯友，她倆都想去觀看周杰倫的演唱會，可手里只有一張票，怎么辦呢？玲玲對倩倩說：“我向空中拋2枚同樣的一元硬幣，假如落地后一正一反，就我去；假如落地后兩個朝上的面一樣，就你去！”你認為這個嬉戲公允嗎？答：公允．解析：兩枚硬幣落地的結果有正反，反正，正正，反反，因此兩種狀況各占eq\f(1,2)，是公允的．5．某公司在過去幾年內運用了某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的運用壽命(單位：時)進行了統計，統計結果如下表所示：(1)將各組的頻率填入表中；(2)依據上述統計結果，估計燈管運用壽命不足1500小時的概率．解：(1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)樣本中運用壽命不足1500小時的頻數是48＋121＋208＋223＝600，所以樣本中運用壽命不足1500小時的頻率是eq\f(600,1000)＝0.6，即燈管運用壽命不足1500小時的概率約為0.6.——本課須駕馭的兩大問題1．概率的性質(1)必定事務的概率為1.(2)不行能事務的概率為0.(3)隨機事務A的概率為0≤P(A)≤1.必定事務和不行能事務看作隨機事務的兩個極端情形．2．“頻率”和“概率”的區分和聯系(1)區分：頻率反映的是某一隨機事務出現的頻繁程度