【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結(新高考通用)

第24練平面向量的數量積及其應用(精練)

刷真題明導向

一、單選題

1.(2022?全國?統考高考真題)已知向量〃=(2,1)右=(—2,4),則()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得”-人然后求得卜i

【詳解】因為。-6=(2」)-(-2,4)=(4,-3),所以卜-8卜"2+(-3>=5.

故選：D

2.(2023?全國?統考高考真題)已知向量a=(3,l),〃=(2,2),則統a+布-()

A.—B.姮C.叵D.氈

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數量積的坐標表示分別求得從而利用平面向量余弦

的運算公式即可得解.

【詳解】因為公=(3,1))=(2,2),所以a+〃=(5,3),a-h=(l,-l),

則1+0=J52+32=后,卜_4=、后=應,(〃+/?)?([—力)=5x1+3x(-1)=2,

所以吟+碗?黑舒二懸丁冬

故選：B.

3.(2022?全國?統考高考真題)已知向量〉"滿足|a|=l,Wb"|a-25|=3,則。力=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據給定模長，利用向量的數量積運算求解即可.

【詳解】解：2〃|2=|#2-4“功+4,『，

又???"|=1,|力|=V3,|?-2/?|=3,

，9=I—4〃6+4x3=13—4a-b，

??a-h=\

故選：C.

4.(2023?全國?統考高考真題)已知向量々=(1,1),〃=。,-1),若(。+切_L(a+〃b),則()

A.2+〃=1B.之+〃=一1

C.A//=1D.A/z=-1

【答案】D

【分析】根據向量的坐標運算求出〃+助，再根據向量垂直的坐標表示即可求出.

【詳解】因為4=(1,1)/=。,_1),所以。+/1/?=(1+41—2),4+=，

由+%力)_!_(〃+可得，(4+?(〃+〃〃)=0,

即(1+4)(1+")+(1-#(1一〃)=0,整理得：即=-1.

故選：D.

5.(2022?全國?統考高考真題)已知向量。=(3,4),力=(l,0),c=a-仍，若<a,c>=<"c>,貝V=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得

/、/、、9+3/+163+/

【詳解】解：C=(3+r,4),cos(a,c)=cos(zb,c),gp——j二『，解得，=5,

故選：c

6.(2023?北京?統考高考真題)已知向量”，方滿足d+1=(2,3),d-b=(-2,l),則laf-W、()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量數量積的運算律，數量積的坐標表示求解作答.

【詳解】向量滿足。+6=(2,3)間-〃=(-2,1),

所以laf-I62=(a+?.(4-?=2x(-2)+3xl=-l.

故選：B

7.（2021?浙江?統考高考真題）己知非零向量則是“￡=）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】考慮兩者之間的推出關系后可得兩者之間的條件關系.

【詳解】如圖所示，。4=。。8=〃,。。=孰84=〃-力，當46_10€時，。一〃與c垂直，（￡-斗；0,所

以成立，此時。工，

???1"=""不是"=6的充分條件，

當〃=2時，4-〃=0，???”=。。=0,???>%=兀2成立，

Wb?；,是a=b的必要條件，

8.（2023?全國?統考高考真題）己知向量a,〃,c滿足悶=W=l[c|=&,且〃+Z?+c=0?則cos5一c,Z?-c〉=

（）

■4C2「2

A.—B.—C.—D

555-?

【答案】D

【分析】作出圖形,根據幾何意義求解.

【詳解】因為A+5+d=0,所以￡+〃=」，

即片+戶+上.6=/,即1+1+2。必=2,所以由5=0.

因為尸c=l,所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運動,

設P(cosO,sinO),0e[0,2/r],

所以PA=(3-cos。,-sin。),PB=(-cos^,4-sin^),

所以P8=(-cos0)x(3-cos0+(4-sin0)x(-sin。)

=CDS?。-3cos6—4sine+s"0

=1—3cos￡?—4sin/7

=l—5sin（〃+o）,其中sin夕=2,cos^?=—,

55

因為一1Wsin（，+°）41,所以T41-5sin（e+°）?6,即2/VPBe[-4,6]；

故選：D

二、填空題

10.（2022.全國.統考高考真題）已知向量。=（也3）/=（1.m+1）.若“_L〃，則"?=

3

【答案】

4

【分析】直接由向量垂直的坐標表示求解即可.

3

【詳解】由題意知：=〃?+3（用+1）=0,解得，〃=-二.

3

故答案為；

11.（2021?全國?統考高考真題）已知向量。=（1,3）,。=（3,4）,若（a-勸）_L。，則2=

【答案】|

【分析】根據平面向量數量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.

【詳解】因為。一筋=（1,3）—4（3,4）=（1-343—44）,所以由（〃-肪）_L〃可得，

3（l-3A）+4（3-4^）-0,解得2-不.

3

故答案為：

【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數量積的坐標表示，設。=（N，X）,〃=（X2，M），

4_1_604力=00z9+）1%=°，注意與平面向量平行的坐標表示區分.

12.（2021?全國?統考高考真題）已知向量〃=（3,1）為=（l,0）,c=〃+幼.若alc，貝必=_

【答案】一日.

【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量c的坐標，利用向量的數量積為零求得我的值

【詳解】"=（31）,〃=（1,0）,，<?=。+幼=（3+匕1）,

?.?a_Ld,.3c=3（3+k）+lxl=0,解得女=-果

故答案為：一學.

【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎題，利用平面向量

P=（5，X），4=（々，％）垂直的充分必要條件是其數量積中2+M>2=0.

13.（2021.全國?高考真題）若向量滿足同=3,,一4=5,a/=1,則|卜.

【答案】30

【分析】根據題目條件，利用a-b模的平方可以得出答案

【詳解】???卜-4=5

；?卜-H-2a/=9+慟-2=25

.明=3日

故答案為：3后.

14.（2022?全國?統考高考真題）設向量〃，〃的夾角的余弦值為；，且何=1,川=3,則（2〃+。）包=.

【答案】11

【分析】設4與％的夾角為。，依題意可得COS6=g,再根據數量積的定義求出4.〃，最后根據數量積的運

算律計算可得.

【詳解】解：設“與〃的夾角為0,因為〃與〃的夾角的余弦值為:，即COS0=；,

又卜|=1,W",所以4?。=同忖85。=lx3x；=1,

所以（2a+b）b=2ab+z/=+=2x1+32=11.

故答案為：11?

15.（2023.全國.統考高考真題）已知向量a,b滿足卜-力|=6，,+.=|2〃-.，則卜卜.

【答案】石

【分析】法一：根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令1-力，結合數量積的運算

律運算求解.

【詳解】法一：因為卜+司=忸-可，即（〃+"=（2〃-

,irrrrrrrr般血殂2八，八

貝mJ〃2+2ab+b2=4a2—4ab+b2?整理得〃-2?Z?=0>

又因為卜一可―G,即

畸-如十九九3,所以小君.

法二：設；￡」，則卜=\/5,a+〃=c+2b,2a-〃=2c+b,

由題意可得：（C+3『=（2；+,，貝叱

+4cb+4b=4c+4<:?力+/??

整理得：:2」2,即可=口=6.

故答案為：6.

16.（2021?全國.統考高考真題）已知向量〃+/>+c=0，6/=1,|/?=|c|=2,ab+bc+c-a=-

【答案】4

【分析】由已知可得（。+力+。丫=0,展開化簡后可得結果.

【詳解】由已知可得(a+2+c)=a+b+c'+2^ab+bc+c-a^=9+2^ab+b-c+ca^=Ot

因此,ab+bc+c-a=--.

故答案為：-

三、雙空題

17.(2021?天津?統考高考真題)在邊長為1的等邊三角形A3c中，。為線段BC上的動點，DE上AB且交

AB于點E.OF//A3且交AC于點R則I2BE+DFI的值為;(。E+。尸)。的最小值為

【答案】1*

【分析】設8E=x,由(24石+。戶)2=4B￡，48E?。產+。/可求出；將(。石+。尸)小化為關于*的關系式

即可求出最值.

【詳解】設BE=x,...ABC為邊長為1的等邊三角形，DE1AB,

ZBDE=30,BD=2x,DE=瓜,DC=\-2x,

:DF//AB,為邊長為1-標的等邊三角形，OE1OF,

.?.(2BE+D尸丫=4BE2+4BEDF+DF,=4x2+4x(l-2x)xcos0+(l-2x)2=l>

:]2BE+DF|=1,

(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE+EA)=I)F+DFEA

=(V3A-)2+(l-2x)x(l-x)=5x2-3x+l=5^x-j^j+—,

311

所以當x=X時，(DE”尸).D4的最小值為布.

故答案為：1;工.

tt

【A組在基礎中考查功底】

一、單選題

1.(2023?河南.校聯考模擬預測)已知向量。=(3,1),b=(x-2)f若〃//人則,+〃|=()

A.0B.5C.MD.10

【答案】C

【分析】根據共線先求出工,根據向量的模的坐標公式即可.

【詳解】因為4/必，所以3x(—2)—x=0,解得x=-6.

所以a+5=(3』)+(—6,-2)=(-3,-1),

P+b|=7(-3)2+(-i)2=Vio.

故選：C.

2.(2023?河南?校聯考模擬預測)設名仇c都是單位向量，且,=/1c，則向量〃的夾角等于()

JI°兀八兀c71

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】C

【分析】根據等式將c移到另一端,兩邊同時平方，由a,〉c都是單位向量可求出的夾角.

【詳解】由〃=〃一°,可知c=〃-a,故，=。一2〃?力+〃，所以=

設。次的夾角為6,即cos0=3,又046W兀，所以。=方.

故選：C.

3.(2023?江蘇蘇州?模擬預測)已知向最.在向量。上的投影向量是-專人且〃=(1/)，則〃/=()

C.一包D.2

A.-6B.拒

22

【答案】A

【分析】根據向量a在向量B上的投影向量求出同cosk3,代入〃.〃的定義式即可.

【詳解】因為向量a在向量力上的投影向量是-卓明所以忖88卜力〉=-4M，

因此a.〃三同小05卜』?一孝回,卜一孝,=_曰><(1+1)=—石.

故選：A.

4.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四中學校校考模擬預測)如圖，已知C的半徑為2,網=2,則4C=

C.2D.2石

【答案】C

【分析】判斷形狀可得/CAB,然后根據數量積定義直接求解即可.

TT7F

【詳解】由題知，H8c為正三角形，所以NCAB=G，所以AB.4c=2X2C0S5=2.

JJ

故選：c

5.(2023?四川?校聯考模擬預測)已知向量。=(4,—2),〃=(x-l,2),若“J.b，則(一力卜()

A.3&B.26C.3D.5

【答案】D

【分析】依題意可得〃包=0,即可求出工的值，在求出〃-方的坐標，從而求出其模.

【詳解】因為。=(4,一2),^=(x-l,2),且所以。力=4(x-l)-2x2=。，所以x=2,

所以〃=(1,2),。-〃=(4,-2)-(1,2)=(3,-4),所以4-4=/2+(-4)2=5.

故選：D.

6.(2023?山東濰坊?三模)已知平面向量〃與b的夾角是60。，且同=2/=(1,2),則()

A.8+2不B.4-石C.8-5/5D.4+26

【答案】C

【分析】利用模的公式可得到忖=不，然后利用數量積的運算津即可得到答案

【詳解】由匕=。,2)可得忖-6,

因為平面向量〃與〃的夾角是60。，且同=2,

所以a?(2a_b)=2,|-?-/?=2|t/|-1?|?|/?|cos60°=8->/5

故選：C

7.(2023?人大附中校考三模)已知向量。=(l,2)〃=(3x),a與〃+力共線，則〃卜()

A.6B.20C.2后D.5

【答案】C

【分析】運用平面向量共線及向量的模的坐標計算公式求解即可.

【詳解】由題意知，￡+5=(4,2+x)

又“〃(.+〃)，所以lx(2+x)=2x4,所以《=6,

所以力=(3,6),所以a-〃=(-2,-4),

所以|〃-勿="(-2)2+(-4)2=2后.

故選：C

8.(2023?浙江?校聯考模擬預測)已知單位向量。也。滿足.+力+c=0,其中c=(l,。)，則加+。在c上的投

影向量是()

(3⑸C⑸(3Q(3

A.B.C.-,0D.--,0

I22J(22JU)\2)

【答案】D

【分析】根據投影向量的計算公式求值即可.

【詳解】因為單位向量滿足a+〃+c=0,

所以-c=a+/?=>（-<?）=[7+力）=a'+2ab+b=\=>ab=~~,

由投影向量計算公式可知2a+A在c上的投影向量是|2a+4cosW+"c）卡，

C

^（2t7+Z?）xc=（2a-3ab-b\xc

H-

故卜2蘇一3aZ?_b]xc=—|c，而@=（1,0）,故一1去°）?

故選：D

9.（2023?浙江寧波?鎮海中學校考模擬預測）已知同=2,忖=1,卜-2可=26，則向量Q在向量力方向上

的投影向量為（）

A.bB.-bC.也bD.-y/3b

【答案】B

【分析】先求出兩個向量的數量積，再根據公式可求投影向量.

【詳解】因為卜-2+2技故青-1因+4貶=12,

/、

故”6=-1,而向量。在向量力方向上的投影向量為ldxrr-^jr\=TTh=~b^

I同叫WH

故選：B.

10.（2023春.海南?高三海南中學校考階段練習）已知向量滿足|a|=2,|力|=5,且。與。夾角的余弦值為

則（。+助）?（3a-〃卜（）

A.-28B.-18C.12D.72

【答案】A

【分析】運用平面向量的數量積運算可求得結果.

【詳解】因為|a|=2,出卜5,且。與方夾角的余弦值為

所以（a+2Z2）-（3a-Z?）=3W'+5a/-2W2=3x22+5x2x5x1-2x52=-28.

故選：A.

11.（2023?重慶?校聯考三模）在△A3C中，A8MC=2，|罔=1且點。滿足A/）=DC,則網=（）

3

A.x/5B.76C.GD.

2

【答案】D

【分析】根據向量線性運算和題干條件得到A/+AC?=5,從而得到,耳=|.

【詳解】由題意得A8-AC=CB，AB2-2ABAC+AC2=CB2=\

故A6?+AC?=1+2A6AC=5，

因為點D滿足8￡>=DC,所以AQ=T(AB+AC),

平方得府=；(府+24840+4dx(5+4)=',

故回喝.

故選：D

12.(2023?河南?校聯考模擬預測)已知向量”，A滿足何=3,慟=8,^a-b=7,則()

A.-24B.-12C.12D.24

【答案】C

【分析】根據數量積的運算律即可求解.

2

【詳解】由=—a2--ab+b'=25--?-/?+64=49?

3933

所以a6=12.

故選：C.

13.(2023?遼寧?校聯考二模)已知向量〃=(-2,1),》=(〃?,2),卜+力卜卜-則實數m的值為().

A.—1B.—C.!D.1

22

【答案】D

【分析】先求得〃+力,”0的坐標，再由卜+小卜-同求解.

【詳解】解：因為向量d=(-2,1),。=(〃?,2),

所以〃+方=(-2+/〃,3),〃一力=(-2-777,-1),

又因為卜+同,

所以卜2+/行+32=,

解得〃?=1,

故選：D

14.（2023?全國?校聯考模擬預測）若平面向量”，人滿足|a|=0|〃|,且24+加〃與》垂直，則a與A的夾

角為（）

37r-2兀一冗

A.—B.—C.—D.一

4334

【答案】B

【分析】利用垂直的向量表示求出〃力的表達式，再利用向量夾角公式求解作答.

【詳解】因為2a+與b垂直，貝！I（2a+,/?=。，即2〃力+J^〃~=0，化簡得〃,力,

0..…2兀

而|a|=J5|〃|.則cu：；g，=""二2=1.又〈4力€[0.冗],有（a.b）=F，

''\a\\b\V2IM22

所以〃與6的夾角為弓.

故選：B

15.（2023?甘肅?模擬預測）平行四邊形ABC。中，A8=5,AD=3,ACBD=O,則AC?g等于（

A.-8B.-4C.4D.8

【答案】A

【分析】利用轉化基底的方法進行平面向量數量積的運算即可求解.

【詳解】由題意知平行四邊形A8C。中，AB=5tAD=3f

得40.30=40.：皿=；心+碼（"）一必=1,0『—網）=3（9一25）=-8,

故選：A.

16.（2023?江西上饒?校聯考模擬預測）在矩形48co中，AB=2,BC=0P為A3邊的中點，則CP.8。

（）

A.-1B.4C.1D.G

【答案】A

【分析】利用向量月用4。表示。2.8。，結合數量積的定義求CP?）.

【詳解】由已知CP=CB+/3P=-AQ—；A4,BD=AD-AB^

又網=2,回=6版明=0

所以CP8O=(-40—JA8)(AO-A8)=-AOA￡)+；A8A8=-3+2=T.

所以CP3￡>=-1.

故選：A.

!?

17.(2023?全國?高三專題練習)已知向量/〃=(1,幻,〃=(2。-1,3)0>0,〃>0),若〃?.〃=1，則一+工的最小值

ab

為()

A.7B.-+2^

2

C.7+4⑺D.4石

【答案】B

【分析】由數量積的運算公式求得〃=化簡，+?=《〃+》)(，+5=:+2+半+2,結合基本不等

2abLab2ab

式，即可求解.

【詳解】因為向量〃?=(1,。),n=(26-l,3)(a>0,〃>0),

若=1,可得2Z?—l+3a=l,即5〃+。=1,

12/3?12、3b3。今、7,lb3a7.

貝m!iJl-+―=(―〃+/?)(—+—)=—+—+—+2>—4-2./--------=—+2\j3,

ab2ablab2\ab2

當且僅當2=半時，即8=6=4-20時，等號成立，

ab

所以的最小值為q+26.

ab2

故選：B.

二、多選題

18.（2023?廣東梅州.大埔縣虎山中學校考模擬預測）已知平面向量。=。,1）,〃=（-3,4）,則下列說法正確

的是（）

A.cos(a,b)=

10

在。方向上的投影向量為它“

B.

2

C.與少垂直的單位向量的坐標為

D.若向量4+勸與非零向量4-動共線，則2=0

【答案】AD

【分析】本題考查了平面向量的坐標運算，主要考查了兩向量的夾角、投影向量、向量的平行與垂直的基

本知識，一一驗證即可.

【詳解】由題意知|a|=3,IM=5,G〃=_3+4=1,

則85〈〃力〉=金二=噂，因此A正確；

1411blI。

。在a方向上的投影向量為

|〃|cos〈a為〉?三=學?三因此B錯誤；

\a\\a\\a\\a\~2

與〃垂直的單位向量的坐標為

(匐或因此C錯誤：

因為a+Ab=(1-32,1+42),a—Xb=(I+341-42),

若向量"仍與向量〃-e共線，M(1-32)(1-4Z)=(1+32)(1+4A),

解得2=0,因此D正確.

故選：AD.

19.(2023?廣東廣州?統考三模〉己知向星〃=(1,2),1=(-2,1),則()

A.(a-力_L(a+))B.(a-b)//(a+b)

C.\a-b\=\a+b\D./?-a在a上的投影向量是a

【答案】AC

【分析】根據a-/,與〃+/，的數量積為。可得A正確；根據向量平行的坐標表示可得B錯誤；根據模長公式

可得C正確；求出投影向量可得D錯誤.

【詳解】因為)=(3,1),?+/?=(-1,3),

所以(a-〃)(a+〃)=3x(-1)+lx3=O,(a-b)L(a+b)t故A正確;

因為3x3-lx(-|)=10w0,故B錯誤；

|?-/?|=710,|a+〃|=M,故C正確；

因為』=（-3,-1）在〃上的投影向量是氣產乂言=*力…，故D錯誤.

故選：AC.

20.（2023?湖南?校聯考二模）已知向量a=（2,-1）,〃//〃，忖=2口，c=（l,2）,則（）

A.aLcB.“卜卜|C./?=（4,—2）D.b=a+c

【答案】AB

【分析】A選項根據向量的數量積運算判斷；

B選項根據模長公式計算；

C選項利用向量共線的關系結合模長公式計算；

D選項根據向量的加法進行判斷.

【詳解】因為?=（2,-1）（1,2）=0,所以a_Lc，則A正確；

p|=|c|=x/5,則B正確；

因為a〃b,所以設8=勘=/1（2,-1）=（2九T）,因為卜卜2口二26,

所以424）2+（_幾）2=2石,解得2=±2,所以〃=（4,-2）或h=（Y,2）,故C錯誤；

〃+c=（3,l）",故D錯誤.

故選：AB

21.（2023?山東濱州?統考二模）已知向量。=（1,刈，〃=（2,-4）,則下列說法正確的是（）

A.若1￡+方卜JT6,則〃?=5B.若萬〃6,則”?=一2

C.若〃工〃，貝=D.若，〃=1,則向量〃，人的夾角為鈍角

【答案】BD

【分析】由向量模的計算公式判斷A;由共線向量的坐標運算判斷B;由向量垂直時數量積為。判斷C；

由向量的數量積判斷D.

【詳解】解：對于A,因為a=（L⑼，=（2,-4）,所以。+/?=（3,小一4）,|?+/?|=^9+（/n-4）2=V10,

解得〃?=5或小=3,故A錯誤；

對于B,因為。〃〃，所以2〃?=-4,解得〃?=一2,故B正確；

11

對于C,因為所以4r力=2-4〃?=0，解得〃?=5，故C錯誤；

對于D,當〃7=1時，?=（U）,1/；=2-4=-2<0，又因為此時a,匕不共線，所以向量a,b的夾角為鈍

角，故D正確.

故選：BD.

22.（2023?全國?高三專題練習）已知向量）=（2,1）,忖=2可，且“上”，則（）

A.（2,-4）B.（-2,7）C.（-2,4）D.（2,4）

【答案】AC

【分析】設〃的坐標，利用向量模的坐標公式及a_Lb關系，建立方程組解出來即可.

【詳解】設b=",y）,

因為耳=24，a_Lb,

b2=4a2x2+y2=20

所以=>

ab=02x+y=0，

d，x=24[%=-2

解得/或一

y=-4[y=4

故〃=（2,T）或力=（-2,4）,

故選：AC.

23.（2023?全國?模擬預測）有關平面向量的說法，下列錯誤的是（）

A.若〃〃人，b//c?則a〃cB.若a與共線且模長相等，則〃=

C.若卜卜M且a與b方向相同，則D.（24卜〃=2（4引=（血》4恒成立

【答案】ABC

【分析】取8=0,可判斷A選項；利用平面向量的概念可判斷B選項；利用向量不能比大小可判斷C選

項；利用平面向量數量積的運算性質可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，取。=0，因為alb，b“c，則a、c不一定共線，A錯；

對于B選項，若a與〃共線且模長相等，貝Ua=〃或4=-0,B錯；

對于C選項，任何兩個向量不能比大小，C錯；

對于D選項，=動）?。恒成立，D對.

故選：ABC.

三、填空題

24.(2023?四川成都?樹德中學校考模擬預測)已知向量a=(f-2,3),〃=(3,-l),且(。+2力)〃〃，則同=

【答案】3癡

【分析】利用向量共線的坐標運算即可求出結果.

【詳解】因為4一0一2,3),b-(3.1),所以a+2Z>=(/+4,1),又(a[2b)〃b,

所以(r+4)x(T)-3xl=0,解得仁-7,所以d=(-9,3),故同=3亞.

故答案為：3加.

25.(2023?四川巴中?南江中學校考模擬預測)已知向量。=(1,2)/=(-2,3),若(妨+〃)_L(a-b),則女=

【答案】一

4

【分析】由數量積等于0并結合數量積的坐標運算公式即可求解.

【詳解】由題意可得如+〃=(攵—2,2&+3)M-〃=(3,-1),

因為(妨+，

則(妨+到僅-6)=3("2)-儂+3)=0,解得2=9.

故答案為：

4

26.(2023?河南濮陽?濮陽一高校考模擬預測)若同=1,卜卜2,8)，則,+陷=.

【答案】瓜

【分析】根據給定條件，求出再利用數量積的運算律求解作答.

【詳解】因為卜卜1,，』=2,a_L(a—2Z>),則〃.(〃—2/>)=J—2a/=1—2a-〃=0，解得。。〃二弓，

所以k+0=\[(a+b)2=\ja~+b+2ab=+2?+2xg=>/6.

故答案為：x/6

27.(2023?全國?高三專題練習)已知向量a，〃滿足。二8=2,若a_L(a+2/)),則cos<0,?+2"=

【答案】昱

2

【分析】根據平面向量垂直的向量表示以及平面向量的夾角公式可求出結果.

【詳解】由可知人(〃+20)=0,即忖2+2〃/=0,可得a.〃=—2,

又人(〃+2〃)=〃2+2卅=6,\a+2Z?|=+4|Z?|2+4ab=V4+16-8=2^,

b\a+2b)673

故cos<"〃+勸>=FFa+2曠2x26-2

故答案為：f

28.(2023?江西?統考模擬預測)已知單位向量〃滿足囚-可=2卜|,則小力=

【答案】7

4

【分析】將|2。-田=2忖兩邊平方，根據數量積的運算律計算可得.

【詳解】因為a,b為單位向量且滿足囚-*2忖，

222

所以(2a-b『=4〃，BP4a-4ab+b=4bf

即4同2-44/+k|=4|/?|,解得

故答案為：7

4

29.(2023?全國?高三專題練習)已知非零向量〃，〃的夾角為60°,何=1,a(a-2b)=-\,則(a+2b)-〃=

【答案】9

【分析】根據數量積的定義結合數量積的運算律，即可求得答案.

【詳解】由忖=1及a,〃夾角為60。可知〃/=WWCOS6()O=；M，

又s(a-2b)=,『一2。力=1一慟=一1,解得忖=2,貝!|〃.方=1,

故(a+26)?力三a?人+21(=1+8—9,

故答案為：9

30.(2023?全國?高三專題練習)已知向量a,匕滿足。=(-2.4),白山=—5,則。在。上的投影向戢。=.

【答案】c

【分析】根據力在。上的投影向量3=l'lcos。?工即可求解.

【詳解】設a與力的夾角為6,〃在?上的投影向量

,.naa-5a-5a1（1/

c=\b\cos0--=\a\\b\conO—^=—^=——=——=--a=\-,-l.

I?|I"|a|2（一2）2+42412J

故答案為：償,-1.

31.（2023.陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知菱形瓦6〃中，歸尸一訓=2,則HG/"=

【答案】-2

【分析】根據菱形對角線互相垂直，結合平面向量數量積公式求出答案.

【詳解】設EG與五〃交于。，則EG_L"7且。是線段產〃的中點，

:]HF\=\EF-EH\=2t由平面向量數量積的幾何意義知，

HGFH=-HGHF=-\HG\\HF，\COSZFHG=-\HF-\HO\=--\HF^=-2.

2

故答案為：-2

32.（2023?陜西西安?校考模擬預測）若平面四邊形ABCD滿足"+CQ=0,（鉆-AO）-4C=0,則該四邊

形一定是.

【答案】菱形

【分析】根據向量相等可證明四邊形為平行四邊形，再由向量數量積為0知對角線互相垂直可知為菱形.

【詳解】.AB+CD=0f:.AB=DC,

所以四邊形ABCD為平行四邊形，

.（AB-AD）AC=09:.DBAC=0f

所以DB垂直AC,所以四邊形ABCD為菱形.

故答案為：菱形.

33.（2023?浙江溫州?統考三模）在平行四邊形A8CD中，若A8=[1,3）,AC=（2,4）,則.

【答案】4

【分析】根據四邊形ABCD為平行四邊形可得AO,然后由數量積的坐標表示可解.

【詳解】因為四邊形ABCD為平行四邊形,

所以AO=AC-AB

又A8=（1,3）,AC=（2,4）

所以45=（2,4）-（1,3）=（1,1）

所以AB/O=lxl+3x|=4

故答案為：4

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.（2023?山西朔州?懷仁市第一中學校校考模擬預測）已知菱形AAC。的邊長為2,且方，則

（AB+AC）MQ的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據向量的數量積公式及運算律，結合菱形圖形特征，計算求解可得.

【詳解】由條件可知/加。=],所以/A8C=寺，

在木。中，由余弦定理4c2=4+4-2x2x2xcos與=12,可得,4=2后，

=f,菱形ABC。的對角線互相垂直，則向量4。與向量AZ）的夾角為

3o

iiuauuu.uunULUuuuuuuuun兀H

則（A3+AC）?AO=AO+4CAO=2x2xcos—+2x2>/5xcos—=8.

''36

故選：D.

2.（2023?河南鄭州?三模）若向量。、〃滿足卜|=忖=,+葉，則向量力與向量的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【分析】已知式平方得=平方求得卜-〃|=6卜|，兩種方法計算岳3-0）后可得結論.

【詳解】[4第=|￡+1,所以,+4=（a+〃）2Td+2a/+/d=1『，又〃3=WWcos卜力），所以

4.=一；忖，，

a-b=y](a-b)'-2??Z?+|ft|=6”,

b.(a-b)=ba-bcos(b,a-b^=cos,

yih(a-b)=ha-h'=--^|?|=--|p,

所以忖9

6cos^,a-Z>^=-^p|,cos^b9a-b^=~~~

又0。4p,a—94180。，所以("a—b)=150。,

故選：D.

3.（2023?湖北?校聯考三模）正/8C的邊長為2,BM=2MC，則AB?AM=（）

A.2B.-C.-D.—

333

【答案】C

【分析】根據6M=2MC，表示出向量3C，再利用向量基本運算法則表示出向量八何，再利用向量額數量

積運算即可.

【詳解】設A8=a,4C=力，如圖所示:

所以4歷=A8+|BC=AB+g(AC-A8)=a+gs-a)=史券

。+2力a2+2a-b

/.AB-AM=a-—3-

4+2x2x2xcos6008

33

故選：C.

4.（2023?全國?高三專題練習）如圖所示，邊長為2的正三角形/WC中，BD=BA+^AC,AE=AC+^CB,

則（）

c

E

DK\

AL

A.-IB.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】由8O=8A+(AC,AE=AC+：C8,用A8,AC表示。石，然后利用數量積的運算律和定義求解.

JJ

【詳解】解：因為8。=m+京。，AE=AC+^CBt

所以DE=AE-AD=AE-AB-BD，

=AC+-CB-AB-BA--AC,

33

=-AB+-AC

33f

所以OE.4?=+

1.0I

=-AB+-ACAB

33f

=：4/+44?網.cos60=2,

故選：D

5.(2023?湖北武漢?統考三模)已知力=(1,2),〃為單位向量，若〃電+卜小卜卜。，貝力=()

fx/52石1(62石］

A-y—B-——

z\/

CD.I--—

\/\/

【答案】D

1

【分析】根據題意結合數量積的定義分析可得反向，進而可得〃=一6，運算求解即可.

【詳解】由題意可得：?-Z?+1?|-|z^=p/|-|z?|cos(a,+1?|?|/?|=|?|*|z>|(cos+1j<0,

因為a，W￡(),則cos(a,/?+lKO,即cos(a,〃)K-1,

可得cos（a,〃）=_l,且可，

則〈0@=兀,即反向，

fa1r>/5rf>/52石］

可得歹"十與’一號

故選：D.

6.（2023春?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學校考專題練習）從蛇中,\AB+AC\=2\AB-AC\，則sinA

的最大值為（）

A-B.逑C.±D.巫

5555

【答案】C

【分析】由|A8+4Cl=2|A8—ACI，兩邊|AB+AC『=4|AB—AC/，整理得到

\0\AB\\AC\cosA=3\AB\2+3|/4C|2,結合基本不等式進而得到cosA的最小值，再利用平方關系求解.

【詳解】解：^\AB+AC\=2\AB-AC\?

兩邊同時平方得IA8+AC『=41AB-AC『，

展開整理得10A8-AC=3|A8『+3|AC|2,

即10|4BHAC|COSA=3|A8『+3|4C|2,

31ABi2+3|ACT6.|制時3

,"A-］0?網.|AC|-10.|AB|-|AC|-5）

當且僅當IAB|=|ACI時等號成立.

3

又sin?A+cos2A=1且siiiA>0,「.cosA=g時，

4

所以sinA取最大值

故選：C

7.（2023?四川成都?石室中學校考模擬預測）若〃工均為單位向量，且,=則k的值可能是（）

A.-2