第1頁/共1頁2024北京北師大實驗中學高二（下）期中數學班級____________姓名____________學號____________成績____________考生須知：1.本試卷共4頁,共三道大題,21道小題,答題卡共4頁,滿分150分,考試時間120分鐘.2.在試卷和答題卡上準確填寫班級、姓名、學號.3.試卷答案一律填寫在答題卡上,在試卷上作答無效.4.在答題卡上,選擇題須用鉛筆將選中項涂黑涂滿,其他試題用黑色字跡簽字筆作答.一、選擇題（本大題共10小題,每小題4分,共40分)1.已知等差數列中,,則A.8 B.9 C.12 D.182.已知數列的前項和,則A.16 B.32 C.48 D.643.下列函數中,圖像存在與軸平行的切線的是A. B. C. D.4.函數的導函數為A: B. C. D.5.已知均為等比數列,則下列各項中不一定為等比數列的是A. B. C. D.6.已知數列滿足:.若,則A. B. C. D.7.已知為無窮等差數列,則“存在且,使得”是“存在且,使得”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.記,則A. B. C. D.9.已知函數,記,下列說法中正確的是A.在上單調遞增 B.在上單調遞減C.在上單調遞增,在上單調遞減D.在上單調遞減,在上單調遞增10.已知函數,下列說沖不正確的是A.若,則在上單調遞增 B.若0為的極大值點,則C.的圖像經過一個定點 D.若,則方程有三個不相等的實數根二、填空題(本大題共5小題,、每小題5分,共25分)11.已知等比數列中,,則的公比為___________.12.若函數在區間[1,4]上的平均變化率恰等于其在處的瞬時變化率,則___________;___________.13.設等差數列的公差為,前項和為,已知.(1)若,則___________;(2)若,則的最小值為___________.14.已知函數,則的極大值為___________;的單調遞減區間為___________.15.設為無窮數列,記,其中為常數且.給出下列四個結論:①若,則為單調遞增數列;②若,則為單調遞減數列;③若,則對任意且均存在最大項;④若,則對任意且均存在最小項.其中所有正確結論的序號是____________.三、解答題(本大題共6小題,共85分)16.(本小題滿分14分)已知函數.(I)求在處的切線方程;(II)求的單調區間和極值.17.(本小題滿分13分)已知數列滿足:,且對任意,都有.(I)直接寫出的值;(II)猜想的通項公式,并用數學歸納法證明.18.(本小題滿分15分)已知為等差數列,為等比數列,.(I)求和的通項公式;(II)求的前項和;(III)若對任意,有恒成立,求實數的最小值.19.(本小題滿分13分)某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區的交通現狀,計劃再修建一條連接兩條公路、貼近山區邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為,山區邊界曲線為,計劃修建的公路為,如圖所示.已知M,N為的兩個端點,點到的距離分別為20千米和5千米,點到的距離分別為4千米和25千米,分別以所在的直線為x,y軸,建立平面直角坐標系xOy.假設曲線符合函數（其中a,k為常數）模型.(I)求a,k的值；(II)設公路與曲線相切于點,點的橫坐標為.①求公路所在直線的方程；②當為何值時,公路的長度最短?求如最短長度.20.(本小題滿分15分)已知函數.(I)當時,求的零點;(II)討論在[1,e]上的最大值;(III)是否存在實數,使得對任意,都有?若存在，求的取值范圍;若不存在,說明理由.21.(本小題滿分15分)若項數為的數列滿足:,且存在,使得則稱數列具有性質.(I)①若,寫出所有具有性質的數列;②若,寫出一個具有性質的數列;(II)若,數列具有性質,求的最大項的最小值;(III)已知數列均具有性質,且對任意,當時,都有.記集合,求中元素個數的最小值.

參考答案一、選擇題（每小題4分,共40分)題號12345678910答案BCADAABCBD二、填空題（每小題5分,共25分)題號12345答案②③④三、解答題（共35分）16.解:(I)的定義域為.因此,在處的切線方程為:.化簡得.(II),令,解得或3.當變化時,的變化情況如下表:-13+0-0+極大值極小值因此,的單調遞增區間為;單調遞減區間為.的極大值為,極小值為.17.解:(I).(II)猜想:.(*)下用數學歸納法證明:①當時,(*)成立.②假設時(*)成立,即:.則當時：故(*)對n=k+1也成立.由①②，對任意，(*)成立，即.18.解：(I)設的公差為的公比為.由題知:.解得:,則.解得:.因為各項均為正數,所以.(II)記的前項和為.(III)由題意，恒成立.記則當時，當時，因此因此的最小值為2.19.解:(I)由題意,,解得.(II)曲線.曲線在處的切線方程為,即.切線與坐標軸的交點為.公路的長度滿足:.根據均值不等式,,當且僅當,即時取等.所以當時,公路的長度最短,最短長度為千米.20.解:的定義域為.(I)當時,,零點為.(II).令,則.在區間內,+0-極大值當（即）時,在上單調遞減,.當(即)時,在上,單調遞增,.當(即)時,在上單調遞增,在上單調遞減,.綜上:(略)(III)由(II)知在上,.構造函數,由題意,應使..令,得.1-0+極小值所以.所以使的實數只有,即的取值范圍是.21.解:(I)①或1,3,1或1,3,2；②A4:1,2,4,3；(或A4:1,3,4,3,A4:1,3,5,3)(II)當N=2024時,.由,累加得;①