PAGE6-第2課時等比數列的性質學習目標核心素養1.理解等比中項的概念．(易錯點)2.駕馭等比數列的性質及其應用．(重點)3.嫻熟駕馭等比數列與等差數列的綜合應用．(難點、易錯點)1.通過等比數列性質的學習，培育邏輯推理的素養.2.通過等比數列與等差數列的綜合應用的學習，提升數學運算素養.在等差數列{an}中，通項公式可推廣為an＝am＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)，特殊地，若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.問題：在等比數列中有無類似的性質？1．等比中項定義假如x，G，y是等比數列，那么稱G為x與y的等比中項關系式G2＝xy結論在等比數列中，中間每一項都是它的前一項與后一項的等比中項思索：G是x與y的等比中項的充要條件為G2＝xy嗎？[提示]不是．若G是x與y的等比中項，則G2＝xy，反之不成立．2．等比數列的性質在等比數列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，則as·at＝ap·aq.(1)特殊地，當2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)時，ap·aq＝aeq\o\al(2,s).(2)對有窮等比數列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….拓展：(1)“子數列”性質對于無窮等比數列{an}，若將其前k項去掉，剩余各項仍為等比數列，首項為ak＋1，公比為q；若取出全部的k的倍數項，組成的數列仍為等比數列，首項為ak，公比為qk.(2)兩個等比數列合成數列的性質若數列{an}，{bn}均為等比數列，c為不等于0的常數，則數列{can}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))也為等比數列．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)隨意兩個實數都有等比中項． ()(2)在等比數列{an}中，a2·a8＝a10. ()(3)若{an}，{bn}都是等比數列，則{an＋bn}是等比數列． ()(4)若數列{an}的奇數項和偶數項分別成等比數列，且公比相同，則{an}是等比數列． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知等比數列{an}，a1＝1，a3＝eq\f(1,9)，則a5等于()A．±eq\f(1,81)B．－eq\f(1,81)C.eq\f(1,81)D．±eq\f(1,2)C[在等比數列中，aeq\o\al(2,3)＝a1·a5，所以a5＝eq\f(a\o\al(2,3),a1)＝eq\f(1,81).]3．(教材P34練習AT3改編)等比數列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于()A．4B．8C．16D．32C[∵{an}是等比數列，∴a2·a6＝aeq\o\al(2,4)＝16.]4．在等比數列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a25[∵{an}是等比數列，∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12，∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7等比中項的應用【例1】(1)假如－1，a，b，c，－9成等比數列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9(2)在等差數列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數列，則eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝________.(1)B(2)eq\f(13,16)[(1)因為b2＝(－1)×(－9)＝9，a2＝－1×b＝－b＞0，所以b＜0，所以b＝－3，且a，c必同號．所以ac＝b2＝9.(2)由題意知a3是a1和a9的等比中項，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，∴eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝eq\f(13d,16d)＝eq\f(13,16).]由等比中項的定義可知：eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)?G2＝ab?G＝±eq\r(ab).這表明只有同號的兩項才有等比中項，并且這兩項的等比中項有兩個，它們互為相反數.反之，若G2＝ab，則eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)，即a，G，b成等比數列.所以a，G，b成等比數列?G2＝abab≠0.eq\O([跟進訓練])1．已知等比數列的前三項和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項．[解]設該等比數列的公比為q，首項為a1，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＋a1q2＝168，,a1q－a1q4＝42，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＋q2＝168，,a1q1－q3＝42.))∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)．上述兩式相除，得q(1－q)＝eq\f(1,4)?q＝eq\f(1,2).∴a1＝eq\f(42,q－q4)＝eq\f(42,\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4)＝96.若G是a5，a7的等比中項，則應有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aeq\o\al(2,1)q10＝962·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10＝9.∴a5，a7的等比中項是±3.等比數列性質的應用【例2】(1)已知數列{an}為等比數列．若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，則a(2)在2和8之間插入三個數，使這五個數成等比數列，則中間三個數的積等于________．(1)6(2)64[(1)∵a2a4＋2a3a5＋∴aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.(2)設a1＝2，a5＝8，∴a3＝eq\r(a1a5)＝4，∴a2·a3·a4＝aeq\o\al(2,3)·a3＝aeq\o\al(3,3)＝43＝64.]在等比數列的有關運算中，經常涉及到次數較高的指數運算.若按常規解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來很麻煩.通過本例可以看出：結合等比數列的性質進行整體變換，會起到化繁為簡的效果.eq\O([跟進訓練])2．在等比數列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10[解]因為數列{an}為等比數列，所以a5a6＝a4a聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8.))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4.))當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))時，q3＝－eq\f(1,2)，故a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7q3＝－7；當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4))時，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.即a1＋a10的值為－7.等比數列的設法與求解[探究問題]1．類比等差數列中相鄰三項的設法，想一想：等比數列中的相鄰三項如何設運算更便利？[提示]可設為eq\f(a,q)，a，aq或a，aq，aq2(q≠0)．2．假如四個數成等比數列，如何設更便利運算？[提示]可設為eq\f(a,q)，a，aq，aq2或eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3(q≠0)．【例3】有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，其次個數與第三個數的和是12，求這四個數．[解]法一：設四個數依次為a－d，a，a＋d，eq\f(a＋d2,a)，由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋\f(a＋d2,a)＝16，,a＋a＋d＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9.,d＝－6.))所以，當a＝4，d＝4時，所求四個數為0,4,8,16；當a＝9，d＝－6時，所求四個數為15,9,3,1.故所求四個數為0,4,8,16或15,9,3,1.法二：設四個數依次為eq\f(2a,q)－a，eq\f(a,q)，a，aq(a≠0)，由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a,q)－a＋aq＝16，,\f(a,q)＋a＝12.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝8，,q＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,q＝\f(1,3).))當a＝8，q＝2時，所求四個數為0,4,8,16；當a＝3，q＝eq\f(1,3)時，所求四個數為15,9,3,1.故所求四個數為0,4,8,16或15,9,3,1.合理地設出所求數中的三個數，依據題意再表示出另一個數是解決這類問題的關鍵，一般地，三個數成等比數列，可設為eq\f(a,q)，a，aq；三個數成等差數列，可設為a－d，a，a＋d.eq\O([跟進訓練])3．三個數成等比數列，其積為512，假如第一個數與第三個數各減去2，則這三個數成等差數列，求這三個數．[解]設三個數依次為eq\f(a,q)，a，aq，∵eq\f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8.∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝eq\f(1,2)，∴這三個數為4,8,16或16,8,4.1．在數列{an}中，aeq\o\al(2,n)＝an－k·an＋k(n，k∈N＋，n>k)是{an}成等比數列的必要不充分條件．2．等比數列的常用性質：(1)假如m＋n＝k＋l，則有aman＝akal；(2)假如m＋n＝2k，am·an＝aeq\o\al(2,k)；(3)若m，n，p成等差數列，am，an，ap成等比數列；(4)在等比數列{an}中，每隔k項(k∈N＋)取出一項，按原來的依次排列，所得的新數列仍為等比數列；(5)假如{an}，{bn}均為等比數列，且公比分別為q1，q2，那么數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))，{|an|}仍是等比數列，且公比分別為eq\f(1,q1)，q1q2，eq\f(q2,q1)，|q1|；(6)等比數列的項的對稱性：在有窮等比數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….3．依據等比中項和等比數列的性質巧設等比數列中的項：當三個數成等比數列且知這三個數的積時，一般將這三個數設為eq\f(a,q)，a，aq；當有五個數成等比數列時，常設為eq\f(a,q2)，eq\f(a,q)，a，aq，aq2.1．對隨意等比數列{an}，下列說法肯定正確的是()A．a1，a3，a9成等比數列B．a2，a3，a6成等比數列C．a2，a4，a8成等比數列D．a3，a6，a9成等比數列D[因為aeq\o\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比數列．]2．等比數列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，則a4與a8的等比中項為()A．±4B．4C．±eq\f(1,4)D.eq\f(1,4)A[a4＝a1q3＝eq\f(1,8)×23＝1，a8＝a1q7＝eq\f(1,8)×27＝16，∴a4與a8的等比中項為±eq\r(16)＝±4.]3．在等比數列{an}中，各項都是正數，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，則a4＋7[∵a6a10＝aeq\o\al(2,8)，a3a5＝aeq\o\al(2,4)，∴aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＝41.又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＋2a4a8＝41＋