廣東省2021-2022學年高三數學一?？荚嚪诸悈R編

專題07立體幾何

一、單選題

1.（2022.廣東茂名.一模）下面四個命題中，其中正確的命題是（）

P”如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行

P2：兩個平面垂直，如果有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與其中

一個平面垂直

P3：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那該直線與交線

平行

P4：一條直線與一個平面內的一條直線平行，則這條直線就與這個平面平行

A.P］與P2B.P2與"3C.P3與P4D.Pl與P3

2.（2021?廣東佛山?一模）如圖，正方體A8CD-A4GA的棱長為1,線段用。上有兩

個動點E,F,且歷=也，則三棱錐環的體積為（）

2

D.不確定

3.（2022?廣東湛江?一模）下圖是戰國時期的一個銅餓，其由兩部分組成，前段是高為

2cm、底面邊長為1cm的正三棱推，后段是高為0.6cm的圓柱，圓柱底面圓與正三棱錐

底面的正三角形內切，則此銅鍍的體積約為（）

A.0.25cm3B.0.65cm3C.O.I5cm3D.0.45cm3

4.（2022?廣東深圳?一模）以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形

旋轉一周所得圓柱的側面積等于（）

A.8nB.4兀C.8D.4

5.（2022?廣東韶關?一模）已知圓錐的側面展開圖為一個面積為2萬的半圓，則該圓錐的

高為（）

A.當B.1C.y/2D.73

二、多選題

6.（2022?廣東茂名?一模）如圖所示，圓柱。。內有一個棱長為2的正方體

ABCD-ABCD，正方體的頂點都在圓柱上下底面的圓周上，E為8。上的動點，則下

面選項正確的是（）

A.△AGE面積的最小值為2收

B.圓柱00/的側面積為8缶

C.異面宜線AD與C/D所成的角為60

D.四面體4/8。。的外接球的表面積為12乃

7.（2021?廣東佛山?一模）如圖，在正方體4BCO-A4GA中，點￡尸分別為A8,

的中點，設過點E,F,2的平面為則下列說法正確的是（）

A.為等邊三角形；

B.平面。交正方體A8CD-A4G。的截面為五邊形；

C.在正方體ABC。-48cA中，存在棱與平面。平行；

D.在正方體ABC。-48cA中，不存在棱與平面。垂直;

8.（2021.廣東佛山?一模）如圖，已知圓錐OP的底面半徑r=G，側面積為2區，內

切球的球心為0-外接球的球心為。2,則下列說法正確的是（）

A.外接球。2的表面積為16萬

B.設內切球。1的半徑為心外接球。2的半徑為小則弓=3彳

C.過點尸作平面。截圓錐OPH勺截面面積的最大值為右

D.設長方體AG為圓錐OP的內接長方體，且該長方體的一個面與圓錐底面重合，則

該長方體體積的最大值為［

9.（2022?廣東惠州?一模）近年來，納米晶的多項技術和方法在水軟化領域均有重要應

用.納米晶體結構眾多，下圖是一種納米晶的結構示意圖，其是由正四面體沿棱的三等

分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為〃的幾何體，則下列說法正確的有（）

A.該結構的納米晶個體的表面積為7島2

B.該結構的納米晶個體的體積為生區〃3

12

C.該結構的納米晶個體外接球的表面積為毛乃，，

D.二面角A/TM廠歷的余弦值為-g

10.（2022?廣東?一模）設小，〃為不同的直線，a,夕為不同的平面，則下列結論中正

確的是（）

A.若加//a,nila,則B.若/n_La,〃_La,則

C.若/〃//a,mu0,則a〃尸D.若加_La,,tn±n,則

11.（2022?廣東湛江?一模）已知正方體ABC。-ABC"的棱長為1,點尸是線段BA上

（不含端點）的任意一點，點E是線段AB的中點，點尸是平面A8CD內一點，則下面

結論中正確的有（）

A.CO〃平面PBC

B.以4為球心、五為半徑的球面與該正方體側面OCGR的交線長是］

C.1石尸1+1尸尸1的最小值是巫

3

D.IEPI+IP用的最小值是］

12.（2022?廣東廣州?一模）在長方體—中，A8=2,M=3,AD=4,

則下列命題為真命題的是（）

A.若直線AG與直線CO所成的角為則tane=|

B.若經過點A的直線/與長方體所有棱所成的角相等，且/與面BCG4交于點M,則

AM=曬

c.若經過點A的直線”與長方體所有面所成的角都為仇則.邛

D.若經過點A的平面4與長方體所有面所成的二面角都為〃，貝人而〃=當

13.（2022?廣東汕頭?一模）如圖，正方體的棱長為小線段3a上有兩

個動點E,F,且所=立〃.則下列結論正確的是（）

2

A.當E與口重合時，異面直線AE與M所成的角為?

B.三棱錐8-AE產的體積為定值

C.E尸在平面內的射影長為

D.當E向已運動時，二面角4-律的平面角保持不變

14.（2022?廣東深圳?一模）如圖，已知直四棱柱ABCD-KFG”的底面是邊長為4的正方

A.當〃2=4時，存在點尸滿足％+產”=8

B.當機=4時，存在唯一的點P滿足N4PM=]

C.當機=4時，滿足BP_LAM的點P的軌跡長度為2夜

D.當〃時，滿足NAPM=]的點P軌跡長度為手產

15.（2022?廣東廣東?一模）在菱形ABC力中，入8=2石，ZABC=6O°,將菱形ABC。

沿對角線4c折成大小為。180。）的二面角8-AC-。，則下列說法正確的是（）

A.四面體ABCO的體積的最大值是3百

B.四面體ABCD中BD的取值范圍是卜&,6）

C.四面體ABCO的表面積的最大值是6+36

D.當夕=60。時，若折成的四面體48C。內接于球O,則球。的體積為當匣乃

27

16.（2022?廣東韶關?一模）在正方體A8CD-A4CQ中，點E/分別是棱的中

點，則下列說法正確的是（）

A.過三點艮反尸的平面截正方體的截面圖形是矩形

B.過三點四、反尸的平面截正方體的截面圖形是等腰梯形

C.AC//平面。］￡尸

-1__

D.^DP=-DC,則平面司平面OjE尸

三、填空題

17.（2022?廣東惠州?一模）若一個圓臺的側面展開圖是半圓面所在的扇環，且扇環的面

積為4兀，圓臺上、下底面圓的半徑分別為心弓（“＜弓），則中一刀=.

18.（2022?廣東?一模）如圖為四棱錐A-D4G的側面展開圖（點G重合為點G）,

其中4）=AF,G,D=G2F,E是線段。戶的中點，請寫出四棱錐4-OEFG中一對一定

相互垂直的異面直線：.（填上你認為正確的一個結論即可，不必考慮所有

可能的情形）

DEF

19.（2022?廣東廣州?一模）已知三棱錐P-A8C的棱AP,48,4c兩兩互相垂直，

AP=A8=AC=2百，以頂點P為球心，4為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面相

交得到四段弧，則最長弧的弧長等于.

20.（2022?廣東韶關?一模）已知三棱柱ABC-A&G的側棱垂直于底面，且所有頂點都

在同一個球面上，若例=4。=2,AB1BC,則此球的體積為.

四、解答題

21.（2022?廣東茂名?一模）如圖，四棱錐P-48CQ中，陽，底面A8CQ,底面ABCO為

平行四邊形，E為CO的中點，AE=；CD.

（1）證明：PC1AD；

（2）若三角形AE。為等邊三角形，B4=AZ>6,F為PB上一點,且PF=：PB,求直線EP

與平面必E所成角的正弦值.

22.（2021?廣東佛山?一模）某商品的包裝紙如圖1,其中菱形A8CD的邊長為3,且

ZABC=60°,AE=AF=0BE=DF=20將包裝紙各三角形沿菱形的邊進行翻

折后，點E,F,M,N匯聚為一點P,恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹.

（1）證明E4_L底面A8CO；

⑵設點7為8C上的點，且二面角8-咫-7的正弦值為^試求PC與平面出7所

14

成角的正弦值.

23.（2022?廣東惠州?一模）如圖1所示，梯形A8co中，AB=BC=CD=2,AD=4,2為

4。的中點，連結BE,AC交于F,將△ABE沿BE折疊，使得平面平面8COE

（如圖2）.

A

AED

(1)求證：AF±CD：

(2)求平面AFC與平面AOE的夾角的余弦值.

24.(2022?廣東?一模)如圖，48co為圓柱00'的軸截面，E尸是圓柱上異于AO,BC

的母線.

⑴證明：5E_L平面￡>￡尸；

(2)若A3=8C=2,當三棱錐DEF的體積最大時，求二面角B-OF-E的余弦值.

25.(2022?廣東湛江?一模)如圖，在三棱柱ABC-AB￡中，平面A8C上平面4CGA，

^ABC=90,AB=BC,四邊形4CGA是菱形，^AC=60,。是AC的中點.

(1)證明：8c幺平面B0A；

⑵求二面角A-OB,-Ct的余弦值.

26.(2022?廣東廣州?一模)如圖，在五面體48CDE中，_L平面ABC,AD//BE,

AD=2BE,AB=BC.

D

⑴求證：平面C￡)E_L平面AC。；

(2)若A8=G，AC=2,五面體ABODE的體枳為求直線CE與平面ABED所成

角的正弦值.

27.(2022?廣東汕頭?一模)如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE為底面

直徑，AE=AD,AABC是底面的內接正三角形，且。0=6,P是線段。。上一點.

(1)是否存在點P,使得必_L平面P8C,若存在，求出尸。的值；若不存在，請說明理

由；

(2)當尸。為何值時，直線砂與面P8C所成的角的正弦值最大.

28.(2022?廣東深圳?一模)如圖，在四棱錐E-4BCO中，AB//CD,AD=CD=BC=^AB,

E在以八B為直徑的半圓上(不包括端點)，平面4JK/平面ABC￡>,M,N分別為OE,

BC的中點.

(1)求證：MN〃平面ABE；

(2)當四棱錐E-A8CO體積最大時，求二面角N-AE-B的余弦值.

29.(2022?廣東廣東?一模)如圖，在四棱錐P-ABC。中，PO_L平面ABCD,四邊形

ABC。是等腰梯形，AB//DC,BC=CD=AD=2fAB=4,M,N分別是48,A。的

中點.

⑴證明：平面PMN_L平面以。；

(2)若二面角C-AB-P的大小為60。，求四棱錐P-ABCD的體積.

30.(2022?廣東韶關?一模)如圖，在四棱錐M-ABC。中，底面A8CD是直角梯形，AB

HCD'NADC=90,AMBC是以為斜邊的等腰直角三角形，E為AB中點,

AB=2AD=2DC=2ME=2&

⑴求證：BCA.ME；

AD1

(2)點尸為棱AM上一點，若F=求二面角尸-A的余弦值.

AM2

參考答案：

1.D

【分析】利用面面平行的性質定埋判斷A；由面面垂直的性質定埋判斷B；利用線面平行的

性質定理判斷C；利用線面平行的判定定理判斷D.

【詳解】對于Pi，利用面面平行的性質定理可知R正確；

對于〃2,面面垂直的性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的

直線垂直于另一個平面，若這條直線不在這兩個平面內時生錯誤；

對于P3,利用線面平行的性質定理可知P3正確；

對于外，線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與

此平面平行，故這條直線在平面內就錯了，故區錯誤；

故選：D

2.A

［分析］根據題意可知B、D\3平面A5CD，而E,尸在線段用2上運動：則EFM平面AHCD,

從而得出點B到直線4A的距離不變，求出ABE戶的面積，再根據線面垂直的判定定理可證

出4O_L平面BE/,得出點A到平面B所的距離為AO=YZ,最后利用棱錐的體積公式求

2

出三棱錐A-8E尸的體積.

【詳解】解：由題可知，正方體A8CO-A8CA的校長為1,

則用口〃平面4BC。，又E,尸在線段KA上運動，

二?E尸〃平面4BCD,

???點B到直線耳R的距離不變，

由正方體的性質可知8媯J,平面AB?。，則8q_1￡尸，

而EF力,8身=1,

2

故△切方的面積為,,

224

又由正方體可知，ACA.BD,AC上BB］,且BDcBB1=B,

」.AC工平面84口。，則AC_L平面6E尸，

設4c與80交于點。，則A0_L平面8石尸，

v點A到平面BEF的距離為A0=立，

2

,,1>/2V21

A-BEF34212

故選：A.

3.D

【分析】先求出內切圓半徑為r,再分別利用三棱錐體積與圓柱體積公式即可求出總體積.

【詳解】因為正三棱錐的底面邊長為1,設其內切圓半徑為八由等面積法，可得：

lxlxlxsin600=l(l+l+l)r,解得：,=無，所以其內切圓半徑為3.

22''66

由三棱錐體積與圓柱體積公式可得：V=|xixlxlxsin60°x2+^-x^^x0.6?0.45(cm3).

故選：D.

4.A

【分析】根據題意求出圓柱的底面半徑和高，直接求側面枳即可.

【詳解】以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周得到的旋轉體為圓柱，

其底面半徑『2,高h=2,

故其側面積為S=2RX/Z=2;TX2X2=8T.

故選：A

5.D

【分析】根據圓錐側面展開圖與本身圓錐的關系進行求解即可.

【詳解】設圓錐的母線長為/,圓錐的底面半徑為，

由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長,

冗I=2力r

則＜解得/=1,八=4,

—lx2兀丫-In

2

則圓錐的高力=必于=百.

故選：D.

6.ACD

【分析】A根據圓柱休的性質知：E與O重合時△ACZ的AC邊上的高最小，即可判斷；

B由圓柱體的側面積求法求側面積；C確定直線4D與。。所成角的平面角，即可確定大

??；D四面體A/B。。的外接球和正方體的外接球同一個球體，利用球體表面積公式求面積.

【詳解1A：若E與0重合時,△AGE的AG邊上的高最小，所以S^GE=gx2夜x2=2夜，

正確；

B：圓柱00,的底面圓的半徑為正方形的48CO的對角線2夜，母線為2,所以圓柱。。/

的側面積為2仃/=4①r，錯誤.

C：直線AD#BG,所以/BCR為直線4n與。。所成的角，因為三角形8GO為等邊

三角形，所以異面直線A。/與。。所成的角為60,，正確；

A

4Ci

/叫：//

B

D：四面體48。。的外接球和正方體的外接球同一個球體，正方體的對角線為26就是球

的直徑，所以四面體48。。的外接球的表面積為121，正確.

故選：ACD.

7.BD

【分析】設正方體棱長為2,求出廣〃各邊長可判斷A；根據平面的性質作出截面可判

斷B；分別判斷三組平行線與。的位置關系即可判斷CD.

【詳解】對A,設正方體棱長為2,則易得七〃=石，放=卡,〃尸=3,故△EFR不是等邊

三角形，故A錯誤；

對B,如圖，取A8中點G,易得RE//DG,取。。中點H,連接8〃，則易得B〃〃￡)G,

再取C”中點連接則FM//BH,所以FM//RE,所以尸M是平面a與正方體底

面A8CD的交線，延長M產，與48的延長線交于N,連接EN,交54于「，則可得五邊

形REPFM即為平面a交正方體ABCD-ABCR的截面，故B正確；

Nr

對C,因為BCca=￡8Caa,所以AR,4G都不與a平行，又

Agca=E，A4<za,所以44,AaCD,CQ都不與Q平行，因為ca=aa,

所以￡>A，CG，3縱例都不與a平行，故不存在棱與平面。平行，故C錯誤；

對D,顯然A片與不垂直，所以A耳與。不垂直，則4B,C￡>，GA都不與a垂直；

因為與。/不垂直，所以。。與a不垂直，則CG，B同都不與a垂直；

因為與RE不垂直，所以與。不垂直，則BCARBG都不與。垂直；

所以不存在棱與平面a垂直，故D正確.

故選：BD.

8.AD

【分析】結合底面半徑和側面積求出母線，由外接和內接的性質，結合幾何關系和勾股定理

即可求解、弓，進而求出外接球半徑；由〃〈廠可判斷過點P作平面。截圓錐0P的截面面積

最大時對應三角形為等腰直角三角形，結合面積公式可求解；由圓的內接四邊形面積最大時

為正方形，確定上下底面為正方形，列出關于V的關系式，結合導數即可求解.

【詳解】因為5=2岳，解得/=2,即圓錐母線長為2,則高力=1,

設圓錐外接球半徑為弓，如圖，

則對dOQ由勾股定理得A。”9+0022,即胃=(6)2+。一與丫啰=2,外接球面積為

S=4/n;2=16乃，故A正確；

設內切球Q的半徑為小已。垂直于交R4于點。，如圖，

222

則對△尸。。,尸0；=。0；+「。2,BP(l-/i)=/;+(2->/3),解得-3,故B項錯誤;

過點尸作平面。截圓錐。尸的截面面積的最大時，如圖,

p

因為力〈，故恰好△R4C為等腰直角三角形時取到，點C在圓錐底面上，5AMC=1X2X2=2,

故C項錯誤;

設圓錐0P有一內接長方體，其中一個上頂點為巴上平面中心為。3芭0=4,如圖,

理力"=也-2抵2,當今

長方體體積為V=g(24)J1-時，丫'>0出￡

時,V-<0,故4、?信)專卜？

故D正確，

故選：AD

9.ABD

【分析】對于A：該幾何體是由4個正三角形和4個正六邊形構成，代公式計算即可.

對于B：棱長為。的正四面體的高為逅〃，根據割補法代公式計算.

3

對于C：設外接球球心為。，三角形的中心為。，正六邊形BzMGGAR的中心為

?！ǎ瑒t。在oo〃上，計算可得；

對于D：二面角A-A2A3-B3是原正四面體側面和底面成角的補角，計算可得.

【詳解】對于A：該幾何體是由4個正三角形和4個正六邊形構成，所以表面積

S=4x—n2+4x6x—w2=7-^/f?故A正確；

44

對于B：棱長為。的正四面體的高為逅”，所以

3

V」.近.（3〃）2.邁.（3〃）-42.直〃2.邁〃=空瓦3故B正確；

對于C：設外接球球心為。，三角形△HA2%的中心為。，正六邊形星用GG2。的中心為

（7,則0在<70〃上，幾何體上下底面距離為倔-半〃=亞〃，可得

口^+而=7=半〃，計算整理得R2=日〃2,因此該兒何體的外接球表面積為

S=4^2=^n2,故C錯誤；

對于D：二面角A-4A-4為是原正四面體側面和底面成角的補角，如圖，

過正四面體的頂點丫作V0JL平面ABC于。點，易知。為AABC的中心，延長B0交AC于。

點，則。為AC的中點，連接VD,設正四面體的校長為2,則BO=2sin?=G,所以

B0=ZBD=空,0D==BD=@,因為V0J?平面ABC,所以V0_LAC,又AC_LB。，

3333

VOcBD=O,所以AC_L平面VW,VDu平面VB￡>,所以AC_LVD,所以NVD8即為所

求側面％。與底面A8C所成二面角的平面角，在RtAVOQ中，cosZVDB=^=^=1

VDBD3

所以側面與底面所成二面角的平面角的余弦值為［所以二面角A/-A2A廠a的余弦值為-

JJ

故D正確.

故選：ABD.

10.BD

【分析】根據線線、線面、面面的位置關系，逐一分析各選項即可得答案.

【詳解】解：對A：若m//a,則m//〃或小與〃相交或，"與〃異面，故選項A錯誤；

對B：若用_La,〃_La,則ni//n,故選項B正確；

對C：若m//a,mu。,則a〃￡或a與￡相交，故選項C正確；

對D：若〃_L夕，加_1_〃，則a_!_/?,故選項D正確.

故選：BD.

11.ABD

【分析】對于A選項：利用線面平行的判定定理證明出8〃平面尸BG，即可判斷；

對于B選項：先作出球面與側面DCGR的交線為弧G。，再求弧長；

對于C,。選項：將沿3。翻折到與5A在同一平面作EG_L8。于點G,交BD,

于P.利用幾何法判斷出IEPI+IP/l=EG|最小.解三角形求出最小值，即可判斷C、D.

【詳解】對于A選項：

因為平面P8C1即為平面又因為GR〃CD,且GRu平面ABC；。，COU平面

ABC\D\,所以。〃平面P4G，故A正確;

對于B選項：

該球面與側面ocqA的交線為弧G。，是以A為圓心，圓心角為］為弧，所以弧長為

TC<7CU_Fr

--1=—?故B止確;

22

對于C,。選項:

將△08。沿8A翻折到與△ABA在同一平面且點吊，。在直線5〃的異側，作EG_LBO于

點G,交8R于尸.由兩點之間，直線最短.可得G、/重合時，|EP|+|PF|=|EG|最小.此時,

設NABR=6,則tan。=3=3=^，

”、52

2sincos0

sinZ￡5G=sin2^=2sin^cos^=

sin20+cos20

在AEAG中，怛8|=1%陽=也，所以|EG|=|E8|sinN￡BG=2&x也=2,則|EP|+|PF|的

22323

2

最小值是:，故C不正確，D正確.

故選:ABD.

12.ACD

【分析】A根據長方體的性質找到直線4cl與直線C。所成角的平面角即可；B構建空間直

角坐標系，根據線線角相等，結合空間向量夾角的坐標表示求8S<羽,麗>=

cos<AB,AM>=cos<AD,AM>,即可求M坐標，進而確定線段長：C、D將長方體補為

以4為棱長的正方體，根據描述找到對應的直線平面分結合正方體性質求線面角、面

面角的正弦值.

【詳解】A：如下圖，直線AG與直線CO所成角，即為直線AG與直線A8所成角N84G，

則tane=tan4AC[='或二』，正確；

AB2

D

B：構建如下圖示的坐標系，過A的直線，與長方體所有棱所成的角相等，與面BCG4交于

”(82/)且”,2>0,又羽=(0,0,3),而=(0,2,0),而=(4,0,0),則

cos<AA^,AM>=―/------=cos<AB,AM>=-/------=

y/x2+4+Z2yjx2+4+z2

cos<AD,AM>=,X,故x=z=2,貝石，錯誤.

\Jx+4+2*

C：如下圖，過A的直線機與長方體所有面所成的角都為仇則直線用為以4為棱長的正方

體的體對角線AM,ttsin<9=—,正確；

3

D：如下圖，過A的平面少與長方體所有面所成的二面角都為〃，只需面力與以4為棱長的

正方體中相鄰的三條棱頂點所在平面平行，如面灰)/，故cos〃=*=4，則sin〃=，a,

S&ADE33

正確.

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛：根據長方體或將其補全為正方體，結合各選項線線角、線面角相等判

斷直線或平面的位置，進而求對應角的函數值.

13.BCD

【分析】A：當E與A重合，8。中點為0并連接A。，可得。0/"尸，即4。。為異面

直線AE與防所成角的平面角，應用余弦定理求余弦值，即可確定大?。籅：由%

及A到面防㈤及、8到直線瓦。的距離為定值即可判斷；C：所在平面內的射影在

A片上，即可求射影長；D：由二面角人一所一8為二面角A-4A-8即可判斷.

【詳解】A：當石與。重合時，因為EF=^a，此時尸為4q的中點，記8。中點為0,

2

連接。。，由正方體性質可知，BOUD\F,BO=D\F,所以四邊形為平行四邊形,

所以￡>0//8b,又〃。=當，AD.=V2a,八。=與，所以

3a2a1

——+2a2~---0

cosZ.ADfi=—~~f=-----=—錯誤:

2①缶2

2

B：VBFEF=VA_BEF，易知點4到平面BBQ。的距離和點B到宜線3Q的距離為定值，所以三

棱錐的體積為定值，正確;

c易知幺即號放在平面94內的射影在A4上，所以射影長為與

正確;

D：二面角A-￡F—8,即為二面角4-片。-8,顯然其平面角不變，正確.

故選：BCD

14.BCD

【分析】建立空間直角坐標系，結合選項逐個驗證，利用對稱點可以判斷A,利用垂直求出

P可以判斷B,求出點尸軌跡長度可判定C,D.

【詳解】以。為原點，DAOC,。〃所在直線分別為x，y，z軸，建系如圖，

對于選項A,當m=4時，M(0,4,2),A(4,0,0),

設點A關于平面同‘G”的對稱點為4,則A'(4,0,8),|AfM\=716+16+36=768>8.

所以租+必/="'+必/之4知>8.故A不正確.

LUIUUU

對于選項B,設尸(工,M4),則A尸=(x-4,y,4),MP=(x,y-4,2),

由Q.麗=0得爐-4犬+)，2-4>8=0,BP(x-2)24-(y-2)2=0,解得了=y=2,

所以存在唯一的點P滿足NAPM=],故B正確.

111X1UU

對于選項C,8(4,4,0),設尸(x,y,4),則AM=(Y,4,2),5Q=(x—4,y—4,4),

由潴?/=0得x-y-2=0.在平面瓦'G"中，建立平面直角坐標系，如圖，

G

則尸的軌跡方程x-y-2=0表示的軌跡就是線段NQ,而|闋=2a,故C正確.

對于選項D,當帆=建時，M(0,4,手，設P乂

3

由而?訴=0得/一4工十/一4丁+3=0,g[J(x-2)2+(y-2)2=y,

在平面EFGH中，建立平面直角坐標系，如圖，

記(Ip+(y4=與的圓心為。，與G尸交于S,T；

令丁=4,可得百=2+孚,々=2-手，而司-勺=竽，所以NSOT=g,其對應的圓弧

長度為拽1；

9

根據對稱性可知點P軌跡長度為2兀x遞-4x逅=5電：故D正確.

399

故選：BCD.

【點睛】立體幾何中的動點問題，常常采用坐標法，把立體幾何問題轉化為平面問題，結合

解析幾何的相關知識進行求解.

15.AD

【分析】求出當6=90時，四面體ABC。的體積最大，利用錐體的體積公式可判斷A選項

的正誤；利用余弦定理可判斷B選項的正誤；利用2840=90時，四面體A5CD的表面積

的最大，可判斷C選項的正誤；求出球。的半徑，利用球體的體積公式可判斷D選項的正

誤.

【詳解】對于A選項，?.?4C=AB=2G，乙48C=60，則AAB。為等邊三角形，

取AC的中點E,則跳:_LAC,同理可知，“18為等邊三角形，所以，DEJ.AC,

且8E=Z)E=275sin60=3,S-=!AC.BE=3也，

所以，二面角3—AC—O的平面角為6=N8EZ),

設點。到平面ABC的距離為"，則d=DEsin0=3sin6,

匕)TBC=：SA八8c?d=；x3j5x3sin?=3Gsin?K3ji，當且僅當6=90：時，等號成立,

即四面體48。的體枳的最大值是培，A選項正確；

對于B選項，由余弦定理可得BD2=BE2+DE2-2BE-DEcos6>=18-18cos<9e(0,36),

所以，80e(0,6),B選項錯誤；

對于C選項，^CD=S^=3V3,

?.AB=AD=BC=CDfBD=BD,:./\ABD合4CBD,

所以，SMBD=S^BD=；4B,4Dsin/BAD=6sin/.BAD46,

因此，四面體4BCD的表面積的最大值是2x36+2x6=12+6石，C選項錯誤；

對于D選項，設M、N分別為AABC、”16的外心，則硒=EM=：BE=1,

在平面BDE內過點M作BE的垂線與過點N作DE的垂線交于點0,

-BEA.AC,DE1AC,BEcDE=E,平面8OE,

?;0Mu平面BDE,..OMIAC,

:OM工BE,BEc4C=E,/.OM，平面ABC,同理可得ON_L平面ACO,

則。為四面體ABC。的外接球球心，

連接OE,?：EM=EN,OE=OE,"ME=4ONE=%,:AOMEMONE,

所以，NOEM=g=30,,,OE=-^—=—,

2cos303

,.AC_L平面BDE,OEu平面3。石，.\OE±AC,

:.OA=y/OE2+AE2=^,即球。的半徑為R=叵，

33

因此，球。的體積為丫二3九肥二必畫；r,D選項正確.

327

故選：AD.

D

16.AD

【分析】對于A：先證明出平行四邊形A3FG即為截面，由AB_L即即可判斷；

對于B：先做出截面EGF場再判斷出EGF昌是梯形，但不等腰，即可判斷；

對于C：先做出正方體的截面為五邊形RG砂"'再證明出C4不平行平面。￡尸，即可判斷；

對于D：先證明出￡7/_1面587，再利用面面垂直的判定定理，即可判斷.

【詳解】對于A：如圖（1）所示，因為線段跖在棱A8上，過尸作棱C。的平行線，交。A

于點G,顯然G為的中點，因為何后=加，所以初=喬，所以平行四邊形ABR即

為截面，因為/，所以截面圖形是矩形，故A正確；

對于B：如圖（2）所示，作CO中點H,連接G",可知泵=耳后，作C"中點G,連接

FG,在AG"。中，由三角形中位線定理可知而可，所以而=3庭，所以KGF4即

為截面，由面面平行的性質定理可知E片平行G產，且GE關為F,所以EG"鳥是梯形，但不

等腰，故B錯誤；

對于C：如圖（3）所示，延長A9交DC延長線于點M,連接ME,交BC于點H,交04

于點N,連接AN,交AA于點G，五邊形RGE"產為過三點馬，反產的平面截正方體的截

面，其中G為4A的四等分點，且靠近A點，其中“為5。的三等分點，且靠近B點，由于

直線C4與E4相交，而石"u面2石尸，所以C4不平行平面。浴尸，故C錯誤；

對于D：如圖（4）所示，當。時，由E為AB中點，其中“為靠近B的8C的三等

CPBC

分點，所以一=—，所以ABEH?△（7期,所以/BHE=NC尸8.因為/CBP+ZCPB=90°,

HBBE

所以NBHE+NCBP=90°,所以￡"_LAP.在正方體中，BBJ面ABCD,所以叫_LE〃.

因為匹C|BP=B,所以面網P.由面面垂直的判定定理，所以平面平面。痔.

故D正確.

【點睛】作幾何體截面的方法：

（1）利用平行直線找截面；

（2）利用相交直線找截面

17.2

【分析】先求得圓臺的母線長，然后根據圓臺的側面積公式列方程，化簡求得I-/.

【詳解】圓臺的側面展開圖是半圓面所在的扇環，

所以圓臺的母線長為迎-出=2&-2、

nit

圓臺的側面積為網用金、（24一24）=2冗（弓2一42）=4兀，

所以弓2一片=2.

故答案為：2

18.AE和（AE和￡>G,AE和G產，AG和。尸）（寫出其中一對即可）

【分析】如圖所示，連接。尸和G%相交于點0,連接AO,證明。尸/平面AOE,即得解.

【詳解】解：如圖所示，連接OF和GE,相交于點。，連接40.

因為拉G=FG,DE=EF,GE=GE,

所以△GOE二AGFE,所以NDGOMNRTO,

又￡）G=Gb\GO=GO,所以ADGO主△GAO,

所以。。=。?，NGOD=NGOF=',所以。F_LOE.

因為AD=AF,OD=OF,所以40J_0尸.

又因為AOCIOE=。AO,OEu平面AOE,

所以平面AOE,又AEu平面AOE,

所以。尸1AE.

故答案為：AE和。F.

A

【分析】將三棱錐尸-ABC補全為棱長為26的正方體，根據已知條件判斷棱錐各面與球面

相交所成圓弧的圓心、半徑及對應圓心角，進而求出弧長，即可知最長弧長.

【詳解】由題設，將三棱錐P-A3C補全為棱長為26的正方體，如下圖示：

若40=4尸=2,則產=4：即。，尸在尸為球心，4為半徑的球面上，且。為底面中

心，

又OA=">2,OP=3及>4，

所以，面48C與球面所成弧是以A為圓心，2為半役的四分之一圓弧，敵弧長為不：

面P3C與與球面所成弧是以尸為圓心，4為半徑且圓心角為？的圓弧，故弧長為年；

面P8APCA與球面所成弧是以尸為圓心，4為半徑且圓心角為春的圓弧，故弧長為?；

所以最長弧的弧長為三.

47r

故答案為：—.

【分析】先求得△A8C的外接圓的半徑，再由勾股定理求得球半徑，根據球的體積公式可求

得答案.

【詳解】解：設AABC的外接圓的圓心為。，半徑為，球的半徑為R,球心為。,

底面AABC為直角三角形，故其外接圓圓心。在斜邊中點處，則r=1,

又°。《朋6在.△08中'人臺=及,唳=乎巾=竽人

故答案為：華”.

21.(1)證明見解析

⑵得

【分析】(1)由題意可得曰_LAD，再證明AC_L4。，從而可得AD_L平面尸AC,從而證

明結論.

(2)由(1)得，以點A為原點，分別以4。、AD.4尸為“、y、z軸建立空間坐標系，利

用向量法即可求解.

(1)

由H4_L平面ABC。，ADu平面A6CQ

..PAA.AD

又4E=gc。,E為CO的中點

ZCAE=NECA,NEAD=ZEDA

又ZC4E+ZECA+ZEAD+ZEDA=TT

Z.CAE+ZEAD=—,:.AC±AD.

2

又R4p|AC=A,PhACu平面PAC

.?.AD_L平面PAC.又PCuPAC

ADA.PC.

(2)

由(l)得，以點A為原點,分別以AC、AD.AP為x、y、z軸建立空間坐標系.

因為三角形4EO為等邊三角形，以=4)=6,

CD=\2,AC=6&

...A(0,0,0),8(66,-6,0),C(6有,0,0),0(0,6,0),P(0,0,6)

UllLUUUUUUf-

:.FE=(區5,-4),AP=(0,0,6),AE=(6V3,6,0).

設平面布七的一個法向量為

rt/4P=06z=0

^[n-AE=0得，r

6y/3x+6y=0

令x=l,則y=-6,z=0

設直線所與平面布￡所成的角為。

uurrI石-56二底

二.sin0=cos<FEn>=

y2x2而一11

22.（1）證明見解析

⑵當

【分析】（1）由翻折之前的邊長美系得4BJLAE,AD1AF,進而得翻折后有Q4_LAB,

PALAD,進而得P4_L底面A8CD；

（2）解法一：以點A為原點，A8為x軸，過點4作A8的垂線為y軸，AP為z軸建立空間

直角坐標系，進而得NB4T為二面角-丁的平面角，再結合正弦定理得笈T=l,再寫

坐標，利用坐標法求解即可.

解法二：由（1）知NBA7為二面知8-上4一丁的平面角，即sinNBATu4*,進而由正弦

14

定理得取=1,再由余弦定理可得AT=夕，設過點C作平面出丁的垂線，垂足為。，連接

PQ，所以N"。為尸C與面布丁所成角，再利用/一方=匕e/得。。=詼，進而得答案；

7

解法三：由（1）得N8AT為二面角B—R4—4的平面角，即sin/84T=4史，進而得

14

cos/BATu斗，sinNC4r=g,再過點。作CQ垂直于47于Q，連接CQ、AC

進而證明CQ，面外。再根據幾何關系求解即可.

（1）

由菱形ABCD的邊長為3,AE=A尸=J5,BE=DF=2yf3

可得：BE^A^+AE2^即有A^_LAE

同理。尸