PAGE1-2.2.1綜合法與分析法自主預習·探新知情景引入夏天，在日本東京的新宿區的一幢公寓內，發生了一宗兇殺案，時間是下午4時左右．警方經過三天的深化調查后，最終拘捕到一個與案件有關的疑犯，但是他向警方做不在現場證明時，說：“警察先生，事發當天，我一個人在箱根游玩．直至下午4時左右，我到蘆之湖劃船．當時適值雨后天晴，我看到富士山旁西面的天空上，橫掛著一條漂亮的彩虹，所以兇手是別人，不是我！”你知道疑犯的話露出了什么馬腳嗎？警方是怎樣證明他在說謊的呢？新知導學1.綜合法的定義利用__已知條件__和某些數學__定義__、__公理__、__定理__等，經過一系列的__推理論證__，最終推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫作綜合法．2．綜合法的特點從“已知”看“__可知__”，逐步推向“__未知__”，其逐步推理，是由__因__導__果__，事實上是找尋“已知”的__必要__條件．3．綜合法的基本思路用__P__表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，__Q__表示所要證明的結論，則綜合法的推理形式為eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)其邏輯依據是三段論式演繹推理．4．分析法定義從要證明的__結論__動身，逐步尋求使它成立的__充分__條件，直至最終，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)，這種證明方法叫做分析法．5．分析法的特點分析法是綜合法的逆過程，即從“未知”看“__需知__”，執果索因，逐步靠攏“__已知__”，其逐步推理，事實上是要找尋“結論”的__充分__條件．分析法的推理過程也屬于演繹推理，每一步推理都是嚴密的邏輯推理．6．分析法的基本思路分析法的基本思路是“執果索因”，從待證結論或需求問題動身，一步一步地探究下去，最終得到一個明顯成立的條件．若用__P__表示要證明的結論，則分析法的推理形式為eq\x(P?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個明顯成立的條件)預習自測1．(2024·煙臺期中)分析法是從要證的結論動身，尋求使它成立的(A)A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[解析]∵分析法是逆向逐步找這個結論成立須要具備的充分條件；∴分析法是從要證的結論動身，尋求使它成立的充分條件．故選A．2．(2024·桃城區校級期中)下列表述：①綜合法是由因導果法；②綜合法是順推法；③分析法是執果索因法；④分析法是間接證明法；⑤分析法是逆推法．其中正確的語句是(C)A．2個 B．3個C．4個 D．5個[解析]依據綜合法的定義可得，綜合法是執因導果法，是順推法，故①②正確．依據分析法的定義可得，分析法是執果索因法，是干脆證法，是逆推法，故③⑤正確，④不正確．故選C．3．設a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值為__9__.[解析]∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,c)＋eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝9，當且僅當a＝b＝c＝eq\f(1,3)時等號成立．4．設a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab[證明]因為a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2所以3a3＋2b3－(3a2b＋2ab＝3a2(a－b)＋2b2(b－a＝(3a2－2b2)(a－b即3a3＋2b3≥3a2b＋2ab互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?用綜合法證明不等式典例1(1)若a>b>0，則下列不等式中，總成立的是(A)A．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)(2)在不等式“a2＋b2≥2ab”的證明中：因為a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0.所以a2＋b2≥2ab.該證明用的方法是__綜合法__.(3)已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1.求證：a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3).[解析](1)因為a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，所以a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a).(2)由題設知：本題中證明是從已知的不等式(a＋b)2≥0動身，經過推理得出結論，是綜合法．(3)因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.于是(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤a2＋b2＋c2＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＝3(a2＋b2＋c2)，所以a2＋b2＋c2≥eq\f(1,3)(a＋b＋c)2＝eq\f(1,3)，當且僅當a＝b＝c時取等號，原式得證．『規律總結』綜合法證明不等式的主要依據綜合法證明不等式所依靠的主要是不等式的基本性質和已知的重要不等式，其中常用的有以下幾個：①a2≥0(a∈R)；②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其變形有a2＋b2≥2ab，(eq\f(a＋b,2))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)；③若a，b∈(0，＋∞)，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，特殊地，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac(a，b，c∈R)，由不等式a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca⑤(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)，體現了a＋b＋c，a2＋b2＋c2與ab＋bc＋ac這三個式子之間的關系．┃┃跟蹤練習1__■在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A＝eq\f(π,4)，bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a.求證：B－C＝eq\f(π,2).[證明]由bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a，應用正弦定理，得sinBsin(eq\f(π,4)＋C)－sinCsin(eq\f(π,4)＋B)＝sinA，sinB(eq\f(\r(2),2)sinC＋eq\f(\r(2),2)cosC)－sinC(eq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB)＝eq\f(\r(2),2).整理得sinBcosC－cosBsinC＝1.即sin(B－C)＝1.由于0<B，C<eq\f(3π,4)，從而B－C＝eq\f(π,2).命題方向?分析法的應用典例2設a、b為實數，求證：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．[證明]當a＋b≤0時，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．當a＋b＞0時，用分析法證明如下：要證eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需證(eq\r(a2＋b2))2≥[eq\f(\r(2),2)(a＋b)]2.即證a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab對一切實數恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．綜上所述，不等式得證．『規律總結』分析法證明不等式的依據、方法與技巧．(1)解題依據：分析法證明不等式的依據是不等式的基本性質、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論；(2)適用范圍：對于一些條件困難，結構簡潔的不等式的證明，常常用綜合法．而對于一些條件簡潔、結論困難的不等式的證明，常用分析法；(3)思路方法：分析法證明不等式的思路是從要證的不等式動身，逐步尋求使它成立的充分條件，最終得到的充分條件是已知(或已證)的不等式；(4)應用技巧：用分析法證明數學命題時，肯定要恰當地用好“要證”“只需證”“即證”等詞語．┃┃跟蹤練習2__■已知a>5，求證：eq\r(a－5)－eq\r(a－3)<eq\r(a－2)－eq\r(a).[解析]要證eq\r(a－5)－eq\r(a－3)<eq\r(a－2)－eq\r(a)，只需證eq\r(a－5)＋eq\r(a)<eq\r(a－2)＋eq\r(a－3)，只需證(eq\r(a－5)＋eq\r(a))2<(eq\r(a－2)＋eq\r(a－3))2，即2a＋2eq\r(a2－5a)－5<2a－5＋2eq\r(a2－5a＋6)，即只需證eq\r(a2－5a)<eq\r(a2－5a＋6)，只需證a2－5a<a2－5即證0<6，此不等式恒成立，所以原不等式成立．命題方向?分析法證明不等式典例3(1)要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明(D)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－eq\f(a4＋b4,2)≤0C．eq\f(a＋b2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0(2)(2024·鄭州高二檢測)已知非零向量a⊥b，證明：eq\f(|a|＋|b|,|a－b|)≤eq\r(2).[解析](1)∵a2＋b2－1－a2b2＝(a2－a2b2)＋(b2－1)＝a2(1－b2)＋(b2－1)＝(a2－1)(1－b2)＝－(a2－1)(b2－1)．∴要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證－(a2－1)(b2－1)≤0，即證(a2－1)(b2－1)≥0.(2)∵a⊥b，∴a·b＝0，要證eq\f(|a|＋|b|,|a－b|)≤eq\r(2).只需證：|a|＋|b|≤eq\r(2)|a－b|平方得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)只需證：|a|2＋|b|2－2|a|·|b|≥0成立．即只需證：(|a|－|b|)2≥0，它明顯成立．故原不等式得證．『規律總結』分析法證明不等式的方法與技巧范圍：對于一些條件困難，結論簡潔的不等式的證明，常常用綜合法．而對于一些條件簡潔、結論困難的不等式的證明，常用分析法方法：分析法證明不等式的思路是從要證明的不等式動身，逐步尋求它成立的充分條件，最終得到的充分條件是已知(或已證)的不等式應用：用分析法證明數學命題時，肯定要恰當地用好“要證”“只需證”“即證”等詞語．特殊提示：逆向思索是分析法證明的立體思路，通過反推，逐步探尋使結論成立的充分條件，正確把握轉化方向，使問題得以解決．切記“逆向”“反推”，否則會出現錯誤．┃┃跟蹤練習3__■已知函數f(x)＝x2－2x＋2，若m>n>1，求證：f(m)＋f(n)>2f(eq\f(m＋n,2))．[解析]要證明f(m)＋f(n)>2f(eq\f(m＋n,2))，即證(m2－2m＋2)＋(n2－2n＋2)>2[(eq\f(m＋n,2))2－2·eq\f(m＋n,2)＋2]，即證2m2＋2n2>m2＋2mn＋n只需證m2＋n2>2mn，即證(m－n)2>0，因為m>n>1，所以(m－n)2>0明顯成立，故原不等式成立．學科核心素養利用分析法、綜合法證明問題綜合法和分析法各有優缺點，從尋求解題思路來看，綜合法由因導果，分析法執果索因．就表達證明過程而論，綜合法形式簡潔，條理清楚，分析法敘述煩瑣，在實際解題時，常常把分析法和綜合法綜合起來運用．先利用分析法找尋解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程．典例4已知三角形ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且三個內角A，B，C構成等差數列，求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).[思路分析]本題條件較為簡潔，但結論中的等式較為困難，故可首先用分析法，將欲證等式進行轉化，轉化為一個較為簡潔的式子，然后再從已知條件入手，結合余弦定理，推導出這個式子即可得證．[解析]要證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即證eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化簡得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，即只需證明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需證明c2＋a2＝b2＋ac.因為三個內角A，B，C構成等差數列，所以2B＝A＋C，又因為A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，即B＝60°，由余弦定理可得cos60°＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，所以c2＋a2－b2＝ac，即c2＋a2＝b2＋ac成立，因此原等式成立．『規律總結』1.有些數學問題的證明，須要把綜合法與分析法結合起來運用：依據條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q；依據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P.若由P可以推出Q成立，就可以證明結論成立，這種邊分析邊綜合的證明方法，稱為分析綜合法，或者稱“兩頭湊法”．2．在證明過程中，分析法能夠發覺證明的思路，但解題的表述過程較為煩瑣，而綜合法表述證明過程則顯得簡潔，因此在實際解題過程中，常常將分析法和綜合法結合起來運用，先利用分析法探求得到解題思路，再利用綜合法條理地表述解題過程.┃┃跟蹤練習4__■在某兩個正數x，y之間插入一個數a，使x，a，y成等差數列，插入兩數b，c，使x，b，c，y成等比數列，求證：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．[證明]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y，,b2＝cx，,c2＝by，))則x＝eq\f(b2,c)，y＝eq\f(c2,b)，即x＋y＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，從而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b).要證(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需證a＋1≥eq\r(b＋1c＋1)，即證a＋1≥eq\f(b＋1＋c＋1,2)，也就是證2a≥b＋c，因為2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，則只需證eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c成馬上可，即b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)·bc，即證b2＋c2－bc≥bc，即證(b－c)2≥0成立．上式明顯成立，故(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．易混易錯警示留意隱含條件的挖掘典例5設a＋b＞0，n為偶數，求證：eq\f(bn－1,an)＋eq\f(an－1,bn)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).[錯解]eq\f(bn－1,an