當鉗工攻螺紋孔時，加在手柄上兩個等值反向的力組成力偶，作用于絲錐桿的上端，工件的反力偶作用在絲錐桿的下端；汽車轉向盤的操縱桿，兩端分別承受駕駛員作用在轉向盤上的外力偶和轉向器的反力偶作用。FF'FF'第一節扭轉的概念、扭矩與扭矩圖

一、扭轉的概念汽車傳動軸

這些構件的受力特點是：兩端受到一對數值相等、轉向相反、作用面垂直于桿軸線的力偶作用。它們的變形特點是：各截面繞軸線產生相對轉動，這種變形稱為扭轉變形，其上任意二截面間的相對轉角稱為扭轉角。以扭轉變形為主的構件稱為軸。工程上軸的橫截面多采用圓形截面或圓環形截面。MnMn二、扭矩與扭矩圖

1．外力偶矩的計算工程中作用于軸上的外力偶矩通常并不直接給出，而給出軸的轉速和軸所傳遞的功率它們的換算關系為M＝9550P/n（N·m）（9-1）式中，M—軸扭轉外力偶矩，（N·m）；

P—軸的傳遞功率（kW）；n—軸的轉速，單位為轉/分（r/min）。

若已知軸上作用的外力偶矩，可用截面法研究圓軸扭轉時橫截面上的內力。現分析如圖示的圓軸，在任意m-m截面處將軸分為兩段。MM

為保持平衡，在截面上必然存在一個作用面和截面重合的內力偶矩Mn

，與外力偶矩M平衡，這個橫截面上的內力偶Mn稱為扭矩。Mn由平衡條件∑Mx=0，可求得這個內力偶的大小Mn=MMMnMM2．扭矩與扭矩圖M

為使上述兩種算法所得同一橫截面處扭矩的正負號相同，特作如下規定：采用右手螺旋法則，拇指指向外法線方向。扭矩的轉向與四指的握向一致時為正；反之為負。mIMnImIIMnmIMnImIIMn

在求扭矩時，一般按正向假設，所得為負則說明扭矩轉向與所設相反。當軸上作用有多個外力偶時，須以外力偶所在的截面將軸分成數段。逐段求出其扭矩。為形象地表示扭矩沿軸線的變化情況，可仿照軸力圖的方法繪制扭矩圖。作圖時，沿軸線方向取坐標表示橫截面的位置，以垂直于軸線的方向取坐標表示扭矩。

一傳動系統的主軸ABC，其轉速n=960r/min，輸入功率PA=27.5kW，輸出功率PB=20kW，PC=7.5kW，不計軸承摩擦等功率消耗。試作ABC軸的扭矩圖。

解1)計算外力偶矩。由式(9-1)得MAMBMCABC式中，MA為主動力偶矩，與ABC軸轉向相同；MB、MC為阻力偶矩，其轉向與MA相反。

解1)計算外力偶矩。MA=274N

m；MB=199N

m；MC=75N

m-Mn1MAMBMCABC

11MAMBABMAA

2)計算扭矩。將軸分為兩段，逐段計算扭矩。由截面法可知Mn1=-MA=-274N

m

Mn2=-MA+MB=-75N

m3)畫扭矩圖。根據以上計算結果，按比例畫扭矩圖。由圖看出，在集中外力偶作用面處，扭矩值發生突變，其突變值等于該集中外力偶矩的大小。最大扭矩在AB段內，其值為Mnmax=274N

m

22Mn2Mn75N

m274N

mx0一、圓軸扭轉時的應力

為了研究圓軸橫截面上應力分布的情況，可先進行實驗觀察。在圓軸表面畫若干垂直于軸線的圓周線和平行于軸線的縱向線，兩端施加個方向相反、力偶矩大小相等的外力使圓軸扭轉。當扭轉變形很小時，可觀察到：圓軸扭轉動畫

1）各圓周線的形狀、大小及兩圓周線的間距均不改變，僅繞軸線作相對轉動；各縱向線仍為直線，且傾斜同一角度，使原來的矩形變成平行四邊形。圓周線縱線O圓周線縱線OAMMA'MOA

2）由上述現象可認為：扭轉變形后，軸的橫截面仍保持平面，其形狀和大小不變，半徑仍為直線。這就是圓軸扭轉的平面假設。第二節

圓軸扭轉時的應力與強度計算OAO圓周線縱線MMA'MOOA

由上述可知，圓軸扭轉時，其橫截面上各點的切應變與該點至截面形心的距離成正比。由剪切胡克定律可知，橫截面上各點必有切應力存在，且垂直于半徑呈線性分布，即有

=K

。

Mn

maxOMndA

dA

=K

扭轉切應力的計算如圖，圓軸橫截面上微面積dA上的微內力為

dA

，對截面中心O的力矩為

dA·

。整個橫截面上所有微力矩之和應等于該截面上的扭矩Mn，則有OMn

max（9-2）

令

，稱截面極慣性矩，則

Mn=KI

=

I

/

得（9-3）

顯然，當

=0時，

=0；當

=R時，切應力最大，為

max=MnR/I

。OMn

max（9-4）

OMndA

dA

式中，Wn稱為抗扭截面系數。式（9-3）及式(9-4)均以平面假設為基礎推導而得，故只有當圓軸的

max不超過材料的比例極限時方可應用。（9-3）令

，則式(9-3)可寫成

二、極慣性矩I

及抗扭截面系數Wn

圓截面對圓心O的極慣性矩可類比求出，即DO

d

R

故抗扭截面系數

得

ODd極慣性矩為

對于內徑為d、外徑為D的空心圓截面軸

Mn

max式中，

=d/D即為內、外徑之比。空心圓截面的抗扭截面系數為

三、圓軸扭轉強度計算

由式(9-3)可知，等直圓軸最大切應力發生在最大扭矩截面的外周邊各點處。為了使圓軸能正常工作，必須使最大工作切應力不超過材料的許用切應力，于是等直圓軸扭轉時的強度條件為

至于階梯軸，由于Wn各段不同，

max不一定發生在

Mn

max所在的截面上；因此需綜合考慮Mn和Wn兩個因素來確定。

（9-5）

階梯軸如圖，M1=5kN·m，M2=3.2kN·m，M3=1.8kN·m，材料的許用切應力[

]=60MPa。試校核該軸的強度。

解畫出階梯軸的扭矩圖。因兩段的扭矩、直徑各不相同，需分別校核。在求

max時，Mn取絕對值，其正負號(轉向)對強度計算無影響。

M1M2M3ABC

80

50

-Mn1.8kN

m5kN

mx0

AB段：Mn1=-5

103N

m

M1M2M3ABC

80

50

-Mn1.8kN

m5kN

mx0

BC段：Mn2=-1.8

103N

m

AB段：

max=49.7MPa

從以上計算結果看出：最大切應力發生在扭矩較小的BC段。由于

max=73.4MPa＞[

]，所以軸AC的強度不夠。

由無縫鋼管制成的汽車傳動軸AB，外徑D＝90mm，壁厚t=2.5mm，材料為45鋼，許用切應力[

]=60MPa，工作時最大外扭矩Mn＝1.5kN·m。

1)試校核AB軸的強度。

2)如將AB軸改為實心軸，試在相同條件下確定軸的直徑。

3)比較實心軸和空心軸的質量。

解

1)校核AB軸的強度。由已知條件可得故AB軸滿足強度要求。

Mn=M=1.5

103N

m

已知：D＝90mm，t=2.5mm，[

]=60MPa，Mn=1.5kN·m。

1)試校核AB軸的強度。

2)如將AB軸改為實心軸，試在相同條件下確定軸的直徑。

3)比較實心軸和空心軸的質量。

解

1)校核AB軸的強度。

2)確定實心軸的直徑。若實心軸與空心軸的強度相同，則兩軸的抗扭截面系數必相等。設實心軸的直徑為Dl，則有

已知：D＝90mm，t=2.5mm，D1＝53.2mm。

3)比較實心軸和空心軸的質量。

計算結果說明，在強度相同的情況下，空心軸的質量僅為實心軸質量的31％，節省材料的效果明顯。這是因為切應力沿半徑呈線性分布，圓心附近處應力較小，材料未能充分發揮作用。改為空心軸后，相當于把少量軸心處的材料移向邊緣，從而保證了軸的強度。但是，空心軸價格昂貴，要視具體情況采用。故AB軸滿足強度要求。

兩軸的材料和長度相同，它們的質量比就等于面積比。設Al為實心軸的截面面積，A2為空心軸的截面面積，則有

一、圓軸扭轉時的變形計算第三節

圓軸扭轉時的變形與剛度計算

扭轉變形是用兩個橫截面繞軸線的扭角

來表示的。對于Mn為常值的等截面圓軸，由于其很小，由幾何關系可得AB=

l

，AB=R

所以

=

l/RMnMn

BRAO將胡克定律AB=

l

，AB=R

=

l/R

代入上式，得

(9-6)式中，GI

反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。當兩個截面間的Mn、G或I

為變量時，需分段計算扭角，然后求其代數和，扭角的正負號與扭矩相同。

一傳動軸如圖，直徑d=40mm，材料的切變模量G=80GPa，載荷如圖示。試計算該軸的總扭角。

解畫出階梯軸的扭矩圖，AB和BC段的扭矩分別為AB段的扭角為

-Mn800N

m1200N

mx0Mn1=1200N

mABC

8080010001200N

m2000N

m800N

m

+Mn2=-800N

m圓軸截面的極慣性矩為

已知：d=40mm，G=80GPa，求：總扭角。

解BC段的扭角為

Mn1=1200N

m

-Mn800N

m1200N

mx0ABC

8080010001200N

m2000N

m800N

m

+Mn2=-800N

m由此得軸的總扭角

二、圓軸扭轉時的剛度計算

設計軸類構件時，不僅要滿足強度要求，有些軸還要考慮剛度問題。工程上通常是限制單位長度的扭角

，使它不超過規定的許用值[

]。由式(9-6)可知，單位長度的扭角為于是建立圓軸扭轉的剛度條件為

式中，

的單位為rad/m。工程實際中，許用扭角[

]的單位為()/m，考慮單位的換算，則得（9-7）

[

]值按軸的工作條件和機器的精度來確定，可查閱有關工程手冊，一般規定精密機器的軸[

]＝0.25

/m一0.5

/m

一般傳動軸[

]＝0.5

/m—1.0

/m

精度較低的軸[

]＝1.0

/m一2.5

/m（9-7）

一空心軸外徑D＝100mm，內徑d=50mm，G=80GPa，[

]=0.75

/m。試求該軸所能承受的最大扭矩Mnmax

。

解由剛度條件式(9-7)得

Mnmax≤[

]GI

/180式中I

=(D4-

d4)=(1004-504)mm4=9.2

106mm4

Mn==9.63

106N

mm=9.63kN

m所以Mnmax=9.63kN

m

傳動軸如圖。已知該軸轉速n=300r/min，主動輪輸入功率PC=30kW，從動輪輸出功率PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材

MBMCABCMDDMAd

解1)求外力偶矩。由可得

料的切變模量G=80GPa，許用切應力[

]=40MPa，[

]=l

/m。試按強度條件及剛度條件設計此軸直徑。

3)按強度條件設計軸的直徑MBMCABCMDDMAd

解1)求外力偶矩。MA=159.2N

m；MB=318.3N

m；MC=955N

m；MD=477.5N

m

2)畫扭矩圖。首先計算各段扭矩

AB段：Mn1=-159.2N·mBC段：

Mn2=-477.5N·m

CD段：Mn3=477.5N·m按求得的扭矩值畫出扭矩圖。

22

33

11Mn/N

m477.5159.2x0477.5

-

+由式和強度條件由圖可知最大扭矩發生在BC段和CD段，即Mnmax=477.5N

m

3)按強度條件設計軸的直徑d=39.3mm

解1)求外力偶矩。

2)畫扭矩圖。Mnmax=477.5N

m

4)按剛度條件設計軸的直徑

由式和剛度條件，得到

為使軸同時滿足強度條件和剛度條件，可選取較大的值，即d＝44mm