2024-2025學年河北省保定市高三上學期9月月考數學模擬檢測試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知命題，；命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題2.已知復數，則（）A. B. C.2 D.43.某學校對100名學生的身高進行統計，得到各身高段的人數并整理如下表：身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]頻數10203025105根據表中數據，下列結論中正確的是（）A.100名學生身高的中位數小于160cmB.100名學生中身高低于165cm的學生所占比例超過C.100名學生身高的極差介于20cm至30cm之間D.100名學生身高的平均值介于160cm至165cm之間4.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C.1 D.25.已知曲線：，從上任意一點向軸作垂線段，為垂足，點滿足，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.6.設函數，，若當時，曲線與恰有一個交點，則a取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知正四棱臺的體積為，底面邊長，則側面與底面所成二面角的余弦值為（）A. B. C. D.8.設函數，若在上恒成立，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于函數和，下列說法錯誤的是（）A.與的定義域相同 B.與的值域相同C.與在其定義域內都是偶函數 D.與的最小正周期相同10.拋物線的準線為l，P為C上的動點，過P作圓M：的兩條切線，A，B為切點，過P作l的垂線，垂足為Q，則（）A.當時，l與圓M相切B.當時，最小值為C.當時，為定值D.存在點P，使得為等邊三角形11.設函數，則（）A當時，有三個零點B.當時，是的極大值點C.存在a，b，使得為曲線的對稱軸D.存在a，使得點為曲線的對稱中心三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數列an的前n項和為，數列滿足，且，，則的值為______．13.已知角為第二象限角，，角為第四象限角，，則值為______．14.在一個正六邊形的六個頂點上放置數字，要求每個頂點上放置一個數字，且任意相鄰兩個頂點上的數字之和不能為5或7.若已經在三個相鄰頂點上放置了數字1、2、3，則共有______種不同的放置方法（數字可以重復使用），在所有符合上述要求的放置方法中，六個頂點上的數字之和的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知三角形的內角的對邊分別為a,b,c，且這些邊和角的關系滿足．（1）求角的大小；（2）若的面積為，且，求的周長．16.已知函數，函數圖像在點處的切線方程為，且當時，函數取得極值.（1）求函數的解析式；（2）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍．17.如圖，在長方體中，，點在棱上移動.（1）當點在棱的中點時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.18.在一個摸球游戲中，有一個裝有許多彩色球的盒子.盒子中的球分為三種顏色：紅色、藍色和綠色.每次游戲，參與者需要從盒子中隨機取出兩個球.已知盒子中紅色球、藍色球和綠色球的數量分別為a個、b個和c個，且總球數為N個.（1）若第一次取出的球是紅色，第二次取出的球是藍色的概率為；第一次取出的球是藍色，第二次取出的球是紅色的概率為．求；（2）若規定每次取球后都將球放回盒子中，且連續取球三次.設三次中恰好有兩次取出球顏色相同的概率為，當時，求；（3）在（2）的條件下，若游戲組織者規定，當三次取球中出現紅色球的次數大于等于兩次時，參與者獲勝；否則，游戲組織者獲勝.已知參與者獲勝的概率為，游戲組織者獲勝的概率為，求，并判斷這個游戲是否公平．2024-2025學年河北省保定市高三上學期9月月考數學模擬檢測試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知命題，；命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【正確答案】C【分析】根據題意，結合全稱命題和存在性命題的真假判定方法，命題為真命題，命題為假命題，結合命題否定的概念，即可求解.【詳解】對于任意，可得恒成立，所以命題為真命題，則為假命題；由，可得，所以不存在，使得，所以命題為假命題，則為真命題，故選：C.2.已知復數，則（）A. B. C.2 D.4【正確答案】A【分析】計算出后結合模長定義即可得.【詳解】，則.故選：A.3.某學校對100名學生的身高進行統計，得到各身高段的人數并整理如下表：身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]頻數10203025105根據表中數據，下列結論中正確的是（）A.100名學生身高的中位數小于160cmB.100名學生中身高低于165cm的學生所占比例超過C.100名學生身高的極差介于20cm至30cm之間D.100名學生身高的平均值介于160cm至165cm之間【正確答案】D【分析】根據中位數的定義判斷A選項，求出100名學生中身高低于165cm的學生有的人數判斷B選項，根據極差的定義判斷C選項，根據平均值的定義判斷D選項.【詳解】100名學生身高的中位數是第和第名學生身高的平均值，第名和第名學生的身高均大于，所以100名學生身高的中位數大于160cm，故A錯誤；100名學生中身高低于165cm的學生有名，所以100名學生中身高低于165cm的學生所占比例為，故B錯誤；100名學生身高的極差最大為，最小為，但是“介于”不能準確表示臨界值能否取到，故C錯誤；100名學生身高的平均值為，故D正確.故選：D.4.已知向量，滿足，，且，則（）A B. C.1 D.2【正確答案】D【分析】根據向量模的運算、向量垂直的表示等知識列方程，從而求得.【詳解】由兩邊平方得，，由于，所以，所以.故選：D5.已知曲線：，從上任意一點向軸作垂線段，為垂足，點滿足，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】設，，由題意可得，代入曲線中即可得.【詳解】設，則有，設，則，由，則有，即，故有，即.故選：B.6.設函數，，若當時，曲線與恰有一個交點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用二次函數與指數函數的單調性，數形結合計算即可.【詳解】由題意可知y=fx在x∈?1,1上單調遞減，而y=gx要滿足題意需，即，解之得.故選：B7.已知正四棱臺的體積為，底面邊長，則側面與底面所成二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】取的中點分別為，過點作，證得且，得出為正四棱臺的側面與底面所成角的平面角，根據棱臺的體積公式，求得棱臺的高為，在直角中，即可求解.【詳解】如圖所示，取正四棱臺的上下底面中心為，連接，則與正四棱臺的上下底面垂直，即為棱臺的高，設，取的中點分別為，連接，在直角梯形中，過點作交于點，在等腰中，由，可得，在等腰梯形中，由分別為的中點，可得，所以為正四棱臺的側面與底面所成角的平面角，因為且正四棱臺的體積為，可得，解得，即，在直角中，可得，所以，即側面與底面所成的二面角的余弦值為.故選：A.8.設函數，若在上恒成立，則（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】將分解成兩個函數乘積，由函數圖像分類討論，得出對應參數的關系及取值范圍，從的得出和的范圍.【詳解】令函數，（1）?x和與軸的交點都在原點左側，如圖：此時，當x∈0,+∞時，?x>0，∴，即∴，；（2）?x和與軸的交點不在原點同側，如圖：或有圖可知，均存在區間或使得函數，故舍去；（3）?x和與軸的交點都在原點右側，①當兩個零點不重合時，如圖：或顯然此時，存在或使得，故舍去；②當兩個零點重合且，時，如圖：此時，當x∈0,+∞時，故，∴∴綜上所述：，故選：B方法點睛：本題函數可以分解成兩個相乘的函數的形式，想要乘積大于等于0恒成立，說明在對應區間上兩個函數值符號相同，從而找到參數的關系和范圍，便能得出結果.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于函數和，下列說法錯誤的是（）A.與的定義域相同 B.與的值域相同C.與在其定義域內都是偶函數 D.與的最小正周期相同【正確答案】ABC【分析】分別計算出、的定義域、最小正周期即可得A、D；計算出的值域后，找出在的值域中的數，但不在的值域中的數即可得B；分別驗證與是否為偶函數即可得C.【詳解】，定義域為R，值域為0,1，，即最小正周期為，，故為偶函數；對，有，即，又即其定義域為，故A錯誤；由，故與的值域不同，故B錯誤；，故不為偶函數，故C錯誤；對D：，故為的周期，又定義域為，故的周期不小于，故最小正周期為，故D正確.故選：ABC.10.拋物線的準線為l，P為C上的動點，過P作圓M：的兩條切線，A，B為切點，過P作l的垂線，垂足為Q，則（）A.當時，l與圓M相切B.當時，的最小值為C.當時，為定值D.存在點P，使得為等邊三角形【正確答案】CD【分析】對于A，根據拋物線的準線方程以及圓的圓心坐標和半徑可以判斷是否相切；對于B，因為，所以可使得兩點在點的異側，根據兩點之間，線段最短原理可知，當三點共線時，有最小值；對于C，已知可解得和的夾角，從而解得為定值；對于D，當時，為等邊三角形，所以滿足存在性．【詳解】對于A，圓M：的半徑，圓心到準線的距離為，所以，當且僅當，時，l與圓M相切，故A不正確；對于B，如圖所示：當三點共線時，有最小值，最小值為，故B不正確；對于C，因為，，所以由余弦定理得,所以，所以＝，故C正確；對于D，當時，，所以，此時為等邊三角形，故D正確；故選：CD．11.設函數，則（）A.當時，有三個零點B.當時，是的極大值點C.存在a，b，使得為曲線的對稱軸D.存在a，使得點為曲線的對稱中心【正確答案】AD【分析】A選項，先分析出函數的極值點為，根據零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據極值和導函數符號的關系進行分析；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調遞增，時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調遞減，時，單調遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，，，，由，于是該三次函數的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD結論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關于對稱；（3）任何三次函數都有對稱中心，對稱中心是三次函數的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數的對稱中心三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數列an的前n項和為，數列滿足，且，，則的值為______．【正確答案】【分析】設出公差，由題意結合等差數列性質計算可得的值，即可得an的通項公式，再借助等差數列求和公式計算即可得.【詳解】設等差數列an公差為，由題意可得，則，故，即有，即，故，即，則.故答案為.13.已知角為第二象限角，，角為第四象限角，，則的值為______．【正確答案】【分析】結合角、所在象限與同角三角函數基本關系可得，，再利用兩角和的正切公式計算即可得.【詳解】由角為第二象限角，則，由角為第四象限角，則，故，，則.故答案為.14.在一個正六邊形的六個頂點上放置數字，要求每個頂點上放置一個數字，且任意相鄰兩個頂點上的數字之和不能為5或7.若已經在三個相鄰頂點上放置了數字1、2、3，則共有______種不同的放置方法（數字可以重復使用），在所有符合上述要求的放置方法中，六個頂點上的數字之和的最小值是______．【正確答案】①.72②.6【分析】分析已知三點的數字分布，由題意分析出已知三點中兩端的相鄰點的可能得數字，這兩個點的數字可能相同也可能不同，所以分類討論出結果，再相加即得答案；第二個空即可從前面的答案中找到數字最小的情況再相加即可.【詳解】數字包含了：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個，∵相鄰兩個頂點數字之和不能為5或7，∴2和3不相鄰，即三個點分布為3、1、2或2、1、3，∵正六邊形是對軸稱圖形，故上述兩種情況相同，記一種結果，由題意可知：與2相鄰的另一個點的數字可能是：0、1、2、4、6、7、8、9，與3相鄰的另一個點的數字可能是：0、1、3、5、6、7、8、9，1)當這兩個點所選數字相同時，共有種取法，此時，與剩余點相鄰的數字相同，只需考慮2種不符合題意的數字，∴最后一個點共有種取法，∴共計種不同的放置方法；2)當這兩個點所選數字不同時，則有種取法，此時，與剩余點相鄰的數字不同，即2、3；2、5；4、3；4、5不存在差為2的情況，所以每種結果都需排除4個不符合題意的數字，∴最后一個點共有種取法，∴共計種不同的放置方法；綜上所述，共有種不同的放置方法.在所有符合上述要求的放置方法中，六個點上的數字分別為2、1、3、0、0、0時和最小，∴最小值為：6故①72；②6.思路點睛：本題的關鍵在于分析第四和第五個點相同與否會影響到第六個點的取值情況，所以在這里需要分類談論.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知三角形的內角的對邊分別為a,b,c，且這些邊和角的關系滿足．（1）求角的大小；（2）若的面積為，且，求的周長．【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理，將已知條件進行轉化，即可求得；（2）利用三角形面積公式，以及余弦定理，求得，即可求得三角形周長.【小問1詳解】對，由正弦定理可得：，故，則，又，故，.【小問2詳解】由三角形面積公式，結合可得：，即，解得：；由余弦定理以及，可得，也即，故，解得；故的周長為.16.已知函數，函數圖像在點處的切線方程為，且當時，函數取得極值.（1）求函數的解析式；（2）若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）借助導數的幾何意義及其極值定義計算即可得解；（2）利用函數單調性與導函數的關系可得當時，f′x【小問1詳解】，則有，解得，即；【小問2詳解】由，，由在區間上單調遞增，故當時，f′x≥0，令，解得或，故或，對，該不等式組無解，對，解得，綜上所述，.17.如圖，在長方體中，，點在棱上移動.（1）當點在棱的中點時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）當為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.【正確答案】（1）（2）當時，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為【分析】（1）以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量法可求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）設，可求得平面的一個法向量，直線的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，當點在棱的中點時，則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個