§64數列求和

1.已知等差數列｛%｝滿足⑼=2,且口,改,的成等比數列.

(1)求數列｛如｝的通項公式.

(2)記S”為數列｛斯｝的前〃項和，是否存在正整數〃，使得S”>60〃+800?若存在，求n的最小值;若

不存在，說明理由.

2.已知等差數列｛a,J滿足；a,=2,且％,外，%成等比數列.

⑴求數列｛a”｝的通項公式.

(2)記S”為數列｛a“｝的前〃項和，是否存在正整數〃，使得S〃>60〃+800?

若存在求〃的最小值；若不存在，說明理由.

3.已知數列｛%｝滿足q1=pn,neN\

(1)若｛/｝是遞增數列，且4,24,3%成等差數列，求p的值：

(2)若p=g,且｛。21｝是遞增數列，｛的〃｝是遞減數列，求數列｛%｝的通項公式.

4.已知數列｛為｝的前〃項和S,=W4,neN\

2

(1)求數列｛4｝的通項公式；

(2)設d=2%+(—04,求數列也“｝的前2〃項和.

5.設各項均為正數的數列｛為｝的前〃項和為S",且S〃滿足S：-(〃2+小3)，_3(〃2+〃)=O,〃￡M.

(1)求⑶的值.

(2)求數列｛%｝的通項公式.

(3)證明:對一切正整數〃，有一!—+—!—+…+—5—<-.

4(q+l)%(。2+1)+3

6.已知等差數列｛q｝的公差為2,前幾項和為S“，且SpSa'S4成等比數列.

(I)求數列｛凡｝的通項公式；

4〃

(II)令2=(-1)2--------,求數列｛"｝的前〃項和

7.在等差數列｛《,｝中，已知d=2,4是％與4等比中項.

(I)求數列｛4｝的通項公式；

(II)設a=%^，記<=一++(T)4求&

q

8.已知數列的前〃項和5“二~2二"，neN*.

2

(1)求數列的通項公式.

⑵證明:對任意的〃>1,都有〃?￡N',使得04必〃成等比數歹ij.

9.已知首項都是1的兩個數歹1」｛斯｝｛6｝(。〃8,〃仁”),滿足“bn+l-an+lbn+2bn+lbn=U.

(1)令C產％,求數列｛金｝的通項公式.

b.

⑵若瓦二3叫求數列｛為｝的前n項和Sn.

10.數列｛/｝滿足q=Vnan+l=(n+\)an+〃(〃+1),，wN*

(1)證明：數列｛生｝是等差數列；

n

(2)設以=3"?J7,求數列｛a｝的前〃項和S”

11.已知數列｛44｝滿足。尸1,%+1=3。〃+1.

⑴證明?，是等比數列，并求｛4｝的通項公式.

1113

(2)證明：—?---+...H＜一.

%出%2

12.設等差數列｛凡｝的公差為d,點（凡,。〃）在函數的圖象上（〃wN*）.

（1）若4=一2,點（4,4打）在函數/（功的圖象上，求數列｛%｝的前〃項和S”；

（2）若q=l,函數八元）的圖象在點（4,4）處的切線在x軸上的截距為2--求數

in2

列｛%｝的前〃項和

b.

13.設等差數列｛〃”｝的公差為d,點（凡,"）在函數f（x）=2、的圖象上（〃wN*）.

（1）證明：數列｛"｝為等比數列;

（2）若q=l,函數/（X）的圖象在點（心,仇）處的切線在x軸上的截距為2—-求數

In2

列｛〃/；｝的前〃項和S”.

14.已知｛q｝是首項為1,公差為2的等差數列，S"表示｛4｝的前〃項和.

⑴求凡及S〃

⑵設也｝是首項為2的等比數列，公比夕滿足復-⑷+1M+5L。求低｝的通項公

式及其前〃項和

——★參考答案★—

1.解⑴設數列｛〃“｝的公差為4依題意,2,2+d,2+4d成等比數列，故有(2+4=2(2+43,

化簡得f/2-4J=0,

解得d=0或d=4.

當d=0時,％=2;

當仁4時,廿2+(〃-1).4=4〃2

從而得數列｛〃”｝的通項公式為an-2或a”=4〃-2.

⑵當an=2時$=2〃.

顯然2X60/1+800,

此時不存在正整數〃，使得S,,>60/7+800成立.

川一/:[2+(4n-2)].

當a產4〃-2時,S,尸-------------=2rr.

2

令2層>60〃+800,即n2-30n-400>0,

解得n>40或〃〈-10(舍去)，

此時存在正整數〃，使得S〃>60〃+800成立,〃的最小值為41.

綜上，當斯=2時，不存在滿足題意的兒

當a?=4n-2時，存在滿足題意的〃，其最小值為41.

2.解(1)設數列｛a“｝的公差為d,依題意，d,2+d,2+4d成等比數列，故有

(2+d)2=2(2+4d)

化簡得d2-4d—0,解得d=O或d=4

當d=0時，a”=2

當d=4時，aM=2+(n-l)-4=4n-2

從而得數列｛aj的通項公式為a”=2或a”=4〃-2。

(2)當a“=2時，S“=2〃。顯然2〃v60〃+800

此時不存在正整數n,使得S”>60〃+800成立。

、匕AoiH-c川2+(4n—2)]2

當a“二4〃一2時，Sn=-------------=2n

2

令2〃2>60〃+800,即〃2-30〃-400>0,

解得〃>40或〃<一10（舍去），

此時存在正整數〃，使得S“〉60〃+800成立，〃的最小值為41。

綜上，當a”=2時，不存在滿足題意的〃；

當a“=4〃-2時，存在滿足題意的〃，其最小值為41。

3.解（1）因為｛%｝是遞增數列，所以。“+1-4=〃"，

又4=1,%=P+L。3=/+p+1,

2

因為q,24.3%成等差數列，所以4%=4+3%,4p+4=l+3p2+3p+3,3p=p,

解得P=g，P=0，當〃=0，4M—%=°，與｛勺｝是遞增數列矛盾，所以〃二（。

（2）因為｝是遞增數列，所以。2〃+1一。21>。，

于是（小向一生”）+（生“-生小）〉0①

由于聲V聲T，所以,2〃+1-4〃|VE"一1②

由①@得（生“-生”-J>°，所以出〃一叫"T=弓了!二喏③

22/1-1

因為｛。2“｝是遞減數列，所以同理可得。2〃+1一。2〃<0,

由③@得知+1—4=￡^—，

所以4=q+（出一％）+（%一%）+…+（%-4-）

，r[7

（一1）2（一1）3+（-l）_1｛2）_41（-1）

一",+丁++萬丁-1+乙

1H--

2

41（-1?

所以數列｛%｝的通項公式為%=；+；彳斗.

332

4.解（1）當〃=1時，/=S]

n2+/?(n-1)2+(/?-1)

故數列｛%｝的通項公式為%=〃

(2)由(1)知，a=2〃+(—lJZ,記數列｛九｝的前2〃項和為了幼，

則與“=(21+22+...+22〃)+(—1+2—3+4—...+2”)

記A=2i+22+...+22〃，8=—1+2—3+4—...+2/?,

則A=31二2r2=2?向一2,

1-2

8=(-1+2)+(-3+4)+.......+[-(2〃-1)+2M]=n

故數列也,｝的前2〃項和篤“=A+B=22n+,+/i-2

5.解⑴令〃=1,則&=即，2.(12+1?3泗?3(12+1)=0,即42+處6=0,

解得0=2或m=-3(舍去).

(2)Sj-(〃2+〃-3)S”-3(〃2+〃)=0

可以整理為(S〃+3)fS〃-(/+〃)」=0,

因為數列｛d｝中小>0,

2

所以S〃#-3,只有Sn=n+n.

當n>2時,a*S〃5-I=〃2+〃-(〃-1)2-(〃-1)=2〃，

而“1=2,所以數列｛〃”｝的通項公式為a”=2n(〃GM).

E、,111111

⑶因為---------=-------------------：-<----j------------：-,

風4+1)2〃(2〃+1)44(〃_%〃+

111

"~~r"""'""r=~~r~‘

(n——)(〃+1——)n——n+i——

4444

所以--------+---------F...H---------------

4(4+1)。2(%+1)

=-1-----1---------1----

1]1

3-4/7+3<3

故對一切正整數〃，有——!——+—!—+…+—-—<-.

q（q+l）似。2+1）+D3

6.解⑴d=2,￡=q,S2=2〃]+d,S&=4q+6d,

，,S2，S4成等比Sl=S.S4

解得4=1,/.an=2n-\

當〃為偶數時，7；=（1+；）—（；+J+$+9一……+（五g++）-（*+*）

bi、』.12n

當〃為奇數時，7；,=（1+1）-（-+-）+（-+-）-……-（—!—+—!—）+（—!—+—!—

“335572n-32/7-12n-\2〃+1

12n+2

所以。=1+

2n+12n+1

3-,〃為偶數

所以，=2〃+1

出為奇數

2n+\

7.解（I）由題意知：

{4}為等差數列，設。“=6+（〃一1"，<生為與。4的等比中項

a；=qX4且。尸0，即（4+d）2=4（4+3d）,vd=2解得:ax=2

an=2+（n-l）x2=2H

（I【）由（I）知：an=2n,bn=?n（n+1）=n（/2+l）

①當〃為偶數時:

7；,=-(1X2)+(2X3)-(3X4)+……+/?(/?+1)

=2(-1+3)+4(-3+5)+....+/z[-(??-l)+(n+l)]

=2x2+4x2+6x2+....+〃x2

=2x(2+4+6+....+〃)

c'72n+2n

=2x------三=----------

22

②當n為奇數時:

Tn=-(1X2)+(2X3)-(3X4)+……(〃+1)

=2(-1+3)+4(-3+5)+...+(??-1)[-(n-2)+n]-n(n+1)

=2x2+4x2+6x2+...+(〃-1卜2-〃(〃+1)

=2x[2+4+6+...+(n-l)]-n(n+1)

(2+D

n2+2n+l

=2x—n(H—1)=—

22

n~+2/?+1o火

-----------，〃為奇數

2

綜上：Tn=

片為偶數

2

8.解(1)當n=l時flj=Si=l;

當論2時%=S,「S?\=一雙〃一1尸一(〃-1)=3/1-2,

22

對n=l也滿足，

所以的通項公式為4尸3止2;

(2)由⑴得。尸1,。產3〃2。”尸3〃?-2,

要使縱斯,胡成等比數列，

需要%2=%x《“，

所以(3沱2)2=3怯2,整理得加=3/-4/?+2￡N",

所以對任意〃>1,都有使得%2=4X。m成立,

即頷而所成等比數列.

9.解⑴因為兒和，

所以由016n+1-t/n+l兒+2%也=0,

得％一%±+2=0,即—=2,

\\+1\+|bn

所以C“+M”=2,所以｛七｝是以5=亙=1為首項,2為公差的等差數列,

bi

所以Cn=l+(〃-1)x2=2〃-1.

(2)因為瓦=3叫金=2〃-1.

所以。產c滴

所以S?=1x312+3x3a+5x34+...+(2/1-1)3w+,,

3s產1x33+3x34+...+(2n-3)3H+l+(2n-1)3n+2,

作差得:-2S,產32+2(33+34+…+3向)-(2小1)3/2

=9+2x-(2n-l)3n+2=-[18+2(〃-1)3*2],

所以S產9+(%1)3叫

10.解(1)由已知可得也=生-1=&也一%=1,所以｛"｝是以1為首項，1為公差

〃+1n〃+1nn

的等差數列。

(2)由(1)得%=1+(n-1)=n,所以,從而々=〃.3"，

n

,23

S,f=1.3+2.3+3.3+...+n.3"

234rtrt+,

3S,f=1.3+2.3+3.3+...+(n-l)3+n.3

將以上兩式聯立可得?2邑=3'+3:+33+...+3w-n.3rt+,

:3.(1-3")n?3叫生網竺

所以S.=⑵-竽“+3

11.解(1)因為0=1,。“+尸3知+"￡N\

所以為+i+g=3a“+l+g=3(q,+；).

113

所以《凡+二卜是首項為勾+：7=]，公比為3的等比數列?

2J22

13”3"-1

所以知+—=一，所以4尸

222

121?121

(2)——=----.——=1,當〃>1時，——=-----<-----

&3"-14%3”一13"-1

e”111111l-v3、113

12n

q4an333"TJ[2(3)2

~3

力?1113

所以，一+—+…+一<—.?€N.

4生冊2

12.解(1)點(〃”,")在函數/())=2、的圖象上，所以勿=2%,又等差數列｛6｝的公差

為d,

所以3=——=2”,

a2/

因為點(出，44)在函數/(x)的圖象上，所以44=2他=4,所以2'=亭=4=4=2,

22

又q=-2,所以Sn=nax——d=-2n+n-n=n-3n.

(2)由/(乃=2"=>/(％)=2'仙2

函數/(x)的圖象在點(外，4)處的切線方程為y-H=(2&ln2)(x-%)

所以切線在x軸上的截距為劣-----，從而。2-----=2-----，故a)=2

In2In2In2

從而見二〃，5=2",生_j_

b12"

「123n

T=—I-—7++

n222232"生2=22323+24+」2w+,

所以;1=；+?+最+g+1―n―1n-zzzJ—〃+2