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文檔簡介

復變函數與積分變換：3、4節證明:

如

3、微分性質

如果在上連續或只有有限個可去間斷點且當時,.則

證明:

推論如果在上連續或只有有限個可去間斷點且則

同樣還可得象函數的導數公式一般地

設,則

證

注意,上述證明過程用到了求導數運算和求積分運算的交換,應當指出,這種交換是需要一定條件的.

例1：設求和

解

4、積分性質設,若,則

證

由微分性質

例2：求微分方程的解解設,則兩邊同取付氏變換得

另外，付氏變換還有以下的性質對稱性：若，則

相似性：若，則

象函數的平移性：若，則

翻轉性：若，則

這些性質均為習題，留給大家自己證明。由對稱性得

如

則§4

、卷積與卷積定理(1)定義：設函數，積分

稱為與的卷積，記為即顯然且有還滿足對加法的分配律卷積的簡單性質：解：例1：若求另外,確定的范圍還可用不等式組法即例2:

求下列函數的卷積：由卷積的定義有解：(2)卷積定理：設函數均滿足付氏積分定理的條件，且，則

或

證明:

交換積分次序同理可得

利用付氏變換的性質可以方便地求出某些函數的付氏變換。例3：求、及的付氏變換解：

由位移性

由象函數的位移性

由象函數的微分性

又

例4：求

解：由象函數的位移性得

而故

實際上,只要記住下面五個傅里葉變換,則所有的傅里葉變換都無須用公式直接計算而可由傅里葉變換的性質導出.利用傅氏變換的性質求

(t

t0),例5：若

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