河南省駐馬店市2023-2024學年高一上學期1月期終考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．命題“，使得”的否定為（

）A． B．C． D．3．下列函數中，在區間上單調遞減的是（

）A． B． C． D．4．我市某所高中共有學生人，其中一、二、三年級的人數比為，為迎接戲曲進校園活動，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為240的樣本，則應抽取一年級的人數為（

）A．50 B．60 C．70 D．805．下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若均為實數，則6．由6個實數組成的一組數據方差為，將其中一個數5改為2，另一個數4改為7，其余的數不變得到一組數據的方差為．則（

）A．2 B．3 C．4 D．57．已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．8．設函數的定義域為，若所有點構成一個正方形區域，則的值為A． B． C． D．不能確定二、多選題9．已知關于x的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集為C．不等式的解集為或D．10．已知正實數，下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．的最小值為411．已知事件A，B，且，則（

）A．如果，那么B．如果A與B互斥，那么C．如果A與B相互獨立，那么D．如果A與B相互獨立，那么12．已知是奇函數，為自然對數底數，若，則的取值可以是（

）A． B． C． D．三、填空題13．函數的定義域為（用區間表示）．14．已知函數，則函數的零點是．15．如圖，用三個不同的元件連接成一個系統．當元件正常工作且元件至少有一個正常工作時，系統正常工作．已知元件正常工作的概率依次為，則系統能正常工作的概率為．16．給定函數，若在其定義域內存在使得，則稱為“函數”，為該函數的一個“點”．設函數，若是的一個“點”，則實數的值為．若為“函數”，則實數的取值范圍為．四、解答題17．在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題．問題：已知集合．(1)當時，求和；(2)若________，求實數的取值范圍．18．已知．(1)分別求和；(2)若，且，求．19．2024年入冬以來，為了減少甲流對師生身體健康的影響，某學校規定師生進出學校需佩戴口罩，現將該學校1000位師生一周的口罩使用數量統計如下表所示，其中每周的口罩使用數量在6只以上（包含6只）的有700人．口罩使用數量頻率(1)求的值，根據表中數據，完善上面的頻率分布直方圖（不要求寫出過程，畫圖即可）；(2)根據頻率分布直方圖估計該學校師生一周口罩使用數量的分位數和平均數（每組數據用每組中間值代替）；(3)按分層抽樣的方法在前三組中抽取一個容量為6的樣本，記第一組抽取的2人為．第二組抽取的1人為，第三組抽取的3人為，從這6人中隨機抽取兩人檢查其健康狀況記為事件，請列出事件的樣本空間，并求這兩人恰好來自同一組的概率．20．已知定義在上的函數，且是偶函數．(1)求的解析式；(2)當時，記的最大值為．，若存在，使，求實數的取值范圍．21．隨著經濟發展，越來越多的家庭開始關注到家庭成員的關系，一個以“從心定義家庭關系”為主題的應用心理學的學習平臺，從建立起，得到了很多人的關注，也有越來越多的人成為平臺的會員，主動在平臺上進行學習．已知前四年，平臺會員的個數如圖所示：

(1)依據圖中數據，從下列三種模型中選擇一個恰當的模型估算建立平臺年后平臺會員人數（千人），并求出你選擇模型的解析式；①，②且，③0且）.(2)為控制平臺會員人數盲目擴大，平臺規定無論怎樣發展，會員人數不得超過千人，請依據（1）中你選擇的函數模型求的最小值．22．設的定義域為R，若，都有，則稱函數為“函數”．(1)若在R上單調遞減，證明是“函數”；(2)已知函數．①證明是上的奇函數，并判斷是否為“函數”（無需證明）；②若對任意的恒成立，求實數的取值范圍．參考答案：1．D2．C3．C4．B5．D6．A7．B8．B9．AC10．BC11．ABD12．ABD13．14．和15．/16．317．(1)，；(2)答案見解析【分析】（1）先求出集合，再求出，進而可得集合；（2）分情況處理，若選擇①，考慮的情形即可，要分和兩種情況分析；若選擇②，考慮且的情形即可；若選擇③，考慮的情形即可，要分和兩種情況分析.【詳解】（1）當時，集合，所以，又因為，所以.（2）若選擇①，，則，當時，，解得：，當時，又，所以，得，所以實數a的取值范圍是．若選擇②，““是“”的充分不必要條件，則且，因為，或，解得：，由于無解，不成立，所以實數a的取值范圍是．（不檢驗扣1分）若選擇③，，當時，，解得：，當時，又，則，解得：或，所以實數a的取值范圍是．18．(1)，(2)【分析】（1）根據指數、對數運算求得正確答案.（2）先用對數形式表示，再取倒數來列方程，化簡求得的值.【詳解】（1）.，所以；（2）由，得，且，則故，所以.19．(1)；直方圖見解析(2)個，個(3)答案見解析，【分析】（1）根據已知條件，依次求得的值.（2）根據百分位數和平均數的求法求得分位數和平均數.（3）利用列舉法，結合古典概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】（1）由每周的口罩使用個數在6以上（含6）的有700人得：，故所求，頻率分布直方圖如下：（2）由（1）知，又因為口罩使用數量在的頻率是0.3，，所以假設分位數為，則，由頻率分布直方圖得一周內使用口罩的平均數為：（個），故估計所求分位數為9個，平均數估計為7個.（3）可知樣本空間：，共含有15個樣本點，可以認為這個樣本點出現的可能性是相等的．記“這兩個人來自同一組”為事件，則，樣本點有4個，故.20．(1)(2)【分析】（1）令，結合偶函數的定義計算即可;（2）借助函數的單調性求出的最大值為，再對進行參變分離求出最值即可.【詳解】（1）記，為偶函數，恒成立，即恒成立，恒成立，恒成立，即恒成立，，.（2）和都是單調遞增函數,在是單調遞增的，,在上有解，在上有解，在上有解，在上單調遞增，,.21．(1)選擇③，(2)【分析】（1）根據函數的單調性、增長快慢等知識作出選擇，利用待定系數法求得相應的解析式.（2）根據已知條件列不等式，由此分離常數，利用換元法，結合二次函數的性質求得的最小值.【詳解】（1）從表格數據可以得知，函數是一個增函數，故不可能是①，∵函數增長的速度越來越快不選②，選擇③且，代入表格中的三個點可得：，解得：，將代入符合，．（2）由（1）可知：，故不等式對且恒成立，對且恒成立．令，則，在單調遞增，的最小值為.22．(1)證明見解析(2)①證明見解析，是；②【分析】（1）根據函數的單調性列不等式，整理為函數的定義的形式，由此證得是“函數”.（2）①根據函數奇偶性的定義證得是上的奇函數，根據函數的定義判斷出是“函數”.②根據函數的單調性、奇偶性化簡不等式，利用分離常數法，結合換元法、函數的單調性等知識求得實數的取值范圍．【詳解】（1）若在R上單調遞減，則，即，即，整理得：，所以是“函數”．（2）①定義域為R，關于原點對稱，，所以是上的奇函數．在R上單調遞減，是“函數”.②是R上的奇函數，并為“函數”，在上單調遞減，在上恒成立，可得在上恒成立，故在上恒成立，即在上恒成立，又注意到，結合，知，得：．令，其中易知在上單調遞減，在上單調遞增．令，即恒成立，其中函數與函數