專題01集合與常用邏輯用語

1.【2022年全國甲卷】設集合4={-2,-1。1,2},8={%|00工〈習，則An8=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】

根據集合的交集運算即可解出.

【詳解】

因為4={-2,-1,0,1,2},5=(x|0<x<1},所以ACB={O,1,2).

故選：A.

2.【2022年全國甲卷】設全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8={%|/一4，+3

=0},則Cu(4UB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】

【分析】

解方程求出集合8,再由集合的運算即可得解.

【詳解】

2

由題意，B={x\x-4x+3=0]=所以AUX={-LL2,3},

所以Cu(AUB)={-2,0}.

故選：D.

3.【2022年全國乙卷】集合M={2,4,6,8,10),N={X|-1V%V6},則MnN=()

A.{2,4}B.[2,4,6}C.{2,4,6,8}D.[2,4,6,8,10}

【答案】A

【解析】

【分析】

根據集合的交集運算即可解出.

【詳解】

因為M={2,4,6,8,10},N={x\-l<x<6},所以MnN={2,4}.

故選：A.

4.【2022年全國乙卷】設全集U={1,2,3,4,5},集合M滿足QM={1,3},則()

A.2WMB.3eMC.4€MD.5WM

【答案】A

【解析】

【分析】

先寫出集合M,然后逐項驗證即可

【詳解】

由題知M={2,4,5},對比選項知，A正確，BCD錯誤

故選:A

5.(2022年新高考1卷】若集合M<4},N={Z|3x>1},則MClN=()

A.{x|0<x<2}B.[^<x<2jC.{x|3<x<16}D.||<x<16j

【答案】D

【解析】

【分析】

求出集合M,N后可求MCN.

【詳解】

M={X|()<x<16},N={X|%>故MnN={x|^<x<16},

故選：D

6.【2022年新高考2卷】已知集合4={-1,1,2,4},8={劃|%-1|&1},則4nB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【解析】

【分析】

求出集合B后可求APIB.

【詳解】

B={x|0<x<2},故AnB={1,2},

故選：B.

712022年北京】已知全集U={x\-3<x<3},集合4={x\-2＜工式1},則QA=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)”1,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]u(l,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用補集的定義可得正確的選項.

【詳解】

由補集定義可知：0/4={久|-3<%￡-2或1<%<3},即Q4=(-3,-2]U(1,3)?

故選：D.

8.【2022年浙江】設集合4={1,2},B={2,4,6},則AUB=()

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{124,6}

【答案】D

【解析】

【分析】

利用并集的定義可得正確的選項.

【詳解】

AUB={1,2,4,6},

故選：D.

9.【2022年浙江省高考】設xeR,貝『飛出％=1”是"8SX=0〃的)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】A

【解析】

【分析】

由三角函數的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.

【詳解】

因為sin2x+cos2x=1可得：

當sinx=l時，cosx=0,充分性成立；

當8sx=0時，sinx=±l,必要性不成立；

所以當xeR,sinx=I是8sx=0的充分不必要條件.

故選：A.

10.【2022年新高考北京高考】設｛%｝是公差不為。的無窮等差數列，貝『'｛%｝為遞增數列”

是“存在正整數N。，當〃>乂時，見>0〃的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

設等差數列｛4｝的公差為d，則4工0,利用等差數列的通項公式結合充分條件、必要條件

的定義判斷可得出結論.

【詳解】

設等差數列｛q｝的公差為"，則八0,記⑶為不超過X的最大整數.

若｛《,｝為單調遞增數列，則d>0，

若生之。，則當〃N2時，an>a[>0；若/<0,則4=q+(〃-l)d,

由4=%+5-1”>0可得〃>1一,，取N°=1-號+1,則當時，4>0,

所以，”｛4｝是遞增數歹“存在正整數M，當時，q>0〃；

若存在正整數M,當〃>乂時，*>0,取&wN?且4>乂，《>0,

假設d<0,令=4+(…k)d<0可得心攵-號，且％-號>攵，

當〃〉k*+1時，an<0,與題設矛盾，假設不成立，則d>0,庫數列質｝是遞增數列.

所以，”｛6｝是遞增數列"="存在正整數N。，當”乂時，見>0〃.

所以，“｛可｝是遞增數歹『'是"存在壬整數N。，當〃〉乂時，勺>0〃的充分必要條件.

故選：C.

專題02函數的概念與基本初等函數I

1.(2022年全國甲卷】函數y=(3X-在區間卜洌的圖象大致為()

【答案】A

【解析】

【分析】

由函數的奇偶性結合指數函數、三角函數的性質逐項排除即可得解.

【詳解】

令/⑶=(3%-3-x)cos%,%￡[-/]，

則f(-%)=(3-x—3x)cos(-x)=一(3%-3-x)cosx=—/(%),

所以/(%)為奇函數，排除BD；

又當％6(0,時，3*—3-*>0,cus%>0,所以f(%)>0,排除C.

故選：A.

2.[2022年全國甲卷】已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>Q>a

【答案】A

【解析】

【分析】

根據指對互化以及對數函數的單調性即可知m=log910>l,再利用基本不等式，換底公式

可得血log89>m,然后由指數函數的單調性即可解出.

【詳解】

由9m=10可得m=log910=管>1,而］g91gli<(愴*11)2=(萼)2v］=(lg10)2,所

以>假非，BPm>lgll?所以a=10巾一11>10館11—11=0.

又1g啊0〈(呼心(啜2<(物2,所端,需即嗨9>m,

所以b=8m-9<810^9-9=0.綜上，a>0>b.

故選：A.

3.【2022年全國乙卷】如圖是下列四個函數中的某個函數在區間［-3,3］的大致圖像，則該函

數是()

【解析】

【分析】

由函數圖像的特征結合函數的性質逐項排除即可■得解.

【詳解】

設/(%)=言,則f(1)=0,故排除B;

設無(比)=I；：：,當X￡(0胃)時，0<cosx<1,

所以九。)=靄〈含工1，故排除C；

設9(%)=鬻，則g(3)=誓>0,故排除D.

故選：A.

4.(2022年全國乙卷】已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(%)+g(2-x)=5,g(x)-f

22

(x-4)=7.若>=9(%)的圖像關于直線％=2對稱，g(2)=4,則f(k)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】

【分析】

根據對稱性和已知條件得到/(%)+f(x-2)=-2,從而得到f(3)+/(5)+…+f(21)=-

10,/(4)+f(6)+…+/(22)=-10,然后根據條件得到/(2)的值,再由題意得到g(3)=6

從而得到/1(1)的值即可求解.

【詳解】

因為y=g(%)的圖像關于直線％=2對稱，

所以g(2-x)=g(x+2),

因為。(工)-f(x-4)=7,所以gQ+2)-/(x-2)=7,即gQ+2)=7+/(x-2),

因為/(%)+g(2-x)=5,所以fQ)+gQ+2)=5,

代入得f(%)+[7+f(x-2)]=5,即f(%)+f(x-2)=-2,

所以f(3)+/(5)+…+f(21)=(-2)x5=-10,

f(4)+f(6)4-…+f(22)=(-2)x5=-10.

因為/'(%)+g(2-％)=5,所以f(0)4-g(2)=5,即/'(0)=1,所以/'(2)=-2-f(0)=-3.

因為g。)一f(%-4)=7,所以gQ+4)-/(%)=7,又因為/(%)+g(2-％)=5,

聯立得，g(2-x)4-g(x+4)=12,

所以y=或第)的圖像關于點(3,6)中心對稱，因為函數g。)的定義域為R,

所以g(3)=6

因為/'(%)+g(x+2)=5,所以/'(1)=5-g(3)=-1.

22

所以￡fW=/(I)+/(2)+應3)+/(5)+…+f(21)]+[/(4)+/(6)+…+f(22)]=

fc=i

-1-3-10-10=-24.

故選：D

【點睛】

含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據已知條件進行恰當的轉化，

然后得到所需的一些數值或關系式從而解題.

5.[2022年新高考2卷】已知函數/(幻的定義域為R,且/(%+y)+f(x-y)=/(x)/(y)J(

1)=1，則()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據題意賦值即可知函數f(%)的一個周期為6,求出函數?個周期中的f(l),/(2),…,/(6)的

值，即可解出.

【詳解】

因為/(%+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令X=l,y=0可得，2/(1)=f(1)/(0),所以f(0)=2,

令x=0可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即f(y)=f(-y),所以函數人均為偶函數，令y=1

得，f(x4-1)+f(x-1)=/(x)f(l)=/(x),即有/(X+2)+/(X)=/■(%+1),從而可知f

(x4-2)=-f(x—1),f(x-1)=-f(x—4),故f(%+2)=f(x-4),即/(X)=f(x+6),

所以函數外幻的一個周期為6.

因為外2)="1)--0)=1-2=-1,f⑶=/■⑵-f⑴=-1-1=-2,/(4)=f

(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一個周期內的f(1)+/(2)+…+/(6)=0.由于22除以6余4,

所以￡藍"(A)=/(I)+/(2)+f[3)+/(4)=1-1-2-1=-3.

故選：A.

6.【2022年北京】己知函數/1(%)=3彳，則對任意實數X,有()

A./(-%)+/(%)=0B./(-x)-/(x)=0

C./(-x)+/(x)=1D./(-%)-/(X)=|

【答案】C

【解析】

【分析】

直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

【詳解】

/(-%)+/(%)=表+a=高+備=1,故A錯誤，C正確；

f(-x)-/?(劃=占一三二一三一七二怒=1一J-，不是常數，故BD錯誤；

故選：c.

7.【2022年北京】在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界

直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與

7■和IgP的關系，其中7■表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar下列結論中正確的

A.當7=220,尸=1026時，二氧化碳處于液態

B.當7=270,P=128時，二氧化碳處于氣態

C.當T=300,P=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態

D.當7=360,P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態

【答案】D

【解析】

【分析】

根據T與IgP的關系圖可得正確的選項.

【詳解】

當7=220,P=1026時，lgP>3,此時二氧化碳處于固態，故A錯誤.

當7=270,P=128時，2VlgP<3,此時二氧化碳處于液態，故B錯誤.

當T=300,P=9987時，IgP與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態，

另一方面，7=300時對應的是非超臨界狀態，故C錯誤.

當7=360,P=729時，因2VlgPV3,故此時二氧化碳處于超臨界狀態，故D正確.

故選：D

8.【2022年浙江】已知2a=5,log83=b,則4a-3匕=()

A.25B.5C謂D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

根據指數式與對數式的互化，鼎的運算性質以及對數的運算性質即可解出.

【詳解】

因為2a=5,b=log83=1^23,即23b=3,所以4a-3匕=東=1=今

故選：C.

9.[2022年新高考1卷】(多選)已知函數/(%)及其導函數尸(%)的定義域均為R,記g(%)=((

X),若g(2+x)均為偶函數，則()

A."0)=0B.g(W)=0C./(-I)=/(4)D.。(-1)=。(2)

【答案】BC

【解析】

【分析】

轉化題設條件為函數的對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷

即可得解.

【詳解】

因為/6一2%),g(2+%)均為偶函數，

所以展-2x)=f?+2x)BP/(1-x)=f?+x)，g(2+%)=g(2t)，

所以f(3-％)=/(%),g(4-x)=g(%),則f(-1)=f(4),故C正確；

函數/(%)，g(%)的圖象分別關于直線％==2對稱，

又9(%)=，(%)，且函數f(%)可導，

所以弱)=0,g(3-％)=-g(%)，

所以g(4-%)=g(x)=-g(3-%)，所以g。+2)=-g(x4-1)=gQ),

所以g(一》=g(|)=。，g(-1)=g⑴=一。(2)，故B正確，D錯誤：

若函數/(乃滿足題設條件，則函數f(x)+c(c為常數)也滿足題設條件，所以無法確定/(》)

的函數值，故A錯誤.

故選：BC.

【點睛】

關鍵點點睛：解決本題的關鍵是轉化題干條件為抽象函數的性質，準確把握原函數與導函數

圖象間的關系，準確把握函數的性質(必要時結合圖象)即可得解.

10.【2022年全國乙卷】若f(x)=In卜+占|+b是奇函數，則Q=,b=.

【答案】-g;ln2.

【解析】

【分析】

根據奇函數的定義即可求出.

【詳解】

因為函數/(幻=5,+占|+b為奇函數，所以其定義域關于原點對稱.

由a+士工。可得，(1一%)(Q+1—ax)H0,所以％=?=-1,解得：a=即函數

的定義域為(—8,-l)u(-l,l)U(l,+8),再由f(0)=0可得,b=ln2.BP/(x)=In

|—1+In2=In?在定義域內滿足/(—%)=—f(x)，符合題意.

故答案為：-：；ln2.

11.【2022年北京】函數/(%)=[+VI》的定義域是.

【答案】(-8,0)U(0,1]

【解析】

【分析】

根據偶次方根的被開方數非負、分母不為零得到方程組，解得即可；

【詳解】

解：因為/(%)="萬國所以『一置。，解得XW1且XH0,

xI%#U

故函數的定義域為(一8,0)U(0,1]；

故答案為：(-00,0)U(0,1]

12.【2022年北京】設函數f(%)=若f(x)存在最小值，則a的一個取值為

;a的最大值為.

【答案】0(答案不唯一)1

【解析】

【分析】

根據分段函數中的函數y=-ax+1的單調性進行分類討論，可知，a=0符合條件，Q<0不

符合條件，a>0時函數y=-ax+1沒有最小值，故/(%)的最小值只能取y=(x-27的最

2

小值，根據定義域討論可知一小+1>o或一小+i>(a-2),解得0VaW1.

【詳解】

解：若Q=0時，/(%)={a‘2)2：：IS，=

若QV0時，當X<Q時，/(%)=-QX+1單調遞增，當％T-8時，/(%)->-00,故/1(無)沒

有最小值，不符合題目要求；

若a>0時，

2

當％<Q時,/(x)=-ax+1單調遞減，/(%)>f(a)=-a+1,

當文〉a時，/(x)mIn={(a_2)2(fl>2)

?,一a?+1N0或—Q2+]?(a-2)，

解得0VaW1,

綜上可得0<a<1；

故答案為：0(答案不唯一)，1

13.【2022年浙江】已知函數〃%)={；；；[:則/(/(9))=；若當％6口，

〃時，lWf(x)W3,則b—a的最大值是.

【答案】3+V5##百十3

【解析】

【分析】

結合分段函數的解析式求函數值，由條件求出Q的最小值力的最大值即可.

【詳解】

由已知/G)=—(y+2=3/(：)==+;1=青

所以"件)卜條

當％<1時，由1</(x)<3可得1<-x2+2<3,所以-1<x<l,

當文>1時，由14/(%)43可得1工工+：-1W3,所以1V%W2+V5,

1<fw<3等價于一1<X<2+V3,所以[a,b]￡[-1,2+6],

所以b-Q的最大值為34-V3.

故答案為：J3+V3.

專題03導數及其應用

1.【2022年全國甲卷】當％=1時，函數/(%)=。1四+§取得最大值-2,則，(2)=()

A.-1B.C.|D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

根據題意可知八1)=一2,((1)=0即可解得a,b,再根據f'G)即可解出.

【詳解】

因為函數/(幻定義域為(0,+8),所以依題可知，/(1)=-2,r(l)=0,而/(幻=￡一盤，

所以b=-2,a—b=0,即。=-2/=-2,所以/'(%)=—：因此函數fG：)在(0,1)上

遞增，在(1,+8)上遞減，％=1時取最大值，滿足題意，即有((2)=-1+：=-：.

故選:B.

2.【2022年全國甲卷】已知a==cosjc=4sin；,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】

【分析】

由:=4tan(結合三角函數的性質可得c>b；構造函數/(%)=cosx+|x2-l,x6(0,+oo),

利用導數可得b>a,即可得解.

【詳解】

因為A=4tan；,因為當xG(0,1),sinx<x<tanx

b42

所以，即:>1,所以c>b；

44。

設/(%)=COSX+|x2-1,XE(0,+8),

f'(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0,+8)單調遞增，

則/(?>/(0)=0，所以85；-募>0，

所以b>a,所以c>b>a,

故選：A

3.【2022年新高考1卷】設Q=0.1e°i,b=g,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】

構造函數/(%)=ln(l+%)-%,導數判斷其單調性，由此確定a,b,c的大小.

【詳解】

設/(乃=ln(l+x)-x(x>-1),因為f'(%)=W-1=一充，

當％W(-1,0)時，/(%)>0,當工€(0,+8)時/(%)<0,

所以函數f(%)=ln(l+%)-%在(0,+8)單調遞減，在(一1,0)上單調遞增，

所以居)Vf(0)=0,所以1嗎一標0,故空1嗎=-1血9,即b>c,

所以J(一看)Vf(0)=0,所以?吟+卷V。,故所以卷

故a<b,

設。(%)=xqX+ln(l-x)(0<%<1),則=(x_1_l)ex+六=(，：)；+J

x2x2

令h(x)=e(x-1)+1,h'M=e(x+2%—1),

當OV%V0—1時，hf(x)<0,函數九(%)=眇(%2-i)+i單調遞減，

當/一1Vx<1時，hr(x)>0,函數h(x)=ex(x2-1)+1單調遞增，

又左(0)=0,

所以當0cx<或一1時，h(x)<0,

所以當Ov%v&-1時，gf(x)>0,函數g(x)=%鏟+ln(l-％)單調遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,WO,le01>-ln0.9,所以a>c

故選：C.

4.【2022年新高考1卷】(多選)己知函數/(%)=/一%+i,則()

A./1(%)有兩個極值點B./(%)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/Q:)的切線

【笞案】AC

【解析】

【分析】

利用極值點的定義可判斷A,結合f(%)的單調性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用

導數的幾何意義判斷D.

【詳解】

由題，/⑺=3/_1,令/⑺>0得%>/或%〈一冬

令廣(x)V0得-fvxvf,

所以/(乃在(一當凈上單調遞減，在(_8，一務(孚,+8)上單調遞增，

所以％=±日是極值點，故A正確；

因/(一?=1+乎>0,/(Y)=l-^>0,/(-2)=-5<0,

所以，函數"外在(一％-乎)上有一個零點，

當吐當時，/(x)>/(y)>0,即函數/(%)在停+8)上無零點，

綜上所述，函數/'(X)有一個零點，故B錯誤；

令五(%)=x3-x,該函數的定義域為R,h(-x)=(-x)3—(―x)=-x3+x=一九(%),

則人(乃是奇函數，(0,0)是九(%)的對稱中心，

將Mx)的圖象向上移動一個單位得到/(%)的圖象，

所以點(0,1)是曲線y=/(%)的對稱中心，故C正確；

令;(%)=3/-1=2,可得3=±1,又f(l)=/?(-1)=1,

當切點為(1,1)時，切線方程為y=2%—l,當切點為(一1,1)時，切線方程為y=2%+3,

故D錯誤.

故選：AC.

5.【2022年全國乙卷】已知為=々和％=次分別是函數/(%)=2謨-e/(。>0且。工1)

的極小值點和極大值點.若與<戈2,則。的取值范圍是.

【答案】G，i)

【解析】

【分析】

由%1，%2分別是函數f(x)=2ax_e%2的極小值點和極大值點，可得％G(一8,與)u(%2,4-00)

時，/Xx)<0,%€(與,％2)時，f(x)>0,再分a>1和OVQVI兩種情況討論，方程21na

?ax-2ex=0的兩個根為%i，%2，即函數y=Ina?a”與函數y=e%的圖象有兩個不同的交點,

構造函數gG)=lna,aH利用指數函數的圖象和圖象變換得到g(“)的圖象，利用導數的幾

何意義求得過原點的切線的斜率，根據幾何意義可得出答案.

【詳解】

解：/'(%)=21na?ax—2ex,

因為不,％2分別是函數=2a—e/的極小值點和極大值點，

所以函數/(X)在(一8,%i)和(上,+8)上遞減，在Qi，必)上遞增，

所以當％W(—8,勺)U(小,+8)時,f'(X)<0,當％W(%i，%2)時，(工)>。，

若Q>1時，當XV0時，21na?Q*>0,2exV0,則此時f'(x)>0,與前面矛盾，

故a>1不符合題意，

若0VaV1時，則方程21na-ax-2ex=0的兩個根為工外外，

即方程Ina?ax=ex的兩個根為%1，不，

即函數y=Ina-a”與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點，

VO<a<1,，函數、=Q”的圖象是單調遞減的指數函數，

又???lna<0,，y=Ina?a”的圖象由指數函數y=a*向下關于x軸作定稱變換，然后將圖象

上的每個點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長或縮短為原來的|lna|倍得到，如圖所示：

設過原點且與函數y=g(%)的圖象相切的直線的切點為(瓶,Ina?夢。)，

則切線的斜率為g'Qo)=ln2a-必。，

x2x

故切線方程為y—Ina-a°=\na-a°(x—x0)?

x2x

則有一Ina-a°=-xolna-a°,解得%o=*，

則切線的斜率為］n2a?aiiia=eln2a?

因為函數y=Ina?Q”與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點，

所以elMave,解得jvave,

又OVaVl,所以二VaVl,

e

綜上所述，Q的范圍為&,1).

【點睛】

本題考查了函數的極值點問題，考查了導數的幾何意義，考查了轉化思想及分類討論思想,

有一定的難度.

6.【2022年新高考1卷】若曲線》=。+°)/有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍

是.

【答案】(-8,-4)U(0,+8)

【解析】

【分析】

設出切點橫坐標%°,利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于出的方

程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得Q的取值范圍.

【詳解】

x

Vy=(x+a)e,，y'=(x+1+a)-，

x

設切點為(用,%)),則%=(x0+a)e"。,切線斜率k=(%()+1+d)e°,

x

切線方程為：y—Go+Q)e'°=(/+1+a)e°(x-x0),

xx

???切線過原點，，-Go+d)e°=g+1+a)e°(-x0),

整理得：XQ+ax0-a=0,

?切線有兩條，，A=/+4。>0,解得Q<一4或Q>0,

二。的取值范圍是(一8,-4)U(0,4-co),

故答案為:(-8,-4)U(0,+oo)

7.【2022年新高考2卷】曲線y=ln|%|過坐標原點的兩條切線的方程為,—

【答案】y=-xy=--x

ee

【解析】

【分析】

分工>0和％V0兩種情況，當％>0時設切點為(而,lna),求出函數的導函數，即可求出切

線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出與,即可求出切線方程，當x

<0時同理可得：

【詳解】

解：因為y=ln|x|,

當x>0時y=lnx,設切點為(々)/%)，由y'=：,所以y'lEo=j所以切線方程為y-ln

&=^(x-x0),

又切線過坐標原點，所以-ln&=^(-x0),解得沏=e，所以切線方程為y-1=：(%-e)‘

即y=-x\

e

當％V0時y=ln(一%),設切點為(%i，ln(-%])),由y'=L所以、'|4與=:，所以切線方程

為y-In(-％)=*(%-/)，

又切線過坐標原點，所以一1心不)=3-%1),解得%]="所以切線方程為yT=1a

+e)?即丫=-2工；

故答案為：y--x；y=--x

ee

8.[2022年全國甲卷】已知函數/'(x)=X3-x,g(x)=x2+a,曲線y=/(%)在點(%,/1%))

處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若為1=-1,求。；

⑵求。的取值范圍.

【答案】(1)3

(2)[-1,+8)

【解析】

【分析】

(1)先由“X)上的切點求出切線方程，設出9(%)上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再

由函數值求出a即可；

(2)設出g(x)上的切點坐標，分別由/?(%)和g(x)及切點表示出切線方程，由切線重合表示

出a,構造函數，求導求出函數值域，即可求得a的取值范圍.

(1)

由題意知，/(-I)=-1-(-1)=0,尸(%)=3x2-1,f(-l)=3-1=2,則、=/(%)在

點(一1,0)處的切線方程為y=2(x+1),

即y=2x+2,設該切線與g(x)切于點(M，gQ：2))，9'W=2x,則。'(小)=2x2=2,解得

%2=1，則。(1)=l+a=2+2,解得a=3；

(2)

f'(x)=3x2-1,則y=/(%)在點(/J(M))處的切線方程為y-(xf-=(3*-1)(%-

%i),整理得y=(3后一1)%-2智，

設該切線與g(x)切于點(%2，g(%2))，g'(x)=2x,則9'(%2)=2M，則切線方程為y-

(xf+a)=2X2(X—x2),整理得y=2x2x—xj+a,

貝2M整理得a=媛-2琦=(富丁-2*=泊-2琦-泊+:

令九(乃=1x4-2x3-+土貝=97-6/-3x=3x(3x+l)(x-1),令"(%)>

0,解得一9VxV0或％>1,

令"(X)V0,解得工〈一上或0<x<1,則%變化時，九1%),九0)的變化情況如下表：

1V。)

X0(0,1)1(1,+8)

(8.5)3

九3—0+0—0+

51

h(x)7-1/

274

則九(%)的值域為[-1,+00),故Q的取值范圍為[-1,+00).

9.【2022年全國甲卷】已知函數/(%)=7—In%+%—a.

(1)若/(x)N0,求。的取值范圍；

⑵證明：若外幻有兩個零點//2,則環/孫<1?

【答案】(l)(-8,e+l]

⑵證明見的解析

【解析】

【分析】

(1)由導數確定函數單調性及最值，即可得解：

(2)利用分析法，轉化要證明條件為6-％?一2[吊％-3X-3]>0,再利用導數即可得

證.

(1)

f(x)的定義域為(0,+8),

尸3=(?丸—+1=1(1_九*+(1一>=?(6+1)

令/(%)=0,得%=1

當日G(0,1),廣⑴<0/(%)單調遞減

當為G(1,+8)/(力)>0JQ)單調遞增f。)>/(I)=?+1-Q,

若fQ)>0,則e+1-?>。，即Q<e+l

所以a的取值范圍為(-8,e+1]

(2)

由題知/Q)一個零點小于1,一個零點大于1

不妨設與<1<x2

要證;q%2<1,即證與<已

因為必啟e(0,1),即證f(不)>f(?

因為/'(M)=〃必)，即證/(小)>心

即證？—Inx+x—%』—Inx—^>0,xG(1,4-oo)

即證)—xe*—2[lnx-1(x-^)]>0

下面證明4>1時，^-xe^>O,lnx-1(x-^)<0

設9(%)>L

則丁。)=G—孤"-+v-(-款=91一-》

設W。)=6(x>1)WCO=G-*)J=7TeX>0

所以*(%)>@(1)=令而，<e

所以-一1>0,所以g'Q)>0

所以g(%)在(1,+8)單調遞增

即g(x)>g(l)=0,所以:一工，>0

令/i(x)=Inx-1(x-^),x>1

,1112x—%2—1—(x—l)2

/l(x)=---(1+-7)=---7—2----=—^~2—<0

x2xz2xz2xz

所以九(%)在(1,+8)單調遞減

即h(x)<h(l)=0,所以In%-3(X-：)V0；

綜上，￡—Xg*—2[lnx—(x—>]>0,所以VL

【點睛】

關鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數證明不等式

=—這個函數經常出現，需要掌握

10.【2022年全國乙卷】已知函數f(x)=Q%-:一(a+

⑴當a=0時，求fGO的最大值；

⑵若f。)恰有一個零點，求。的取值范圍.

【答案】⑴-1

(2)(0,+8)

【解析】

【分析】

(1)由導數確定函數的單調性，即可得解：

(2)求導得/(%)=3—按照Q工0、0VQV1及Q>1結合導數討論函數的單調性,

求得函數的極值，即可得解.

(1)

當。=0時,0,則比(%)=._：=詈,

當工￡(0,1)時，/(%)>0,f(%)單調遞增;

當XU(1,I8)時，f'(x)<0,f(x)單調遞減；

所以f(%)max=f(l)=-l：

⑵

/(X)=ax-i-(a+l)lnx,x>0,則r(%)=Q+*-?=(3一y2,

當aW0時，QX-1W0,所以當xw(0,1)時，//(x)>0,/(均單調遞增；

當％6(1,+8)時，fXx)<0,/(%)單調遞減:

所以"%)max=f(l)=a-lVO,此時函數無零點，不合題意；

當ovaVI時，1,在(0,1),(，,+8)上，ff(x)>0,f(x)單調遞增；

在(1,》上，r(x)<0,f(x)單調涕減；

又/(1)=Q-1V0,當x趨近正無窮大時，/?(%)趨近于正無窮大，

所以/IE)僅在(1+8)有唯一零點,符合題意；

當。=1時，尸(幻=9并之o,所以，(外單調遞增，又f(l)=a-l=0,

所以/*?有唯一零點，符合題意；

當。>1時，1,在(0,》,(1,+8)上，/(%)>0,/(%)單調遞增；

在(11)上，((%)<0,/(%)單調遞減；此時/'(1)=a-l>0,

又f(煮)=蔡77一即+九(0+I"11%當"趨近正無窮大時，/(親)趨近負無窮，

所以/(%)在(0、)有一個零點，在(，+8)無零點，

所以/(%)有唯一零點，符合題意；

綜上，。的取值范圍為(0,+8).

【點睛】

關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數研究函數的極值與單調性，把函數零點問題轉化為

函數的單調性與極值的問題.

11.【2022年全國乙卷】已知函數/(比)=國(1+%)+oxer

⑴當Q=1時，求曲線y=f(%)在點(0J(0))處的切線方程；

⑵若/(%)在區間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求。的取值范圍.

【答案】(l)y=2x

⑵(一8,-1)

【解析】

【分析】

(1)先算出切點,再求導算出斜率即可

(2)求導，對a分類討論，對不分(-1,0),(0,+8)兩部分研究

⑴

/XX)的定義域為(-1,+8)

當a=1時,/(%)=ln(l+x)+^J(0)=0,所以切點為(0,0)/(%)=9+號,/(0)=2,

ee

所以切線斜率為2

所以曲線y=/'(%)在點(0)(0))處的切線方程為y=2x

⑵

f(%)=ln(l+%)+與

e

1Q(1-x)x4-a(l-x2)

/(")=E-^=e(]+為「

設9(%)=e*+。(1一%?)

x2

1°若a>0,當％€(一l,0),g(x)=e+Q(1-x)>0,即/(x)>0

所以/(%)在(一1,0)上單調遞增,/Q)</(0)=0

故/?(%)在(-1,0)上沒有零點，不合題意

x

2°若一1<a<0,當％G(0,+8),則/(%)=e-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上單調遞增所Ug(%)>g(0)=14-a>0,即/(x)>0

所以/CO在(0,+8)上單調遞增,/(x)>/(0)=0

故f(%)在(0,+8)上沒有零點，不合題意

3°若aV-1

x

⑴當xG(0,+8)廁g?)=e-2ax>0,所以g(x)在(0,+8)上單調遞增

g(0)=1+av0Ml)=e>0

所以存在mE(0,1),使得g(m)=0,即/(m)=0

當％e(0,血),/(%)<0,/(x)單調遞減

當xG(m,+<?),/'W>0,f(%)單調遞增

所以

當％G(0,m)J(x)</(0)=0

當％->4-oo,/(x)t+oo

所以f(%)在(m,+8)上有唯一零點

又(0,m)沒有零點，即f(%)在(0,+8)上有唯一零點

x2

(2)當％G(-1,0),^(x)=e+a(l-x)

設九(x)=g'(x)=/-2ax

*(%)=J-2Q>0

所以d(%)在(一1,0)單調遞增

/(-1)=-+2a<00(0)=1>0

e

所以存在九e(一1,0),使得g'(n)=0

當％G(-1,7i),g<x)<0,g(%)單調遞減

當％G(幾O),g'(x)>O,gQ)單調遞增,gQ)<g(0)=1+a<0

又g(T)=->0

e

所以存在te(一l,n),使得g(￡)=0,即/'(￡)=0

當％G(一1"),/(%)單調遞增，當％e(t,O),f(%)單調遞減

有XT-1,/(X)T-00

而“0)=0,所以當％e(￡,o),fa)>o

所以/(乃在(-13)上有唯一零點,(t,0)上無零點

即/1(%)在(一1,0)上有唯一零點

所以Q<-1,符合題意

所以若f(%)在區間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求a的取值范圍為(-8,-1)

【點睛】

方法點睛：本題的關鍵是對a的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊

不滿足即可，肯定要兩方面都說明.

12.【2022年新高考1卷】已知函數外幻=靖一。》和。(幻=以—限有相同的最小值.

⑴求a；

⑵證明：存在直線y=8,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從

左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

【答案】(l)a=1

⑵見解析

【解析】

【分析】

(1)根據導數可得函數的單調性，從而可得相應的最小值，根據最小值相等可求a注意分

類討論.

(2)根據(1)可得當b>l時，=b的解的個數、x—In%=b的解的個數均為2,

構建新函數陽>)=e"十inx-2心利用導數可得該函數只有一個零點且可得f(M，g@)的大

小關系，根據存在直線y=b與曲線y=/(%)、y=g(%)有三個不同的交點可得b的取值，再

根據兩類方程的根的關系可證明三根成等差數列.

⑴

/(%)=J-a%的定義域為R，而/'(%)=；-。，

若QW0,貝>0,此時/(%)無最小值，故a>0.

g(%)=a%-Inx的定義域為(0,+8),而=a-：=箋K

當“<Ina時，f'(x)<0,故/'(x)在(-8,Ina)上為減函數，

當％>Ina時，f'(x)>0,故f(%)在(Ina,+8)上為增函數,

故/COmin=/(Ina)=a-a\na.

當0vx<5時，g'(%)vO,故g(x)在(0,》上為減函數，

當涉，g\x)>0,故g(x)在&+8)上為增函數，

故0(%)min=0(?=1-嗎

因為/(%)=e"一以和g(x)=OX-Ink有相同的最小值，

故1一m工=a-alna,整理得到:二=Ina,其中Q>0,

a1+a

設g(a)=震-Ina,a>0,則g'Q)=^-;=肅<。，

故9(a)為(。，+8)上的減函數，而g(l)=0,

故g(a)=0的唯一解為a=1,故詈=Ina的解為a=1.

綜上，Q=1.

⑵

由(1)可得/(x)=/一"和。(%)=%-Inx的最小值為1-Ini=1-In；=1.

當b>l時，考慮:一萬=6的解的個數、％—In%=b的解的個數.

x

設S(x)=^—x—b,5/(x)=e-1,

當％VO時,S<%)VO,當4>0時，S'(x)>0,

故S(%)在(一8,0)上為減函數，在(0,+8)上為增函數，

所以S(x)min=5(0)=l-d<0,