函數的單調性的判定法函數的單調性的判定法已經會用初等數學的方法研究一些函數的單調性和某些簡單函數的性質，但這些方法使用范圍狹小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性.本節將以導數為工具，介紹判斷函數單調性的簡便且具有一般性的方法.

函數的單調性的判定法首先從函數y=f(x)的圖形上進行直觀的分析.如圖4-5所示，函數y=f(x)的圖形在區間(a,b)內沿x軸的正向上升，除點(ξ,f(ξ))的切線平行于x軸外，曲線上其余點處的切線與x軸的夾角均為銳角，即曲線y=f(x)在區間(a,b)內除個別點外切線的斜率為正.圖4-5函數的單調性的判定法如圖4-6所示，函數y=f(x)的圖形在區間(a,b)內沿x軸的正向下降，除個別點外，曲線上其余點處的切線與x軸的夾角均為鈍角，即曲線y=f(x)在區間(a,b)內除個別點外切線的斜率為負.由此可見，函數的單調性與導數的符號有著密切的聯系.圖4-6函數的單調性的判定法

反過來，能否用導數的符號來判斷函數的單調性呢？為此，給出如下定理.函數的單調性的判定法定理8設函數y=f(x)在［a,b］上連續，在(a,b)內可導.

(1)若在(a,b)內f′(x)>0，則函數y=f(x)在［a,b］上單調增加.

(2)若在(a,b)內f′(x)<0，則函數y=f(x)在［a,b］上單調減少.

證任取兩點x1,x2∈(a,b)，設x1<x2，由拉格朗日中值定理知，存在ξ(x1<ξ<x2)，使得f(x2)－f(x1)=f′(ξ)(x2－x1).

(1)若在(a,b)內，f′(x)>0，則f′(ξ)>0，所以f(x2)>f(x1),

即y=f(x)在［a,b］上單調增加.函數的單調性的判定法(2)若在(a,b)內，f′(x)<0，則f′(ξ)<0，所以f(x2)<f(x1),

即y=f(x)在［a,b］上單調減少.

函數的單調性的判定法(1)將此定理8中的閉區間換成其他各種區間(包括無窮區間)，結論仍成立.(2)函數的單調性是一個區間上的性質，要用導數在這一區間上的符號來判定，而不能用導數在一點處的符號來判別函數在一個區間上的單調性，區間內個別點導數為零并不影響函數在該區間上的單調性.例如，函數y=x3在其定義域(－∞,+∞)內是單調增加的，但其導數y′=3x2在x=0處為零.也就是說，將定理中的f′x>0與f′x<0換成f′x≥0與f′x≤0(等號只在個別點處成立)，定理8的結論仍成立.注函數的單調性的判定法討論函數f(x)=x－ln(1+x)在區間［0,+∞)上的單調性.解函數f(x)=x－ln(1+x)在區間［0,+∞)上連續，在(0,+∞)內可導，且有由本節定理知，函數f(x)=x－ln(1+x)在區間［0,+∞)上單調增加.如果函數在其定義域的某個區間內是單調的，則稱該區間為函數的單調區間.稱導數為零的點為函數的駐點.

【例24】函數的單調性的判定法根據本節定理不難驗證，函數y=x2及y=x在(－∞,0］內單調減少，在［0,+∞)內單調增加.分別考察這兩個函數在單調區間分界點處的導數，可以發現，y=x2在點x=0處的導數為零，y=x點x=0處不可導(即導數不存在).一般地，函數y=fx在單調區間的分界點處，要么導數等于0，要么導數不存在.由此，可按下述步驟來討論函數fx的單調性：(1)求出函數的定義域.

(2)求出函數的單調區間的所有可能的分界點，即函數的駐點和f′x不存在的點.

(3)用分界點將定義域分成若干小區間.

(4)判斷在各小區間內f′x的符號，然后確定函數在每個小區間中的單調性.

函數的單調性的判定法討論函數f(x)=2x2－ln

x的單調性.解函數的定義域為0,+∞.【例25】函數的單調性的判定法討