第9章含有耦合電感的電路分析

9.1耦合電感的伏安關系式9.2含有耦合電感電路的分析9.3空心變壓器9.4理想變壓器的伏安關系式9.5含理想變壓器電路的分析本章內容9.6理想變壓器的實現本章重點：

互感線圈同名端的判定

互感電壓表達式正負號的確定

有互感的電路的計算

理想變壓器返回目錄9.1耦合電感的伏安關系式當電感線圈中的電流隨時間變化時，在線圈兩端將產生感應電壓，稱為自感電壓。當自感電壓與電流處于關聯參考方向時，根據電磁感應定律，自感電壓與線圈中電流的關系可表示為：9.1.1耦合電感在實際電路中，常常遇到一些相鄰線圈的現象。如收音機、電視機中使用的中低頻變壓器（中周）振蕩線圈等。當任意一個線圈中通過電流時，必然會在其自身線圈中產生自感磁通，同時自感磁通的一部分也必然會穿過相鄰線圈。載流線圈之間磁通相互作用的物理現象稱為磁耦合或互感現象。具有磁耦合的線圈稱為耦合電感線圈或互感線圈。如圖所示為兩個具有互感的線圈N1，N2。設線圈N1，N2中的電流分別為i1和i2，根據右手定則就可以判定電流變化產生的磁通方向和相互交鏈情況。電流i1產生穿過自身線圈的磁鏈Ψ11稱為自感磁鏈，穿過線圈N2產生的磁鏈Ψ21稱為互感磁鏈。同理Ψ22

也為自感磁鏈，Ψ12

也稱為互感磁鏈。每個耦合線圈中的磁鏈就等于自感磁鏈與互感磁鏈兩部分的代數和。設N1線圈中的磁鏈為Ψ1，N2線圈中的磁鏈為Ψ2，則有：如果互感磁鏈與自感磁鏈方向一致，表明自感磁鏈與互感磁鏈互相增強，則互感磁鏈取“+”號，如果互感磁鏈與自感磁鏈方向相反，表明自感磁鏈與互感磁鏈互相削弱，則互感磁鏈取“-”號。當周圍空間是各向同性的線性磁介質時，每一種磁鏈都與產生它的電流成正比。即:其中M12

、M21稱為互感系數，簡稱互感。單位為（Henry）（亨利）。當只有兩個線圈存在耦合時，可以證明M12=M21=M，為常數。其大小表明一個線圈中的電流在另一個線圈中建立磁場的能力。M越大，能力越強。

兩個耦合線圈的磁鏈可表示為：

兩個耦合線圈之間的耦合緊密程度，可以用耦合系數表示，其定義為兩個線圈的互感磁鏈與自感磁鏈的比值的幾何平均值。即將自感磁鏈和互感磁鏈的表達式帶入上式，得

對于耦合線圈而言，每個線圈的互感磁鏈總是小于或等于自感磁鏈的，因此k≤1，則當k=1時，稱耦合線圈為全耦合狀態，最緊密無漏磁現象，互感系數最大；當k=0時，稱耦合線圈為無耦合狀態，線圈間互不影響。k的大小與線圈結構、相對位置以及周圍的磁介質有關，即使L1、L2確定，仍可通過調整或改變其相互位置，改變互感的大小。

9.1.2耦合電感的電路模型以及伏安關系

兩個電感線圈組成耦合電感元件后，作為一個整體，必須由L1、L2、M三個參數來描述其特征。其電路模型如圖所示，其中L1L2為自感系數，M為互感系數，“●”表示同名端。aaccbbdd+

為反映互感磁鏈對線圈中磁場的增強或削弱作用，電路模型中引入同名端標記方式。即兩個線圈帶有相同“●”標記的端點為同名端，如（a）圖中ac、bd為同名端，ad、bc為異名端；（b）圖中ad、bc為同名端，ac、bd為異名端。aaccbbdd+利用同名端判定耦合線圈中磁場增強或削弱的方法如下：當電流i1、

i2分別從同名端流進（或流出）各自線圈時，磁場相互增強；當電流i1、

i2

分別從兩個異名端流進（或流出）各自線圈時，磁場相互減弱。兩個耦合線圈同名端可根據線圈繞向和相對位置進行判斷，也可通過實驗方法確定。aaccbbdd+據電磁感應定律得耦合電感的伏安關系式：

上式表明：1.兩個耦合線圈作為二端口元件，其端口電壓為自感電壓與互感電壓的代數和。2.自感電壓與本線圈電流有關，其正負號取決于各線圈本身的電壓電流是否關聯參考方向。若關聯，則為正；非關聯，則為負。3.互感電壓與另一個線圈的電流有關，其正負與互感線圈的同名端位置及各自線圈的電流方向有關。如果互感電壓“+”極性端子與產生它的電流流進的端子為一對同名端，互感電壓前應取“+”號，反之應取“-”號。例9-1如圖所示耦合線圈，寫出其端口的伏安關系式。

??L1L2+_u1+_u2i2Mi19.1.3耦合電感的相量形式

9.2含有耦合電感電路的分析

在含有耦合電感電路中，其正弦穩態分析仍可采用相量法。但列KVL方程時要注意互感的影響。耦合電感每一個線圈上的電壓都包含自感電壓和互感電壓兩部分，即耦合電感支路的電壓不僅與本支路電流有關，而且還與那些與之具有互感關系的支路電流有關。其伏安關系體現為多種不同形式。9.2.1耦合電感的串聯

據同名端相互連接關系，串聯方式分順串和反串兩種。若同一電流依次從兩個線圈同名端流入（出）或兩耦合電感線圈非同名端相接稱為順串，反之，同一電流從一個線圈同名端流入，從另一線圈同名端流出或兩耦合線圈同名端相接，稱為反串。下圖為兩個具有耦合關系的耦合電感串聯電路，M表示互感。dtdiMdtdiLu+=22dtdiMdtdiLu+=11順串使等效復阻抗加大，表明互感起增強作用。

反串使等效復阻抗減小，表明互感起削弱作用。互感不大于兩個自感的算術平均值。反串時的等效電感例9-2

已知耦合電感L1=16mH，L2=4mH，當其耦合系數k=0.8時，分別求解兩電感順串和反串時的等效電感。解k=0.8

順串時

反串時

9.2.2.耦合電路的并聯

并聯連接方式也有兩種：即同名端相聯和異名端相聯。同名端相聯即兩個線圈的同名端在同一側或兩對同名端對應相連，則稱同側并聯。異名端相聯，即兩個線圈同名端不在同一側或兩對異名端對應相連，則稱異側并聯。如圖所示電路，（a）圖為同側并聯，（b）為異側并聯。同側并聯的等效電感

同理可得異側并聯的等效電感

同側并聯的等效電感

故互感小于兩元件自感的幾何平均值。9.3空心變壓器變壓器是電工、電子技術中常見的電器設備，是典型的互感電路實例。空心變壓器由兩個耦合線圈繞在同一個非鐵磁性材料的芯柱上制成。接到電源端的線圈稱為原邊（或初級）線圈，接到負載端的線圈稱為副邊（或次級）線圈，其電路模型如圖所示。原邊（或初級）線圈所在的回路稱為原邊（或初級）回路，副邊（或次級）線圈所在回路稱為副邊（或次級）回路。變壓器就是通過磁耦合將電源能量傳遞給負載。-+-+原邊回路方程為：

副邊回路方程為：

假設原邊回路自阻抗為Z11，則

假設副邊回路自阻抗為Z22

，則

空心變壓器從電源端看進去的輸入阻抗為：

稱為引入阻抗（或反映阻抗），其大小表明副邊的回路阻抗對原邊輸入阻抗的影響，即對原邊電流的影響程度。若副邊不接負載，即無窮大，則副邊對原邊的影響不存在。+-圖9-9空心變壓器原邊等效電路空心變壓器原邊等效電路如下圖所示。

圖9-10空心變壓器副邊等效電路空心變壓器副邊等效電路如下圖所示。等效阻抗原邊回路以激勵源形式對副邊產生影響。值得注意的是等效激勵源大小、極性和相位與耦合電感同名端、原副邊電流參考方向有關。例9-3如圖9-11所示變壓器電路。求解

用原、副邊等效電路進行計算

9.4理想變壓器的伏安關系式變壓器是一種應用廣泛的多端子磁耦合元件，初級繞組線圈從電源吸收電能并轉換為磁場能，然后再轉換成次級繞組線圈回路負載中所需電能，可完成信號或能量的傳遞，并且具備電壓變換、電流變換和阻抗變換的特性。理想變壓器是實際變壓器的理想化模型，是兩個耦合線圈滿足理想極限條件下的科學抽象。9.4.1理想變壓器的理想極限條件1．耦合系數k=1，即無漏磁，緊耦合。2．每個線圈的自感系數L1

、L2

無窮大。M也無窮大，但L1/L2保持不變。3．耦合線圈無損耗，不消耗能量。滿足以上三個極限條件的耦合電感線圈即稱為理想變壓器。9.4.2理想變壓器的電路模型及伏安關系N1、N2分別為原邊和副邊線圈的匝數，n=N1/N2

稱為變比，是初級線圈匝數與次級線圈匝數比。1．電壓變換

在圖示關聯參考方向下，若u1

、u2參考方向的“+”極性端都分別設在同名端（即相對于同名端相同時）：電壓比等于匝數比。若N1>N2

，則u1>u2為降壓變壓器；若N1<

N2

，則u1<u2為升壓變壓器。若u1

、u2

參考方向的“+”極性端分別設在異名端（即相對于同名端相反時）：注意：在進行變壓計算時，選用哪一個公式，取決于兩電壓參考方向與同名端的位置關系，與兩個線圈中的電流參考方向無關。

2．電流變換

圖示i1和i2的參考方向都流入同名端，則

若i1和i2的參考方向都流出同名端，上式仍然成立。即i1和i2參考方向相對于同名端相同（反）時，匝數比倒數取負（正），與兩線圈上電壓方向無關。若i1和i2參考方向一個從同名端進入一個從同名端流出，則

公式表明電流比為匝數比的倒數，選用哪一個公式取決于兩電流參考方向與同名端位置。由有理想變壓器具備不儲能也不耗能的特點。理想變壓器將能量由原邊全部傳輸到副邊，在傳輸過程中，僅僅將電壓、電流按變比作數值變換，屬無記憶多端元件。理想變壓器受控源電路模型如右圖所示。3．阻抗變換

在正弦穩態電路中，次級線圈所接負載為復阻抗，則。其中Z11為初級的輸入阻抗，也稱次級對初級的折合阻抗。故可利用變壓器匝數比改變輸入阻抗，實現與電源的匹配，使負載上獲得最大功率。如在晶體收音機中把輸出變壓器接在揚聲器和功率放大器之間，就是要使放大器得到最佳匹配，使負載上獲得最大功率。注意：（1）如果將初級阻抗折合到次級，則應該將初級電阻除以。（2）若ZL=0，則Z11=0。說明次級短路相當于初級短路。若ZL→∞，則Z11→∞。說明次級開路相當于初級開路。例9-4某理想變壓器額定電壓為10000V/230V，給其接一感性負載ZL=j0.996Ω，負載額定電壓為230V.設變壓器處于額定工作，試求：（1）變壓器的變比n（2）變壓器的額定電流I1N和I2N（3）連接變壓器后匹配的阻抗Z′L

。解（1）電壓的變比（2）變壓器額定工作時

（3）連接變壓器后，根據變壓器的阻抗變換關系，可得匹配的阻抗

9.5含理想變壓器電路的分析

理想變壓器屬于線性非時變無損耗元件。能夠按照匝數比來完成初、次級回路間的電壓變換、電流變換和阻抗變換。要利用理想變壓器的端口伏安關系式求解電路中相關參數。例9-5

含理想變壓器電路如圖所示，負載RL=2Ω

，信號源內阻RS=8Ω

，為使負載上獲得最大功率，理想變壓器的匝數比n應為多少？解當滿足阻抗匹配關系時，負載上可獲得最大功率。由初級等效電路

理想變壓器匝數比為2︰1例9-6

電路如圖所示，試求電壓

解1.用回路法求解2.用阻抗變換法

次級電阻在初級表現為

得等效初級電路如圖所示3.用戴維南定理求解原電路中在a、b兩端斷開，求其左側部分的戴維南等效電路為求得戴維南等效電路串聯電阻，可令外施電壓為零。折合電阻為9.6理想變壓器的實現理想變壓器是從實際變壓器中抽象出來的，實際變壓器在具備三個極限條件時就可以看成理想變壓器，其表征性能唯一的參數就是匝數比，無論什么時候，也不論其