民樂一中20232024學年第一學期高三年級第二次診斷考試

數學

一、選擇題

1.設全集。={°,1,2,3,4,5},集合A={X￡N|X<3},B={0,3,4,5）貝4自力口8=（）

A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,3,4,5}

【答案】D

【解析】

【分析】利用集合間的基本運算，即可得到答案；

【洋解】因為A={xeN|x<3}={0,l,2},所以屯［={3,4,5},

所以（gA）U3={0,3,4,5}.

故選:D.

2.一元二次方程以2+2工+1=0,（。。0）有一個正根和一個負根的充分而不必要條件是（）

A.a<0B.。）0C.a<—\D.a>\

【答案】C

【解析】

4-4。>0

【分析】先由方程根的情況可得」1,求出”的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即可得解.

-<（）

a

【詳解】因為一元二次方程依2+2X+1=0,（。工0）有一個正根和一個負根，

4-4。>0

所以h八，解得〃<0,

—<0

所以一元二次方程依2+2工+1=0,（。芋0）有一個正根和一個負根的充分而不必要條件可以是。<一1.

故選：C.

3.已知點pjcosg,。是角a終邊上一點，則sina=（）

A石D.迫

CI

5.25

【答案】D

【解析】

【分析】先求出點。到原點的距離，再根據正弦函數的定義求解.

【詳解】依題意點P的坐標為,|0尸|二八m+IJ號艮5；

故選：D.

4.設S,是等差數列｛4｝的前〃項和，若?=；，則率=()

>12

3八1

A.—B.—C.-D.-

1()389

【答案】A

【解析】

【分析】由等差數列的性質可知邑、SG-S、、S)-SG、L-R成等差數列，根據題意可將§6，S9都用

S3表示，可求得結果.

【詳解】由等差數列的性質可知S3、s6-s3.s3-56.與-S9成等差數列，

；U=§,即$6=3s3,(§6_S3)—S3=S3,

?

S9—S6—3s3,S12—S9-4s3,\S9—6s3,52Tos3，

.S(、二3s3=3

10'

故選：A.

5.函數f(x)=sin"n言的大致圖象為()

片

A.一..^3B.X

JYwJ01JX

D.KJ…不》

\o1/x

【答案】D

【解析】

【分析】首先判斷函數的奇偶性，排除選項，再根據特殊值/(2)的正負，再排除選項，即可求解.

【詳解】函數■的定義域為(YO,-l)u(l,+oo),

一X-1

由f(-x)=sin(-x)ln—~~-=-sinx-in=sinx-In---=f(x},

x-1x+1')

則f(x)偶函數，圖象關于y軸對稱，故排除A,C,

X/(2)=sin21ni<0,故排除B,

故選：D.

6.為捍衛國家南海主權，我海軍在南海海域進行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島A出發，沿南偏東70

的方向航行40海里后到達海島然后再從海島R出發,沿北偏東35的方向航行了4()及海里到達海島

C,若巡邏艦從海島A出發沿直線到達海島C,則航行的方向和路程(單位：海里)分別為()

A.北偏東8(),2()(6+及)B.北偏東65°,2()(6+2)

C.北偏東65,2()(后+0)D.北偏東80。,2()(6+2)

【答案】C

【解析】

【分析】根據方位角的概念結合正弦定理、余弦定理求解..

【詳解】作出示意圖如圖所示，

根據題意，乙4BC=70"+35°=105"，A8=40,8C=40人，

根據余弦定理，AC=NAB?+BC?-2A8?3c.cosZA3C

=^402+(40^)2-2x40x40x/2xcos105°

=71600+3200-3200x/2xcos105°=/4X00-32UU&xcos1,

因為8s105=cos(60+45、，的一融旦=

v722224

所以AC=/800—32()0&x=J48(X)—8()O(2-2后)

=73200+1600>/3=20(V6+、國，

因為.BC—=.AC—,所以sinNCA8=&^sinNA8C

sinZ.CABsinZ.ABCAC

40立

?sin（60+45）

20（V6+V2）

2（6應1⑶

=—=——x人---x--------k—x-----2

后+112222J書旦等又瀉

因為/C43為銳角，所以NC48=45，

所以從海島A出發沿直線到達海島C,航行的方向是北偏東180°-45°-70°=65°，

航行的距離是20（6十碼海里.

故選:C

（）、八S〃3〃+33出

7.設等差數列{q},{%}的前〃項和分別為s“，Tn,若寧:一^75~，則U為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

根據等差數列的性質，得§2小=[2〃-1）%,此由可得結論.

【詳解】｛凡｝是等差數列，則§21=（2〃-1）（；+%小），

a5_9%_Sg_3x9+33_勺

_又一皈一丁9+3i

故選：C.

8.設。=0.1e°』/=",c=-In0.9,貝U（）

A.a<h<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】構造函數/(x)=ln(l+x)-x,導數判斷其單調性，由此確定Ac的大小.

【詳解】方法一：構造法

1V

設f(幻=ln(l+x)-x(x>-1),因為/(%)=-----1=一一—,

1+x1+J

當KW(-1,0)時，f\x)>0,當xw(0,+co)時/'(x)<0,

所以函數/(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，

所以/己)</(。)=()，所以ln^---<0,故2>lnL=-ln().9,即h>c,

99999

1919--I-I

所以f(—F)〈/(°)=0,所以IIIF+FVO,故二<?1°,所以「-6°<上,

10101010109

故a<b,

1(x2-l)er+l

設8。)=X/+111(1-1)(0<、(1)，則/(幻=(*-+1,'

x—lx—1

令h(x)=ev(x2-1)+1,h'(x)=e'(x2+2x-l),

當0<x<近一1時，/。)<0,函數〃*)=e'*2-i)+i單調遞減，

當正—1<%<1時，〃(外>0,函數〃(幻=1(%2-1)+1單調遞增,

又力(0)=0,

所以當Ovx<J5-1時,h(x)<0,

所以當0<x<及一1時，，*)>0,函數ga)=，e'+ln(17)單調遞增,

所以g(0.1)>g(0)=。，即O.le°」>—ln0.9,所以。>c

故選：C.

方法二：比較法

解：，h=-^-,c=-ln(l-0.1),

1-0.1

0ln6/-lnZ?=0.1+In(l-0.1),

令/(x)=A:+ln(l-x),xe(0,0.1],

則r(x)=l--—=—<0,

\-x\-x

故/（X）在（0,0.1］上單調遞減,

可得/(0.1)</(0)=0,即Int/-ln/?<0,所以a<b；

②6F-c=O.le01+ln(l-0.1),

令g(x)=xex+ln(l—X),JVe(0,0.1],

則g，a)=w+e-_L=ii±ood二!，

v7l-.r\-x

令左(x)=(l+x)(l—x)e'-l,所以k\x)=(\-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上單調遞增,可得k(x)>k(0)>0,即(*)>(),

所以g(?在上單調遞姆，可得g(0.l)>g(0)=0,即a-c>0,所以。>配

故c<a<b.

二、多項選擇題

9.已知等差數列｛q｝是遞增數列，且%=3%，其前〃項和為S”，則下列選擇項正確的是（）

A.d>0B.當〃=5時，S”取得最小值

C./<0D.當S0>0時，〃的最小值為8

【答案】ACD

U針斤】

【分析】設等差數列｛〃“｝的公差為d,因為%=3%,求得q=-3d,根據數列伍”｝是遞增數列，可判

斷AC由等差數列前〃項和公式，結合二次函數的性質和不等式,的解法，可判斷BD.

【詳解】由題意，設等差數列｛〃“｝的公差為d,

因為%=3%,可得4+6d=3(q+4d),解得《二-34,

又由等差數列｛《J是遞增數列，得d>0,則q<0,故AC正確;

因為S“=g/+（q—g）〃=g-，

由二次函數的性質知，對稱軸為〃=2,開口向上,

2

所以，當，=3或4時5“最小，故B錯誤;

1

令$”=一1——〃:>0,解得，<0或〃>7,即S”>o時〃的最小值為8,故D正確.

故選：ACD.

10.下列說法正確的有

A.在―ABC中，a*,bc=sinA:sinBsinC

B.在^ABC中,若sin2A=sin2B,則〉ABC為等腰三角形

C.AABC中，s加A>s加8是4>8的充要條件

D.在△A8C中，若s加A=g,則4=專

【答案】AC

【解析】

【分析】由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各個選項，即可求解.

【詳解】由正弦定理/一二〃一=」一二2R

sinAsinBsinC

可得:a:b:c=2/?sinA:27?sinB:27?sinC

即〃：〃：c=sinA:sinB:sinC成立，

故選項A正確：

由sin2A=sin23可得2A=23或2A+2區=兀，

即A=8或A+B=￡,

2

則上3C是等腰三角形或直角三角形，

故選項B錯誤；

在中，由正弦定理可得

sinA>sinB<=>tz>Z?<=>A>B>

則sinA>sin8是力>〃的充要條件，

故選項C正確；

在ZkABC中，若=貝I」A=工或,

故選項D錯誤.

故選：AC.

【點睛】本題考查了命題真假性的判斷，正弦定理的應用，屬于基礎題.

11.已知函數/(x)=sin|x|+|sinx|,則()

冗

A.八")是偶函數B.7(x)在區間-,7V上單調遞減

C.八幻在區間［—兀，兀］上有四個零點D.人X)的值域為［0,2］

【答案】ABD

【解析】

【分析】由定義判斷A；由正弦函數的單調性判斷B；由/(')在［0,萬］上的零點結合奇偶性判斷C；討論

［0,+。)的值域，結合奇偶性判斷D.

【詳解】對于A：其定義域為R,f(-x)=sin|-x|+1sin(-x)|=sin|x|+1sinx|=/(x),即函數/(<)是

偶函數，故A正確;

乃

對干B：XG—,71時,sinx>0,/(^)=sinx+sinx=2sinj;,由正弦函數的單調性可知，/*)在區間

三式上單調遞減，故B正確；

對于C：不￡［0,乃］時、sinx>0,/(x)=sinx+sinx=2sinx,此時2sinx=0,可得戈=0或1=兀，因

為f(x)是偶函數，所以/。)在區間［一兀兀］上的零點為一兀,0,兀，故C錯誤；

對于D：當2EWxW兀+2E,且ZNO/EZ時，sinxefOj],/(x)=sinx+sinx=2sin.vG[0,2].

當方+2左乃%+2%]，且上之0,左EZ時，sinx<0,/(x)=sinx-sinx=O.

又.f(x)是偶函數，所以函數八幻的值域為［0,2］,故D正確;

故迄ABD

|log2A:|,0<JI<4

12.已知函數/(%)=--7i，m"，使方程/("二/有4個不同的解：分別記為

2COS-A,4<X<8'7

2

%,多,芻，%，其中王<七<天，則下列說法正確的是().

A.0</<2B.Xy+x4=6

C32<裝<35

D.玉+X2+X3+%的最小值為14

中2

【答案】AC

【解析】

【分析】畫出函數圖象，利用數形結合思想進行求解判斷即可.

如圖，0<，<2時，方程存在4個不同根，

當7=2時，x=—,<x<1,4<<5

44

.?.|1082h=/時，|1082%|=|10829|得一1°82玉=1。82工2

即'二工2，不押2=1，由正弦函數對稱性知&+工4=12,

丫［

2

._芻工4=X3（12-X3）=-（X3-6）+36,4<x3<5,

/（,q）=-（玉-6）2+36在（4,5）上單調遞增，所以32<百々毛%<35；

1-

二.為+看+網+工4=M+—+12,

/（』）=玉+J+12在|上單調遞減，所以14<%+￡+W+七〈與，無最小值，

故選：AC

【點睛】關鍵點睛：利用數形結合思想進行求解是解題的關鍵.

三、填空題

13.已知〃工）二%2+以在［0,3］上的最大值為M,最小值為山，若例-m=4,則〃=

【答案】-2或-4

【解析】

【分析】根據區間和二次函數對稱軸的相對位置，結合二次函數的單調性分類討論求解即可.

【詳解】二次函數/（X）=f+抽的對稱軸為：X=-,

當-時，即。上0,函數在［0,3］上單調遞增，

所以M=/(3)=9+3。,〃?=/(0)=0,由M-〃2=4,得9+3〃-0=4=>。=——，不滿足“20,舍

3

去；

當-?^之3時，即〃工-6時，函數在［0,3］上單調遞減，

13

所以M=/(O)=0,根=/(3)=9十3。，HdM-ni=4,得0—(9十3。)=4=>〃=一"—,不滿足々工一6,

舍去，

2

當0<一@<3時，則-6vav0,此時〃?=/(_0)=一幺，

224

若-@-0<3-(-0)時，即一344Vo時，/=/(3)=9+3〃，

22

2

由M-〃?=4,得9+3。+?-=4=〃=一2,或。=-10舍去，

4

若----0>3-(—)時，即—6<?！?,M=/(0)=0,

22

2

由=得幺=4=〃=一4,或a=4舍去，

4

綜上所述：。=-2或々=-4,

故答案為：-2或-4

【點睛】關鍵點睛：根據二次函數對稱軸與所給區間的相對位置分類討論是解題的關鍵.

7

【答案】

【解析】

7C

【分析】由題意，〃一2。是一一。的2倍，根據余弦二倍公式，即可求解.

2

【詳解】由題意乃-2a=2-

12

...cos(4-2a)=cos2~~a

7

故答案為：-§

點睛】本題考查余弦二倍角公式，屬于基礎題.

15.將數列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項從小到大排列得到數列｛飆｝,則｛斯｝的前〃項和為.

【答案】3n2-2n

【解析】

【分析】首先判斷出數列與｛3〃-2｝項的特征，從而判斷出兩個數列公共項所構成新數列的首項

以及公差，利用等差數列的求和公式求得結果.

【詳解】因為數列｛2〃-1｝是以I為首項，以2為公差的等差數列，

數列｛3鹿-2｝是以1首項，以3為公差的等差數列，

所以這兩個數列的公共項所構成的新數列｛q｝是以1為首項，以6為公差的等差數列，

所以｛〃”｝的前〃項和為〃/+處?1.6=3〃2-2〃，

故答案為：3/z2-2n.

【點睛】該題考查的是有關數列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數列的公共項構成新數列的特征，等

差數列求和公式，屬于簡單題目.

16.函數y=/(x)是定義在［-3,3］上的奇函數，/(-1)=3,當x>0時，/(x)=f一辦+2,不等式

/(〃2-1)+/(2m+1)20的解集為.

【答案】［-2,0］

【解析】

【分析】根據題意得=進而得。=6,故當x>0時，/(^)=x2-6x4-2,且在xe(0,3］上單調

遞減，進而根據奇函數性質得函數)，=/(幻在［-3,0)上的單調遞減函數，然后討論即可.

【詳解】解：因為函數產Ax)是定義在［-3,3］上的奇函數，/(—1)=3

所以/(1)=_/(-1)二-3,

因為當x>0時，/(x)=x2-ax+2,

所以/0)=3-。=-3,解得。=6,

所以當x>0時，/(1)二12-6/+2=(工一3)2—7,

當工<0時，/(x)=-f{-x)=4(-x)2-6(-x)+2］=-x2-6x-2

所以由二次函數的性質得xw(0,3］時，函數y=/(x)單調遞減，在［-3,0)上單調遞減

易知/(加-1)+/'(2m+1)之0=/(2/?7+1)>

當0<26+1?3,()<1-m(3時，原不等式+解得一,<〃240；

2

當一342加+1<0,-3<1一〃2<0時，無實數解;

當0v2〃?+lW3,-3工1一根<0,無實數解；

當?3《2m+1v0,0vl—即?2?，〃〈一,時，原不等式。

2

-(2m+1)2-6(2w+1)-2>(1-m)2-6(1-w)+2,解得?2?用〈一二；

2

I39319

當2m+1=0,即〃?=-；時，/(2/n+l)=0,/(l-/n)=/(-)=--6x-+2=，滿足題意；

當1一m=0,即加=1時，/(1-772)=/(0)=()./(2〃+l)=/(3)=9-54+2=Y3,不滿足題意.

綜上，原不等式的解集為：［-2,0］

故答案為：［-2,0］

-7

四、解答題

17.記“8C的內角A,B,。的對邊分別為小b,c,已知acos4+/?cosA+2c、cosC=0.

（1）求C；

（2）若8=4,c=2不,求.工的面積.

【答案】（1）C=—

3

⑵26

【解析】

【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡即可得答案；

（2）由余弦定理求得〃值，然后利用面積公式求解即可.

【小問1詳解】

由正弦定理得sinAcos8+sin8cosA+2sinCcosC=0,

得sin4cos7?+sinReos>>4=sin（>4+/?）=sinC=—2sinCeosC.

I

因為?！辏?,7），所以sinCoO,所以cosC=-],即。==.

【小問2詳解】

2

由余弦定理得c?=a+6一勿"cost?，得+4?！?2=（。+6乂4—2）=0,

所以。=2,故的面積為」aZ?sinC='x2x4x^=2后.

222

18.問題：設公差不為零的等差數列｛〃”｝的前〃項和為S”，且S3=6,.

下列三個條件：①/，/，％成等比數列；②54=5%；③5+1）?！?〃《山.從上述三個條件中，任選一個補

充在上面的問題中，并解答.

（1）求數列伍“｝的通項公式；

13

（2）若bn=------,數列｛"｝的前〃項和為K”，求證：Kn<~.

《4+24

【答案】（1）〃“=〃

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）選①?③分別與邑=6組成方程組，解出首項與公差即可得解；

(2)利用裂項相消法求出數列的前〃項和為K“，即可得證.

【小問1詳解】

設等差數列｛q｝的公差為d(d*0).

選條件①：:53=6,。2,。4,48成等比數列,

3q+3d=6伉=1

(4+3d)=(q++)(1+7d)[d=l

故數列｛4｝的通項公式為CI,,=1+77-1=H.

選條件②：V53=6,S4=5〃2,

3q+3d=64T

?二甸+64=5(%+")‘解得,

d=\

故數列｛4｝的通項公式為q=1+〃-1=".

選條件③：V5?=6?(n+1)1,

13%+3d=6(%=]

?；(〃+l)[q+〃d)，解得d=1

故數列｛〃“｝的通項公式為an=\+n-1=n.

【小問2詳解】

證明；???〃=」-----——\]，

風4+221〃〃+2J

“1J11111111(1111]

K=—(-----1----+H--------------------)=

“21324n-\n+\〃+22\12n+\/?+2；

132〃+33

---------------<—

22(〃+1)(〃+2)4,

19.已知函數/(此二丁+^^十八丫(a,b￡R).若函數/(幻在x=l處有極值-4.

(1)求/*)的單調遞減區間;

(2)求函數/a)在［-1,2］上的最大值和最小值.

【答案】(1)(一(，1).；(2)f(x)inin=-4,f(x)nuix=8.

IJ/

【解析】

【詳解】試題分析:

(1)先求出導函數，根據導數的幾何意義得到關于出。的方程組，求得。力后再根據導函數的符號求出單

調遞減區間.

(2)由(1)求出函數的單調區間,可以數判斷函數/(x)在[-1,2]上的單調性,求出函數“X)在卜1,2]

上的極值和端點值，通過比較可得/(x)的最大值和最小值.

試題解析：

(1):/(1)=/+爾+法，

/./'(x)=3x2+Icix+b,

(尸⑴=3+2。+〃=0a=2

依題意有即〈人(，解得＜r.

[/(1)=1+67+/2=-4[b=-7

A/'(x)=3x2+4x-7=(3x+7)(X-1),

由/''(x)vO,得—

⑵由⑴知〃"=寸+2￡-7居

/./'(x)=3x2+4x+7=(3x+7)(x-l),

7

令/'a)=o,解得芯=一§,x2=i.

當工變化時，/'(x),/(X)的變化情況如下表:

X-1(71)1(12)2

fW—0+

8極小*4/2

由上表知，函數/(X)在(一1』)上單調遞減，在(1,2)上單調遞算

故可得/*)〃而=/(1)=-4，

又f(-1)=8J⑵=2.

???f(x-/(T)=8.

綜上可得函數/(x)在［-1,2］上的最大值和最小值分別為8和-4.

20.已知函數f(x)=cosxsinl-\/3cos2x+—,xeR.

、3J4

(1)求的最小正周期和單調區間；

jrjr

(2)求/(x)在閉區間上的最大值和最小值.

【答案】(1)最小正周期為不，單調遞增區間是［2萬一2,以■+'］伏wZ),單調遞減區間是

1212

r^+—］(^GZ)；

1212

(2)最小值為—，最大值為一

24

【解析】

17V

【分析】(1)由三角函數中的恒等變換應用化簡函數解析式可得/(x)=/sin(2x-］),利用正弦函數的

性質即得；

(2)利用正弦函數的性質即求.

【小問1詳解】

由/(x)=COSX-sin^X4-yj-\巧2,V3

/3cosx+——

4

=cosx(sinxcosy+cosxsiny)-?"cos?x+—

4

1.石，J

=—sinxcosx------cosx+一

224

1.c5/3c\73

=-sin2x------(1+cos2x)+-

44，4

=；sin(2人一介

???/(x)的最小正周期為萬，

由2人兀一工效2kn+—,得我4一2領k+—(A:GZ),

2321212

由2女萬+生效2r一工2k7v+—-,得匕r+區領kk7r+[keZ)

2321212

???函數單調增區間為伙萬一5M力+2](kGZ),函數單調減區間為伙乃+色從乃+上]僅eZ)；

121212

【小問2詳解】

I丁I■九式【

由于XW［一:，二］,

44

.c兀r57T1-.

所以2人一彳€［--^，?。?

366

所以sin(2x——)［-1,-1>

32

故f(幻［-/］,

故函數的最小值為-,，函數的最大值為

24

21.已知等差數列｛〃”｝的前〃項和為S“，且滿足%+%=I8,S?=121.

(1)求數列伍“)的通項公式；

⑵設么=(?！?3)2”,數列｛〃｝的前"項和為求卻

【答案】(1)q=2〃-1；(2)7；=〃2"

【解析】

【