第十章分式（知識歸納+題型突破）掌握分式的概念、分式有意義，無意義，值為0的條件。理解并掌握分式的基本性質，能運用分式的基本性質進行恒等變換，進行化簡、變形和約分。掌握分式方程的解法，能運用分式方程解決實際問題。一、分式的概念1、分式概念：一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么代數式叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母．2、分式有意義：分母；分式無意義：分母；分式值為0：分子且分母．二、分式的基本性質：分式的分子和分母都乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變．，，其中C是不等于0的整式．三、約分1、分式的約分：與分數的約分相類似，根據分式的基本性質，把一個分式的分子和分母都除以它們的公因式，叫做分式的約分．注意：當分式的分子、分母為多項式時，先將分式的分子、分母分解因式，然后找出它們的公因式，再約分．2、最簡分式：如果一個分式的分子與分母只有公因式1，那么這樣的分式叫做最簡分式．四、通分1、通分：與分數的通分類似，根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式變形成同分母的分式，叫做分式的通分．2、最簡公分母：取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．注意：當分式的分母是多項式時，先將它們分解因式，再確定最簡公分母．五、分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數的值;③檢驗(求出未知數的值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數的取值范圍,可能產生增根).題型一分式的定義【例1】在中，分式的個數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】題目主要考查分式的判斷，形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.根據分式的定義即可判斷．【詳解】解：在中，是分式，共5個，故選：C．【例2】下列各式：，，，，其中分式有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】本題主要考查分式的定義，注意不是字母，是常數，所以不是分式，是整式；判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式；【詳解】解：是分式的只有：故選：B．【例3】在，，，中分式的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查的是分式的定義，形如：，且中含有字母，這樣的代數式是分式，掌握“分式的定義”是解本題的關鍵．根據分式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：，，，中分式有：，，共2個．故選：B．鞏固訓練1．下列代數式，，，，，，其中屬于分式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查分式的識別，涉及分式定義，根據分式定義逐個判別即可得到答案，熟記分式的定義是解決問題的關鍵．【詳解】解：由分式定義可知，，，，這三個代數式是分式，故選：C．2．式子，，，，，中，屬于分式的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查分式的定義，能夠準確判斷代數式是否為分式是解題的關鍵．看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據此依據逐個判斷即可．【詳解】解∶分母中含有字母的是，，，∴分式有3個，故選：C．3．下列式子：，，，，，其中是分式的個數有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】本題考查了分式的定義，“已知整式和，如果中分母含有字母，那么叫分式”，熟練掌握分式的定義是解題的關鍵．根據分式的定義逐一判斷即可．【詳解】解：根據分式的定義得：，是分式，故選：A．題型二分式有意義、無意義、值為0【例4】下列分式中一定有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式有意義的條件和一個數的平方一定是非負數等知識，根據分式有意義的條件逐一進行分析判斷即可．【詳解】解：A．因為，所以，分式一定有意義，故本選項正確；

B．，當時，分式無意義，故該選項不正確，不符合題意；

C．，當時，分式無意義，故該選項不正確，不符合題意；

D．，當時，分式無意義，故該選項不正確，不符合題意；

故選：A．【例5】當時，下列分式沒有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式無意義的條件，根據分式無意義的條件進行判斷即可，解題的關鍵是理解分母為零即為分式無意義的條件．【詳解】解：當時，，∴當時，分式沒有意義，故選：．【例6】若分式的值為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了分式值為0的條件，根據分子為0，分母不為0是分式值為0進行判斷即可．【詳解】解：∵分式的值為，∴且，解得，故選：A鞏固訓練4．若分式的值為0，則x的值為（

）A． B．0 C． D．3【答案】D【分析】本題考查了分式的值為零的條件：分式的分子等于，且分母不等于．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選D．5．若分式無意義，則滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式無意義的條件．根據分式無意義的條件是分母等于零即可解答．【詳解】解：若分式無意義，則，∴，∴當時，分式無意義．故選：C．6．若分式有意義，則x滿足的條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查分式有意義的條件，根據分式的分母不為零求解即可．【詳解】解：要使分式有意義，只須，即，故選：B題型三將分式的最高次項系數變為正數【例7】不改變分式的值，使分式的分子、分母中的最高次項的系數都是正數，則分式可化為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據添括號法則，對所求式子添括號，根據分式基本性質進行化簡即可．【詳解】解：．故選B．【點睛】考查了分式的基本性質以及添括號法則，注意當括號前面加“-”時，括號里的各項都改變正負號．【例8】不改變分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次項的系數都是正數，應該是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據分式的基本性質即可求解．【詳解】解：由題意可知將分式的分子分母同時乘得：，故選：C．【點睛】本題主要考查了分式的基本性質，掌握分式的基本性質是解題的關鍵，分式的基本性質是分手的分子分母同時乘或除以同一個不為0的整式，分式的值不變．鞏固訓練7．不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數為正數，正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】讓分子，分母同時改變符號即可讓分子和分母中x的最高次項的系數都是正數．【詳解】分子的最高次項為﹣3x2，分母的最高次項為﹣5x3，系數均為負數，所以應同時改變分子，分母的符號可得原式==．故選D．【點睛】用到的知識點為：分子，分母，分式本身的符號，改變其中的2個，分式的大小不變；分子，分母的最高次項的系數均為負數，應同時改變分子，分母的符號．8．若不改變分式的值，使分子與分母的最高次項的符號為正，則＝．【答案】【分析】根據分式的基本性質解答．【詳解】原式＝．【點睛】本題考查分式的應用，熟練掌握分式的基本性質是解題關鍵．9．不改變分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次項的系數為正：(1)=,(2)=.【答案】,【分析】根據添括號法則，對所求式子添括號，根據分式基本性質進行化簡即可.【詳解】故答案為,.【點睛】考查了分式的基本性質以及添括號法則，注意當括號前面加“-”時，括號里的各項都改變正負號.題型六分式的基本變形【例9】下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據分式的基本性質以及分式中的符號法則進行判斷即可．【詳解】解：，故A選項錯誤；，故B選項錯誤；，故C選項正確；，故D選項錯誤．故選：C．【點睛】本題主要考查的是分式的基本性質和約分，正確的把分子分母進行因式分解是解題的關鍵．【例10】下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是分式的基本性質，做題的根據是看是否符合分式的基本性質，特別要注意同乘或同除的數或整式是否為0．根據分式的基本性質：分式的分子和分母同時乘以或除以一個不為0的數或整式，分式的值不變，即可得出答案．【詳解】A、D是分子、分母同加或同減，不符合分式的基本性質，故選項A、D錯誤；B是分式的分子分母同乘以b，但b有可能為0，故選項B錯誤；C符合分式的基本性質，故選項C正確．故選：C．【例11】下列等式中，不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了約分，正確掌握分式的基本性質是解題關鍵．直接利用公式法以及提取公因式法將分子與分母分解因式，再利用分式的性質分別化簡，進而判斷即可．【詳解】解：A.，等式不成立；B.，等式成立；C.，等式成立；D.，等式成立；故選A．鞏固訓練10．下列分式變形從左到右一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的基本性質．根據分式的基本性質，進行計算即可解答．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、當時，，故本選項不符合題意；D、，故本選項符合題意；故選：D．11．下列分式與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質，正確利用分式的基本性質求出是解題關鍵．根據分式的性質，可化簡變形．【詳解】解：A.，故此選項符合題意；B.，故此選項不符合題意；

C.，故此選項不符合題意；

D.，故此選項不符合題意；故選：A．12．下列運算中，錯誤的是

（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是分式的基本性質．利用分式的基本性質，逐一分析各選項，即可得到答案．【詳解】解：A、，故本選項正確，不符合題意；B、，故本選項正確，不符合題意；C、，故本選項正確，不符合題意；D、，故本選項錯誤，符合題意；故選：D題型六利用分式的基本性質判斷分式值的變化【例12】一個分數的分子擴大為原來的4倍，分母縮小為原來的，這個分數的值（

）A．擴大為原來的8倍 B．縮小為原來的C．不變 D．擴大為原來的2倍【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解答本題的關鍵．分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變．根據分式的基本性質，即可通過計算得到答案．【詳解】設這個分數為，其中x，y均為正整數，當分數的分子擴大為原來的4倍，分母縮小為原來的時，這個分數為，即這個分數的值擴大為原來的8倍．故選A．【例13】如果分式中的x，y都擴大為原來的2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．擴大為原來的2倍C．擴大為原來的4倍 D．不能確定【答案】B【分析】本題考查分式的性質．將x，y都擴大為原來的2倍，再進行化簡約分，即可得出結果．掌握分式的性質，是解題的關鍵．【詳解】解：分式中的x，y都擴大為原來的2倍，則：，∴分式的值擴大為原來的2倍；故選B．【例14】把分式中的x和y都擴大10倍，分式的值（

）A．擴大10倍 B．擴大100倍 C．不變 D．縮小10倍【答案】A【分析】本題主要考查了分式的基本性質．根據分式的基本性質，即可求解．【詳解】解：，∴把分式中的x和y都擴大10倍，分式的值擴大10倍．故選：A鞏固訓練13．分式中x，y的值都擴大到原來的3倍，則分式的值（

）A．不變 B．縮小到原來的 C．擴大到原來的3倍 D．縮小到原來的【答案】C【分析】本題主要考查分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質解決此題．根據分式的基本性質解決此題．【詳解】解：分式中的和都擴大到原來的3倍，得到．∴分式的值擴大到原來的3倍．故選：C．14．如果把分式中的m，n都變為原來的2倍，那么分式的值（）A．變為原來的2倍 B．變為原來的4倍C．變為原來的 D．不變【答案】C【分析】本題考查分式的性質，根據分式的性質計算即可．【詳解】解：，即分式的值變為原來的，故選：C．15．若在中的x和y都擴大到原來的2倍．那么分式的值（）A．縮小為原來的一半 B．不變C．擴大為原來的4倍 D．擴大為原來的2倍【答案】A【分析】本題考查了分式的性質，利用分式的性質是解題關鍵．根據分式的性質：分子分母都乘（或除以）同一個不為零的整式，可得答案．【詳解】解：把分中的x和y都擴大到原來的2倍，得出：，分式的值縮小為原來的，故選：A．題型六最簡分式【例15】下列分式是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了最簡分式的定義，能熟記最簡分式的定義是解此題的關鍵．根據最簡分式的定義（分式的分子和分母除1以外，沒有其它的公因式，這樣的分式叫最簡分式）逐個判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；B、，是最簡分式，故本選項符合題意；C、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；D、，不是最簡分式，故本選項不符合題意；故選：B．【例16】下列分式中，最簡分式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式的性質、分式的約分等知識點，掌握最簡分式的概念是解題的關鍵．根據“分子與分母沒有非零次的公因式的分式叫最簡分式”逐項判斷即可．【詳解】解：A.的分子分母有非零公因式，不是最簡分式，不符合題意；B.的分子分母有非零公因式，不是最簡分式，不符合題意；C.的分子分母沒有有非零公因式，是最簡分式，符合題意；D.的分子分母有非零公因式，不是最簡分式，不符合題意；故選：C．【例17】下列說法正確的是（

）A．分式是最簡分式 B．根據分式的基本性質，可以變形為C．分式中的，都擴大為原來的3倍，分式的值不變 D．分式的值為零，則的值為【答案】A【分析】本題考查了分式的有意義的概念，最簡分式的概念，分式的基本性質，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．根據分式的有意義的概念，最簡分式的概念及分式的基本性質，即可判斷答案．【詳解】選項A，正確，符合題意；選項B，當時，x不能出現在分母上，B選項錯誤，不符合題意；選項C，當，都擴大為原來的3倍時，分式的值也擴大為原來的3倍，所以C選項錯誤，不符合題意；選項D，當分式的值為零時，，所以D選項錯誤，不符合題意；故選：A．鞏固訓練16．以下式子是最簡分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了最簡分式的定義和分式約分化簡，即一個分式的分子與分母沒有非零次的公因式時，叫最簡分式．根據分式約分的方法及最簡分式的定義進行判斷即可．【詳解】A.，不是最簡分式，故不符合題意；B.，不能再化簡，是最簡分式，符合題意；C.，不是最簡分式，故不符合題意；D.，不是最簡分式，故不符合題意；故選B．17．下列分式中最簡分式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了最簡分式的概念，根據最簡分式的概念，可把各分式因式分解后，看分子分母有沒有公因式.【詳解】解：A.，不是最簡分式，故該選項不正確，不符合題意；

B.，不是最簡分式，故該選項不正確，不符合題意；

C.是最簡分式，故該選項正確，符合題意；

D.，不是最簡分式，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．18．分式，，，中，最簡分式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了最簡分式的判斷，分子和分母沒有公因式的分式叫做最簡分式，據此判斷即可．【詳解】解：是最簡分式，符合題意；，不是最簡分式，不符合題意；是最簡分式，符合題意；不是最簡分式，不符合題意；故選：B．題型六最簡公分母【例18】分式與的最簡公分母是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了最簡公分母的知識，求解所有分母的最大公因式是解題的關鍵．找系數的最大公因式，所有字母的最高次冪即可得最簡公分母，進而可求解．【詳解】解：分式與的最簡公分母是．故選：D．【例19】分式與的最簡公分母是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把第二個分式的分母分解因式，然后根據最簡公分母的確定方法解答．本題考查了最簡公分母的確定，解題的關鍵在于對分母正確分解因式．【詳解】解：∵，∴與的最簡公分母為，故D正確．故選：D．鞏固訓練19．分式與的最簡公分母是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查最簡公分母，解題的關鍵是：需要掌握最簡公分母的定義．【詳解】解：在分式與中，取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積即最簡公分母為：，故選：C．20．分式與的最簡公分母是．【答案】/【分析】本題考查了最簡公分母．根據找最簡公分母的方法（系數找最小公倍數，相同次冪找最高次冪，對于只在一個分母中有的，連同它的指數也作為一個因式）找出最簡公分母即可．【詳解】解：分式與的最簡公分母是．故答案為：．21．分式與的最簡公分母為．【答案】【分析】本題主要考查了最簡公分母的定義：取各分母系數的最小公倍數與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．按照公分母的定義進行解答．【詳解】解：與的最簡公分母為．故答案為：．題型六通分【例20】分式與通分后的結果是．【答案】，【分析】根據分式通分的方法求解即可．【詳解】解：∵，，∴分式，分式．故答案為，．【點睛】此題考查了分式的通分，解題的關鍵是熟練掌握分式通分的方法．【例21】通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查通分，找到各分母的最簡公倍數是解題的關鍵．（1）根據，，的最簡公倍數為進行通分即可；（2）根據，，的最簡公倍數為進行通分即可．【詳解】（1）解：，，的最簡公倍數為，；；；（2）解：，，的最簡公倍數為，；；．【例22】通分：，．【答案】，【分析】本題考查了通分；把兩個分母分別分解因式，找出最簡公分母，再通分即可．【詳解】解：最簡公分母是，，．鞏固訓練22．通分：(1)，，；(2)，，．【答案】(1)，，(2)，，【分析】本題考查了通分．解答此題的關鍵是熟知找公分母的方法：系數取各系數的最小公倍數；凡出現的因式都要取；相同因式的次數取最高次冪．（1）中最簡公分母是，利用分式的性質變形即可；（2）中三個分式的分母分別為，，，把視為一個整體，確定最簡公分母是．注意中的“”可放在分數線的前面．【詳解】（1）解：∵最簡公分母是，∴，，．（2）解：∵最簡公分母是，∴，，．23．通分：(1)與；(2)與．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）最簡公分母是，通分即可；（2）先把每個分母因式分解，最簡公分母是，通分即可．【詳解】（1）解：最簡公分母是，，；（2）解：最簡公分母是，，．【點睛】本題考查了分式的通分，解題關鍵是找準最簡公分母．24．通分：(1)與；(2)，，；(3)，，；(4)，．【答案】(1)，(2)，，(3)，，(4)，【分析】（1）根據分式的基本性質，進行通分，即可求解；（2）根據分式的基本性質，進行通分，即可求解；（3）根據分式的基本性質，進行通分，即可求解；（4）根據分式的基本性質，進行通分，即可求解；【詳解】（1）解：，．（2）解：，，．（3）解：，，．（4）解：，【點睛】本題主要考查了分式的通分，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．題型六分式的加減運算【例23】計算：【答案】【分析】本題考查了分式的加減法，掌握分式的加減法法則及因式分解是解題的關鍵．根據同分母分式的減法法則計算即可．【詳解】解：原式【例24】計算：．【答案】【分析】本題主要考查了同分母分式減法計算，先把原式變形為，再利用平方差公式把分子分解因式，再分子與分母約分即可得到答案，【詳解】解；【例25】計算的結果是（

）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】本題主要考查了分式加減運算，解題的關鍵是熟練掌握分式加減運算法則．根據分式加減運算法則進行計算即可．【詳解】解：．故選：C．【例26】已知，則的值為（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】B【分析】本題考查分式的加法運算，掌握通分的技巧和完全平方公式是解題關鍵．先已知等式通分去分母化簡為，代入變形后的第二個分式中即可．【詳解】解：∵，∴，得，∴．故選：B．鞏固訓練25．計算的正確結果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．根據分式的運算法則即可求出答案．【詳解】解：原式，故選：A．26．化簡式子的結果為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】本題考查分式的化簡，熟練掌握分式的運算法則是解答本題的關鍵．先把分式同分，再加減即可．【詳解】解：原式故選：B．27．計算：=．【答案】1【分析】此題主要考查分式的加減運算，熟練掌握分式運算法則是關鍵，根據同分母分式加減法法則計算，并把結果化成最簡形式即可．【詳解】解：，，故答案為：1．28．計算：．【答案】2【分析】本題主要考查了分式的加減運算，掌握分式的加減運算法則是解題的關鍵．直接按同分母分式加減運算法則計算即可．【詳解】解：．故答案為2．題型六分式的化簡求值【例27】先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】本題主要考查了分式化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計算，先根據分式混合運算法則進行化簡，然后再代入數據求值即可．【詳解】解：，當時，原式．【例28】化簡：【答案】【分析】本題考查分式的混合運算，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．根據分式的基本性質和運算法則即可求解．【詳解】解：原式．【例29】先化簡，再求值：，其中：【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，先利用分式的乘除混合運算法則進行化簡，再將代入原式即可求解，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：原式，把代入原式得：．鞏固訓練29．先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，先把分式化簡后，再把的值代入求出分式的值即可．【詳解】解：原式．當時，原式．30．先化簡，再求值，其中滿足．【答案】，【分析】本題考查了分式化簡求值；先根據分式的加減計算括號內的，同時將除法轉化為乘法，再根據分式的性質化簡，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：原式．滿足當時，則原式31．先化簡，后求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運算的運算順序和計算法則是解題關鍵．先算小括號里面的，再算括號外面的，最后代入求值．【詳解】解：原式．當時，原式．題型六分式方程的定義【例30】下列方程中是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了分式方程的定義，正確把握相關定義是解題關鍵．直接利用分式方程的定義分析得出答案．【詳解】解：A、是一元一次方程，故此選項錯誤；B、，是一元一次方程，故此選項錯誤；C、是一元二次方程，故此選項錯誤；D、，是分式方程，正確．故選：D．【例31】下列是關于x的分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數的字母）．【詳解】解：A、分母中不含未知數，不是分式方程，不符合題意；B、分母中不含未知數，不是分式方程，不符合題意；C、分母中不含未知數，不是分式方程，不符合題意；D、分母中含未知數，是分式方程，符合題意；故選：D．鞏固訓練32．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是關于x的分式方程有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據分母中含有未知數的方程叫做分式方程，判斷即可．【詳解】解：①分母中不含有未知數，是整式方程；②分母中含有未知數，故是分式方程；③不是等式，故不是方程；④分母中含有未知數，故是分式方程．⑤分母中不含有未知數，故不是分式方程；⑥分母中不含有未知數，故不是分式方程；綜上所述：分式方程有②④，共2個，故選：B．【點睛】本題考查了分式方程的定義，熟練掌握定義是解題的關鍵．33．下列方程不是分式方程的是（

）A． B．C．D．【答案】C【分析】本題考查分式的定義，解答的關鍵是熟知分式的定義：分母里含有未知數的方程叫做分式方程．【詳解】解：A、方程分母中含未知數x，故A是分式方程，不符合題意；B、方程分母中含未知數x，故B是分式方程，不符合題意；C、方程分母中不含未知數，故C不是分式方程，符合題意；D、方程分母中含未知數x，故D是分式方程，不符合題意；故選：C．題型六解分式方程【例32】解方程：．【答案】【分析】本題考查了解分式方程，先去分母然后解關于的一次方程，最后檢驗，即可求解．【詳解】解：原方程去分母得：，解得：，檢驗：將代入，得，故原方程的解為．【例33】解方程：．【答案】【分析】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關鍵．先通過去分母化成整式方程，然后檢驗即可解答即可．【詳解】解：，去分母得:，去括號得:，移項得:，合并同類項，得．【例34】解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解分式方程，關鍵是利用了轉化的思想，把分式方程化為整式方程，解分式方程注意要檢驗．（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】（1）整理得：去分母，得：去括號，得移項，合并同類項得將系數化為1，得檢驗：把代入，所以是原分式方程的解．（2）去分母，得：去括號，得移項，合并同類項得將系數化為1，得檢驗：把代入，所以是原分式方程的解．鞏固訓練34．解方程：．【答案】無解【分析】本題考查解分式方程，分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母，得．解得．檢驗：當時，．不是原分式方程的解，原分式方程無解．35．解分式方程：．【答案】無解【分析】本題考查的是解分式方程，解答此類方程時一定要進行驗根．先去分母，把分式方程化為整式方程，求出的值，再把的值代入分式方程的分母進行檢驗即可．【詳解】解：原方程可化為：，解得，把代入得，，故是原分式方程的增根，原方程無解．36．解分式方程：(1)．(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟，正確的計算，是解題的關鍵．（1）去分母，轉化為整式方程，求解后，檢驗即可；（2）去分母，轉化為整式方程，求解后，檢驗即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘，得．解得．檢驗：當時，．所以，原分式方程的解為；（2）方程兩邊同乘，得．解得．檢驗：當時，．所以，原分式方程無解．題型六分式方程增根問題【例35】已知關于x的分式方程有增根，則方程的增根為．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根．熟練掌握分式方程的增根是解題的關鍵．根據分式方程的增根的定義進行求解即可．【詳解】解：∵分式方程有增根，∴，解得，故答案為：．【例36】若分式方程有增根，則．【答案】1【分析】本題考查根據分式方程的解的情況求參數．先將分式方程轉化為整式方程，根據增根是使整式方程成立，使分式方程無意義的方程的解，得到，把代入整式方程，求出的值即可．掌握增根的定義，是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∵方程有增根，∴，∴，∴；故答案為：1．鞏固訓練37．如果關于x的方程有增根，則．【答案】/0.5【分析】此題考查了分式方程的增根，先將分式方程化為整式方程，再根據增根的定義得出x的值，最后將x的值代入整式方程求解即可．【詳解】方程兩邊同時乘以得：即，∵原方程有增根，∴，解得：，將代入得：，故答案為：．38．解關于的方程有增根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了分式方程的增根，根據題意求出x的值后代入整式方程中進行計算是解題的關鍵．根據題意可得，然后把x的值代入整式方程中進行計算即可解答．【詳解】解：，，，∵分式方程有增根，∴，∴，∴，故答案為：．題型六列分式方程【例37】某服裝店用4.5萬元購進某種品牌的服裝，由于銷售狀況良好，服裝店又調撥11萬元資金購進該種服裝，但這次的單價比第一次的單價貴20元，購進服裝的數量比第一次的2倍還多50件，求該服裝第一次的單價．為解決此問題，設該服裝第一次的單價為元，根據題意列出方程，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了分式方程的實際應用，設該服裝第一次的單價為元，表示第二次的單價，再分別表示兩次購買的數量，根據購進服裝的數量比第一次的2倍還多50件列方程即可．【詳解】解：該服裝第一次的單價為元，則第二次的進價為元，由題意，得故選：B【例38】為緬懷革命先烈，傳承紅色精神，某校八年級師生在清明節期間前往距離學校的烈士陵園掃墓．一部分師生騎自行車先走，過了后，其余師生乘汽車出發，結果他們同時達到．已知汽車的速度是騎車速度的3倍，設騎車的速度為，根據題意，下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，理解題意、找到等量關系成為解題的關鍵．由汽車及騎車師生速度間的關系可得出汽車的速度為，再利用“時間、路程、速度”的關系以及等量關系“他們同時達到”列出關于x的分式方程即可．【詳解】解：∵汽車的速度是騎車師生速度的3倍，且騎車師生的速度為，∴汽車的速度為，根據題意得：．故選：B．【例39】九章算術是我國古代重要的數學專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到里外的城市，需要的時間比規定時間多一天：如果用快馬送，所需的時間比規定時間少天．已知快馬的速度是慢馬的倍，求規定時間．設規定時間為天，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．【詳解】解：規定時間為天，慢馬所需的時間為天，快馬所需的時間為天，又快馬的速度是慢馬的倍，可列出方程．故選：A．鞏固訓練39．甲、乙兩地相距240千米，高鐵開通運營后，在兩地間行駛的平均車速提高了，時間比原來縮短了70分鐘．設原來的平均車速為千米/小時，根據題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．根據告訴公路開通前后長途客車平均車速間的關系，可得出新修的高速公路開通后的平均速度為千米/小時，利用時間＝路程÷速度，結合新修的高速公路開通后時間比原來縮短了70分鐘，即可得出關于x的分式方程，此題得解．【詳解】解：∵高鐵開通運營后，在兩地間行駛的長途客車平均車速提高了，且原來的平均車速為x千米/小時，∴高鐵開通運營后的平均速度為千米/小時．根據題意得：，即．故選：A．40．某校組織全體同學進行了兩次地震應急演練，在優化撤離方案后，第二次平均每分鐘撤離的人數比第一次的多60，結果2000名同學全部撤離的時間比第一次節省了20分鐘，若設第一次平均每分鐘撤離人，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了列分式方程，設第一次平均每分鐘撤離人，則第二次平均每分鐘撤離人，根據“結果2000名同學全部撤離的時間比第一次節省了20分鐘”列出分式方程即可，理解題意，找準等量關系，正確列出方程是解此題的關鍵．【詳解】解：設第一次平均每分鐘撤離人，則第二次平均每分鐘撤離人，由題意得：，故選：B．41．勞動課上，八（1）班同學分成兩組練習包餃子，女生組包300個餃子與男生組包200個所用的時間相同，已知女生組每分鐘比男生組多包30個，若設女生組每分鐘包個，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式方程的應用，設女生組每分鐘包個，則男生組每分鐘包個，根據等量關系即可列出方程.【詳解】解：設女生組每分鐘包個，則男生組每分鐘包個，由題意可得：故選：A．42．為了踐行“綠色生活”的理念，甲、乙兩人每天騎自行車出行，甲勻速騎行40千米的時間與乙勻速騎行35千米的時間相同，已知甲每小時比乙每小時多騎行2千米，設甲每小時騎行x千米，根據題意列出的方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程的建模能力．題目已經設甲每小時騎行x千米，則乙每小時騎行千米，根據題意可得等量關系：甲勻速騎行30千米的時間=乙勻速騎行25千米的時間，再根據路程、速度、時間之間的關系和題目中的等量關系列出方程即可．【詳解】解：設甲每小時騎行x千米，則乙每小時騎行千米，根據題意得：，故選：A．題型六用分式方程解決實際問題【例40】端午節是中華民族的傳統佳節，人們素有吃粽子的習俗．某超市在節前準備購進、兩種品牌的粽子進行銷售，據了解，用元購買品牌粽子的數量比用元購買品牌粽子的數量多袋，且每袋品牌粽子的價格是每袋品牌粽子價格的倍，求每袋品牌粽子的價格．【答案】每袋品牌粽子的價格為元．【分析】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．設每袋品牌粽子的價格為元，則每袋品牌粽子的價格為元，利用數量總價單價，結合用元購買品牌粽子的數量比用元購買品牌粽子的數量多袋，即可得出關于的分式方程，解之經檢驗后即可得出每袋品牌粽子的價格．【詳解】解：設每袋品牌粽子的價格為元，則每袋品牌粽子的價格為元，依題意得：，解得：．經檢驗，是原方程的解，且符合題意．答：每袋品牌粽子的價格為元．【例41】我縣教育體育局向全縣中小學生推出“悅讀悅寫”的分享活動．甲、乙兩學校的同學分別乘車從距離活動地點40千米和20千米的兩地同時出發，參加分享活動．甲學校同學乘坐車的速度是乙學校同學乘坐車的速度的1.2倍，乙學校同學比甲學校同學提前20分鐘到達活動地點，求兩個學校同學乘坐車的速度分別是多少？【答案】甲學校同學乘坐車的速度為48千米/時，乙學校同學乘坐車的速度為40千米/時【分析】本題考查了分式方程的應用，設乙學校同學乘坐車的速度為千米/時，根據題意列分式方程求解，檢驗后即可得到答案．【詳解】解：設乙學校同學乘坐車的速度為千米/時，則甲學校同學乘坐車的速度為千米/時，根據題意，得：，解得：經檢驗：是原方程的解，（千米/時）答：甲學校同學乘坐車的速度為48千米/時，乙學校同學乘坐車的速度為40千米/時．【例42】贛南臍橙果大形正，橙紅鮮艷，肉質脆嫩化渣，風味濃甜芳香．2023年贛南臍橙需求量猛增，某水果批發商用40000元購進一批贛南臍橙后，該水果批發商又用90000元購進第二批這種贛南臍橙，所購數量是第一批數量的2倍，但每箱貴了10元．(1)該水果批發商購進的第一批贛南臍橙每箱多少元？(2)為運輸兩批水果從市到相距的市，批發商租用了甲、乙兩種貨車來運輸兩批贛南臍橙，其中甲貨車運輸第一批，乙貨車運輸第二批，已知甲、乙貨車的速度比為，兩車先后出發，當甲車到達市后乙車立即出發，兩車共用4.5小時，求甲、乙兩貨車的速度．【答案】(1)80元(2)甲貨車的速度為，乙貨車的速度為．【分析】本題考查分式方程的實際應用，有理數混合運算的實際應用：（1）設該水果批發商購進的第一批贛南臍橙每箱x元，找準等量關系，列分式方程，解方程即可；（2）設甲貨車的速度為，乙貨車的速度為，找準等量關系，列分式方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設該水果批發商購進的第一批贛南臍橙每箱x元，依題意得，解得，經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意．答：該水果批發商購進的第一批贛南臍橙每箱80元．（2）設甲貨車的速度為，乙貨車的速度為，根據題意得，解得經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意．∴，∴甲貨車的速度為，乙貨車的速度為．【例43】某班級為了豐富學生的課外體育活動，購買了排球和跳繩．已知排球的單價是跳繩的單價的3倍，購買跳繩共花費300元，購買排球共花費450元，購買跳繩的數量比購買排球的數量多10個，求跳繩的單價．【答案】跳繩的單價是15元【分析】本題主要考查分式方程的應用，設跳繩的單價為x元，則排球的單價為元，根據題中“購買跳繩的數量比購買排球的數量多10個”列方程即可解答，正確找到數量關系列出方程是解題的關鍵。【詳解】解：設跳繩的單價為x元，則排球的單價為元，根據題意，得，解得，經檢驗是原分式方程的解，且符合題意．答：跳繩的單價是15元．鞏固訓練43．為賡續中華優秀文脈，促進文明交流互鑒，某社區準備聘請甲、乙兩支施工隊參與布置一條長為1200米的宣傳長廊．已知甲隊單獨布置完成工程比乙隊單獨布置完成工程多用10天，乙隊每天布置的數量是甲隊每天布置的數量的1.5倍．(1)求甲、乙兩支施工隊每天分別布置完成多少米宣傳長廊？(2)現將宣傳長廊布置任務交給乙隊并要求25天內完成．乙隊布置若干天后因接到其它布置任務，經社區同意將余下布置任務全部交給甲隊完成．求在轉交給甲隊之前乙隊至少要布置多少天才能按時完成全部任務？【答案】(1)甲施工隊每天分別布置40米宣傳長廊，則乙兩支施工隊每天分別布置60米宣傳長廊；(2)在轉交給甲隊之前乙隊至少要布置10天，才能按照村委會要求按時完成【分析】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．（1）設甲施工隊每天分別布置x米宣傳長廊，則乙兩支施工隊每天分別布置米宣傳長廊，利用工作時間=工作總量÷工作效率，結合甲隊單獨布置完成工程比乙隊單獨布置完成工程多用10天，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，可得出甲施工隊每天修路的長度，再將其代入中，即可求出乙施工隊每天修路的長度；（2）設在轉交給甲隊之前乙隊施工y天，根據要求25天內完成修路任務，可列出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論．【詳解】（1）解：設甲施工隊每天分別布置x米宣傳長廊，則乙兩支施工隊每天分別布置米宣傳長廊，根據題意得：，解得：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，∴．答：甲施工隊每天分別布置40米宣傳長廊，則乙兩支施工隊每天分別布置60米宣傳長廊；（2）設在轉交給甲隊之前