學案11函數與方程導學目標：1.結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，會推斷一元二次方程根的存在性及根的個數.2.依據具體函數的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似值．自主梳理1．函數零點的定義(1)對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)方程f(x)＝0有實根?函數y＝f(x)的圖象與____有交點?函數y＝f(x)有________．2．函數零點的判定假如函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有____________，那么函數y＝f(x)在區間________內有零點，即存在c∈(a，b)，使得________，這個____也就是f(x)＝0的根．我們不妨把這一結論稱為零點存在性定理．3．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點________，________________無交點零點個數________________________4.用二分法求函數f(x)零點近似值的步驟第一步，確定區間[a，b]，驗證________________，給定精確度ε；其次步，求區間(a，b)的中點c；第三步，計算______：①若________，則c就是函數的零點；②若________，則令b＝c[此時零點x0∈(a，c)]；③若________，則令a＝c[此時零點x0∈(c，b)]；第四步，推斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復其次、三、四步．自我檢測1．(2010·福建)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnxx>0))的零點個數為 ()A．0 B．1 C．2 D．32．若函數y＝f(x)在R上遞增，則函數y＝f(x)的零點 ()A．至少有一個 B．至多有一個C．有且只有一個 D．可能有很多個3．如圖所示的函數圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④4．設f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根所在的區間是 ()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能確定5．(2011·福州模擬)若函數f(x)的零點與g(x)＝4x＋2x－2的零點之差的確定值不超過0.25，則f(x)可以是 ()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－0.5)探究點一函數零點的推斷例1推斷函數y＝lnx＋2x－6的零點個數．變式遷移1(2011·煙臺模擬)若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數y＝f(x)－log3|x|的零點個數是 ()A．多于4個 B．4個C．3個 D．2個探究點二用二分法求方程的近似解例2求方程2x3＋3x－3＝0的一個近似解(精確度0.1)．變式遷移2(2011·淮北模擬)用二分法爭辯函數f(x)＝x3＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的零點時，第一次經計算f(0)<0，SKIPIF1<0>0，可得其中一個零點x0∈________，其次次應計算________．以上橫線上應填的內容為 ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))SKIPIF1<0 B．(0,1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))SKIPIF1<0 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))SKIPIF1<0探究點三利用函數的零點確定參數例3已知a是實數，函數f(x)＝2ax2＋2x－3－a，假如函數y＝f(x)在區間[－1,1]上有零點，求a的取值范圍．變式遷移3若函數f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，求實數a的取值范圍．1．全面生疏深刻理解函數零點：(1)從“數”的角度看：即是使f(x)＝0的實數x；(2)從“形”的角度看：即是函數f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標；(3)若函數f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點；(4)若函數f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點x0通常稱為變號零點．2．求函數y＝f(x)的零點的方法：(1)(代數法)求方程f(x)＝0的實數根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點；(3)(二分法)主要用于求函數零點的近似值，二分法的條件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函數的近似零點都是指變號零點．3．有關函數零點的重要結論：(1)若連續不間斷的函數f(x)是定義域上的單調函數，則f(x)至多有一個零點；(2)連續不間斷的函數，其相鄰兩個零點之間的全部函數值保持同號；(3)連續不間斷的函數圖象通過零點時，函數值符號可能不變．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2010·天津)函數f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區間是 ()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)2．(2011·福州質檢)已知函數f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，若實數x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，則f(x1)的值 ()A．恒為負 B．等于零C．恒為正 D．不小于零3．下列函數圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是()4．函數f(x)＝(x－2)(x－5)－1有兩個零點x1、x2，且x1<x2，則()A．x1<2,2<x2<5B．x1>2，x2>5C．x1<2，x2>5D．2<x1<5，x2>55．(2011·廈門月考)設函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4，x≤1,x2－4x＋3，x>1))，g(x)＝log2x，則函數h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數是 ()A．4 B．3 C．2 D．1題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．定義在R上的奇函數f(x)滿足：當x>0時，f(x)＝2006x＋log2006x，則在R上，函數f(x)零點的個數為________．7．(2011·深圳模擬)已知函數f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－eq\r(x)－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關系是______________．8．(2009·山東)若函數f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，則實數a的取值范圍是________．三、解答題(共38分)9．(12分)已知函數f(x)＝x3－x2＋eq\f(x,2)＋eq\f(1,4).證明：存在x0∈(0，eq\f(1,2))，使f(x0)＝x0.10．(12分)已知二次函數f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區間[－1,1]內至少存在一個實數c，使f(c)>0，求實數p的取值范圍．11．(14分)(2011·杭州調研)設函數f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－eq\f(a,2)，3a>2c>2b，求證：(1)a>0且－3<eq\f(b,a)<－eq\f(3,4)；(2)函數f(x)在區間(0,2)內至少有一個零點；(3)設x1，x2是函數f(x)的兩個零點，則eq\r(2)≤|x1－x2|<eq\f(\r(57),4).答案自主梳理1．(1)f(x)＝0(2)x軸零點2.f(a)·f(b)<0(a，b) f(c)＝0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)兩個一個 無4.f(a)·f(b)<0f(c)①f(c)＝0②f(a)·f(c)<0③f(c)·f(b自我檢測1．C[當x≤0時，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當x>0時，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函數有兩個零點．]2．B3.B4.B5.A課堂活動區例1解題導引推斷函數零點個數最常用的方法是令f(x)＝0，轉化為方程根的個數，解出方程有幾個根，函數y＝f(x)就有幾個零點，假如方程的根解不出，還有兩種方法推斷：方法一是基本方法，是利用零點的存在性原理，要留意參考單調性可判定零點的唯一性；方法二是數形結合法，要留意作圖技巧．解方法一設f(x)＝lnx＋2x－6，∵y＝lnx和y＝2x－6均為增函數，∴f(x)也是增函數．又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln3>0，∴f(x)在(1,3)上存在零點．又f(x)為增函數，∴函數在(1,3)上存在唯一零點．方法二在同一坐標系畫出y＝lnx與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個交點，故函數y＝lnx＋2x－6只有一個零點．變式遷移1B[由題意知f(x)是偶函數并且周期為2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，這兩個函數都是偶函數，畫兩函數y軸右邊的圖象如圖，兩函數有兩個交點，因此零點個數在x≠0，x∈R的范圍內共4個．]例2解題導引①用二分法求函數的零點時，最好是利用表格，將計算過程所得的各個區間、中點坐標、區間中點的函數值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點所在區間的過程，有時也可利用數軸來表示這一過程；②在確定方程近似解所在的區間時，轉化為求方程對應函數的零點所在的區間，找出的區間[a，b]長度盡可能小，且滿足f(a)·f(b)<0；③求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結果也不同，精確度ε，是指在計算過程中得到某個區間(a，b)后，直到|a－b|<ε時，可停止計算，其結果可以是滿足精確度的最終小區間的端點或區間內的任一實數，結果不唯一．解設f(x)＝2x3＋3x－3.經計算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函數在(0,1)內存在零點，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內有解．取(0,1)的中點0.5，經計算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內有解，如此連續下去，得到方程的一個實數解所在的區間，如下表.(a，b)(a，b)的中點feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))(0,1)0.5f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)<0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1至此，可以看出方程的根落在區間長度小于0.1的區間(0.6875,0.75)內，可以將區間端點0.6875作為函數f(x)零點的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精確度0.1的一個近似解．變式遷移2D[由于f(0)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，而f(x)＝x3＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))中的x3及lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上是增函數，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上也是增函數，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上存在零點，所以x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，其次次計算應計算0和eq\f(1,2)在數軸上對應的中點x1＝eq\f(0＋\f(1,2),2)＝eq\f(1,4).]例3解若a＝0，f(x)＝2x－3，明顯在[－1，1]上沒有零點，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋解得a＝eq\f(－3±\r(7),2).①當a＝eq\f(－3－\r(7),2)時，f(x)＝0的重根x＝eq\f(3－\r(7),2)∈[－1,1]，當a＝eq\f(－3＋\r(7),2)時，f(x)＝0的重根x＝eq\f(3＋\r(7),2)?[－1,1]，∴y＝f(x)恰有一個零點在[－1,1]上；②當f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)<0，即1<a<5時，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一個零點．③當y＝f(x)在[－1,1]上有兩個零點時，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ＝8a2＋24a＋4>0,－1<－\f(1,2a)<1,f1≥0,f－1≥0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ＝8a2＋24a＋4>0,－1<－\f(1,2a)<1,f1≤0,f－1≤0))，解得a≥5或a<eq\f(－3－\r(7),2).綜上所述實數a的取值范圍是a>1或a≤eq\f(－3－\r(7),2).變式遷移3解方法一(換元)設2x＝t，則函數f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1化為g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．函數f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，等價于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正實數根．(1)當方程①有兩個正實根時，a應滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4a＋1≥0,t1＋t2＝－a>0,t1·t2＝a＋1>0))，解得：－1<a≤2－2eq\r(2)；(2)當方程①有一正根一負根時，只需t1·t2＝a＋1<0，即a<－1；(3)當方程①有一根為0時，a＝－1，此時方程①的另一根為1.綜上可知a≤2－2eq\r(2).方法二令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．(1)當函數g(t)在(0，＋∞)上存在兩個零點時，實數a應滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4a＋1≥0,－\f(a,2)>0,g0＝a＋1>0))，解得－1<a≤2－2eq\r(2)；(2)當函數g(t)在(0，＋∞)上存在一個零點，另一個零點在(－∞，0)時，實數a應滿足g(0)＝a＋1<0，解得a<－1；(3)當函數g(t)的一個零點是0時，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此時可以求得函數g(t)的另一個零點是1.綜上(1)(2)(3)知a≤2－2eq\r(2).課后練習區1．B[由于f(－1)＝eq\f(1,2)－3<0，f(0)＝1>0，所以f(x)在區間(－1,0)上存在零點．]2．A3．C[能用二分法求零點的函數必需在給定區間[a，b]上連續不斷，并且有f(a)·f(b)<0.A、B中不存在f(x)<0，D中函數不連續．]4．C5．B[當x≤1時，函數f(x)＝4x－4與g(x)＝log2x的圖象有兩個交點，可得h(x)有兩個零點，當x>1時，函數f(x)＝x2－4x＋3與g(x)＝log2x的圖象有1個交點，可得函數h(x)有1個零點，∴函數h(x)共有3個零點．]6．3解析函數f(x)為R上的奇函數，因此f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝2006x＋log2006x在區間(0，eq\f(1,2006))內存在一個零點，又f(x)為增函數，因此在(0，＋∞)內有且僅有一個零點．依據對稱性可知函數在(－∞，0)內有且僅有一解，從而函數在R上的零點的個數為3.7．x1<x2<x3解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，設y＝2x，y＝－x；令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，設y＝lnx，y＝－x.在同一坐標系內畫出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如圖：x1<0<x2<1，令x－eq\r(x)－1＝0，則(eq\r(x))2－eq\r(x)－1＝0，∴eq\r(x)＝eq\f(1＋\r(5),2)，即x3＝eq\f(3＋\r(5),2)>1，所以x1<x2<x3.8．a>1解析設函數y＝ax(a>0，且a≠1)和函數y＝x＋a，則函數f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，就是函數y＝ax(a>0，且a≠1)與函數y＝x＋a有兩個交點，由圖象可知當0<a<1時兩函數只有一個交點，不符合；當a>1時，由于函數y＝ax(a>1)的圖象過點(0,1)，而直線y＝x＋a所過的點確定在點(0,1)的上方，所以確定有兩個交點，所以實數a的取值范圍是a>1.9．證明令g(x)＝f(x)－x.………………(2分)∵g(0)＝eq\f(1,4)，g(eq\f(1,2))＝f(eq\f(1,2))－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,8)，∴g(0)·g(eq\f(1,2))<0.……………(8分)又函數g(x)在(0，eq\f(1,2))上連續，…………(10分)所以存在x0∈(0，eq\f(1,2))，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.………………(12分)10．解二次函數f(x)在區間[－1,1]內至少存在一個實數c，使f(c)>0的否定是：對于區間[－1,1]內的任意一個x都有f(x)≤0.……(4分)此時eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0,f