第八章8.2第2課時高考數學（理）黃金配套練習一、選擇題1．下面的幾何物體中，哪一個正視圖不是三角形()A．豎放的圓錐B．三棱錐C．三棱柱D．豎放的正四棱錐答案C2．下列幾何體各自的三視圖中，有且只有兩個視圖是相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案D解析正方體的三視圖都是正方形，不合題意．3．一個圓錐的正視圖和側視圖均為正三角形，其面積為S，則圓錐側面面積為()A.eq\f(8πS,3)B.eq\f(8πS,\r(3))C.eq\f(4πS,\r(3))D.eq\f(2πS,\r(3))答案D解析設正三角形邊長為a，則eq\f(\r(3),4)a2＝S，∴a2＝eq\f(4S,\r(3)).又圓錐母線長為a，底面半徑為eq\f(a,2)，∴S圓錐側＝π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(π,2)a2＝eq\f(π,2)×eq\f(4S,\r(3))＝eq\f(2πS,\r(3)).4．已知幾何體的三視圖(如圖)，則這個幾何體自上而下依次為()A．四棱臺，圓臺B．四棱臺，四棱臺C．四棱柱，四棱柱D．不能推斷答案B5．若已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2)a2B.eq\f(\r(3),4)a2C.eq\f(\r(6),2)a2D.eq\r(6)a2答案C解析如圖是△ABC的平面直觀圖△A′B′C′.作C′D′∥y′軸交x′軸于D′，則C′D′對應△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2·eq\r(2)·C′O′＝2eq\r(2)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\r(6)a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·a·eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.6．某簡潔幾何體的一條對角線長為a，在該幾何體的正視圖、側視圖與俯視圖中，這條對角線的投影都是長為eq\r(2)的線段，則a等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．1D．2答案B解析可以把該幾何體形象為一長方體AC1，設AC1＝a，則由題意知A1C1＝AB1＝BC1＝eq\r(2)，設長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6.∴a＝eq\r(3).故選B.7．如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是3eq\r(3)，則a＝________.答案eq\r(3)解析由已知正視圖可以知道這個幾何體是倒著的直三棱柱，兩個底面是等腰的三角形，且底邊為2，等腰三角形的高為a，側棱長為3，結合面積公式可以得到V＝sh＝eq\f(1,2)×2×a×3＝3eq\r(3)，解得a＝eq\r(3).8．如下圖，某幾何體的正視圖與側視圖都是邊長為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是()答案C解析選項A得到的幾何體為正方體，其體積為1，故排解1；而選項B、D所得幾何體的體積都與π有關，排解B、D；易知選項C符合．二、填空題9．設某幾何體的三視圖如下(尺寸的長度單位為m)，則該幾何體的體積為________m3.答案4解析這是一個三棱錐，高為2，底面三角形一邊為4，這邊上的高為3，體積等于eq\f(1,6)×2×4×3＝4.10．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積是________cm3.答案144解析該空間幾何體的上部分是底面長為4，高為2的正四棱柱，體積為16×2＝32；下部分是上底面邊長為4，下底面邊長為8，高為3的正四棱臺，體積為eq\f(1,3)×(16＋4×8＋64)×3＝112.故該空間幾何體的體積為144.11．把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起形成三棱錐C－ABD，其主視圖與俯視圖如圖所示，則其左視圖的面積為________．答案eq\f(1,4)解析由題意可知，左視圖為等腰直角三角形，腰長為eq\f(\r(2),2)，故其面積為eq\f(1,2)×(eq\f(\r(2),2))2＝eq\f(1,4).12．如圖是一個長方體截去一個角后所得多面體的三視圖，則該多面體的體積為________．答案eq\f(284,3)解析依據三視圖的學問及特點，可畫出多面體的外形，如圖．這個多面體是由長方體截去一個正三棱錐而得，可得所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3).13．如圖是某幾何體的三視圖，其中三個視圖的輪廓都是邊長為1的正方形，則該幾何體的體積為________．答案eq\f(5,6)解析由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，由題意可知，該幾何體可補成正方體，所以其體積為1－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(5,6).三、解答題14．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，主視圖(或稱正視圖)是一個底邊長為8，高為4的等腰三角形，側視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6，高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側面積S.解析由已知可得該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐V－ABCD.(1)V＝eq\f(1,3)×(8×6)×4＝64；(2)該四棱錐有兩個側面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為．h1＝eq\r(42＋(\f(8,2))2)＝4eq\r(2).另兩個側面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為h2＝eq\r(42＋(\f(6,2))2)＝5，因此S側＝2(eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＋eq\f(1,2)×8×5)＝40＋24eq\r(2).15．如圖是某幾何體的三視圖(單位：cm)．(1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個幾何體的表面積及體積．解析(1)該幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝(22＋4eq\r(2))(cm2)，所以幾何體的體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．拓展練習·自助餐1．給出下列命題：①假如一個幾何體的三視圖是完全相同的，則這個幾何體是正方體；②假如一個幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體；③假如一個幾何體的三視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體；④假如一個幾何體的正視圖和側視圖都是等腰梯形，則這個幾何體是圓臺．其中正確命題的個數是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①錯，如球．②錯，如平放的圓柱．③正確．④錯．如正四棱臺．2.用一些棱長是1cm的小正方體堆放成一個幾何體，其正視圖和俯視圖如圖所示，則這個幾何體的體積最多是()A．6cm3B．7cm3C．8cm3D．9cm4答案B3．如圖，幾何體的主(正)視圖和左(側)視圖都正確的是()答案B解析左視時，看到一個矩形且不能有實對角線，故A、D排解，而主視時，應當有一條實對角線，且其對角線位置應為B中所示，故選B.4.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．2B．1C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)答案B解析由三視圖可知，它表示的是一放倒的底面是始終角邊為eq\r(2)，另始終角邊為1的直角三角形，高為eq\r(2)的直三棱柱，所以體積為V＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×1×eq\r(2)＝1.故選B.5．一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正(主)視圖與側(左)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為()