2024-2025學(xué)年云南省昭通市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（B卷）一、單選題（本大題共8小題）1．滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．在四面體中，（

）A． B． C． D．3．已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．4．棣莫佛定理：若復(fù)數(shù)，則，計(jì)篎（

）A．－1 B． C． D．5．已知，，，，則（

）A． B． C． D．6．已知平面經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．7．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的表面積為（

）.A． B． C． D．8．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若的面積，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知空間中三點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．與是共線向量C．和夾角的余弦值是1D．與同向的單位向量是10．若圓上至多存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線的距離為2，則實(shí)數(shù)可能為（

）A．5 B．6 C．7 D．811．德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，以下命題正確的是（

）A．對(duì)于任意的，都有B．函數(shù)是偶函數(shù)，且函數(shù)的值域是C．若且為有理數(shù)，則對(duì)任意的恒成立D．在圖象上存在不同的三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等邊三角形三、填空題（本大題共3小題）12．若樣本數(shù)據(jù)的方差為16，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.13．若為空間兩兩夾角都是的三個(gè)單位向量，則．14．直線與圓交于，兩點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求角；(2)求的取值范圍.16．某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥過了的號(hào)碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率：(1)第1次撥號(hào)接通電話；(2)第3次撥號(hào)才接通電話；(3)撥號(hào)不超過3次而接通電話.17．2015年7月16日，電影《捉妖記》上映，上映至今全國(guó)累計(jì)票房已超過20億．某影院為了解觀看此部電影的觀眾年齡的情況，在某場(chǎng)次的100名觀眾中隨機(jī)調(diào)查了20名觀眾，已知抽到的觀眾年齡可分成5組：，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如下圖所示．(1)根據(jù)已知條件，補(bǔ)充畫完整頻率分布直方圖，并估計(jì)該電影院觀看此部電影的觀眾年齡的平均數(shù)；(2)現(xiàn)在從年齡屬于和的兩組中隨機(jī)抽取2人，求他們屬于同一年齡組的概率．18．已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作圓的切線，求切線方程；(3)求直線上被圓所截得的弦長(zhǎng)MN.19．如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，平面，，為的中點(diǎn)，平面.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成的角的正弦值.

答案1．【正確答案】C【詳解】由已知得1，，則的其它元素只能從3、4中選最少選1個(gè)，最多選2個(gè)，故滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為3，故選：C.2．【正確答案】B【詳解】根據(jù)向量的加法、減法法則，得，故選：B.3．【正確答案】A【詳解】向量，，且，可得，，，故選：A.4．【正確答案】A【詳解】由棣莫佛定理得，，故選：A.5．【正確答案】B【詳解】∵，，，，，又，，，，，故選：B.6．【正確答案】D【詳解】依題意，，而平面的法向量為，因此，即.故選：D.7．【正確答案】A【詳解】正方體的上底面所在平面截球面所得小圓為正方形的內(nèi)切圓，半徑，設(shè)球半徑為，依題意，球心到截面小圓距離，由截面小圓性質(zhì)得，即，解得，所以球的表面積為.故選：A8．【正確答案】C【詳解】由余弦定理得，由得，消去得，，，由知的邊上的高為，則點(diǎn)在與平行，且距離為的直線上，如圖，以為直徑畫半圓，則該半圓與直線相切，當(dāng)為切點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)角最大，由圖可知，，，，的取值范圍是，故選：C.

9．【正確答案】AD【分析】對(duì)于A，求出模長(zhǎng)即可；對(duì)于B，向量共線定理；對(duì)于C，向量數(shù)量積求角度；對(duì)于D，計(jì)算同向的單位向量，再比較即可【詳解】對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，，，不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，其同向的單位向量為，D正確.故選AD.10．【正確答案】BCD【詳解】圓即圓,需滿足，則圓心為，半徑為圓心到直線的距離為，要使圓上至多存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到直線的距離為2，需滿足，解得，結(jié)合選項(xiàng)可知6，7，8符合題意，故選：BCD11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以對(duì)于任意的x∈R，都有，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域是，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，因且為有理數(shù)，所以，則；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍覟橛欣頂?shù)，所以，則，所以對(duì)任意的x∈R恒成立，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，取，，，，，構(gòu)成以為邊長(zhǎng)的等邊三角形，故D正確，故選：ACD.12．【正確答案】【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，則，可知數(shù)據(jù)的方差為，所以標(biāo)準(zhǔn)差為8.故8.13．【正確答案】【詳解】為空間兩兩夾角都是的三個(gè)單位向量，，.故14．【正確答案】【詳解】由得，直線經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，設(shè)線段中點(diǎn)為，則，，則，又由圓的性質(zhì)知，，當(dāng)且僅當(dāng)，，，共線時(shí)（此時(shí)，重合），，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（此時(shí)，重合），，的取值范圍是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），由正弦定理得，，，又，.（2），，，，，，，，的取值范圍為.16．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由于電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字由10種可能，正確數(shù)字只有一個(gè)，第1次接通電話可表示為，所求概率為.（2）設(shè){第i次撥號(hào)接通電話}，，2，3.第3次才接通電話可表示為，所求概率為.（3）撥號(hào)不超過3次而接通電話可表示為，所求概率為.17．【正確答案】(1)33.5(2)【詳解】（1）補(bǔ)充完成的頻率分布直方圖如下：估計(jì)該電影院觀看此部電影的觀眾年齡的平均數(shù)為（2）年齡屬于和的分別有4人，2人，分別記為A1，A2，A3，A4，B1，B2則從中隨機(jī)抽取兩人的所有可能情況有，，共15種，其中，兩人屬于同一年齡組的有，共7種，所以所求的概率為．18．【正確答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1）由題意設(shè)圓心，因?yàn)椋矗獾茫矗霃剑詧A的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則切線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，符合條件；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過的切線的方程為，即，則圓心到切線的距離，解得，此時(shí)切線的方程為：，即，綜上所述：過的切線方程為或.（3）圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng).19．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，如圖，為中點(diǎn)，，，，，確定平面，又平面，平面平面，，平面，平