2【學情分析】殊式子——二次根式的加、減、乘、除運算。通過本章學習，學生將數(shù)的概念，函數(shù)的三種表示法，一次函數(shù)的概念、圖象、性質和應用3【教學目標】解配方法的意義，會用開平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡多邊形的概念，了解四邊形的不穩(wěn)定性。掌握平行四邊形、矩形、菱的刻畫，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差，體會樣本與總體的關系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體方差，并能解釋統(tǒng)【教學重難點】4【教學措施】與學的全過程。認真學習教育教學理論，落實課標理念，讓學生通過2、重視學生知識的建構和能力的培養(yǎng)，重視學的導向。引導學生積極參與知識的構建，營造民主、和諧、平等、自主、探究、合作、交流、分享發(fā)現(xiàn)快樂的高效的學習課堂，讓學生體3、教學中要樹立全新的學習觀。學習要轉習的主體地位。倡導自主學習、探究學習、合作學習和研究性學習，素，彌補智力上的不足。運用新課程標準的理念指導教學，積極更新個別輔導，優(yōu)生提升能力，扎實打牢基礎知識，對差生，一些關鍵知52．已知圓的面積是6π,你能求出該圓的半徑嗎？61④-5；⑤5，其中二次根式的個數(shù)有()④-5；⑤5，其中二次根式的個數(shù)有()選B.【類型二】二次根式有意義的條件A．x≥-1且x≠1B．x≠1C．x≥1且x≠-1D．x≥-1解析：根據(jù)題意可知x＋1≥0且x－1≠0，解得x≥-1且x≠1.故選A.的取值必須使各個被開方數(shù)同時為非負數(shù)；(3)若式子中含有分母，則字母的取值必須使分母不為零.7探究點二：利用二次根式的非負性求值【類型一】利用被開方數(shù)的非負性求字母的值可.②當題目中，同時出現(xiàn)a和－a時(即二次根式下的被開方數(shù)互為相反數(shù))，則可得a＝0.方法總結：對于二次根式a≥0(a≥0)，可知其有最小值0.三、板書設計8本節(jié)課的內容是在我們已式在實數(shù)范圍內有意義的條件點)9【類型一】利用(a)2＝a(a≥0)計算(1)(0.3;；(3)(23)2;(4)(2x－y)2.解：(1)(0.3＝0.3；2·(2（－；(3)-(-π)2.(3)-(-π)2＝－|-π|=-π.【類型三】利用二次根式的性質化簡求值解析：先把二次根式化簡，再代入求值，即可解答.=3＋4＝7.探究點二：利用二次根式的性質進行化簡2.再根據(jù)行化簡.＜－符號中；②根據(jù)絕對值內代數(shù)式的正負性去掉絕對值符號.＋（根式的性質得出含有絕對值的式子，最后去絕對值符號后合并即可.任意兩邊之和大于第三邊)，得出不等關系進行化簡.三、板書設計學生辨析它們的區(qū)別，以便更好地靈活運用探究點一：二次根式的乘法法則成立的條件()A．x≤2B．x≥-1解析：根據(jù)題意得2－x≥0.解得－1≤x≤2.故選C.·≥0)，必須注意被開方數(shù)是非負數(shù)這一條件.探究點二：二次根式的乘法(1)(1)122b)·3a(a≥0，1=-=-4)=-=-2＝－3b.相乘，把系數(shù)與系數(shù)相乘，被開方數(shù)與被開方數(shù)相乘．最后結果要化為最簡二次根式，計算時要注意積的符號.·（－）（－）；b.題.【類型三】二次根式的乘法的應用圓的半徑(結果保留根號).解析：根據(jù)“矩形的面積＝長寬”“圓的面積=π半徑的平方”進行計算.算，體現(xiàn)了轉化思想.三、板書設計生運用法則進行二次根式的乘法運算難點)9 . .99999EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up13(48),72)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up13(12),18)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up13(2),1)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up13(7),2)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up14(a2b3),ab2)再化簡.==2＝－活選取合適的方法；④最后結果要化為最簡二次根式.下列二次根式中，最簡二次根式是()aa＋a2b中被開方數(shù)用提公因式法因式分解后得a2＋a2b=a2兩個條件，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.探究點三：商的算術平方根的性質【類型一】利用商的算術平方根的性質確定字母的取值aabb必須注意被開方數(shù)是非負數(shù)且分母不等于零這一條件.【類型二】利用商的算術平方根的性質化簡二次根式733母要化去，即被開方數(shù)不含分母，從而化為最簡二次根式.探究點四：二次根式除法的應用求長方體的高.解析：因為“長方體的體積＝長3寬3高”，所以“高＝長方體3223這樣的二次根式就是同類二次根式.探究點二：二次根式的加減類二次根式可以類比合并同類項進行，不是同類二次根式的不能合并.【類型二】二次根式的加減混合運算起；③把同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變.【類型三】二次根式加減法的應用去括號，合并同類二次根式.次根式的加減混合運算.三、板書設計為最簡二次根式；②合并同類二次根式．并讓學生按步驟解題，養(yǎng)成培養(yǎng)學生良好的思維品質11(1)(2)50.3-50.3-3-＝－方，再算乘除，最后算加減，如果有括號就先算括號里面的.【類型二】運用乘法公式進行二次根式的混合運算方法總結：多項式的乘法公式在二次根式的混合運算中仍然適【類型三】二次根式的化簡求值解：原式=xy.果不化簡，直接代入，雖然能求出結果，但往往導致煩瑣的運算．化簡求值時注意整體思想的運用.【類型四】二次根式混合運算的應用求這個三角形的面積.解析：根據(jù)三角形的面積公式進行計算.選取合適的方法求解，能應用公式的盡量用公式計算.探究點二：二次根式的分母有理化(1)(1)3-(2)23-(2)23-23-23-再運用公式計算.2=2=(1)(2)(2)22分子、分母應同乘以一個適當?shù)氖阶樱绻帜钢挥幸粋€二次根式，·兩項，分子、分母乘以一個二項式，使得能運用平方差公式計算．如b.大小關系.大的反而小可以比較兩個數(shù)的大小.三、板書設計二次根式的混合運算可類于嘗試，加強訓練，從解題過程中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．本節(jié)課的易探究點一：一元二次方程的概念3c為常數(shù)，a≠0)的形式，則這個方程就是一元二次方程.【類型二】根據(jù)一元二次方程的概念求字母的值＝－≠2.當a≠2時，原方程為一元二次方程；＝－解析：首先對上述三個方程進行整理，通過“去分母”“去括探究點二：根據(jù)實際問題建立一元二次方程模型在四個頂角處剪去邊長是多少的小正方形，才能將其做成底面積為面，設出未知數(shù)，利用長方形面積公式可列出方程.探究點三：一元二次方程的根方法總結：方程的根(解)一定滿足原方程，將根(解)的值代入原的值，這種方法叫做根的定義法.探究點一：用直接開平方法解一元二次方程＝－＝－＝－=-71＝－的理論依據(jù)是平方根的定義，它的可解類型有如下幾種：①x2=探究點二：用配方法解一元二次方程【類型一】用配方法解一元二次方程m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接開平方法求解；當二次項系數(shù)-5；＝－【類型二】利用配方法求代數(shù)式的值再代入代數(shù)式計算即可.＝－3【類型三】利用配方法求代數(shù)式的最值或判定代數(shù)式的取值范圍為正.數(shù)的形式.2≥0，4≥4.三、板書設計本節(jié)課通過觀察、思考、對比使學生掌握一元二次方程的解法：直接的過程，從而培養(yǎng)學生從不同的角度進行探究的習慣和能力方法求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題.探究點一：一元二次方程的求根公式 ＝－6.探究點二：用公式法解一元二次方程＝－最后利用求根公式求出方程的根(或說明其沒有實數(shù)根).三、板書設計經(jīng)歷從用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程到解字母系數(shù)的一元二次方程，探索求根公式，通過對公式的推導，認識一元二次方程的求探究點：用因式分解法解一元二次方程【類型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程(2)－5)－6)＝x－5.公因式，若有公因式，就能快速分解因式求解.【類型二】利用公式法分解因式解一元二次方程－2)]2∴原方程的解為＝3.次方程，它們的解就是原方程的解.三、板書設計猜想及分類討論的數(shù)學思想，提高觀察、分析、歸納的能力.探究點：一元二次方程根的判別式【類型一】利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判斷正確的是()>0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選B.【類型二】根據(jù)一元二次方程根的情況確定字母的取值范圍數(shù)根，則k的取值范圍是()(-2）2－4·(-1）>0，k≠0，【類型三】一元二次方程根的判別式與三角形22＋c2－a2－2bc)＝[＋c)2－a2][－c)2－a2]=(b＋c＋a)＋c－a)－c＋a)－c－a)＝(a＋b＋c)[＋c)－a][＋b)<0.∴原方程沒有實數(shù)根.得到關于三角形三邊的式子，再結合三邊關系確定Δ符號.【類型四】利用根的判別式解決存在性問題若不存在，請說明理由.1-1)]2∴不存在這樣的非負整數(shù)，使原方程有兩個不相等的實數(shù)根.解題過程中務必考慮全面.三、板書設計本節(jié)課是在一元二次方程的解法的基礎上，學習根的判別式的應本節(jié)課需要注意的地方，應予以特別強調探究點一：一元二次方程的根與系數(shù)的關系兩根之積.＝－∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.1探究點二：一元二次方程的根與系數(shù)的關系的應用【類型一】利用根與系數(shù)的關系求代數(shù)式的值EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up4(2),1)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up14(x),x)EQ\*jc3\*hps27\o\al(\s\up4(1),2)3＝－.＝－＝－【類型二】已知方程一根，利用根與系數(shù)的關系求方程的另一根的值.根據(jù)兩根之積求出方程另一個根，然后根據(jù)兩根之和求出k的值.6＝－＝－＝－∴-5＋2＝－5，∴k＝－7.項系數(shù)和一次項系數(shù)時，可求得方程的兩根之和.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題【類型三】判別式及根與系數(shù)關系的綜合應用的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足1，求m的值.方程，求m的值.∴α+β=-(2m＋3)，αβ=m2.化簡整理，得m2－2m－3＝0.解得m＝3或m1.此時Δ=92－439＞0，綜上所述，m＝3.易錯提醒：本題由根與系數(shù)的關系求出字母m的值，但一定要被忽略.繹證明．通過觀察、實踐、討論等活動，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、發(fā)現(xiàn)關系的動，逐步養(yǎng)成合作的意識及嚴謹?shù)闹螌W精神題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識.探究點一：一元二次方程的應用【類型一】增長(降低)率問題＝－決平均增長(降低)率問題的關鍵是明確基礎量和變化后的量．如果設【類型二】商品銷售問題解：設每件商品漲價x元，根據(jù)題意，得2310=易錯提醒：理解商品銷售量與商品價格的關系是解答本題的關據(jù).11＝30舍去，故x＝10.探究點二：可化為一元二次方程的分式方程為了保護環(huán)境，充分利用水資源，某市經(jīng)過“調整水費聽證會”討論后決定：水費由過去每立方米1.8元調整為2.1元，并提出=超計劃用水費用＋計劃用水費用.是否使實際問題有意義.三、板書設計問題，體會數(shù)學知識應用的價值，提高學生學習數(shù)學的興趣正方形和一個直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結構奇證明勾股定理.12.建立相等關系，從而驗證勾股定理.探究點二：勾股定理【類型一】直接利用勾股定理求長度1B·CD1積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用.【類型二】利用勾股定理求面積·，∠E＝90°,所以S△ABE＝2AEBE＝2AE·2，股定理找到圖形面積之間的等量關系.離.【類型四】利用勾股定理證明等式2).+2).系起來．一般地，涉及線段之間的平方關系問題時，路去分析問題.【類型五】運用勾股定理解決折疊中的有關計算)解答.【類型六】分類討論思想在勾股定理中的應用三、板書設計中國古代的研究，激勵學生發(fā)奮學習力.探究點：勾股定理的應用后船向岸邊移動了多少(假設繩子是直的，結果保留根號)?【類型二】利用勾股定理解決方位角問題解：∵AD∥BE，∴∠ABE=∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°,∴∠ABC＝180°-∠ABE-∠CBF＝180°-60°-30°=90°在Rt△=【類型三】利用勾股定理解決最短距離問題一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從多種情況，雖然看似很多，但由于長方體的對面是相同的，所以歸納起來只需討論三種情況：前面和右面展開，前面和上面展開，左面和上面展開，從而進行比較取其最小值即可.【類型四】勾股定理與方程思想、數(shù)形結合思想的應用現(xiàn)地面上C處有一筐水果，一只猴子從D處向上爬到樹頂A處，然后利用拉在A處的滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D處先滑到地AB.解析：Rt△ABC中，∠B＝90°,則滿足AB2＋BC2＝AC2.設BC=x＋b＝15解方程組可以求x的值，即可計算解：Rt△ABC中，∠B＝90°,設BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，＝2，即AD=2m，∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(m).答：樹高AB為12m.知量，通常需要巧設未知數(shù)，靈活地尋找題中的等量關系，然后利用通過觀察圖形，探索圖形間的關系，培養(yǎng)學生的空間觀念．在將實際【類型一】利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形判斷滿足下列條件的三角形是否是直角三角形.(1)在△ABC中，∠A＝20°,∠B＝70°;(2)在△ABC中，AC＝7，AB＝24，BC＝25；定理驗證；(3)將式子變形即可使用勾股定理的逆定理驗解：(1)在△ABC中，∵∠A＝20°,∠B＝70°,∴∠C＝180°-∠A-∠B＝90°,即△ABCBC2.根據(jù)勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形；理的逆定理可知，△ABC是直角三角形.定理描述的是最大邊的平方等于另外兩邊的平方和.【類型二】利用勾股定理的逆定理求角的度數(shù)如圖，點P為等邊△ABC內一點，且PA＝3，PB＝4，PC=5，求∠APB的度數(shù).解析：根據(jù)已知條件PA＝3，PB＝4，PC＝5，易知PA2＋PB2=解：在△ABC所在的平面內，以A為頂點，AC為邊在△ABC外作∠DAC=∠PAB，且AD＝AP.連接DC，PD，則△ADC≌△APB，所以DC＝PB，∠APB=∠ADC.因為PA＝AD，∠PAD=∠BAC＝60°,所以△APD為等邊三角形．所以PD＝PA＝AD＝3，∠ADP＝60°.又因為DC＝BP＝4，PC＝5，且PD2＋DC2＝32＋42＝52＝PC2，所以△PDC為直角三角形且∠PDC＝90°.所以∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC＝60°+90°=150°.斷此三角形是直角三角形，進而求出角度.【類型三】利用勾股定理的逆定理解決面積問題△.線等分三角形面積求解.△【類型四】利用勾股定理的逆定理證垂直＝BE2，∴△BDE為直角三角形，即∴∠BDE＝90°,則推出兩線的垂直關系.下列幾組數(shù)中是勾股數(shù)的是(填序號).111三、板書設計本節(jié)課采用以學生為主體，引導發(fā)現(xiàn)、操作探究的教學實驗，符合學利于培養(yǎng)學生動手、觀察、分析、猜想、驗證、推理的能力，切實使學生在獲取知識的過程中得到能力的培養(yǎng)探究點：勾股定理的逆定理的應用然后再解決計算問題.=90°.比較出三條邊的大小(若是具體的數(shù)值很容易發(fā)現(xiàn)；若是一個整式常用作差的方法來確定三條邊的大小)，再通過勾股定理的逆(23)°.的應用，充分體現(xiàn)了勾股定理及其逆定理的相互結合，相出，最后再求出兩個直角三角形的面積，即可得到答案.2.∴由勾股定理逆1＝90°,∴S△ACD＝234=1【類型四】勾股定理逆定理的實際應用＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°,∴該農(nóng)民挖的不合格.理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形，然后再作進一步解答.【類型五】運用勾股定理逆定理解決方位角問題分別解這兩個直角三角形即可得出.1分.學模型，注意提煉題干中的有效信息，并轉化成數(shù)學語言.三、板書設計由易到難設計例題和練習，收到了較好的教學效果一個長方形剪去一個角，則它有可能是邊形.解析：如圖所示：沿對角線剪去時，可得到三角【類型二】多邊形的內角和與外角和解析：任何多邊形的外角和都是360°,即這個多邊形的內角和是3360°,n邊形的內角和是(n－2)1·80°,如果已知多邊形的邊數(shù).【類型三】多邊形的對角線則從一個頂點最多可引條對角線.線的確定方法是解答此題的關鍵.【類型四】正多邊形2個正多邊形的邊數(shù).內角和外角的互補關系求解.答：這個正多邊形的邊數(shù)是7.解法2：(間接設元法)設這個正多邊形的每個內角為x°,則每個∴每個外角是(7)°,∴這個正多邊形的邊數(shù)為360÷7＝7.答：這個正多邊形的邊數(shù)為7.360°探究點二：多邊形的不穩(wěn)定性下列圖形中具有穩(wěn)定性的是()分割成三角形則多邊形的形狀就不會改變，因而具有穩(wěn)定性的是C.故選C.些圖形具有穩(wěn)定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得.三、板書設計再次感受數(shù)學來源于實踐，可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.解析：根據(jù)三角形內角和定理求出∠DAC=∠ACB，根據(jù)平行線的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的定義推出即可.證明：∵∠1+∠B+∠ACB＝180°,∠2+∠D+∠CAD＝180°,∠B=∠D，∠1=∠2，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1=∠2.∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.探究點二：平行四邊形的邊、角特征【類型一】利用平行四邊形的性質求線段長如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，點D，E，F(xiàn)分別是AC，BC，BA延長線上的點，四邊形ADEF為平行四邊形，DE＝2，則AD=._______解析：∵四邊形ADEF為平行四邊形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB=∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB=∠B，∴∠FEB=∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF.∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.三角形的性質，熟練掌握各性質是解題的關【類型二】利用平行四邊形的性質求角度如圖，平行四邊形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°,則∠BCE的度數(shù)為()解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°.∵∠A＝125°,∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC=90°,∴∠BCE＝90°-55°=35°.故選A.【類型三】利用平行四邊形的性質證明有關結論如圖，點G、E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，點P是射線GC上一點，連接FP，EP.求證：FP＝EP.解析：根據(jù)平行四邊形的性質推出∠DGC=∠GCB，根據(jù)等腰三角形性質求出∠DGC=∠DCG，推出∠DCG=∠GCB，根據(jù)等角的補角相等求出∠DCP=∠FCP，根據(jù)SAS證出△PCF≌△PCE即可.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DGC=∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC=∠DCG，∴∠DCG=∠GCB.∵∠DCG+∠DCP＝180°,∠GCB+∠FCP＝180°,∴∠〔CE＝CF，DCP=∠FCP.∵在△PCF和△PCE中，{∠FCP=∠ECP，∴△lCP＝CP，PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.【類型四】判斷直線的位置關系如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2AD，M為AB的中點，連接DM、MC，試問直線DM和MC有何位置關系？請證明.解析：由AB＝2AD，M是AB的中點的位置關系，可得出DM、CM分別是∠ADC與∠BCD∠ADC+∠BCD＝180°,進而可得出DM與MC解：DM與MC互相垂直．證明如下：∵M是AB的中點，∴AB=2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM=∠AMD.形ABCD，∴AB∥CD，∴∠AMD=∠MDC，∴∠ADM=∠MDC，:，:上探究點三：兩平行線間的距離EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),1)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),2)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),1)EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),2)解析：結合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明.證明：“EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),1)ⅡEQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),2)，:點E，F(xiàn)到EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up0(1),2)之間的距離都相等，設為h.:S1△S△FGH1,:S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH,:△EGO相等，再結合兩平行線間的距離即可得出結論.三、板書設計為后期的學習打基礎探究點一：平行四邊形的對角線互相平分【類型一】利用平行四邊形對角線互相平分求線段長角形的周長之差等于鄰邊邊長之差.【類型二】利用平行四邊形對角線互相平分證明線段或角相等用平行四邊形的對邊相等，對角線互相平分的性質.則首選對角線互相平分的方法解決問題.探究點二：平行四邊形的面積△與S與S△CBP等底等高的三角形的面積相等解答.1S1△;S,∴S△-S△-S△CPO,∴S△ABP=S△CBP.三、板書設計察、操作、推理、歸納等過程中，培養(yǎng)學生數(shù)學說理的習慣，發(fā)展學生的數(shù)學思維能力【類型一】一組對邊平行且相等的四邊形是平是平行四邊形嗎？請說明理由.的判定與性質，解題的關鍵是根據(jù)條件證出△AFD≌△CEB.【類型二】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF+∠FBA=∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF.又∵△ACE是等邊三角形，∴AC=形).方法總結：利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”【類型三】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形∠C=∠D，探究點二：平行四邊形判定與性質的綜合應用互相平分).鍵在于根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)平行四邊形.三、板書設計【類型一】利用三角形中位線定理求線段的長3∴∠2=∠3.又∵AF平分∠CAB，∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC【類型二】利用三角形中位線定理求角度的中點，∠E＝30°,∠1＝110°,則∠2的度數(shù)為()A．80°B．90°.∵∠1＝110°,∠E＝30°,∴∠2=∠ECD＝80°.故選A.【類型三】三角形的中位線性質與三角形其他性質的綜合運用如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，點N為BC的中點，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足為點M，延長CM交AB于點D，求MN的長.解析：首先證明△AMD≌△AMC，得到DM＝MC題.解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM=∠CAM，∠AMD〔∠DAM=∠CAM，=∠AMC.在△AMD與△AMC中，{AM＝AM，∴△AMD≌l∠AMD=∠AMC，△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN為△BCD的中位線，∴MN＝2BD＝2(AB－AD)＝2(AB－AC)＝2(5－3)＝1.們一個中點.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第4題探究點二：利用三角形的中位線定理解決簡單實際問題如圖所示，吳伯伯家有一塊等邊三角形的空地ABC，點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，量得EF＝5m.他想把四邊形BCFE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需要籬笆的長度是()解析：∵點E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，EF＝5m，∴BC=12EF＝10m.∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC.∴BE＝CF＝2BC=5m.∴籬笆的長為BE＋BC＋CF＋EF＝5＋10＋5＋5＝25(m)．故選管怎么拉，它還是一個平行四邊形嗎？為什么(動矩形定義.是矩形.形的所有性質.【類型一】矩形的四個角都是直角如圖，矩形ABCD中，點E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，則△AEC的面積為()解析：如圖，過E作EF⊥AC，垂足為F.∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，∴EF＝BE＝4，31534＝30.故選B.件.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題【類型二】矩形的對角線相等如圖所示，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD選B.有等邊三角形，可以利用等邊三角形的性質解題.探究點二：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半°.可將問題轉化為等腰三角形的問題，然后利用等腰三角形“三線合探究點三：矩形的性質的運用【類型一】利用矩形的性質求有關線段的長度∴∠A=∠D＝90°,°.∴∠AEF+∠CED＝90°,∴∠AEF=∠ECD.∴△AEF≌△DCE，角形全等，可借助直角的條件解決直角三角形中的問題.【類型二】利用矩形的性質求有關角度的大小解析：由∠BAE與∠DAE之和為90°及這兩個角之比可求得這的度數(shù).∴∠BAE＝22.5°,∠DAE＝67.5°.∴∠ABE＝90°-∠BAE＝90°-22.5°=67.5°,∴∠OAB=∠ABE＝67.5°,∴∠EAO＝67.5°-22.5°=45°.及線段平行或垂直的重要依據(jù).【類型三】利用矩形的性質求圖形的面積時，通常運用割補法將陰影部分轉化為較規(guī)則的圖形，再求其解析：這是一道折疊問題，折后的圖形與原圖形全等，從而得∴AD∥BC，∠A＝90°,∴∠2=∠3.又由折疊知△BC≌△BCD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴BE＝DE.方法總結：矩形的折疊問題是常見的問題，本題的易錯點是對△BED是等腰三角形認識不足，解題的關鍵是對折疊后的幾何形狀三、板書設計【類型一】對角線相等的平行四邊形是矩形:平行四邊形是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形).首先考慮能否用對角線的條件證明矩形.【類型二】有三個角是直角的四邊形是矩形°.則這個四邊形就是矩形.【類型三】有一個角是直角的平行四邊形是矩形由.∠ADB＝90°.由等腰三角形“三線合一”的性質可∴∠AFE=∠DCE.∴△AEF≌△DEC(AAS).°.有“一個角是直角的平行四邊形是矩形”是解本題的關鍵.探究點二：矩形的性質和判定的綜合運用).等.三、板書設計過程，并會運用定理解決相關問題．通過開放式命題，嘗試從不同角度尋求解決問題的方法．通過動手實踐、合作探索、小組交流，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力行演示)如圖，改變平行四邊形的邊，使一組鄰邊相等，從而引出菱讓學生舉一些日常生活中所見到過的菱形的例子.【類型一】菱形的四條邊相等如圖所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°,AB＝5，則△ABD的周長是()解析：根據(jù)菱形的性質可判斷△ABD是等邊三角形，再根據(jù)AB=5求出△ABD的周長.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∴△ABD是等邊三角形，∴△ABD的周長＝3AB＝15.方法總結：如果一個菱形的內角為60°或120°,則兩邊與對角線可構成等邊三角形，這是非常有用的基本圖形.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題【類型二】菱形的對角線互相垂直如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周長.邊長．由菱形性質可知，其對角線互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理進行計算.解：因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.因為AC＝6cm，BD＝12cm，所以AO＝3cm，BO＝6cm.在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB＝AO2＋BO2＝32＋62＝35(cm).所以菱形的周長＝4AB＝4形，所以菱形的有關計算問題常轉化到直角三角形中求解.【類型三】菱形是軸對稱圖形如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB于點E，CF⊥AD于點F.求證：AE＝AF.解析：要證明AE＝AF，需要先證明△ACE≌△ACF.證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，即∠BAC=∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC＝90°.在△ACE和△ACF中，〔∠AEC=∠AFC，{∠EAC=∠FAC， lAC＝AC，∴△ACE≌△ACF，∴AE＝AF.探究點二：菱形的面積的計算方法如圖所示，在菱形ABCD中，點O為對角線AC與BD的交點，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對邊形的面積，又因為菱形是特殊的平行四邊形，其面積等于底乘高，也就是一邊長與兩邊之間距離的乘積，從而求得兩對邊的距離.解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，△AOB＝2OA2OB＝235312＝30，330＝120.菱形ABCD△AOB所以S＝AB·h＝13h，菱形ABCD方法總結：菱形的面積計算有如下方法：(1)一邊長與兩對邊的距離(即菱形的高)的積；(2)四個小直角三角形的面積之和(或一個小本節(jié)課不僅安排了菱形性使學生經(jīng)歷實踐、推理、交流等數(shù)學活動過程，親身體驗數(shù)學思想方∵∠B＝90°,AB＝6cm，用四條邊都相等來判定一個四邊形是菱形比較方便.探究點二：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形互相垂直且平分.探究點三：菱形的判定和性質的綜合運用＝120°,求菱形BCFE的面積.(2)解：∵∠BCF＝120°,∴∠EBC＝60°,∴△EBC是等邊三方法總結：判定一個四邊形是菱形時，要結合條件靈活選擇方法．如果可以證明四條邊相等，可直接證出菱形；如果只能證出一組鄰邊相等或對角線互相垂直，可以嘗試證出這個四邊形是平行四邊三、板書設計經(jīng)歷菱形的猜想、證明的過程，進一步提高學生的推理論證能力，體維能力行四邊形是正方形.注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一組鄰邊相等的矩形是正方形或有一個角是直角的菱形是正方形.【類型一】利用正方形的性質求角度解析：等邊△ADE可以在正方形的內部，也可以在正方形∠BAE＝90°+60°=150°,°.°.∴∠BEC＝60°-15°-15°=30°;=90°-60°=30°,°.°.∴∠BEC＝360°-75°-75°-60°=150°綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°形的內部.【類型二】利用正方形的性質求線段長長，結合已知條件易求解.∴∠B＝90°,∠ACB＝45°,AB＝BC＝1cm.∴∠EFA=∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°,∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE=∠FAE，∠B=∠EFA＝90°,AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，2方形中解決問題時常用到等腰三角形的性質與直角三角形的性質.【類型三】利用正方形的性質證明線段相等分散的條件集中.探究點二：正方形的判定＝90°,∠BAC，∠可.°.又∵∠C＝90°,明它有一個角是直角或對角線相等.＝45°,∠BOC＝90°=∠COH+∴∠BOE+∠BOH＝90°,方法總結：對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.探究點三：正方形的性質和判定的綜合運用解析：(1)證明△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，即可證得EF＝90°,即可證得四邊形證明：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠A=∠D=∠C=∠B，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS)，形.∵△APF≌△BQP，∴∠AFP=∠BPQ.∵∠AFP+∠APF＝90°,∴∠APF+∠BPQ＝90°,∴∠FPQ＝90°,∴四邊形EFPQ是正方形.定與性質．注意解題的關鍵是證得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.探究點四：正方形、菱形、矩形與平行四邊形的綜合運用如圖，△ABC中，點P是AC邊上一個動點，過P作直線EFⅡBC，交上ACB的平分線于點E，交上ACB的外角上ACD平分線于點F.(1)請說明：PE＝PF；(2)當點P在AC邊上運動到何處時，四邊形AECF是矩形？為什(3)在(2)的條件下，△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正(4)當點P在邊AC上運動時，四邊形BEFC可能是菱形嗎？請說明理由.解：(1)“CE平分上BCA，:上1＝上2.“EFⅡBC，:上E＝上1，:上E＝上2，:EP＝PC.同理PF＝PC，:EP＝PF；(2)當點P在AC中點時，四邊形AECF是矩形．“PA＝PC，PE1=PF，:四邊形AECF是平行四邊形．又“上ECF＝2上BCD＝90。，:平行四邊形AECF是矩形；(3)當上ACB＝90。時，四邊形AECF是正方形．“上ACB＝90。，:AC丄BC.“EFⅡBC，:AC丄EF，:平行四邊形AECF(4)四邊形BECF不可能是菱形．“上ECF＝90。，:EF>CF，:四邊形BECF不可能是菱形.邊形之間的內在聯(lián)系，培養(yǎng)學生辯證看問題的觀點點.3180°=540°,所以每個內角周角，故不能作平面鑲嵌，如圖所示.分)．否則，就不能作平面鑲嵌.探究點二：用兩種或兩種以上的正多邊形作平面鑲嵌滿地面，則ab=.解析：正三角形每個內角是60°,正十二邊形的每個內角是832＋5b＝12，解得b＝5，正多邊形的個數(shù)6正三角形，則233＋5b＝12，解得b＝5，不符合題意；若在一個頂4邊形的個數(shù)，得出的數(shù)值必須是正整數(shù).受數(shù)學活動的樂趣和數(shù)學美的魅力若想了解大部分同學處于哪個分數(shù)段？成績的整體分布情況如探究點二：頻數(shù)分布表操”“三球”“一跑”“二藝”活動的簡稱)藝目健美操頻數(shù)(人數(shù))1式中求出每組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.探究點三：頻數(shù)直方圖和頻數(shù)直方圖(部分未完成)：組別(萬人)組中值(萬人)頻數(shù)頻率~0.30.3~~~0.33EQ\*jc3\*hps42\o\al(\s\up2147483647(～),5)0.15.組別(萬人)組中值(萬人)頻數(shù)頻率~~~~6630.30.3 是讀懂頻數(shù)分布直方圖和從統(tǒng)計圖中獲取信息的能力.三、板書設計性1＋＋1和時不要漏加數(shù)據(jù).是()【類型三】已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，求新數(shù)探究點二：加權平均數(shù)【類型一】根據(jù)統(tǒng)計表提供的信息計算加權平均數(shù)0.51234這10名同學家庭一個月平均節(jié)約用水量是()術平均數(shù)實質上是各項權相等的加權平均數(shù).【類型二】根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息計算加權平均數(shù)學生的平均年齡是()統(tǒng)計圖，才能做出正確的判斷和解決問題.【類型三】以百分數(shù)的形式給出各數(shù)據(jù)的“權”績?yōu)?5分，那么小華的總成績是()【類型四】以比的形式給出各數(shù)據(jù)的“權”小王參加某企業(yè)招聘測試，他的筆試、面試、技能操作得分則小王的成績是()學校準備從甲乙兩位選手中選擇一位選手代表學校參加所在地區(qū)的漢字聽寫大賽，學校對兩位選手從表達能力、閱讀理解、綜合素質和漢字聽寫四個方面做了測試，他們各自的成績(百分制)如下甲甲乙一成績看，應選派誰.式，計算甲、乙的平均數(shù)，然后根據(jù)計算結果比較兩數(shù)據(jù)大小，結果乙甲乙答：綜合各項成績，應選派乙.三、板書設計際問題，體會數(shù)學與社會生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值，增進學生對數(shù)學的理解和學好數(shù)學的信心小明和小亮都認為自己的成績比對方好，如果你是小明或者小【類型一】求中位數(shù)和眾數(shù)14322則這個小組成員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()的數(shù)即可；中位數(shù)是排序后位于中間位置的數(shù)或∵一共有12名隊員，∴其中位數(shù)應是第6和第7名同學的年齡的平候應該先排序，確定眾數(shù)的時候一定要仔細觀察.【類型二】在統(tǒng)計圖中求中位數(shù)或眾數(shù)下圖是某俱樂部籃球隊隊員年齡結構條形圖，根據(jù)圖中信息，求該隊隊員年齡的眾數(shù)和中位數(shù).要找出最中間的一個數(shù)(或最中間的兩個數(shù)的平均數(shù))即可，本題是最條形最高的數(shù)據(jù)寫出.212數(shù)叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).探究點二：選擇合適的數(shù)據(jù)代表(2)你認為用(1)中計算出的哪個數(shù)據(jù)來代水平更為適合？請簡要說明理由.解析：本題用加權平均數(shù)公式計算平均數(shù)，統(tǒng)計表中統(tǒng)計了46元；對于第(2)問的答案不唯一，只要言之有理即可.32＋600034＋400038＋3500320＋300038擇中位數(shù)代表該公司員工的月工資水平更合適.實際情況選擇合適的數(shù)據(jù)代表.確、合理地使用這些特征數(shù)．在實際生活中針對同一份材料、同一組數(shù)據(jù)，當人們懷著不同的目的，選擇不同的數(shù)據(jù)代表，并從不同的角同的實際需要，確定用平均數(shù)、中位數(shù)還是眾數(shù)來反映數(shù)據(jù)的特征，讓學生自我探索，并解決問題探究點：用樣本平均數(shù)估