第01講中考熱點實數【挑戰中考滿分模擬練】【溫馨提醒】中考考點第一模塊的“數”，包括有理數與實數等章節，但是涉及的知識點合計有45個考點。很多地市中考數學試卷的涉及實數模塊的考題常常是中考第一題，命制原則以送分送到位為準。但是也有一些地市的命制以多個模塊（不僅僅是實數）的多個知識點綜合的考核，既可以綜合實數模塊的多個考點，又可以實數結合概率的知識點，還有需要注意涉及數軸的知識與其他知識點的綜合運用，以及關注到數學文化的內容在考題中的滲透。所以這一部分的中考復習要扎實，要關注到基礎概念的準確深入的理解，而不是死記硬背知識點。一．數軸（共4小題）1．（2022?青縣一模）如圖，數軸上﹣6，﹣3與6表示的點分別為M、A、N，點B為線段AN上一點，分別以A、B為中心旋轉MA、NB，若旋轉后M、N兩點可以重合成一點C（即構成△ABC），則點B代表的數可能為（）A．﹣1 B．0 C．2.5 D．3【分析】利用兩點間的距離，三邊關系，推出第三邊條的取值范圍即可．【解答】解：可設B表示的數為x，x＞0，則BN＝6﹣x，AB＝x﹣（﹣3）＝x+3，∵△ABC中，AC＝AM＝﹣3﹣（﹣6）＝3；BC＝BN＝6﹣x，∴AC+BC＞AB，∴3+6﹣x＞x+3，∴0＜x＜3，故選：C．【點評】本題考查的數軸上的點表示的數，解題的關鍵是熟練掌握三角形三邊關系．2．（2022?鎮海區校級模擬）數軸上某一個點表示的數為a，比a小4的數用b表示，那么|a|+|b|的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用比a小的數表示為b＝a﹣4，代入式子計算即可．【解答】解：∵b＝a﹣4，∴|a|+|b|＝|a﹣0|+|a﹣4|，表示的是a到0和4的距離的和，所以當a在0和4之間時，有最小值4．故選：B．【點評】本題考查的是絕對的和的最小值問題，解題的關鍵是把原式化成一個數到兩個已知數的最小值問題．3．（2022?新河縣一模）以1厘米為1個單位長度用直尺畫數軸時，數軸上互為相反數的點A和點B剛好對著直尺上的刻度2和刻度8．（1）寫出點A和點B表示的數；（2）寫出與點B距離為9.5厘米的直尺左端點C表示的數；（3）在數軸上有一點D，其到A的距離為2，到B的距離為4，求點D關于原點對稱的點表示的數．【分析】（1）利用AB間的距離和A、B互為相反數求值即可；（2）利用兩點間的距離計算即可；（3）利用兩點間的距離計算即可．【解答】解：（1）∵A對應刻度2，B對應刻度8，∴AB＝8﹣2＝6，∵A，B在數軸上互為相反數且A在左，B在右，∴A表示﹣3，B表示3；（2）∵B表示3，C在點B左側，并與點B距離為9.5厘米，∴C表示的數為3﹣9.5＝﹣6.5；（3）因為點D到A的距離為2，所以點D表示的數為﹣1和﹣5．因為點D到B的距離為4，所以點D表示的數為﹣1和7．綜上，點D表示的數為﹣1．所以點D關于原點對稱的點表示的數為1．【點評】本題考查了數軸上兩點間的距離，解題的關鍵是熟練掌握兩點間的距離是表示兩個點的數差的絕對值，或用右邊的數減去左邊的數．4．（2022?孟村縣二模）如圖，在一條直線上，從左到右依次有點A、B、C，其中AB＝4cm，BC＝2cm．以這條直線為基礎建立數軸、設點A、B、C所表示數的和是p．（1）如果規定向右為正方向；①若以BC的中點為原點O，以1cm為單位長度建立數軸，則p＝﹣5；②若單位長度不變，改變原點O的位置，使原點O在點C的右邊，且CO＝30cm，求p的值；并說明原點每向右移動1cm，p值將如何變化？③若單位長度不變，使p＝64，則應將①中的原點O沿數軸向左方向移動23cm；④若以①中的原點為原點，單位長度為ncm建立數軸，則p＝．（2）如果以1cm為單位長度，點A表示的數是﹣1，則點C表示的數是5.【分析】（1）①建立數軸，確定原點，找到各點表示的數，相加即可；②同①，確定原點，找到各數即可；③同①，先設原點，表示各數，相加和為64，從而確定出原點即可；④單位長度為ncm，相當于把①中的單位長度除以n即可；（2）確定原點，表示各數，相加即可．【解答】解：（1）①BC中點為原點O，則C表示的數是1，B表示的數為﹣1，A表示的數為﹣5，∴p＝﹣5+（﹣1）+1＝﹣5，故答案為：﹣5；②∵CO＝30cm，∴C表示的數是﹣30，B表示的數是﹣32，A表示的數是﹣36，∴p＝﹣30+（﹣32）+（﹣36）＝﹣98，原點出右移1cm，則各點表示的數就﹣1，所以和就減少3，即p值減少3；③根據②可知，原點向右平移1cm，p就減少3；原點向左平移1cm，p就增加3，∵p值是64，相對增加，∴可設左移xcm，得，﹣5+3x＝64，∴x＝23，故答案為：左；23；④單位長度除以n，則表示的數除以n，所以和除以n，即p＝；故答案為：；（2）∵A點表示的數為﹣1，∴A點在原點左側1cm處，∵AB＝4cm，BC＝2cm，∴C點到原點的距離為4﹣1+2＝5，∴C點表示的數是5，故答案為：5．【點評】本題考查了數軸上表示實數的方法，解題的關鍵是確定原點，計算點到原點的距離．二．絕對值（共2小題）5．（2022?鶴山市一模）下列兩個數中，互為相反數的是（）A．+2和﹣2 B．2和 C．2和 D．+2和|﹣2|【分析】根據相反數的定義對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、∵+2的相反數是﹣2，故本選項符合題意；B、∵2的相反數是﹣2，∴﹣2與﹣不是互為相反數，故本選項不符合題意；C、∵2的相反數是﹣2，∴2與不是互為相反數，故本選項不符合題意；D、∵+2的相反數是﹣2，|﹣2|＝2，∴2與|﹣2|不互為相反數，故本選項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查的是實數的性質，熟知相反數的定義、算術平方根及立方根的定義是解答此題的關鍵．6．（2022?零陵區二模）如M＝{1，2，x}，我們叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有確定性（如x必然存在），互異性（如x≠1，x≠2），無序性（即改變元素的順序，集合不變）．若集合N＝{x，1，2}，我們說M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合，若A＝B，則x﹣y的值是（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣1【分析】利用新定義，根據元素的互異性、無序性推出只有＝0，從而得出別兩種情況．討論后即可得解．【解答】解：由題意知A＝{2，0，x}，由互異性可知，x≠2，x≠0．因為B＝{}，A＝B，由x≠0，可得|x|≠0，≠0，所以，即y＝0，那么就有或者，當得x＝，當無解．所以當x＝時，A＝{2，0，}，B＝{2，，0}，此時A＝B符合題意．所以x﹣y＝．故選：B．【點評】本題考查的是新定義下的探究型題目，關鍵是理解新定義的含義，再去探究題目．三．倒數（共2小題）7．（2022?秦淮區二模）﹣的相反數是，﹣的倒數是﹣3．【分析】根據相反數和倒數的定義分別進行解答即可得出答案．【解答】解：﹣的相反數是；﹣的倒數是﹣3；故答案為：，﹣3．【點評】此題考查了相反數和倒數，掌握相反數和倒數的定義是解題的關鍵；只有符號不同的兩個數互為相反數；乘積是1的兩個數互為倒數．8．（2022?市中區二模）的倒數是（）A． B． C． D．【分析】直接利用倒數的定義得出答案．倒數的定義：一個數與另一個數相乘，所得的積為1，那么這兩個數互為倒數．【解答】解：的倒數是．故選：C．【點評】本題考查了倒數的定義，正確掌握相關定義是解題的關鍵．四．有理數大小比較（共1小題）9．（2022?市中區校級模擬）若a，b在數軸上表示如圖所示，那么（）A．a＜b B．a﹣b＜0 C．|a﹣b|＝﹣（a﹣b） D．|b﹣a|＝a﹣b【分析】從數軸可知：b＜0＜a，且|b|＞|a|，再逐個判斷即可．【解答】解：從數軸可知：b＜0＜a，且|b|＞|a|，A、a＞b，故本選項錯誤；B、a﹣b＞0，故本選項錯誤；C、|a﹣b|＝a﹣b，﹣（a﹣b）＝b﹣a，故本選項錯誤；D、|b﹣a|＝﹣（b﹣a）＝a﹣b，故本選項正確；故選：D．【點評】本題考查了數軸和有理數的大小比較的應用，主要考查學生的理解能力和辨析能力．五．有理數的加法（共1小題）10．（2022?麗水二模）把夏禹時代的“洛書”用數學符號翻譯出來就是一個三階幻方，它的每行、每列、每條對角線上三個數之和均相等，則幻方中的a﹣b的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【分析】根據三階幻方的特點，三階幻方的中心數，可得三階幻方的和，根據三階幻方的和，可得a、b的值，根據有理數的減法，可得答案．【解答】解：根據幻方的性質，則a+9＝8+5，所以a＝4，而a+8＝5+b，則b＝7，故a﹣b＝4﹣7＝﹣3，故選：A．【點評】本題主要考查了有理數的加法，解決此題的關鍵利用中心數求幻和，再由幻和與已知數求得a、b，最后是有理數的加法．六．有理數的加減混合運算（共1小題）11．（2022?河北二模）請根據圖示的對話解答下列問題．求：（1）a，b的值；（2）8﹣a+b﹣c的值．【分析】（1）根據相反數和絕對值求出a、b即可；（2）求出c的值，分別代入求出即可．【解答】解：（1）∵a的相反數是3，b的絕對值是7，∴a＝﹣3，b＝±7；（2）∵a＝﹣3，b＝±7，c和b的和是﹣8，∴當b＝7時，c＝﹣15，當b＝﹣7時，c＝﹣1，當a＝﹣3，b＝7，c＝﹣15時，8﹣a+b﹣c＝8﹣（﹣3）+7﹣（﹣15）＝33；當a＝﹣3，b＝﹣7，c＝﹣1時，8﹣a+b﹣c＝8﹣（﹣3）+（﹣7）﹣（﹣1）＝5．【點評】本題考查了有理數的加減，相反數，絕對值的應用，能求出b、c的值是解此題的關鍵．七．有理數的乘方（共3小題）12．（2022?江津區一模）定義：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么x叫做以a為底N的對數，記做x＝logaN．例如：因為72＝49，所以log749＝2；因為53＝125，所以log5125＝3．下列說法正確的序號有（）①log66＝36；②log381＝4；③若log4（a+14）＝2，則a＝2；④log264＝log232+log22A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④【分析】根據對數與冪的關系判斷．【解答】解：∵61＝6．∴log66＝1．∴①錯誤．∵34＝81．∴log381＝4．∴②正確．∵log4（a+14）＝2．∴a+14＝42．∴a＝2．∴③正確．∵log264＝6，log232＝5，log22＝1．∴④正確．故選：D．【點評】本題考查對數的運算，找到對數與冪的關系是求解本題的關鍵．13．（2022?景縣校級模擬）一根1米長的小棒，第一次截去它的，第二次截去剩下的，第三次再截去剩下的，如此截下去，第五次后剩下的小棒的長度是（）A．（）5米 B．[1﹣（）5]米 C．（）5米 D．[1﹣（）5]米【分析】根據乘方的意義和題意可知：第2次截去后剩下的木棒長（）2米，以此類推第n次截去后剩下的木棒長（）n米．【解答】解：將n＝5代入即可，第5次截去后剩下的木棒長（）5米．故選：C．【點評】本題考查了乘方的意義．乘方是乘法的特例，乘方的運算可以利用乘法的運算來進行．負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數；解題還要掌握乘方的運算法則．14．（2022?西城區校級模擬）如圖，A，B，C，D是數軸上四個點，A點表示數為10，E點表示的數為10100，AB＝BC＝CD＝DE，則數1099所對應的點在線段（）上．A．AB B．BC C．CD D．DE【分析】先根據AB＝BC＝CD＝DE，計算出每一個線段的長度，再把AB的長度與1099﹣10進行比較即可．【解答】解：∵A點表示數為10，E點表示的數為10100，∴AE＝10100﹣10，∵AB＝BC＝CD＝DE，∴AB＝AE＝（10100﹣10），∴E點表示的數為＝（10100﹣10）﹣10，∵＝（10100﹣10）﹣10﹣1099＝×1099﹣＞0，∴（10100﹣10）﹣10＞0，∴數1099所對應的點在B點左側，∴數1099所對應的點在AB點之間，故選：A．【點評】本題考查估算無理數的大小，掌握算術平方根的意義是正確解答的前提，估算出1099﹣10的大小是得出正確答案的關鍵．八．有理數的混合運算（共12小題）15．（2022?石景山區一模）如圖，某建筑公司有A（1，3），B（3，3），C（5，3）三個建筑工地，三個工地的水泥日用量分別為a噸，b噸，c噸．有M（1，5），N（3，1）兩個原料庫供應水泥．使用一輛載重量大于（a+b+c）噸的運輸車可沿圖中虛線所示的道路運送水泥．為節約運輸成本，公司要進行運輸路線規劃，使總的“噸千米數”（噸數×運輸路程千米數）最小．若公司安排一輛裝有（a+c）噸的運輸車向A和C工地運送當日所需的水泥，且a＞c，為使總的“噸千米數”最小，則應從M原料庫（填“M”或“N”）裝運；若公司計劃從N原料庫安排一輛裝有（a+b+c）噸的運輸車向A，B，C三個工地運送當日所需的水泥，且a：b：c＝3：2：1，為使總的“噸千米數”最小，寫出向三個工地運送水泥的順序N﹣B﹣A﹣C（按運送的先后順序依次排列即可）．【分析】通過計算，比較MA+AC與NA+AC的大小即可得出結論；按向三個工地運送水泥的順序的路線分別計算總的“噸千米數”后，比較大小即可得出結論．【解答】解：∵MA＝2，NA＝2，AC＝4，∴MA+AC＜NA+ACM∴若公司安排一輛裝有（a+c）噸的運輸車向A和C工地運送當日所需的水泥，且a＞c，為使總的“噸千米數”最小，則應從M料庫裝運，故答案為：M；∵A（1，3），B（3，3），C（5，3），N（3，1），∴NA＝NC＝2，NB＝AB＝BC＝2，∵a：b：c＝3：2：1，a＝3c，b＝2c．當按N﹣A﹣B﹣C運輸時，總的“噸千米數”為：2×6c+2×3c+2c＝（8+12）c≈24.97c；當按N﹣B﹣A﹣C線路運輸時，總的“噸千米數”為：2×6c+2×4c+4c＝24c；當按N﹣B﹣C﹣A線路運輸時，總的“噸千米數”為：2×6c+2×4c+4×3c＝32c，∵24c＜24.97c＜32c，∴當按N﹣B﹣A﹣C線路運輸時，總的“噸千米數”最小．故答案為：N﹣B﹣A﹣C．【點評】本題主要考查了有理數的混合運算，方案的優選，勾股定理，利用圖形經過計算得出結論是解題的關鍵．16．（2022?利州區校級模擬）高斯函數[x]，也稱為取整函數，即[x]表示不超過x的最大整數．例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．則下列結論：①[﹣2.1]+[1]＝﹣2；②[x]+[﹣x]＝0；③若[x+1]＝3，則x的取值范圍是2≤x＜3；④當﹣1≤x＜1時，[x+1]+[﹣x+1]的值為0、1、2．其中正確的結論有①③（寫出所有正確結論的序號）．【分析】根據[x]表示不超過x的最大整數，即可解答．【解答】解：①[﹣2.1]+[1]＝﹣3+1＝﹣2，正確；②[x]+[﹣x]＝0，錯誤，例如：[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x+1]＝3，則x的取值范圍是2≤x＜3，正確；④當﹣1≤x＜1時，0≤x+1＜2，0＜﹣x+1≤2，∴[x+1]＝0或1，[﹣x+1]＝0或1或2，當[x+1]＝0時，則﹣1≤x＜0，所以[﹣x+1]＝1或2，則[x+1]+[﹣x+1]的值為1或2；當[x+1]＝1時，則0≤x＜1，所以[﹣x+1]＝1或0；則[x+1]+[﹣x+1]的值為1或2；所以[x+1]+[﹣x+1]的值為1、2，故錯誤．故答案為：①③．【點評】本題考查了有理數的混合運算，解決本題的關鍵是明確[x]表示不超過x的最大整數．17．（2022?路南區二模）洪洪同學在電腦中設置了一個有理數的運算程序：輸入數“a”加“★”鍵再輸入“b”，就可以得到運算a★b＝|2﹣a2|﹣+1．（1）按此程序（﹣3）★2＝7.5；（2）若淇淇輸入數“﹣1”加“★”鍵再輸入“x”后，電腦輸出的數為1，求x的值；（3）嘉嘉同學運用淇淇設置的在這個程序時，屏幕顯示：“該操作無法進行，”你能說出嘉嘉在什么地方出錯了嗎？【分析】（1）根據新定義，代入代數式求值即可；（2）根據新定義列出方程求解即可；（3）根據分式有意義的條件解答．【解答】解：（1）原式＝|2﹣（﹣3）2|﹣+1＝|2﹣9|﹣+1＝7﹣+1＝7.5，故答案為：7.5；（2）根據題意得：|2﹣（﹣1）2|﹣+1＝1，解得：x＝1；（3）嘉嘉輸入的第二個數為0，導致沒有意義，所以該操作無法進行．【點評】本題考查了有理數的混合運算，新定義，掌握分式的分母不等于0是解題的關鍵．18．（2022?藁城區二模）定義新運算：f（a，b）＝，如f（5，3）＝52﹣32＝16，f（3，5）＝（3﹣5）2＝4，（1）求：的值．（2）計算：f（x，2x）．【分析】（1）根據新定義的運算進行求解即可；（2）分兩種情況討論，再結合新定義的運算，從而可求解．【解答】解：（1）f（﹣，﹣）＝（﹣）2﹣（﹣）2＝﹣＝﹣；（2）當x＜0時，f（x，2x）＝x2﹣（2x）2＝x2﹣4x2＝﹣3x2；當x≥0時，f（x，2x）＝（x﹣2x）2＝x2．故f（x，2x）＝．【點評】本題主要考查有理數的混合運算，函數自變量的取值范圍，解題的關鍵是理解清楚新定義的運算．19．（2022?路橋區一模）新農村建設中，某鎮成立了新型農業合作社，擴大了油菜種植面積，今年2000畝油菜喜獲豐收．該合作社計劃租賃5臺油菜收割機機械化收割，一臺收割機每天大約能收割40畝油菜．（1）求該合作社按計劃幾天可收割完這些油菜；（2）該合作社在完成了一半收割任務時，從氣象部門得知三天后有降雨，于是該合作社決定再租賃3臺油菜收割機加入搶收，并把每天的工作時間延長10%，請判斷該合作社能否完成搶收任務，并說明理由．【分析】（1）用油菜種植面積除以收割機的臺數，再除以一臺收割機每天大約能收割的面積數，列出算式計算即可求解；（2）求出8臺收割機每天的工作時間延長10%，收割3天的工作量，與收割任務的右邊進行比較即可求解．【解答】解：（1）2000÷5÷40＝400÷40＝10（天）．答：該合作社按計劃10天可收割完這些油菜；（2）該合作社能完成搶收任務．理由如下：40×（1+10%）×（5+3）×3＝44×8×3＝1056（畝），2000÷2＝1000（畝），∵1056＞1000，∴該合作社能完成搶收任務．【點評】本題考查了有理數的混合運算，關鍵是熟悉工作量，工作效率和工作時間的關系．20．（2022?桑植縣模擬）【概念學習】現規定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的商的運算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）寫作a?，讀作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接寫出計算結果：2②＝1；（﹣）③＝1；【深入思考】我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，那么有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（2）試一試：仿照上面的算式，把下列除方運算直接寫成冪的形式：（﹣3）⑤＝（﹣）3，（）⑥＝54．（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33．【分析】【初步探究】（1）根據題目中的例子，可以計算出所求式子的值；【深入思考】（2）仿照給出的算式，可以計算出所求式子的值；（3）根據（2）中的計算過程和有理數的運算法則，可以計算出所求式子的值．【解答】解：【初步探究】（1）2②＝2÷2＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣2，故答案為：1，﹣2；【深入思考】（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，（）⑥＝÷÷÷÷÷＝×5×5×5×5×5＝54，故答案為：（﹣）3，54；（3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33＝144÷（﹣3）2×（﹣）4﹣（﹣3）4÷27＝144÷9×﹣81÷27＝16×﹣3＝1﹣3＝﹣2．【點評】本題考查有理數的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中的新定義解答問題．21．（2022?定遠縣模擬）探究規律，完成下列題目．小明說：“我定義了一種新的運算，叫?（加乘）運算．”然后他寫出了一些按照?（加乘）運算的法則進行運算的算式：（+5）?（+2）＝+7；（﹣3）?（﹣5）＝+8；（﹣3）?（+4）＝﹣7；（+5）?（﹣6）＝﹣11；0?（+8）＝|+8|＝8；（﹣6）?0＝|﹣6|＝6．小穎看了這些算式后說：“我知道你定義的?（加乘）運算的運算法則了．”聰明的你也看明白了嗎？（1）歸納?（加乘）運算的運算法則：①兩數進行?（加乘）運算時，同號得正，異號得負，并把絕對值相加．②特別地，0和任何數進行?（加乘）運算，或任何數和0進行?（加乘）運算，等于這個數的絕對值．．（2）計算：（﹣2）?[0?（﹣3）]＝﹣5．（括號的作用同在有理數運算中的作用）（3）我們知道加法有交換律和結合律，請你判斷加法交換律在?（加乘）運算中是否適用，并舉例驗證．（舉一個例子即可）【分析】（1）①根據題意，可以寫出兩數進行?（加乘）運算時的法則；②根據題目中的式子，可以寫出0和任何數進行?（加乘）運算，或任何數和0進行?（加乘）運算的法則；（2）根據（1）中的結果，可以寫出所求式子的值；（3）先判斷，然后舉出例子即可．【解答】解：（1）歸納?（加乘）運算的運算法則：①兩數進行?（加乘）運算時，同號得正，異號得負，并把絕對值相加；②特別地，0和任何數進行?（加乘）運算，或任何數和0進行?（加乘）運算，等于這個數的絕對值．故答案為：同號得正，異號得負，并把絕對值相加；等于這個數的絕對值．（2）（﹣2）?[0?（﹣3）]＝（﹣2）?3＝﹣5，故答案為：﹣5；（3）加法交換律在?（加乘）運算中適用，如：（﹣2）?3＝﹣5，3?（﹣2）＝﹣5則（﹣2）?3＝3?（﹣2）．【點評】本題考查有理數的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，會用新定義解答問題．22．（2022?東興區校級二模）【概念學習】現規定：求若干個相同的有理數（均不等于0）的商的運算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，類比有理數的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）寫作（﹣3）④，讀作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）寫作a?，讀作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接寫出計算結果：2③＝，（﹣）④＝4；（2）下列關于除方說法中，錯誤的是：C．A：任何非零數的圈2次方都等于1B：對于任何正整數n，1?＝1C：3④＝4③D：負數的圈奇數次方結果是負數，負數的圈偶數次方結果是正數【深入思考】我們知道，有理數的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數的除方運算如何轉化為乘方運算呢？（3）試一試：仿照上面的算式，把下列除方運算直接寫成冪的形式：（﹣3）⑤＝（﹣）3，（）⑥＝54．（4）想一想：請把有理數a（a≠0）的圈n（n≥3）次方寫成冪的形式為a?＝（）n﹣2．．（5）算一算：＝﹣2．【分析】（1）根據規定運算，直接計算即可；（2）根據圈n次方的意義，計算判斷得結論；（3）根據題例的規定，直接寫成冪的形式即可；（4）根據圈n次方的規定和（3）的結果，綜合可得結論；（5）先把圈n次方轉化成冪的形式，利用有理數的混合運算，計算求值即可．【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2＝，（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×2×2＝4；故答案為：，4；（2）∵3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，∴3④≠4③．故選：C．（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，（）⑥＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1×5×5×5×5＝54；故答案為：（﹣）3，54；（4）（4）a÷a÷a÷…÷a＝a×××…×＝（）n﹣2．故答案為：（）n﹣2．（5）原式＝＝122÷32×（）4﹣34÷33＝24×32÷32×（）4﹣3＝1﹣3＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查了新定義運算，掌握圈n次方的意義是解決本題的關鍵．23．（2022?廣西模擬）計算：（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]．【分析】先算乘方，再算括號里面的減法，再算乘法，最后算減法．【解答】解：原式＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1+＝．【點評】此題考查有理數的混合運算，注意運算的順序與符號的判定．24．（2022?橋西區校級模擬）對于四個數“﹣6，﹣2，1，4”及四種運算“+，﹣，×，÷”，列算式解答：（1）求這四個數的和；（2）在這四個數中選出兩個數，填入下列□中，使得：①“□﹣□”的結果最小；②“□×□”的結果最大．（3）在這四個數中選出三個數，在四種運算中選出兩種，組成一個算式，使運算結果等于沒選的那個數．【分析】（1）將題目中的數據相加即可解答本題；（2）①根據題目中的數字，可以寫出結果最小的算式；②根據題目中的數字，可以寫出結果最大的算式；（3）本題答案不唯一，主要符合題意即可．【解答】解：（1）（﹣6）+（﹣2）+1+4＝﹣8+1+4＝﹣7+4＝﹣3；（2）由題目中的數字可得，①（﹣6）﹣4的結果最小；②（﹣6）×（﹣2）的結果最大；（3）答案不唯一，符合要求即可．如：﹣2﹣1×4＝﹣6；﹣6+4÷1＝﹣2；4﹣（﹣6）÷（﹣2）＝1；（﹣2）×1﹣（﹣6）＝4．【點評】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法．25．（2022?鎮海區校級模擬）定義一種新運算（a，b），若ac＝b，則（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），則x的值為56．【分析】根據題目中的新定義和（4，8）+（4，7）＝（4，x），可以求得x的值．【解答】解：設4m＝8，4n＝7，∵（4，8）+（4，7）＝（4，x），∴m+n＝（4，x），∴4m+n＝x，∴4m×4n＝x，∴8×7＝x，∴x＝56，故答案為：56．【點評】本題考查有理數的混合運算、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，會用新定義解答問題．26．（2022?沙坪壩區校級模擬）對于一個百位數字與十位數字之和為3的四位正整數m，其各數位上數字均不為零且小于9，交換千位與個位上的數字得到數m'，令，若F（m）為正整數，則稱m為“三中全會”數．例如：對于8212，2+1＝3，F（8212）＝＝18，∵18是正整數，∴8212是“三中全會”數；對于3216，2+1＝3，F（3216）＝＝﹣9，∵﹣9不是正整數，∴3216不是“三中全會”數．（1）請判斷6214，4127是否是“三中全會”數，并說明理由；（2）對“三中全會”數m，若其百位數字小于十位數字，去掉它的百位和十位后得到的兩位數與m的百位、十位和個位上的數字之和記為G（m），若是整數，則稱m為“南開全對”數，請求出所有“南開全對”數．【分析】（1）根據三中全會”數的定義進行判斷即可；（2）由“三中全會”數m，若其百位數字小于十位數字可得到百位數字、十位數字分別為1，2，則可求得a＞b，再結合“南開全對”數的定義進行求解即可．【解答】解：（1）F（6214）＝＝6，∵6是正整數，∴6214是“三中全會”數；F（4127）＝＝﹣9，∵﹣9不是正整數，∴4127不是“三中全會”數；答：6214是“三中全會”數，4127不是“三中全會”數；（2）∵對“三中全會”數m，若其百位數字小于十位數字，∴其百位數字、十位數字分別為1，2，設它的千位數字、個位數字分別為a，b（a，b均不為零且小于9），則有：F（m）＝＝3a﹣3b，且3a﹣3b是正整數，∴a＞b，∵去掉它的百位和十位后得到的兩位數與m的百位、十位和個位上的數字之和記為G（m），∴G（m）＝10a+b+1+2+b＝10a+2b+3，∴，若是整數，則稱m為“南開全對”數，∵a＞b，a，b均不為零且小于9的整數，∴b的可能取值為整數1～7，a的可能取值為整數2～8，當是整數時，滿足條件的a，b有：，，，當時，m＝2121，當時，m＝4123，當時，m＝7124．【點評】本題主要考查有理數的混合運算，解答的關鍵是理解清楚題意，找到相應的關系．九．科學記數法—表示較大的數（共2小題）27．（2022?瑞金市模擬）隨著“一帶一路”建設的不斷發展，我國已與多個國家建立了經貿合作關系．去年中哈鐵路（中國至哈薩克斯坦）運輸量達8200000噸，將8200000用科學記數法表示為8.2×106．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：將8200000用科學記數法表示為8.2×106．故答案為：8.2×106．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．28．（2022?沂源縣二模）據統計，杭州市注冊志愿者人數已達109萬人，將109萬人用科學記數法表示應為1.09×106．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【解答】解：將109萬用科學記數法表示為1.09×106．故答案為：1.09×106．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．一十．科學記數法—表示較小的數（共1小題）29．（2022?莘縣二模）某種計算機完成一次基本運算的時間約為1納秒（ns），已知1納秒＝0.000000001秒，該計算機完成15次基本運算，所用時間用科學記數法表示為（）A．1.5×10﹣9秒 B．15×10﹣9秒 C．1.5×10﹣8秒 D．15×10﹣8秒【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【解答】解：所用時間＝15×0.000000001＝1.5×10﹣8．故選：C．【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．一十一．用數字表示事件（共2小題）30．（2022?阿榮旗二模）我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數，由圖可知，孩子自出生后的天數是（）A．84 B．336 C．510 D．1326【分析】類比于現在我們的十進制“滿十進一”，可以表示滿七進一的數為：千位上的數×73+百位上的數×72+十位上的數×7+個位上的數．【解答】解：1×73+3×72+2×7+6＝510，故選：C．【點評】本題是以古代“結繩計數”為背景，按滿七進一計算自孩子出生后的天數，運用了類比的方法，根據圖中的數學列式計算；本題題型新穎，一方面讓學生了解了古代的數學知識，另一方面也考查了學生的思維能力．31．（2022?隨縣一模）中國古代十進位制的算籌計數法，在世界數學史上是一個偉大的創造．算籌計數的方法：如圖，將個位、百位、萬位…的數按縱式的數碼擺出，將十位、千位、十萬位…的數按橫式的數碼擺出．圖1和圖2都是借用算籌進行減法運算，例如：圖1所示的圖形表示的等式54﹣23＝31，34﹣3＝31，則圖2所示的圖形表示的等式為386﹣273＝113（答案不唯一）．（寫出一個即可）【分析】根據算籌計數的方法，列出算式計算即可求解．【解答】解：圖2所示的圖形表示的等式為386﹣273＝113（答案不唯一）．故答案為：386﹣273＝113（答案不唯一）．【點評】本題考查了用數字表示事件，有理數的減法，關鍵是根據題意正確列出算式計算求解．一十二．平方根（共2小題）32．（2022?易縣二模）一個數的平方根是a+4和2a+5，則a＝﹣3，這個正數是1．【分析】根據平方根的定義構建方程即可解決問題．【解答】解：∵一個數的平方根是a+4和2a+5，∴a+4+2a+5＝0，∴a＝﹣3，∴這個數的平方根是±1，這個數是1，故答案為﹣3，1．【點評】本題考查平方根的定義、一元一次方程等知識，解題的關鍵是記住平方根的定義，學會構建方程解決問題．33．（2022?貴陽模擬）若3﹣a和2a+3都是某正數的平方根，則某數為81或9．【分析】根據一個正數的兩個平方根互為相反數，可知3﹣a+2a+3＝0，a＝﹣6，或3﹣a＝2a+3，解得a＝0，繼而得出答案【解答】解：∵一個正數的兩個平方根互為相反數，∴3﹣a+2a+3＝0．解得：a＝﹣6∴3﹣（﹣6）＝3+6＝9．∵92＝81，∴這個數為81．或3﹣a＝2a+3，解得a＝0，∴這個數是9，故答案為：81或9．【點評】本題主要考查的是平方根的定義，掌握平方根的定義是解題的關鍵．一十三．算術平方根（共2小題）34．（2022?雨花區模擬）面積為2的正方形的邊長為．【分析】根據算術平方根解答即可．【解答】解：面積為2的正方形的邊長為；故答案為：．【點評】本題考查了算術平方根，利用了開方運算，注意一個正數只有一個算術平方根．35．（2022?東明縣三模）有一個數值轉換器，原理如下：當輸入的數是16時，則輸出的數是．【分析】把16代入數值轉換器，根據要求進行計算，得到輸出的數值．【解答】解：∵＝4，4是有理數，∴繼續轉換，∵＝2，2是有理數，∴繼續轉換，∵2的算術平方根是，是無理數，∴符合題意，故答案為：．【點評】本題考查的是算術平方根的概念和性質，掌握一個正數的正的平方根是這個數的算術平方根是解題的關鍵，注意有理數和無理數的區別．一十四．非負數的性質：算術平方根（共1小題）36．（2022?佛山二模）已知a、b、c都是實數，若+|2b+|+（c+2a）2＝0，則＝1．【分析】利用非負數的意義求得a，b，c值，將a，b，c值代入運算即可．【解答】解：∵+|2b+|+（c+2a）2＝0，≥0，|2b+|≥0，（c+2a）2≥0，∴a﹣2＝0，2b+＝0，c+2a＝0，∴a＝2，b＝﹣，c＝﹣4．∴＝＝＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查了非負數的應用，利用非負數的意義求得a，b，c值是解題的關鍵．一十五．無理數（共1小題）37．（2022?河南模擬）寫一個大于﹣2小于﹣1的無理數﹣．【分析】根據無理數是無限不循環小數，可得答案．【解答】解：寫一個大于﹣2小于﹣1的無理數﹣（答案不唯一），故答案為：﹣．【點評】本題考查了無理數，無理數是無限不循環小數，有理數是有限小數或無限循環小數．一十六．實數與數軸（共1小題）38．（2022?城廂區校級一模）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列選項正確的是（）A．|c|＞|a| B．c﹣a＝b﹣a+b﹣c C．a+b+c＝0 D．|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|【分析】根據數軸可得：a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，再根據絕對值，有理數加減法逐項判定即可．【解答】解：由數軸可知，a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，∴|c|＜|a|，故A選項錯誤；∵b≠c，∴2b≠2c，∴c﹣a≠b﹣a+b﹣c，故B選項錯誤；∵a＜﹣3＜0＜b＜2＜c，a，b，c不是整數，且不確定，∴a+b+c的值不能確定為0，故C選項錯誤；∵|a﹣b|＝b﹣a，|a﹣c|﹣|b﹣c|＝c﹣a﹣（c﹣b）＝b﹣a，∴|a﹣b|＝|a﹣c|﹣|b﹣c|，故D選項正確；故選：D．【點評】本題考查了實數與數軸，掌握在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小．一十七．實數大小比較（共1小題）39．（2022?桂平市二模）在下列四個實數中，最小的實數是（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【分析】利用實數大小比較的法則解答即可．【解答】解：∵正數大于0，負數小于0，正數大于一切負數，∴四個實數中，最小的實數是﹣1，故選：B．【點評】本題主要考查了實數大小的比較，正確利用實數大小比較的法則是解題的關鍵．一十八．估算無理數的大小（共2小題）40．（2022?沙坪壩區校級模擬）估計的值在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【分析】先根據二次根式的混合運算法則進行計算，并估算無理數的大小即可得出答案．【解答】解：原式＝+＝+2，∵25＜30＜36，∴5＜＜6，∴7＜+2＜8．故選：D．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，估算無理數的大小，無理數的估算常用夾逼法，用有理數夾逼無理數是解題的關鍵．41．（2022?鄂州一模）若三個實數x，y，z滿足xyz≠0，且x+y+z＝0，則有：（結論不需要證明）．例如：．根據以上閱讀，請解決下列問題：【基礎訓練】（1）求的值．【能力提升】（2）設，求S的整數部分．【拓展升華】（3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），其中，且y+z＝3yz．當取得最小值時，求x的取值范圍．【分析】（1）根據范例中提供的計算方法進行計算即可；（2）將進行化簡，再確定整數部分；（3）將原式化簡為|+3|+|﹣3|，再根據|+3|+|﹣3|取最小值時，確定x的取值范圍．【解答】解：（1）＝＝|1++|＝；（2）＝++…+＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣＝2020﹣＝2019，故整數部分為2019；（3）由題意得，＝|++|+|﹣﹣|＝|+|+|﹣|，又y+z＝3yz，原式＝|+3|+|﹣3|，因為|+3|+|﹣3|取最小值，所以﹣3≤≤3，而x＞0，因此，x≥，答：x的取值范圍為x≥．【點評】本題考查無理數的大小比較，分式的加減法以及找規律等知識，理解題意和推廣應用是本題的亮點．一十九．實數的運算（共12小題）42．（2022?鹽池縣二模）計算：﹣tan60°﹣|﹣2|＝﹣6．【分析】利用負整數指數冪的意義，絕對值的意義和特殊角的三角函數值解答即可．【解答】解：原式＝﹣4﹣﹣（2﹣）＝﹣4﹣﹣2+＝﹣6．故答案為：﹣6．【點評】本題主要考查了實數的運算，負整數指數冪的意義，絕對值的意義和特殊角的三角函數值，正確使用實數法則進行運算是解題的關鍵．43．（2022?秦淮區一模）計算（）0＝1，2﹣1＝．【分析】原式利用零指