第1頁（共1頁）2025年高考數學復習之小題狂練600題（選擇題）：相等關系與不等關系（10題）一．選擇題（共10小題）1．（2024?浙江模擬）已知實數x，y滿足x＞3，且xy+2x﹣3y＝12，則x+y的最小值為（）A．1+26 B．8 C．62 D2．（2024?門頭溝區一模）設a＞0，b＞0，則“lg（a+b）＞0”是“lg（ab）＞0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024?海淀區二模）設a，b∈R，ab≠0，且a＞b，則（）A．ba＜ab C．sin（a﹣b）＜a﹣b D．3a＞2b4．（2024?邵陽三模）已知集合M＝{x|y=lgx}，N＝{y|y＝6﹣7x}，則M∩NA．（1，6） B．[1，6） C．（1，7） D．[1，7）5．（2024?安徽三模）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，則y2A．4 B．42 C．42+1 6．（2024?香坊區校級模擬）已知集合A={x|x+1x-3＞0}，B＝{x|log2x≥1}，則（?UA．[2，3] B．（2，3） C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞） D．（2，+∞）7．（2024?湖北模擬）設集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|log2x＞1}，則A∩（?RB）＝（）A．（0，2） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）8．（2024?故城縣校級模擬）對于實數a，b，c，下列說法正確的是（）A．若a＞b，則1aB．若a＞b，則ac2＞bc2 C．若a＞0＞b，則ab＜a2 D．若c＞a＞b，則a9．（2024?子長市校級三模）若正數x，y滿足3x+1y=2，則A．4 B．6 C．8 D．1010．（2024?北京模擬）已知集合M＝{x|log2x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，則M∩N＝（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣1，4） D．（﹣1，2）

2025年高考數學復習之小題狂練600題（選擇題）：相等關系與不等關系（10題）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?浙江模擬）已知實數x，y滿足x＞3，且xy+2x﹣3y＝12，則x+y的最小值為（）A．1+26 B．8 C．62 D【考點】基本不等式及其應用．【專題】轉化思想；轉化法；不等式的解法及應用；數學運算．【答案】A【分析】根據已知條件，結合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：xy+2x﹣3y﹣6＝（x﹣3）（y+2），則（x﹣3）（y+2）＝6，故x＞3，y＞﹣2，故x+y＝x﹣3+y+2+1≥2(x-3)(y-2)+1=2故選：A．【點評】本題主要考查基本不等式的公式，屬于基礎題．2．（2024?門頭溝區一模）設a＞0，b＞0，則“lg（a+b）＞0”是“lg（ab）＞0”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】指、對數不等式的解法；對數的運算性質；充分條件與必要條件．【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用；簡易邏輯；邏輯推理；數學運算．【答案】B【分析】利用特殊值法，和對數函數的性質與邏輯關系進行判斷選項．【解答】解：若a＞0，b＞0，由lg（a+b）＞0，取a=3，b=13，但是lg（而lg（ab）＞0，則ab＞1，又a＞0，b＞0，則a，b中至少有一個大于1，若都小于等于1，根據不等式的性質可知，乘積也小于等于1，與乘積大于1矛盾，則a+b＞1，故lg（a+b）＞0，所以lg（a+b）＞0是lg（ab）＞0的必要而不充分條件．故選：B．【點評】本題主要考查了充分條件和必要條件的定義，考查了對數函數的性質，屬于基礎題．3．（2024?海淀區二模）設a，b∈R，ab≠0，且a＞b，則（）A．ba＜ab C．sin（a﹣b）＜a﹣b D．3a＞2b【考點】等式與不等式的性質；不等關系與不等式．【專題】整體思想；綜合法；函數的性質及應用；數學抽象．【答案】C【分析】結合不等式性質檢驗選項A，結合基本不等式檢驗選項B，結合函數單調性檢驗選項C；舉出反例檢驗選項D．【解答】解：因為a＞b，ab≠0，當a＝1，b＝﹣1時，A顯然錯誤；|ba+ab|＝|ba|+|ab|≥2|ab?b令f（x）＝x﹣sinx，x＞0，則f′（x）＝1﹣cosx≥0，即f（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以f（x）＞f（0）＝0，故x＞sinx，所以a﹣b＞sin（a﹣b），C正確；當a＝﹣2，b＝﹣3時，D顯然錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查了基本不等式及不等式性質，函數單調性在函數值大小比較中的應用，屬于中檔題．4．（2024?邵陽三模）已知集合M＝{x|y=lgx}，N＝{y|y＝6﹣7x}，則M∩NA．（1，6） B．[1，6） C．（1，7） D．[1，7）【考點】指、對數不等式的解法；指數函數的值域；交集及其運算．【專題】整體思想；定義法；集合；數學抽象．【答案】B【分析】先分別求出集合M，N，然后結合集合的交集運算即可求解．【解答】解：集合M＝{x|y=lgx}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝6﹣7x}＝{y|y＜6}則M∩N＝[1，6）．故選：B．【點評】本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎題．5．（2024?安徽三模）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，則y2A．4 B．42 C．42+1 【考點】運用基本不等式求最值．【專題】轉化思想；綜合法；不等式；數學運算．【答案】D【分析】根據條件可得出y2【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y＝1，∴y2+xxy=y∴y2+xxy故選：D．【點評】本題考查了“1的代換”，基本不等式求最值的方法，是基礎題．6．（2024?香坊區校級模擬）已知集合A={x|x+1x-3＞0}，B＝{x|log2x≥1}，則（?UA．[2，3] B．（2，3） C．（﹣∞．﹣1]∪（2，+∞） D．（2，+∞）【考點】交、并、補集的混合運算；指、對數不等式的解法；其他不等式的解法．【專題】轉化思想；轉化法；集合；數學運算．【答案】A【分析】先求出集合A，B，再結合交集、補集的運算，即可求解．【解答】解：集合A={x|x+1x-3＞0}={x|x＞3或則?UA＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|log2x≥1}＝{x|x≥2}，故（?UA）∩B＝[2，3]．故選：A．【點評】本題主要考查集合的運算，屬于基礎題．7．（2024?湖北模擬）設集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|log2x＞1}，則A∩（?RB）＝（）A．（0，2） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）【考點】交、并、補集的混合運算；指、對數不等式的解法；一元二次不等式及其應用．【專題】轉化思想；轉化法；集合；數學運算．【答案】B【分析】根據已知條件，結合集合的運算，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，則?RB＝{x|x≤2}，故A∩（?RB）＝（0，2]．故選：B．【點評】本題主要考查集合的運算，屬于基礎題．8．（2024?故城縣校級模擬）對于實數a，b，c，下列說法正確的是（）A．若a＞b，則1aB．若a＞b，則ac2＞bc2 C．若a＞0＞b，則ab＜a2 D．若c＞a＞b，則a【考點】不等關系與不等式；等式與不等式的性質．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；不等式的解法及應用；數學運算．【答案】C【分析】根據不等式的基本性質及恰當的特殊值可逐一判斷．【解答】解：對于A選項，若a＝0或b＝0，1a或1b顯然無意義．故對于B選項，若c＝0，則ac2＝bc2．故B選項錯誤；對于C選項，因為a＞0＞b，所以各項同時乘以a得a2＞0＞ab．故C正確；對于D選項，因為c＞a＞b，所以﹣c＜﹣a＜﹣b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以0＜c-a(c-a)(c-b)＜c-b(c-a)(c-b)，即所以無法滿足同向可乘性的條件．故D錯誤．故選：C．【點評】本題考查了不等式的基本性質，是基礎題．9．（2024?子長市校級三模）若正數x，y滿足3x+1y=2，則A．4 B．6 C．8 D．10【考點】基本不等式及其應用．【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應用；數學運算．【答案】C【分析】由已知利用乘1法，結合基本不等式即可求解．【解答】解：因為正數x，y滿足3x則3x+y=12（3x+y）（3x+1y）=1當且僅當x＝y＝2時取等號．故選：C．【點評】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎題．10．（2024?北京模擬）已知集合M＝{x|log2x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，則M∩N＝（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣1，4） D．（﹣1，2）【考點】指、對數不等式的解法；交集及其運算．【專題】集合思想；定義法；集合；數學運算．【答案】B【分析】分別解不等式可得集合M與N，進而可得M∩N．【解答】解：∵M＝{x|log2x＜2}＝（0，4），N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝（﹣1，2），∴M∩N＝（0，2）．故選：B．【點評】本題考查交集及其運算，考查不等式的解法，是基礎題．

考點卡片1．交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算性質：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數的定義域，值域，函數的單調性、復合函數的單調性等聯合命題．2．交、并、補集的混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質，借助數軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎題．3．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．4．等式與不等式的性質【知識點的認識】1．不等式的基本性質（1）對于任意兩個實數a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?na＞nb（n∈N，且5．不等關系與不等式【知識點的認識】不等關系就是不相等的關系，如2和3不相等，是相對于相等關系來說的，比如42與84就是相等關系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質是做差比較法的依據．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集為{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π這個題很典型，考查了不等式和三角函數的相關知識，也體現了一般不等式喜歡與函數聯結的特點，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當ab＞0時，a＞b?1a證明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a?1ab＞b?若1a＜∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．6．基本不等式及其應用【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者a+b實例解析例1：下列結論中，錯用基本不等式做依據的是．A：a，b均為負數，則2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根據均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數的要求是整個式子為正數，而不是式子當中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？當0＜x＜解：當x＝0時，y＝0，當x≠0時，y=x用基本不等式若x＞0時，0＜y≤2若x＜0時，-24≤y綜上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是這是基本不等式在函數中的應用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數）相加，而他們的特點是相乘后為常數；最后套用基本不等式定理直接求的結果．【解題方法點撥】基本不等式的應用1、求最值例1：求下列函數的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值．技巧二：湊系數例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x?（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y=x解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y=x2+7x+10x+1=(x+1)當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（當且僅當技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結合函數f（x）＝x+a技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用基本不等式．7．運用基本不等式求最值【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數．公式為：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），變形為ab≤（a+b2）2或者a+b【解題方法點撥】在運用均值不等式求最值時，可以將代數式分解成可以應用均值不等式的形式．例如，要求代數式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2從而得出最小值為2，并且在【命題方向】均值不等式求最值的命題方向包括代數表達式的最值求解、幾何圖形的最優設計等．例如，求解一個代數式的最小值，或設計一個幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學生能夠靈活運用均值不等式進行最值求解，并能正確代入和計算．已知正數a，b滿足a+b＝1，則a+1+b+1的最大值是解：因為正數a，b滿足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，則a+1+當且僅當a＝b=1故答案為：6．8．指、對數不等式的解法【知識點的認識】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）．步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則．（3）無理不等式：轉化為有理不等式求解．（4）指數不等式：轉化為代數不等式（5）對數不等式：轉化為代數不等式（6）含絕對值不等式①應用分類討論思想去絕對值；②應用數形思想；③應用化歸思想等價轉化．注：常用不等式的解法舉例（x為正數）：9．其他不等式的解法【知識點的認識】指、對數不等式的解法其實最主要的就是兩點，第一點是判斷指、對數的單調性，第二點就是學會指數和指數，對數和對數之間的運算，下面以例題為講解．【解題方法點撥】例1：已知函數f（x）＝ex﹣1（e是自然對數的底數）．證明：對任意的實數x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當x＞1時，h'（x）＞0，h（x）為增，當x＜1時，h'（x）＜0，h（x）為減，當x＝1時，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數的單調性，尤其是指數函數的單調性，考查的重點其實是大家的計算能力．例2：已知函數f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對數函數的單調性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當a＞1時，有x-1＞3-x1當1＞a＞0時，有x-1＜3-x1綜上可得，當a＞1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當1＞a＞0時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個題考查的就是對數函數不等式的求解，可以看出主要還是求單調性，當然也可以右邊移到左邊，然后變成一個對數函數來求解也可以．【命題方向】本考點其實主要是學會判斷各函數的單調性，然后重點考察學生的運算能力，也是