石室聯合中學教育集團2023-2024學年度上期八年級期末試題數學出題人：熊蓓王太平試卷說明：1．試題分為A卷（滿分100分）和B卷（滿分50分）2．考試時間為120分鐘3．答案請做在答題卡上A卷（共100分）第Ⅰ卷（選擇題，共32分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）1.隨著我國航天領域的快速發展，從“天宮一號”發射升空，到天和核心艙歸位，我國正式邁入了“空間站時代”，下面是有關我國航天領域的圖標，其圖標既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行判斷即可．此題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形的關鍵是尋找對稱中心，旋轉后與自身重合．【詳解】解：A．標志既不是軸對稱又不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；B．標志既是軸對稱又是中心對稱圖形，故選項符合題意；C．標志是軸對稱但不是中心對稱圖形，故選項不符合題意；D．標志既不是軸對稱又不是中心對稱圖形，故選項不符合題意．故選：B．2.在實數，，，，中，無理數的個數為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】此題考查了無理數，求一個數的算術平方根，根據無理數的定義進行判斷即可．【詳解】解：在實數，，，，0中，無理數是，，共2個，故選：B3.下列是二元一次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二元一次方程，根據二元一次方程的定義“含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程”即可得，掌握二元一次方程的定義是解題的關鍵．【詳解】解：A、，是一元一次方程，不是二元一次方程，選項說法錯誤，不符合題意；B、，不是二元一次方程，選項說法錯誤，不符合題意；C、，不是二元一次方程，選項說法錯誤，不符合題意；D、，是二元一次方程，選項說法正確，符合題意；故選：D．4.甲、乙、丙、丁四支女子花樣游泳隊的人數相同，且平均身高都是，身高的方差分別是，，，，則身高比較整齊的游泳隊是（）．A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】C【解析】【分析】找出方差最小的游泳隊即可．【詳解】解：，，，，且，身高比較整齊的游泳隊是丙游泳隊，故選：C．【點睛】本題考查了方差的意義，解題的關鍵是熟練掌握方差的意義：方差越小，數據波動越小，越穩定．5.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據二次根式的運算法則將各式計算后進行判斷即可．【詳解】A.，故該選項不正確，不符合題意；B，故該選項不正確，不符合題意；C.，故該選項正確，符合題意；D.，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查二次根式的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．6.如圖，在中，的垂直平分線交于點D，平分，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據線段垂直平分線的性質和“等邊對等角”可得，根據角平分線定義可得，再根據三角形內角和定理即可求出的度數．本題主要考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、角平分線定義和三角形內角和定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【詳解】∵垂直平分，，．∵平分，，．故選：B7.我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托．折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺，設繩索長x尺，竿長y尺，則符合題意的方程組是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二元一次方程，設繩索長x尺，竿長y尺，根據用繩索去量竿，繩索比竿長5尺得，根據如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺得，即可得；根據題意找出等量關系列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：設繩索長x尺，竿長y尺，故選：A．8.已知點在第四象限，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用第四象限點的坐標的特點得出一元一次不等式組，解出后得到答案．【詳解】解：點在第四象限，解得．故答案選：B．【點睛】本題考查了象限內點的特點，一元一次不等式組，其中對象限內點的特點的理解是解題的關鍵．二、填空題（每小題4分，共20分）9.若二次根式有意義，則x的取值范圍是_____．【答案】x≥1【解析】【分析】根據二次根式的性質可知，被開方數大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．【詳解】解：根據二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，∴x≥1，故答案為：x≥1．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關鍵是掌握被開方數大于等于0．10.在平面直角坐標系中，點關于y軸對稱的點的坐標是___________．【答案】【解析】【分析】根據關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反進行求解即可．【詳解】解：在平面直角坐標系中，點關于y軸對稱的點的坐標是，故答案為：.【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化—軸對稱，解決本題的關鍵是掌握關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數．11.如圖，在中，，將沿著射線平移m個單位長度，得到，若，則__________.【答案】6【解析】【分析】點B平移后的對應點為點E，因此求出的長度即可．【詳解】解：由圖可知，點B平移后的對應點為點E，，，，故答案為：6．【點睛】本題考查圖形的平移，解題的關鍵是找出平移前后的對應點．12.如圖，直線與直線相交于點，則方程組的解是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數與二元一次方程組，熟練掌握一次函數與二元一次方程組的聯系是解題關鍵．根據兩條直線的交點坐標即可得．【詳解】解：∵直線與直線相交于點，∴方程組的解是，故答案為：．13.如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點和；②分別以點，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；③作射線交于點；④過點作交于點，若，則的度數是___________.【答案】##度【解析】【分析】根據作圖可得，是的角平分線，則，根據平行線的性質可得，根據三角形內角和定理，即可求解．【詳解】解：根據作圖可得，是的角平分線，則，∵，∴，∵∴，在中，，故答案為：°．【點睛】本題考查了作角平分線，平行線的性質，三角形內角和定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．三、解答題（共48分）14.計算（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了實數的混合運算，解一元一次不等式組，（1）根據二次根式，零指數冪，絕對值，負整數指數冪依次計算各項，再從左往右依次進行計算即可得；（2）分別求出每一個不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小找不到”即可得；掌握實數的混合運算的運算法則和運算順序，解一元一次不等式組是解題的關鍵．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式的解集為．15.如圖，已知在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別是，，．（1）畫出關于x軸對稱的（要求：A與，B與，C與相對應）；（2）將繞O點逆時針旋轉后得到，請在圖中畫出旋轉后的（要求；：A與，B與，C與相對應）；（3）求的面積．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】本題考查了作圖：作軸對稱圖形及旋轉圖形，割補法求圖形面積；（1）：作三個頂點A、B、C關于x軸對稱的對應點，，，依次連接這三個點即可；（2）作三個頂點A、B、C繞O點逆時針旋轉對應點，，，依次連接這三個點即可；（3）正方形面積減去三個三角形面積即可得到的面積．【小問1詳解】解：關于x軸對稱圖形如下：【小問2詳解】解：繞點O逆時針旋轉后的三角形如下圖所示：【小問3詳解】解：．16.某校組織全體1500名學生參加“強國有我”讀書活動，要求每人必讀本書，活動結束后從各年級學生中隨機抽查了若干名學生了解讀書數量情況，并根據得到的數據繪制了不完整的條形統計圖（圖1）和扇形統計圖（圖2）．請根據統計圖解答下列問題：（1）本次調查的學生共有______人，并補全條形統計圖；（2）求本次被調查學生讀書數量的中位數為______，眾數為______．（3）求被調查學生讀書數量的平均數，并估計全校1500名學生共讀書多少本？【答案】（1）200，見解析（2）2，2（3）本，估計全校1500名學生共讀書本【解析】【分析】本題考查了條形統計圖和扇形統計圖的信息關聯、中位數和眾數、加權平均數、利用樣本估計總體，熟練掌握統計調查的相關知識是解題關鍵．（1）根據讀書數量為2本的條形統計圖和扇形統計圖可得本次調查的學生總人數，據此求出讀書數量為4本的學生人數，補全條形統計圖即可；（2）根據中位數和眾數的定義求解即可得；（3）先利用加權平均數公式秋求出平均數，再利用全校學生總人數乘以樣本的平均數即可得．【小問1詳解】解：本次調查的學生總人數為（人），故答案為：200；讀書數量為4本的學生人數為（人），補全條形統計圖如下：．【小問2詳解】解：將本次被調查學生讀書數量按從小到大排序后，第100個數和第101個數的平均數為中位數，所以本次被調查學生讀書數量的中位數為，因為本次被調查學生讀書數量為2的人數最多，所以本次被調查學生讀書數量的眾數為2，故答案為：2，2．【小問3詳解】解：被調查學生讀書數量的平均數為（本），則（本），答：被調查學生讀書數量的平均數為本，估計全校1500名學生共讀書3450本．17.如圖，一次函數的圖象與x軸和y軸分別交于點A和點B，將沿直線對折，使點A和點B重合，直線與x軸交于點C，與交于點D．（1）求A，B兩點的坐標：（2）求的長（3）設P是坐標軸上一動點，若使是直角三角形，直接寫出點P的坐標（不需計算過程）【答案】（1）（2）（3）點P的坐標為或或【解析】【分析】（1）在中，分別令及，即求得A、B的坐標；（2）設，由題意得的長，在中，由勾股定理建立方程即可求解；（3）由（2）知得點C的坐標，可求得D的坐標，進而求出直線的解析式；當點P為直角頂點時，則P與O重合；當A為直角頂點時，則點P在y軸上，可求得直線的解析式，從而求得點的坐標；當B為直角頂點時，則點P在x軸上，同理可求得點的坐標，綜合上述情況即可．【小問1詳解】解：在中，令，得；令，得，∴；【小問2詳解】解：∵，∴；設，則；由折疊性質得：，在中，由勾股定理得：，解得：，即；【小問3詳解】解：由（2）知，點C的坐標為，由折疊知，點D為中點，∴D的坐標為；設直線的解析式為，把C、D坐標代入得：，解得：，即直線的解析式為；當點P為直角頂點時，則P與O重合，此時坐標為；如圖，當A為直角頂點時，則點P在y軸上，∵，∴設直線的解析式為，把點A坐標代入得，即直線的解析式為，∴點的坐標為；當B為直角頂點時，則點P在x軸上，∵，∴設直線的解析式為，把點B坐標代入得，即直線的解析式為，當時，，∴點的坐標為；綜上，點P的坐標為或或．【點睛】本題是一次函數的綜合，考查了一次函數圖象與坐標軸的交點，求一次函數解析式，直角三角形，折疊的性質，勾股定理，兩一次函數圖象平行的性質等知識，涉及分類討論思想．有一定的綜合性與難度．18.（1）【問題】如下圖，中，，，D為邊上一點（不與點B，C重合），將線段繞點A逆時針旋轉得到，連接，，則線段，之間滿足的數量關系式為______；直線，相交所夾的銳角的度數為______；（2）【探索】如圖2，中，，，D為外一點，將線段繞點A逆時針旋轉得到，連接，，延長，交于點F．試問：（1）中的結論是否成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（3）【應用】在（2）的條件下，，．求四邊形的面積．【答案】（1），；（2）成立，證明見解析；（3）【解析】【分析】本題考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質、三角形全等的判定與性質、旋轉的性質等知識，通過作輔助線，構造直角三角形是解題關鍵．（1）先證出，再根據全等三角形的性質求解即可得；（2）先證出，再根據全等三角形的性質可得，，然后根據三角形的外角性質求解即可得；（3）先求出，過點作于點，過點作于點，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性質求解即可得．【詳解】解：（1）∵在中，，，，，由旋轉的性質得：，，，在和中，，，，，∴直線，相交所夾的銳角的度數為，故答案為：，；（2）（1）中的結論成立，證明如下：同理可得：，在和中，，，，，又，，解得，即直線，相交所夾的銳角的度數為；（3），∴，如圖，過點作于點，過點作于點，，，，，，，，，在中，，即，解得（負值已舍），則，所以四邊形的面積為．B卷（50分）一、填空題（每小題4分，共20分）19.比較大小：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了無理數的估算、二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質是解題關鍵．將化成，根據無理數的估算、二次根式的化簡可得，由此即可得．【詳解】解：，∵，，即，故答案為：．20.若方程組的解x，y滿足，則m的值為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了解二元一次方程組及解一元一次方程，熟練掌握解二元一次方程組是解題的關鍵．首先解二元一次方程組，把x與y的值代入中，得到關于m的一元一次方程，即可求得m的值．【詳解】解：得：，即，把代入①，得：，∴；∵方程組的解x，y滿足，∴，解得：；故答案為：．21.已知，是一次函數的圖象上兩點，且，則m的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數的性質，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．先判斷出與異號，再根據一次函數的增減性求解即可得．【詳解】解：∵，∴與異號，∴對于一次函數，隨的增大而減小，∴，解得，故答案為：．22.如圖，是等腰直角三角形，，D是邊的中點，是邊上一動點．設，，y關于x的函數圖象過點，則該函數圖象最低點的縱坐標是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了勾股定理、軸對稱的性質、函數值、等腰三角形的性質等知識，熟練掌握軸對稱的性質是解題關鍵．連接，先求出，利用勾股定理求出，再作點關于的對稱點，連接，從而可得該函數圖象最低點的縱坐標是的長，然后利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，∵，，關于的函數圖象過點，即當時，，，∵是等腰直角三角形，，是邊的中點，，，，設，則，，，解得，，，如圖，作點關于的對稱點，連接，則，，，，由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取最小值，最小值為，即該函數圖象最低點的縱坐標是的長，在中，，所以該函數圖象最低點的縱坐標是，故答案為：．23.如圖，直線與坐標軸相交于點A，B，點，點P在線段上運動，連接．將沿翻折，使A點落在點處，若平行于坐標軸時，則______．【答案】的長為或2或10【解析】【分析】分三種情況：平行于y軸時，由平行線的性質及等腰三角形性質、對稱性質即可求解；平行于x軸時，過點C作于N，設交y軸于點M；設，點，則可得，M的坐標，從而求得，再由折疊性質得，可得；由求得a與m的關系；再由勾股定理得，從而可求得m及a的值；當P靠近A且平行于x軸時，延長交y軸于點M，求法與上面平行x軸的求法類似．【詳解】解：當平行于y軸時，如圖，則，由折疊知：，，∴，∴，∴；對于，令，得；令，得；∴，∵，∴，∴；平行于x軸時，如圖，過點C作于N，設交y軸于點M；設，點，則，則，，∴，；由折疊性質知：，∵，，∴；∵，∴，即；另一方面，，即，因，故；把代入中，得：，解得：（舍去），∴，即；當P靠近A且平行于x軸時，延長交y軸于點M，此時M位于點C上方，如圖，設，點，則，則，，∴，；由折疊性質知：，，∴，即，∴，即；另一方面，，即，因，故；把代入中，得：，解得：（舍去），∴，即；綜上，的長為或2或10．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，平行線的性質，等腰三角形的性質角平分線的性質，勾股定理，等積法，利用等積法是解題的關鍵與難點．二、解答題（共30分）24.為美化校園環境，石室聯中計劃分兩次購進杜鵑花和四季海棠兩種花卉．第一次購進60盆杜鵑花，80盆四季海棠，共花費1700元；第二次購進100盆杜鵑花，160盆四季海棠，共花費3100元，每次購進的單價相同．（1）求杜鵑花、四季海棠每盆的價格分別是多少元？（2）若計劃購買杜鵑花、四季海棠共500盆，根據實際擺放，要求杜鵑花的盆數不少于四季海棠盆數的2倍，請你給出一種費用最省的方案，并求方案所需費用．【答案】（1）杜鵑花每盆的價格是15元，四季海棠每盆的價格是10元（2）購買杜鵑花334盆，四季海棠166盆，費用最省，最省費用為6670元【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一次函數的應用、一元一次不等式組的應用，正確建立方程組和熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．（1）設杜鵑花每盆的價格是元，四季海棠每盆的價格是元，根據兩次花費建立方程組，解方程組即可得；（2）設購買杜鵑花盆，所需費用為元，則購買四季海棠盆，先求出關于的一次函數關系式，再求出的取值范圍，利用一次函數的性質求解即可得．【小問1詳解】解：設杜鵑花每盆的價格是元，四季海棠每盆的價格是元，由題意得：，解得，答：杜鵑花每盆價格是15元，四季海棠每盆的價格是10元．【小問2詳解】解：設購買杜鵑花盆，所需費用為元，則購買四季海棠盆，由題意得：，∵要求杜鵑花的盆數不少于四季海棠盆數的2倍，，解得，由一次函數的性質可知，在內，隨的增大而增大，又是正整數，當時，取最小值，最小值為，此時，答：購買杜鵑花334盆，四季海棠166盆，費用最省，最省費用為6670元．25.如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，將直線沿y軸向上平移4個單位與直線l交于點A，與x軸交于點C．（1）求點A坐標；（2）點，連接AD，BD，求△ABD的面積；（3）點P為線段AB上一點，點Q為線段AC延長線上一點，且，連接PQ交x軸于點E，設點P的橫坐標為m，四邊形APEC的面積為S，求S與m的函數關系式（不需求自變量的取值范圍）．【答案】（1）點A的坐標為（2）18（3）【解析】【分析】（1）由一次函數圖象的平移可求得平移后的直線解析式，與直線l的解析式聯立起來即可求得點A的坐標；（2）設直線l交y軸于點F，由割補法得，即可求得結果．（3）過點P作軸于F，過Q作于G，由判定，可得；再由證明，可得；設點P的坐標，則可得，由即可得到函數關系式．【小問1詳解】解：直線沿y軸向上平移4個單位后的解析式為：，解方程組，得：，∴點A的坐標為；【小問2詳解】解：設直線l交y軸于點F，如圖，對于，令，得；令，得；即，，∴，；∵，∴∴，則；【小問3詳解】解：如圖，過點P作軸于F，過Q作于G，在中，令，得，∴，∴；∵