第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年天津五十五中高二（上）期中數學試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.經過A(0,3)、B(?1,0)兩點的直線的傾斜角為A.π6 B.π3 C.2π32.已知AB=(13,13,?13)A.39 B.33 C.3.如圖是一座拋物線形拱橋，當橋洞內水面寬16m時，拱頂距離水面4m，當水面上升1m后，橋洞內水面寬為(

)A.4m B.43m C.84.設橢圓C1的離心率為513，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線CA.x242?y232=15.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(異于M、N)，△AF1A.y23+x24=1 B.6.直線l：ax+y?1=0被圓C：x2+y2A.6 B.25 C.47.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3，O為坐標原點，右焦點為F，過點FA.42 B.4 C.28.已知拋物線y2=8x的準線與雙曲線x2a2?y2標原點，若△OAB的面積等于83，則雙曲線的離心率為A.3 B.13 C.229.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與y軸相交于A.2 B.3 C.3二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.已知拋物線y2=2px(p>0)上橫坐標為3的點到其焦點的距離為4，則p=______．11.已知雙曲線x24?y2b2=1(b>0)的一條漸近線為12.經過兩圓x2+y2+6x?4=0和x13.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，左頂點為A，點P在橢圓上，且PF⊥AF14.已知橢圓x22+y2=1上兩個不同的點A、B關于直線15.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過原點O且斜率為正數的直線MN分別交雙曲線的左、右兩支于點N，M，記四邊形F1N三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題14分)

已知直線2x?y?3=0與直線x?3y+1=0交于點P．

(1)求過點P且垂直于直線x+y+2=0的直線l1的方程；

(2)求過點P并且在兩坐標軸上的截距相等的直線l217.(本小題15分)

已知圓C經過點(0,1)，(0,3)，(2,1)．

(1)求圓C的方程；

(2)若直線l經過原點，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程．18.(本小題15分)

已知拋物線C：y2=4x，過點(?1,0)的直線與拋物線C相切，設第一象限的切點為P．

(I)求點P的坐標；

(Ⅱ)若過點(2,0)的直線l與拋物線C相交于兩點A，B，圓M是以線段AB為直徑的圓過點P，求直線l的方程．19.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，F為B1C1的中點，點D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．

(Ⅰ)求證：A1F//平面BDE；

20.(本小題16分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點與橢圓的左、右頂點連線的斜率之積為?14．

(1)求橢圓C的離心率；

(2)點M(3,12)在橢圓C上，橢圓的左頂點為D，上頂點為B，點A的坐標為(1,0)，過點D的直線L與橢圓在第一象限交于點參考答案1.B

2.B

3.C

4.A

5.D

6.D

7.C

8.B

9.D

10.2

11.3

12.x213.1214.(?∞,?15.616.解：(1)由

2x?y?3=0x?3y+1=0，

得

x=2y=1，∴交點P(2,1)，

由題直線

l1的斜率k=1，

則直線l1的方程為y?1=x?2，即x?y?1=0．

(2)當直線

l2過原點時，

直線l2斜率為12，此時直線方程為：y=12x，即x?2y=0，

當直線

l2不過原點時，設直線l2：xa+ya=1，

代入點

P(2,1)得217.解：(1)設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

根據題中條件知，

1+E+F=09+3E+F=05+2D+E+F=0，解得D=?2E=?4F=3，

所以圓C的方程為x2+y2?2x?4y+3=0，即(x?1)2+(y?2)2=2，

所以圓C的方程為x2+y2?2x?4y+3=0，

即(x?1)2+(y?2)2=2；

(2)因為直線l經過原點，

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx，即kx?y=0，

則圓心C(1,2)到直線l的距離d=|k?2|k2+1，

又被圓C截得的弦長為2，圓C的半徑為2，

則18.解：(Ⅰ)由題意知可設過點(?1,0)的直線方程為x=ty?1，

聯立y2=4xx=ty?1，得：y2?4ty+4=0.①

∵直線與拋物線相切，∴△=16t2?16=0，即t=±1．

∵P為第一象限的切點，∴t=1，

則①化為y2?4y+4=0，解得y=2，此時x=1，

則點P坐標為(1,2)；

(Ⅱ)設直線l的方程為：x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯立y2=4xx=my+2，得y2?4my?8=0，

則△=16m2+32>0恒成立，

y1y219.(Ⅰ)證明：取BE的中點G，連接FG，DG，則FG//CC1//AA1，

因為F為B1C1的中點，

所以FG=C1E+BB12=1+32=2，

所以FG//A1D且FG=A1D，

所以四邊形A1DGF為平行四邊形，

所以A1F//DG，

又A1F?平面BDE，DG?平面BDE，

A1F/?/平面BDE．

(Ⅱ)

解：直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，

以C為原點，以CA,CB,CC1的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(2,0,1)，

所以BE=(0,?2,2),BD=(2,?2,1)，

設平面BDE的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?BE=0n?BD20.解：(1)設橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點為B(0,b)，

左頂點為D(?a,0)，右頂點為E(?a,0)，

因為橢圓的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為?14，

所以ba?b?a=?1