第一部分數與式

專題02整式加減及其運算（6大考點）

核心考點一列代數式及代數式求值

核心考點二整式的有關概念及運算

核心考點三乘法公式的應用

核心考點

核心考點四整式的化簡求值

核心考點五因式分解

核心考點六規律探索題

新題速遞

核心考點一列代數式及代數式求值

4432234

例1（2022·貴州六盤水·中考真題）已知xya1xa2xya3xya4xya5y，則a1a2a3a4a5

的值是（）

A．4B．8C．16D．12

例2（2022·廣西·中考真題）閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法．例如“已知3ab2，求代數式

6a2b1的值．”可以這樣解：6a2b123ab12213．根據閱讀材料，解決問題：若x2是

關于x的一元一次方程axb3的解，則代數式4a24abb24a2b1的值是________．

例3（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖，學校勞動實踐基地有兩塊邊長分別為a，b的正方形秧田A，B，

其中不能使用的面積為M．

(1)用含a，M的代數式表示A中能使用的面積___________；

(2)若ab10，ab5，求A比B多出的使用面積．

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代數式及求值

(1)概念：用基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數或表示數的字母連接而成的式子叫代

數式．單．獨．的．一．個．數．或．一．個．字．母．也．是．代．數．式．；．

(2)列代數式：找出數量關系，用表示已知量的字母表示出所求量的過程；

(3)代數式求值：把已知字母的值代入代數式中，并按原來的運算順序計算求值．

【變式1】（2022·山東濟寧·三模）若m，n是方程2x24x70的兩個根，則2m23mn的值為（）

A．9B．8C．7D．5

【變式2】（2022·甘肅·平涼市第十中學三模）十八世紀偉大的數學家歐拉最先用記號fx的形式來表示關

于x的多項式，把x等于某數n時一的多項式的值用fn來表示．例如x1時，多項式fx2x2x3的

值可以記為f1，即f14．我們定義fxax33x22bx5．若f318，則f3的值為（）

A．18B．22C．26D．32

【變式3】（2022·浙江麗水·一模）已知，實數m，n滿足mn3，m2nmn230．

（1）若mn，則mn_______；

（2）若np5，則代數式m2pn2pm3mn2的值是______________．

【變式4】（2022·福建省福州屏東中學模擬預測）已知m23na，n23ma，且mn，則代數式

m22mnn2的值是______．

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【變式5】（2022·安徽蕪湖·模擬預測）閱讀下列材料，完成后面的問題．

材料1：如果一個四位數為abcd（表示千位數字為a，百位數字為b，十位數字為c，個位數字為d的四位

數，其中a為1～9的自然數，b，c，d為0～9的自然數），我們可以將其表示為：abcd1000a100b10cd；

材料2：把一個自然數（個位不為0）的各位數字從個位到最高位倒序排列，得到一個新的數．我們稱該數

為原數的兄弟數．如數“123”的兄弟數為“321”．

(1)四位數x5y5______；（用含x，y的代數式表示）

(2)設有一個兩位數xy，它的兄弟數比原數大63，請求出所有可能的數xy；

(3)求證：四位數abab一定能被101整除．

核心考點二整式的有關概念及運算

例1（2021·四川綿陽·中考真題）整式3xy2的系數是（）

A．-3B．3C．3xD．3x

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例2（2022·湖南長沙·中考真題）當今大數據時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，

它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區區“二維碼”已經展現出無窮威

力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中

小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼．根據相關數

學知識，這200個方格可以生成2200個不同的數據二維碼，現有四名網友對2200的理解如下：

YYDS（永遠的神）：2200就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數；

DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；

JXND（覺醒年代）：2200的個位數字是6；

103

QGYW（強國有我）：我知道21024,101000，所以我估計2200比1060大．

其中對2200的理解錯誤的網友是___________（填寫網名字母代號）．

例3（2022·安徽·中考真題）觀察以下等式：

222

第1個等式：21122122，

222

第2個等式：22134134，

222

第3個等式：23146146，

222

第4個等式：24158158，

……

按照以上規律．解決下列問題：

(1)寫出第5個等式：________；

(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．

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整式及有關概念

(1)單項式：由數與字母或字母與字母相乘組成的代數式叫做單項式，所有字母指數的和叫做單項式的_次

數，單項式中的數字因數叫做單項式的系數．單．獨．的．數．、．字．母．也．是．單．項．式．；

(2)多項式：由幾個單項式組成的代數式叫做多項式，多項式里次數最高項的次數叫多項式的次數，一

個多項式中的每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項；

(3)整式：單項式和多項式統稱為整式；

(4)同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項；所有的常數項都是同類

項．

整式的運算

1．同底數冪的乘法法則：amanamn（m,n都是正整數）

同．底．數．冪．相．乘．，．底．數．不．變．，．指．數．相．加．。

mnmn

2．冪的乘方法則：(a)a（m,n都是正整數）

冪．的．乘．方．，．底．數．不．變．，．指．數．相．乘．。

冪的乘方法則可以逆用：即amn(am)n(an)m

nnn

3．積的乘方法則：(ab)ab（n是正整數）。

積．的．乘．方．，．等．于．各．因．數．乘．方．的．積．。

4．同底數冪的除法法則：amanamn（a0,m,n都是正整數，且mn)

同．底．數．冪．相．除．，．底．數．不．變．，．指．數．相．減．。

0

5．零指數：任何不等于零的數的零次方等于1。即a1（a．≠．0．）

6．負整數指數：任何不等于0的數的-p次冪(p是正整數),等于這個數的p次冪的倒數,即

p1

a(．a．≠．0．,．p．是．正．整．數．)．。

ap

7．單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同

它的指數作為積的一個因式。

8．單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，

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即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是單項式)。

9．多項式與多項式相乘，用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。

10．單項式的除法法則：單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含

有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

11．多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的

的商相加。

12．添括號法則：

括號前面是+號，放進括號里面的每一項都不變號。

括號前面是—號，放進括號里面的每一項都要變號。

【變式1】（2022·河南南陽·二模）下列運算正確的是（）

A．(a2)2a22a4B．(x2)3x6

C．2a3b5abD．x2x2x4

【變式2】（2022·重慶文德中學校二模）我們知道，三個正整數a、b、c滿足a2b2c2，那么，a、b、c

成為一組勾股數；如果一個正整數m能表示成兩個非負整數x、y的平方和，即mx2y2，那么稱m為廣

義勾股數，則下面的結論：

①7是廣義勾股數；②13是廣義勾股數；③兩個廣義勾股數的和是廣義勾股數；

④兩個廣義勾股數的積是廣義勾股數：⑤若xm2n2，y2mn，zm2n2，其中x，y，z，m，n是正

整數，則x，y，z是一組勾股數；

其中正確的結論是（）．

A．①③④⑤B．②④C．②③⑤D．②④⑤

【變式3】（2022·浙江杭州·模擬預測）若單項式2ax2yn1與3axmy4的差是ax2y4，則2m3n____．

AB2x6

【變式4】（2022·山東·臨清市教育和體育局教科研中心一模）已知，則

x12xx1x2

AB______．

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【變式5】（2022·河北·順平縣腰山鎮第一初級中學一模）現有甲乙兩個矩形，其邊長如圖所示（a＞0），周

長分別為C甲和C乙，面積分別為S甲和S乙．

(1)用含a的代數式表示C甲＝；C乙＝；S甲＝；S乙＝．

(2)通過觀察，小明發現“甲、乙兩個矩形的周長相等，與a值無關”；小亮發現“a值越大，甲、乙兩個矩形

的面積之差越大”．你認為兩位同學的結論都正確嗎？如果不正確，請對錯誤同學的結論說明理由．

核心考點三乘法公式的應用

例1（2022·江蘇南通·中考真題）已知實數m，n滿足m2n22mn，則(2m3n)2(m2n)(m2n)的

最大值為（）

4416

A．24B．C．D．4

33

例2（2022·江蘇泰州·中考真題）已知a2m2mn,bmn2n2,cm2n2(mn)用“＜”表示a、b、c的

大小關系為________.

例3（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽著作，是數學發展史

的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數結論，利用幾何

給人以強烈印象將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中．

(1)我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數公式，（下面

各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號）

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公式①：abcdadbdcd

公式②：abcdacadbcbd

2

公式③：aba22abb2

2

公式④：aba22abb2

圖1對應公式______，圖2對應公式______，圖3對應公式______，圖4對應公式______；

(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式ababa2b2的方法，如圖5，請寫出

證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）

(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點

重合），過點E作EGBC于點G，作EHADF點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG

與△CEG的面積之和為S1，△ABD與△AEH的面積之和為S2．

S

①若E為邊AC的中點，則1的值為_______；

S2

②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

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乘法公式

22

1．平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差。即(ab)(ab)ab

2．完全平方和公式：兩個數的和的平方，等于這兩個數的平方和，再加上這兩個的積的2倍。即：（．a．+．b．）．

2．=．a．2．+．b．2．+．2．a．b．

3.完全平方差公式：兩個數的差的平方，等于這兩個數的平方和，再減上這兩個的積的2倍。即：（．a．-．b．）．

2．=．a．2．+．b．2．-．2．a．b．

(ab)2a22abb2

完．全．平．方．公．式．的．口．訣．：．首．平．方．，．尾．平．方．，．首．尾．2．倍．中．間．放．，．符．號．和．前．一．個．樣．。

【變式1】（2022·河北·石家莊市第四十一中學模擬預測）若整式4x2M1是完全平方式，下列不滿足要求

的是（）

A．M1B．M4xC．M4x4D．M0

【變式2】（2022·山東山東·三模）如果一個正整數可以表示為兩個連續奇數的平方差，那么稱該正整數為“和

諧數”．如83212，165232，即8，16均為“和諧數”．在不超過2022的正整數中，所有“和諧數”之和

等于（）

A．255054B．255064C．250554D．255024

3x22xy12y247

【變式】（浙江麗水一模）已知，滿足方程組，

32022··xy22

2xxy8y36

（1）代數式x24y2的值是_____．

11

（2）代數式的值是______．

x2y

【變式4】（2022·江蘇南通·二模）已知實數a，b，c滿足ab4，a2b216c，當1c2時，多項式

11

a2abb2的最大值為m，最小值為n，則mn______．

22

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【變式5】（2022·河北·石家莊市第四十四中學三模）已知：整式An21，B2n，Cn21，整式C0．

(1)當n1999時，寫出整式AB的值______（用科學記數法表示結果）；

(2)求整式A2B2；

(3)嘉淇發現：當n取正整數時，整式A、B、C滿足一組勾股數，你認為嘉淇的發現正確嗎？請說明理由．

核心考點四整式的化簡求值

例1（2022·西藏·中考真題）下列計算正確的是（）

A．2ab﹣ab＝abB．2ab+ab＝2a2b2

C．4a3b2﹣2a＝2a2bD．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2

例2（2022·青海西寧·中考真題）3x22xy3=_________

1

例3（2022·廣西·中考真題）先化簡，再求值xyxyxy22xyx，其中x1,y．

2

合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項．

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變．

（3）合并同類項時要注意以下三點：

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①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同系數的代數項；

字母和字母指數；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經過合并同類項，式的項數會減少，達到化

簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數的相加，并把得到的結果作為新的系數，要保持同類項的字母和字母的指數

不變．

【變式1】（2022·河北唐山·三模）在化簡3a2bab2a2bab◆2ab題中，◆表示＋，－，×，÷四個運

算符號中的某一個．當a2，b1時，3a2bab2a2bab◆2ab的值為22，則◆所表示的符號為（）

A．B．C．＋D．－

【變式2】（2022·重慶巴蜀中學三模）已知：Mx2ax3，Nx1（其中為a整數，且a0）；有下列

結論，其中正確的結論個數有（）

M17

①若M·N中不含x2項，則a1；②若為整式，則a2；③若a是MN0的一個根，則a2．

Na24

A．0個B．1個C．2個D．3個

【變式3】（2022·河北唐山·一模）若（x+1）（x+a）＝x2+bx-3，則ab的值為_______．

【變式4】（2022·河北保定·二模）已知有甲、乙兩個長方形，它們的邊長如圖所示（m為正整數），甲、乙

的面積分別為S1，S2．

（1）S1與S2的大小關系為：S1___S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）

（2）若滿足條件|S1﹣S2|＜n≤2021的整數n有且只有4個，則m的值為___．

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【變式5】（2022·廣東·佛山市南海外國語學校三模）先化簡，再求值：(xy)(2xy)(xy)2x2，其中

x20231，y20231．

核心考點五因式分解

例1（2022·青?！ぶ锌颊骖}）下列運算正確的是（）

2

A．3x24x37x5B．xyx2y2

C．23x23x9x24D．2xy4xy22xy12y

例2（2022·貴州黔東南·中考真題）分解因式：2022x24044x2022_______．

例3（2022·青海西寧·中考真題）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

將2a3ab46b因式分解．

【觀察】經過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：

解法一：原式2a3ab46ba23b223b23ba2

解法二：原式2a43ab6b2a23ba2a223b

【感悟】對項數較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式

法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數式的化簡、求值及方

程、函數等學習中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）

【類比】

(1)請用分組分解法將x2a2xa因式分解；

【挑戰】

(2)請用分組分解法將axa22abbxb2因式分解；

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【應用】

(3)“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直

角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和bab，

斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據以上信息，先將a42a3b2a2b22ab3b4因式分解，再求值．

因式分解

1.分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式分解因式.

2.分解因式的一般方法：

（1）提公共因式法.

（2）運用公式法.

①平方差公式：a2b2abab

2

②完全平方公式：a22abb2ab

（3）十．字．相．乘．法．。．利．用．十．字．交．叉．線．來．分．解．系．數．，．把．二．次．三．項．式．分．解．因．式．的．方．法．叫．做．十．字．相．乘．法．．.

pqc

①對于二次三項式x2bxc，若存在，則x2bxcxpxq

pqb

②首項系數不為1的十字相乘法

在二次三項式2中，如果二次項系數可以分解成兩個因數之積，即，常數項

3.axbxc(a≠0)aaa1a2c

第13頁共28頁.

可以分解成兩個因數之積，即，把，，，排列如下：

cc1c2a1a2c1c2

按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項式2的一次項系數，即

4.a1c2a2c1axbxcb

，那么二次三項式就可以分解為兩個因式與之積，即

a1c2a2c1ba1xc1a2xc2

2

axbxca1xc1a2xc2.

（4）分組分解法

5.對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，

即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目

進行分組，然后再分解因式.

6.分解因式的步驟：

(1)先看各項有沒有公因式,若有,則先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分組分解法,即通過分組后提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的;

(4)因式分解的最后結果必須是幾個整式的乘積,否則不是因式分解;

(5)因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數范圍內不能再分解為止.

7.若有公因式，先提公因式；然后再考慮用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab

＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每個因式都不能再分解為止.

【變式1】（2022·湖北·武漢市新洲區陽邏街第一初級中學三模）解決次數較高的代數式問題時，通常可以

用降次的思想方法．已知：x2x10，且x0，則x42x33x的值是（）

A．15B．15C．35D．35

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【變式2】（2022·安徽·模擬預測）若a1b24b40，則ab的值為（）

A．3B．-3C．1D．-1

2

【變式3】（2022·內蒙古呼倫貝爾·二模）分解因式：mn4mmn4m2________．

【變式4】（2022·江蘇南京·二模）一個數能表示成某個整數的平方的形式，則稱這個數為完全平方數．若

x281x2022是完全平方數，則正整數x的值為______．

【變式5】（2022·重慶文德中學校二模）兩個不同的多位正整數，若它們各數位上的數字和相等，則成這兩

個多位數互為“友好數”．例如：37和82，它們各數位上的數字之和分別是37，82，378210，

37和82互為“友好數”．又如：123和51，它們各數位上的數字之和分別是123，51，123516，

123和51互為“友好數”．

(1)直接寫出103的所有兩位數的“友好數”；

(2)若兩個不同的三位數m100a40b、n20010c(1?a?5，0?b?5，0?c?9，且a、b、c為整數）互為友

mn

好數，且mn是11的倍數，記P，求P的所有值．

11

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核心考點六規律探索題

例1（2022·山東濟寧·中考真題）如圖，用相同的圓點按照一定的規律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第

二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規律，第一百幅圖中圓點的個數是

（）

A．297B．301C．303D．400

例2（2022·四川遂寧·中考真題）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形

的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似一棵樹而得

名．假設如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六

代勾股樹中正方形的個數為______．

例3（2022·浙江嘉興·中考真題）設a5是一個兩位數，其中a是十位上的數字（1≤a≤9）．例如，當a＝4

時，a5表示的兩位數是45．

(1)嘗試：

①當a＝1時，152＝225＝1×2×100＋25；

②當a＝2時，252＝625＝2×3×100＋25；

第16頁共28頁.

③當a＝3時，352＝1225＝；

……

2

(2)歸納：a5與100a(a＋1)＋25有怎樣的大小關系？試說明理由．

2

(3)運用：若a5與100a的差為2525，求a的值．

找規律

解題思維過程：從簡單、局部或特殊情況入手，經過提煉、歸納和猜想，探索規律，獲得結論.有時候

還需要通過類比聯想才能找到隱含條件.一般有下列幾個類型：

⑴一列數的規律：把握常見幾類數的排列規律及每個數與排列序號n之間的關系.

⑵一列等式的規律：用含有字母的代數式總結規律，注意此代數式與序號n之間的關系.

⑶圖形（圖表）規律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數或圖形總數與序號n之間的關系.

⑷圖形變換的規律：找準循環周期內圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數除以一個循環變換周期，

進而觀察商和余數.

⑸數形結合的規律：觀察前n項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論.

常見的數列規律：

⑴1，3，5，7，9，…，2n1（n為正整數）．

⑵2，4，6，8，10，…，2n（n為正整數）．

⑶2，4，8，16，32，…，2n（n為正整數）．

⑷2，5，10，17，26，…，n21（n為正整數）．

⑸0,3,8,15，24，…，n21（n為正整數）．

⑹2，6，12，20，…，n(n1)（n為正整數）．

⑺x，x，x，x，x，x，…，(1)nx（n為正整數）．

⑻x，x，x，x，x，x，…，(1)n1x（n為正整數）．

⑼特殊數列：

第17頁共28頁.

①斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個數開始每一個數等于與它相鄰的前兩個數的

和.

n(n1)

②三角形數：1,3,6,10,15,21，…，.

2

【變式1】（2022·云南·昆明市第一中學西山學校一模）按一定規律排列的單項式：3b2，5a2b2，7a4b2，9a6b2，

11a8b2，…，第8個單項式是（）

A．17a14b2B．17a8b4C．15a7b14D．152a14b2

【變式2】（2022·浙江·北大附屬臺州書生學校二模）如圖所示，動點P從第一個數0的位置出發，每次跳

動一個單位長度，第一次跳動一個單位長度到達數1的位置，第二次跳動一個單位長度到達數2的位置，

第三次跳動一個單位長度到達數3的位置，第四次跳動一個單位長度到達數4的位置，…，依此規律跳動

、、

下去，點P從0跳動6次到達P1的位置，點P從0跳動21次到達P2的位置，…，點P1P2P3Pn在一條

直線上，則點P從0跳動（）次可到達P14的位置．

A．887B．903C．90D．1024

【變式3】（2022·寧夏·銀川外國語實驗學校一模）如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的

兩邊在坐標軸上，以它的對角線OB1為邊做正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線為邊做正方形

以此類推，則正方形的邊長是

OB2B3C3……OB2020B2021C2021_____________

第18頁共28頁.

【變式4】（2022·遼寧鞍山·二模）如圖，正方形ABCB1，中，AB1，AB與直線l的夾角為30，延長CB1

交直線于點A1，作正方形A1B1C1B2，延長C1B2交直線l于點A2，作正方形A2B2C2B3，延長C2B3交直線l于點

A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此規律，則A2022B2022________．

【變式5】（2022·山東青島·一模）數學問題：各邊長都是整數，最大邊長為21的三角形有多少個？

為解決上面的數學問題，我們先研究下面的數學模型：

數學模型：在1到21這21個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于21，有多少種

不同的取法？

為了找到解決問題的方法，我們把上面數學模型簡單化：

（1）在1～4這4個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于4，有多少種不同的取法？

根據題意，有下列取法：1＋4，2＋3，2＋4，3＋2，3＋4，4＋1，4＋2，4＋3；而1＋4與4＋1，2＋3與3

122342

＋2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有4種不同的取法．

24

（2）在1～5這5個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于5，有多少種不同的取法？

根據題意，有下列取法：1＋5，2＋4，2＋5，3＋4，3＋5，4＋2，4＋3，4＋5；5＋1，5＋2，5＋3，5＋4，

而1＋5與5＋1，2＋4與4＋2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

12234521

6種不同的取法．

24

（3）在1～6這6個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于6，有多少種不同的取法？

根據題意，有下列取法：1＋6，2＋5，2＋6，3＋4，3＋5，3＋6，4＋3，4＋5，4＋6，5＋2，5＋3，5＋4，

5＋6，6＋1，6＋2，6＋3，6＋4，6＋5；而1＋6與6＋1，2＋5與5＋2，…是同一種取法，所以上述每一

12334562

種取法都重復過一次，因此共有9種不同的取法．

24

（4）在1～7這7個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于7，有多少種不同的取法？

根據題意，有下列取法：1＋7，2＋6，2＋7，3＋5，3＋6，3＋7，4＋5，4＋6，4＋7，5+3，5+4，5+6，5+7，

6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7＋4，7＋5，7＋6；而1＋7與7＋1，2＋6與6＋2，…是

第19頁共28頁.

1233456721

同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有12種不同的取法…

24

問題解決：

依照上述研究問題的方法，解決上述數學模型和提出的問題：

（1）在1～21這21個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于21，有種不同

的取法；（只填結果）

（2）在1～n（n為偶數）這n個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于n，有種

不同的取法；（只填最簡算式）

（3）在1～n（n為奇數）這n個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于n，有種

不同的取法；（只填最簡算式）

（4）各邊長都是整數，最大邊長為21的三角形有多少個？（寫出最簡算式和結果，不寫分析過程）

問題拓展：

（5）在1～100這100個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于100，有種不

同的取法；（只填結果）

（6）各邊長都是整數，最大邊長為11的三角形有多少個？（寫出最簡算式和結果）

（7）各邊長都是整數，最大邊長為31的三角形有多少個？（寫出最簡算式和結果）

第20頁共28頁.

【新題速遞】

1．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）在下列運算中，正確的是（）．

3

A．(2x)2x34x6B．x2xxC．4x24x6D．3x2(2x)2x2

2．（2022·廣西賀州·三模）觀察下列一行數：2,1,4,1,8,1,16,1，…，則第16個數與第17個數的和為（）

A．128B．128C．129D．129

3．（2022·浙江紹興·二模）數獨顧名思義----每個數字只能出現一次，數獨源自18世紀末的瑞士．數獨盤面

是個九宮，每一宮又分為九個小格，雖然玩法簡單，但數字排列方式卻千變萬化，如圖，在★處應填的數

字是（）

A．2B．6C．7D．8

113

4．（2022·山東濱州·二模）若m3，則m2m1的值是（）

m22

31

A．2B．0C．D．

22

5．（2022·河北邯鄲·二模）若202220222022202020232022n2021，則n的值是（）

A．2023B．2022C．2021D．2020

b2ab

6．（2022·內蒙古·科爾沁左翼中旗教研室模擬預測）若ab2，則代數式a的值為（）

aa

11

A．B．C．2D．－2

22

7．（2022·重慶市育才中學二模）已知多項式Ax22ym和By22xn（m，n為常數），以下結論中

正確的是（）

①當x2且mn1時，無論y取何值，都有AB≥0；

②當mn0時，AB所得的結果中不含一次項；

③當xy時，一定有AB；

第21頁共28頁.

④若mn2且AB0，則xy；

⑤若mn，AB1且x，y為整數，則xy1．

A．①②④B．①②⑤C．①④⑤D．③④⑤

8．（2022·重慶市育才中學一模）下列四種說法中正確的有（）

①關于x、y的方程2x6y199存在整數解．

②若兩個不等實數a、b滿足2(a4b4)(a2b2)2，則a、b互為相反數．

③若(ac)24(ab)(bc)0，則2bac．

④若x2yzy2xzz2xy，則xyz．

A．①④B．②③C．①②④D．②③④

2

9．（2022·福建省廈門第二中學模擬預測）若m202210，則m2021m2023______．

10．（2022·山東煙臺·一模）如圖，程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損

術”，執行該程序框圖，如果輸出m的值為5，那么輸入x的值為______．

11．（2022·北京·二模）歷史上數學家歐拉最先把關于x的多項式用記號fx來表示，把x等于某數a時的

22

多項式的值用fa表示．例如多項式fxxx1，當x4時，多項式的值為f444113．已

知多項式fxmx3nx3，若f12022，則f1的值為______．

12．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學二模）用符號f（x）表示關于自然數x的代數式，我們規定：當x為偶

第22頁共28頁.

x8

數時，fx；當x為奇數時，f（x）＝3x＋1．例如：f（1）＝3×1＋1，f84．設x1＝8，x2＝f

22

（x1），x3＝f（x2），…，xn＝f（xn－1）．以此規律，得到一列數x1、x2、x3，…，x2022，則這2022個數之和

x1x2x3x2021x2022等于___________．

13．（2022·湖北十堰·三模）中國古代數學史曾經有自己光輝燦爛的篇章，而“楊輝三角”的發現就是十分精

彩的一頁，上圖是其中的一部分．“楊輝三角”蘊含了許多優美的規律，小明對此非常著迷．一次，他把寫的

楊輝三角數表用書本遮蓋住，只漏出其中某一行的一部分的5個數字；1，10，45，120，210，讓同桌小聰

說出第6個數字，小聰稍加思索，便說出正確答案，正確答案是_________．

14．（2022·廣西柳州·二模）添項、拆項是因式分解中常用的方法，比如分解多項式a21可以用如下方法分

解因式：

①a21a2aa1aa1a1a1a1；

又比如多項式a31可以這樣分解：

②a31a3a2a2aa1a2a1aa1a1a1a2a1；

仿照以上方法，分解多項式a51的結果是______．

15．（2022·重慶·模擬預測）某水果店售賣A，B，C，D四種水果套餐，其中A，B兩種水果的單價相同，D

種水果的單價是C種水果單價的7倍，第一天，A，C兩種水果的銷量相同，B種水果的銷量是D種水果銷

量的7倍，結果第一天A，B兩種水果的總銷售額比C、D兩種水果的總銷售額多126元，且四種水果第一

天的單價與銷量均為正整數，到了第二天的時候，由于D種水果不易保存，攤主便將D種水果打八折售賣，

其他三種水果單價不變，結果第二天除了B種水果銷量下降了20%，其他幾種水果的銷量跟第一天一樣，

若A種水果與C種水果的單價之差超過6元但不超過13元，B種水果和D種水果第一天的單價之和不超過

35元，則第二天四種水果總銷售額最多為____元．

22

16．（2022·河北·育華中學三模）如圖的長方體中，已知高為x，S1＝16﹣x，S2＝4x﹣x．

第23頁共28頁.

(1)用x表示圖中S3；

(2)求長方體的表面積．

17．（2022·河北·大名縣束館鎮束館中學三模）嘉嘉準備完成題目：

她發現“口”內的系數與“”內的運算符號印刷不清楚，淇淇告訴嘉嘉“”是，中的某一個．

(1)若“口”內為2，“”內為，請化簡原式；

(2)在（1）的情況下，是否存在實數x，使原式的值為﹣45？如果存在，求出x的值；如果不存在，請說明

理由；

(3)若不論x取何實數，原式的值都是一個固定的常數，請直接寫出原題中“口”內的數、“”內的運算符號

以及原式的值．

第24頁共28頁.

18．（2022·寧夏吳忠·一模）閱讀以下材料：

對數的創始人是蘇格蘭數學家納皮爾（J．Nplcr，1550-1617年），納皮爾發明對數是在指數書寫方式之前，

直到18世紀瑞士數學家歐拉（Evlcr，1707-1783年）才發現指數與對數之間的聯系．

x

對數的定義：一般地，若aNa0,a1，那么x叫做以a為底N的對數，記作：xlogaN．比如指

42

數式216可以轉化為4log216，對數式2log525可以轉化為525．

我們根據對數的定義可得到對數的一個性質：logaMNlogaMlogaNa0,a1,M0,N0；理由

如下：

mn

設logaMm，logaNn，則Ma，Na

mnmn

∴MNaaa，由對數的定義得mnlogaMN

又∵mnlogaMlogaN

∴logaMNlogaMlogaN

解決以下問題：

(1)將指數4364轉化為對數式：______．