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泰勒公式

在實際問題中,往往希望用一些簡單的函數來而多項式函數就是最簡單的一類初等函數.首先考慮函數在一點附近的多項式近似.設n是給定的正整數,

我們考慮在點附近用n次即其中

近似代替復雜的函數.多項式來近似函數在實際應用時,必須考慮這種近似的誤差.

我們用來表示,它是一種相對誤差.

如果存在,我們所能期待的最理想的結果是:

當n=1且存在時,滿足(4-2)式的一次多項式是存在的.

由有即滿足(4-2)式的一次多項式為于是有設存在,則注意到

定理4.13(帶有皮亞諾型余項的泰勒公式

)稱為在處的n階泰勒多項式.其中證令只需證則連續使用(n-1)次洛必達法則,有(4-3)式可寫成其中(4-3)式稱為帶皮亞諾型余項的n階泰勒公式,(4-3)式中的稱為皮亞諾型余項.例4.42設函數證明:當k為奇數時,不是的極值點;

當k為偶數,且時,是的極

時,是的極大值點.小值點,證由泰勒公式有即因此當k為奇數時,不是的極值點;當k為偶數,且時,是的極小點;是的極大點.定理4.14(帶有拉格朗日型余項泰勒公式

)那么使得其中稱為拉格朗日型余項.現在考慮函數在區間上的多項式近似.

希望把函數在一個點的泰勒多項式作為這個函數在區

間上的一種近似表示.為此,

需要對誤差進一步分析.

證利用柯西中值定理證明令且因此如果公式(4-5)變成

其中(4-7)式稱為f(x)的n階麥克勞林多項式,(4-8)式稱為則f(x)的帶拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式.而誤差估計式為稱為f(x)的帶皮亞諾型余項的n階麥克勞林公式.麥克勞林公式的用法:解因代入公式,得例4.43

求

的n階麥克勞林公式.注意到解因例4.44

求

的2n階麥克勞林公式.于是,由麥克勞林公式得到

常用函數的麥克勞林公式解因例4.45

利用帶有皮亞諾余項的麥克勞林公式,求于是解因練習計算

解練習

將

的多項式.而例4.46

證明不等式

的三階麥克勞林公式為

證其中故例4.47

近似計算的值，并估計誤差.在的麥克勞林

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