重難點專項突破04二次函數(shù)綜合（5種題型）【題型細目表】題型一：線段周長問題題型二：面積問題題型三：角度問題題型四：特殊三角形問題題型五：特殊四邊形問題【考點剖析】題型一：線段周長問題一、解答題1．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線，交x軸于點A、B，交y軸于點C，已知A的橫坐標為－1．（1）求點B的坐標．（用含b的代數(shù)式表示）（2）拋物線的對稱軸交x軸于點D，連結(jié)BC，平移線段CB，使點C與D重合，此時點B恰好落在拋物線上，求b的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)A、B兩點關(guān)于二次函數(shù)的對稱軸對稱，求得點的坐標；（2）根據(jù)的坐標，求出的關(guān)系式，根據(jù)平移求出的坐標，代入二次函數(shù)，求得值．【詳解】解（1）∵∴對稱軸：直線∴∵點橫坐標為－1∴（2）把代入得：，即∵平移線段CB，使C與D重合點∴B平移后得點∵點B在拋物線上∴解得∵∴【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，涉及到了點的平移變換和一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和點的平移規(guī)則是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（－1，0），B（5，0）．(1)求拋物線的表達式．(2)過點C（0，m）作直線軸交拋物線于點P，Q（點P在點Q的左側(cè)），若，求m的值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）把點A（-1，0），B（5，0）代入拋物線表達式進行計算即可解答；（2）根據(jù)已知QC=3PC，可設(shè)點P（-n，m），點Q（3n，m），然后代入（1）中二次函數(shù)表達式即可解答．【詳解】（1）把點A（-1，0），B（5，0）代入拋物線y=ax2+bx-3中可得：，解得：，∴拋物線的表達式為：；（2）∵PQ∥x軸，QC=3PC，∴設(shè)點P（-n，m），點Q（3n，m），把點P（-n，m），點Q（3n，m）代入中可得：，解得：，∴m的值為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，將拋物線平移后得到拋物線，兩拋物線與軸分別交于點，．拋物線，的交點的橫坐標是1，過點作軸的平行線，分別交拋物線，于點，．(1)求拋物線的對稱軸和點的橫坐標．(2)求線段和的長度．【答案】(1)對稱軸；點的橫坐標是-3(2)；【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式直接求拋物線P1的對稱軸，以及A，E關(guān)于對稱軸x=-1對稱和點E的橫坐標直接求出點A的橫坐標；（2）求出P2的對稱軸，再求出點B的坐標，從而求得AB的長，把分別代入兩個函數(shù)表達式，求得，從而求得CD的長．【詳解】（1）拋物線的對稱軸∵點與點關(guān)于直線對稱，且點的橫坐標是1∴點的橫坐標是（2）拋物線的對稱軸∵點與點關(guān)于直線對稱，且點的橫坐標是1∴點的橫坐標是4∴把分別代入兩個函數(shù)表達式，得即由題意，當時，，．∴【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是判斷點A與點E關(guān)于對稱軸x=-1對稱，點B與點E關(guān)于對稱軸對稱．4．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)l1：y＝x2+6x+5k和l2：y＝kx2+6kx+5k，其中k≠0且k≠1．(1)分別直接寫出關(guān)于二次函數(shù)l1和l2的對稱軸及與y軸的交點坐標；(2)若兩條拋物線l1和l2相交于點E，F(xiàn)，當k的值發(fā)生變化時，判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化，并說明理由；(3)在（2）中，若二次函數(shù)l1的頂點為M，二次函數(shù)l2的頂點為N；①當k為何值時，點M與點N關(guān)于直線EF對稱？②是否存在實數(shù)k，使得MN＝2EF？若存在，求出實數(shù)k的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)l1的對稱軸為x＝﹣3，和y軸的交點坐標為(0，5k)；l2的對稱軸為x＝﹣3，與y軸的交點坐標(0，5k)(2)不發(fā)生變化，見解析(3)①k為﹣1；②或﹣【分析】（1）二次函數(shù)l1的對稱軸為x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，則y＝5k，故該拋物線和y軸的交點坐標為（0，5k）；同理可得l2的對稱軸為x＝﹣3，與y軸的交點坐標（0，5k）；（2）可令y1＝y(tǒng)2，求出點E、F的橫坐標，從而得到點E、F的坐標，進行得到EF的長，就可解決問題；（3）易得點M、N的坐標及直線EF的關(guān)系式，然后根據(jù)條件建立關(guān)于k的方程，就可解決問題．（1）解：二次函數(shù)l1的對稱軸為x＝﹣＝﹣＝﹣3，令x＝0，則y＝5k，故該拋物線和y軸的交點坐標為（0，5k）；同理可得：l2的對稱軸為x＝﹣3，與y軸的交點坐標（0，5k）；（2）解：線段EF的長度不發(fā)生變化，理由：當y1＝y(tǒng)2時，x2+6x+5k＝kx2+6kx+5k，整理得：（k﹣1）（x2+6x）＝0．∵k≠1，∴x2+6x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣6．不妨設(shè)點E在點F的左邊，則點E的坐標為（﹣6，5k），點F的坐標為（0，5k），∴EF＝|0﹣（﹣6）|＝6，∴線段EF的長度不發(fā)生變化；（3）解：①由y1＝x2+6x+5k＝（x+3）2+5k﹣9得M（﹣3，5k﹣9），由y2＝kx2+6kx+5k＝k（x+3）2﹣4k得N（﹣3，﹣4k）．∵直線EF的關(guān)系式為y＝5k，且點M與N關(guān)于直線EF對稱，∴﹣4k﹣5k＝5k﹣（5k﹣9），解得：k＝﹣1，∴當k為﹣1時，點M與N關(guān)于直線EF對稱；②∵MN＝|（5k﹣9）﹣（﹣4k）|＝|9k﹣9|，MN＝2EF＝12，∴|9k﹣9|＝12，解得k1＝，k2＝﹣，∴實數(shù)k為或﹣．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次方程、軸對稱的性質(zhì)、解絕對值方程等知識，需要注意的是當兩點橫坐標相同時，兩點之間的距離應(yīng)為這兩點縱坐標差的絕對值．5．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與軸交于點，且．(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)判斷的形狀，證明你的結(jié)論；(3)點是拋物線對稱軸上的一個動點，當周長最小時，求點的坐標及的最小周長；(4)在該拋物線位于第四象限內(nèi)的部分上是否存在點，使得的面積最大？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)拋物線的解析式為：；(2)是直角三角形(3)，的最小周長為：(4)存在，【分析】（1）根據(jù)點在拋物線上，解出，得到拋物線的解析式，根據(jù)頂點坐標公式，即可求出點的坐標；（2）根據(jù)（1）得拋物線的解析式，求出點的坐標，根據(jù)勾股定理的逆定理即可；（3）當點在與對稱軸的交點上，根據(jù)點，點是對稱點，連接，則且，，三點在一條直線上，距離最短，設(shè)的解析式為：，求出的解析式，則得到點的坐標，即可；（4）以為底，則，當點到的距離最遠時，的面積最大如圖所示，作直線,當直線與拋物線僅有一個交點時，最大，交點即為點．【詳解】（1）∵點在拋物線上，∴，∴，∴拋物線的解析式為：；∵頂點坐標公式為：，∴點．∴拋物線的解析式為：；．（2）∵拋物線與軸交于點，∴，，∴，∵拋物線與軸交于點，點，∴，∴，，∴點，∴，，，∵；；，∴，∴是直角三角形．（3）∵點，點是對稱點，點在與對稱軸的交點上，∴此時，，三點在一條直線上，距離最短，；設(shè)的解析式為：，∴，解得：，∴當時，，∴點；∴點的坐標為，的最小周長為：．（4）存在，理由如下：∵以為底，∴，當點到的距離最遠時，的面積最大，作直線，且與僅有一個交點，設(shè)直線的解析式為，∵，∴，即，∵直線與僅有一個交點，∴僅有一個實數(shù)根，∴，解得，∴直線的解析式為：，由，解得，∴點．【點睛】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式，勾股定理的逆定理，線段的距離．6．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)．（1）求證：二次函數(shù)圖象的頂點必在一次函數(shù)的圖象上；（2）求二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象的交點坐標（用含的代數(shù)式表示）；（3）已知，直線交二次函數(shù)的圖象于點，交一次函數(shù)的圖象于點，當時，求證：．【答案】(1)證明見詳解；（2）交點坐標為（0，a-1）或（-1，-1）；（3）證明見詳解【分析】（1）先確定出拋物線的頂點坐標，即可得出結(jié)論；（2）聯(lián)立二次函數(shù)的解析式與一次函數(shù)的解析式，求出方程組的解即可；（3）表示出MN的長度再利用函數(shù)最值求出范圍即可得出結(jié)論【詳解】解：（1）證明：二次函數(shù)，頂點坐標為，把代入，中左邊=-1，右邊=-1∴左邊=右邊，∴二次函數(shù)圖象的頂點必在一次函數(shù)的圖象上；（2）聯(lián)立解析式得：解得x=0或x=-1當x=0時，y=a-1坐標為（0，a-1）當x=-1時，y=-1坐標為（-1，-1）∴交點坐標為（0，a-1）或（-1，-1）（3）證明：由題意可知，由（2）可知，當a＞0時，-1＜x＜0有＜∴=當時，∵∴【點睛】二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的頂點坐標的確定，拋物線與一次函數(shù)交點確定，極值的確定，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過點．（1）求的值；（2）連結(jié)，交拋物線L的對稱軸于點M．①求點M的坐標；②將拋物線L向左平移個單位得到拋物線．過點M作軸，交拋物線于點N．P是拋物線上一點，橫坐標為，過點P作軸，交拋物線L于點E，點E在拋物線L對稱軸的右側(cè)．若，求m的值．【答案】（1）；（2）①；②1或．【分析】（1）直接運用待定系數(shù)法求解即可；（2）①求出直線AB的解析式，拋物線的對稱軸方程，代入求解即可；②根據(jù)拋物線的平移方式求出拋物線的表達式，再分三種情況進行求解即可．【詳解】解：（1）把點的坐標分別代入，得．解得的值分別為．（2）①設(shè)所在直線的函數(shù)表達式為，把的坐標分別代入表達式，得解得所在直線的函數(shù)表達式為．由（1）得，拋物線L的對稱軸是直線，當時，．∴點M的坐標是．②設(shè)拋物線的表達式是，軸，點N的坐標是．∵點P的橫坐標為∴點P的坐標是，設(shè)交拋物線于另一點Q，∵拋物線的對稱軸是直線軸，∴根據(jù)拋物線的軸對稱性，點Q的坐標是．（i）如圖1，當點N在點M下方，即時，，，由平移性質(zhì)得，∴∴，解得（舍去），．（ii）圖2，當點N在點M上方，點Q在點P右側(cè)，即時，，，解得（舍去），（舍去）．（ⅲ）如圖3，當點N在點M上方，點Q在點P左側(cè)，即時，，，解得（舍去），．綜上所述，m的值是1或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、拋物線的平移規(guī)律和一元二次方程等知識點，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過兩點，且與軸交于點．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，說明理由；（3）點為的中點，若有一動點自點處出發(fā)，沿直線運動至軸上的某點(設(shè)為點)，再沿直線運動至該拋物線對稱軸上的某點(設(shè)為點)，最后又沿直線運動至點，則點運動的總路程最短為______．(請直接寫出答案)【答案】（1）；（2）存在，點P的坐標為（1,4）或（-2，-5）；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）分兩種情況：①當C為直角頂點時，過點C作CP⊥BC，交拋物線于點P，過點P作PH⊥y軸于H，得到PH=CH，設(shè)P（），則，求出a即可；②當B為直角頂點時，過點B作BP⊥BC，交拋物線于點P，交y軸于R，過點P作PG⊥y軸于G，求出OB=OR=3，PG=RG，設(shè)P（），則，求出a即可；（3）做M點關(guān)于x軸的對稱點，做C點關(guān)于對稱軸的對稱點，連接C交x軸于E點，交對稱軸于F，此時點運動的總路程最短，由勾股定理求出，即可求出點P運動的路徑得到答案．【詳解】解：（1）將代入，得，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達式是；（2）存在．①當C為直角頂點時，過點C作CP⊥BC，交拋物線于點P，過點P作PH⊥y軸于H，∵OB=OC，∠BOC=90°，∴△BOC為等腰直角三角形，∠BCO=45°，∴∠PCH=45°，∴△PHC為等腰直角三角形，即PH=CH，設(shè)P（），則，解得（舍去），此時，∴P（1,4）；②當B為直角頂點時，過點B作BP⊥BC，交拋物線于點P，交y軸于R，過點P作PG⊥y軸于G，∵∠CBO=45°，∴∠GPR=∠OBR=45°，∴△PRG為等腰直角三角形，∴OB=OR=3，PG=RG，設(shè)P（），則，解得（舍去），此時，∴P（-2，-5）；綜上，點P的坐標為（1,4）或（-2，-5）；（3）如圖3，做M點關(guān)于x軸的對稱點，做C點關(guān)于對稱軸的對稱點，連接C交x軸于E點，交對稱軸于F∴∵此時點運動的總路程最短∵點為的中點，C（0，3）∴∴∵，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∵C（0,3）∴∴，∴點P運動的路徑，故答案為：．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合知識，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線的對稱軸，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，最短路徑問題，綜合掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．題型二：面積問題一、解答題1．（2023·浙江衢州·校考一模）如圖，拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)點D為y軸右側(cè)拋物線上一點，是否存在點D，使？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；(3)將直線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，與直線AC交于點F，直接寫出BF的長．【答案】(1)(2)存在，點D的坐標為：（1，3）或（2，3）或（5，-3）(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法解答；（2）設(shè)D（x，y），根據(jù)題意及利用三角形面積列出方程，求出y的值后代入拋物線的解析式即可解答（3）由勾股定理解得AC的長，再根據(jù)勾股定理逆定理證明為直角三角形，設(shè)直線AC與直線BE交于點F，過點F作x軸于點M，由平行線分線段成比例解得FM的長，求得點F的坐標，最后根據(jù)兩點間的距離公式解答．【詳解】（1）解：把點代入拋物線得（2）由題意可知設(shè)D（x，y），當y=3時，由解得：或此時點D的坐標為（1，3）或（2，3）；當y=-3時，由解得：或（舍去）此時點D的坐標為（5，-3）；綜上所述，點D的坐標為：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）為直角三角形，即如圖，設(shè)直線AC與直線BE交于點F，過點F作x軸于點M，由題意得，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象上點的特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理、平行線分線段成比例、兩點間的距離公式等，關(guān)鍵是利用面積關(guān)系求出點D的坐標．2．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線經(jīng)過A(－1，0)，B(3，0)兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)當0<x<3時，直接寫出y的取值范圍；(3)點P為拋物線上一點，若，求出此時點P的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）將A與B的坐標代入拋物線的解析式即可求出b與c的值，（2）根據(jù)圖象即可求出y的取值范圍，（3）設(shè)P（x，y），△PAB的高為|y|，AB=4，由S△PAB=10列出方程即可求出y的值，從而可求出P的坐標．【詳解】（1）解：將點A（﹣1，0），B（3，0）兩點代入y＝+bx+c解得，拋物線的解析式為：，；（2），物線的對稱軸為，開口向下，y的最大值為4，如圖，0＜x＜3時，；（3）設(shè)P（x，y），△PAB的高為|y|，A（﹣1，0），B（3，0），，，解得，當時，，此時方程無解，當時，，解得，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江衢州·九年級校考階段練習(xí)）已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的表達式．(2)連接，，求．(3)拋物線上是否存在一點，使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)，，或【分析】（1）把，兩點坐標代入解析式即可求解；（2）先求出C點坐標，即可得到，（3）根據(jù)求出，代入解析式即可求解．【詳解】（1）解：把，兩點代入中，得，解得，∴拋物線的表達式為；（2）解：當時，，即，∴，∵，，∴，，∴，∴，即所求面積為6；（3）解：∵，∴，∵，∴，把代入拋物線表達式得：，解得；把代入拋物線表達式得：，解得；綜述所述，點的坐標為或或或．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法及三角形的面積公式的應(yīng)用．4．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)（b為常數(shù)）的圖象相交于兩點，點坐標為．(1)求的值以及二次函數(shù)的表達式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出不等式的解；(3)若點為拋物線的頂點，連結(jié)，求的面積．【答案】(1)m=3，(2)或(3)3【分析】（1）由點在一次函數(shù)上，可將點的坐標代入即可求出，然后將求出的點坐標代入即可求出值；（2）觀察圖象找出二次函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像下方部分的自變量取值范圍即可；（3）求出點的坐標及拋物線與軸的另一個交點坐標，先計算由點、點、點，及拋物線與軸的另一個交點所構(gòu)成的四邊形面積，然后減去由點、點，及拋物線與軸的另一個交點所構(gòu)成的三角形面積即可．【詳解】（1）解：因為點在一次函數(shù)上，所以滿足，即時，可得：；將點代入得：，解得，故二次函數(shù)的表達式為：，綜上所得，故答案為：m=3，．（2）解：由圖象可知，一次函數(shù)與二次函數(shù)交于兩點，觀察圖象可以看出在或時，的圖象在圖象的下方，所以當或時，，故答案為：或．（3）解：方法一：如圖1所示，因為點為拋物線頂點，所以點坐標為：，拋物線與軸的另一個交點為點，點，則四邊形的面積，的面積，的面積四邊形的面積的面積，的面積為，故答案為：3．

方法二：如圖2所示，過點作軸，垂足為，交于點，過點作，垂足為，，頂點，把代入直線方程中得：，，，的面積的面積的面積，.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，結(jié)合圖像求幾何圖形的面積及解對應(yīng)的一元二次不等式，關(guān)鍵是解題過程要始終運用數(shù)形結(jié)合的思想方法．5．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于點B和點A（﹣1，0），與y軸交于點C（0，4），與一次函數(shù)y＝x＋a交于點A和點D．（1）求出a、b、c的值；（2）若直線AD上方的拋物線存在點E，可使得△EAD面積最大，求點E的坐標；（3）點F為線段AD上的一個動點，點F到（2）中的點E的距離與到y(tǒng)軸的距離之和記為d，求d的最小值及此時點F的坐標．【答案】（1），，；（2）點E的坐標為（1，6）時，面積最大；（3）d最小值為5，此時F點的坐標為（1，2）．【分析】（1）將A、C兩個點的坐標代入二次函數(shù)解析式，即可得出b、c的值，將點A（－1，0）代入一次函數(shù)中，即可求得a的值；（2）設(shè)點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為，過點E作x軸的垂線l，交x軸于點G，交AD于點H，則點H的坐標為.過點D作l的垂線，垂足為T，聯(lián)立直線方程和二次函數(shù)方程，即可得出D的坐標，再根據(jù)，得出含m的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象，可知，當時，面積取得最大值，從而可得出E的坐標；（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點M，過F作FN⊥x軸于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：，即有，可知當N、F、E所在直線與x軸垂直時，取得最小值，即可得出點F的坐標．【詳解】解：（1）∵點C（0，4），A（-1，0）在函數(shù)的圖象上，∴解得：，二次函數(shù)解析式為：，∵點A（－1，0）在一次一次函數(shù)上，∴,∴，一次函數(shù)解析式為：；所以，，；（2）設(shè)點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為，過點E作x軸的垂線l，交x軸于點G，交AD于點H，則點H的坐標為.過點D作l的垂線，垂足為T，將與聯(lián)立組成方程組，解得點D的坐標為（3，4），所以∵函數(shù)圖象開口向下，存在最大值，∴有最大值，當時，最大值為8，此時點E的坐標為（1，6）；（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點M，過F作FN⊥x軸于N，如圖所示：∵點D的坐標為（3，4），點A坐標為（-1，0）∴，∴AD平分，∴，∴顯然，當N、F、E所在直線與x軸垂直時，最小，最小值為，此時點F的橫坐標為1，代入得：F點的坐標為（1，2）．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式的確定，組成面積的最值，角平分線的性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)y＝2x2﹣8x+6的圖象與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，頂點為D．求四邊形ADBC的面積．【答案】四邊形ADBC的面積為8．【分析】先把拋物線解析式化成頂點式，求出C、D的坐標，然后求出A、B的坐標，最后根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：∵拋物線解析式為，∴點C的坐標為（0，6），點D的坐標為（2，-2），令，則，∴，解得或，∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），∴AB=2，∴．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)與坐標軸的交點，二次函數(shù)的頂點坐標，四邊形面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識．7．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點．（1）求b，c的值．（2）連結(jié)，，若P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，直線把的面積分成相等的兩部分．①求直線的解析式．②將該拋物線沿著射線的方向平移m個單位，使其頂點落在的內(nèi)部（不包括邊界），求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）將代入中，列方程組求解即可．（2）直線把的面積分成相等的兩部分．則此直線必過AB中點，求出中點坐標求解即可．（3）因為平移，所以過點Ｄ的直線必然與平行，頂點要在三角形內(nèi)部，畫圖分析即可.【詳解】（1）將代入，得解得：．（2）①取的中點C，∵∴又∵P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且直線把的面積分成相等的兩部分．∴直線OP必過AB的中點C∴直線OP的表達式為：②由（1）可得拋物線的一般式為：，將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式如下：∴頂點坐標為設(shè)過拋物線的頂點，且與直線平行的直線解析式為：將頂點代入，得，解得∴設(shè)，將，代入，得，解得∴聯(lián)立：，得：，設(shè)直線與直線AB的交點坐標為點M，與x軸的交點坐標為N，則,拋物線頂點落在的內(nèi)部，即頂點在點M，點N之間，如圖：∴,∴【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的解析式求法，兩點之間的距離公式，中點坐標公式等相關(guān)知識點，根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線的圖象經(jīng)過點，，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸相交于點E，連接BD．（1）求拋物線的解析式．（2）在拋物線上點B和點D之間是否存在一點H使得四邊形OBHC的面積最大，若存在求出四邊形OBHC的最大面積，若不存在，請說明理由．（3）直線BD上有一點P，使得時，過P作軸于F，點M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，G為拋物線上一動點，當以點F，N，G，M四點為頂點的四邊形為正方形時，求點M的坐標．【答案】（1）；（2）存在，；（3）點M的坐標為，，，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出C、D的坐標，設(shè)點，即可得到，由此求解即可；（3）先求出E點坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，利用求出P點坐標，設(shè)設(shè)，則，，利用建立方程求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線的圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴拋物線的解析式為；（2）當時，，所以點，當時，所以點設(shè)點所以當時，．（3）由（1）知，拋物線的解析式為；∴，拋物線的頂點，∴，設(shè)直線BD的解析式為，∴，∴∴直線BD的解析式為，設(shè)點，∵，，根據(jù)勾股定理得，，，∵，∴∴，∴，∴，如圖，作軸于F，∵，設(shè)，則，∴以點F，N，G，M四點為頂點的四邊形為正方形，必有，∴∴或，∴點M的坐標為，，，．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，兩點距離公式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．9．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，直線y＝﹣x＋2交y軸于點A，交x軸于點C，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點A，點C，且交x軸于另一點B．（1）點A的坐標為，點C的坐標為，并求拋物線的解析式；（2）在直線AC上方的拋物線上有一點M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時點M的坐標；（3）將線段OA繞x軸上的動點P（m，0）順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，若線段與拋物線只有一個公共點，請你直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）（0，2），（4，0），拋物線的解析式是；（2）四邊形面積最大值為8，此時點M的坐標為（2，2）；（3）或【分析】（1）對直線，分別令x=0，y=0求出相應(yīng)的y，x的值即得點A、C的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，利用拋物線的對稱性即可求出點B的坐標；（2）過點M作ME⊥x軸于點E，交直線AC于點F，如圖1所示．設(shè)點M的橫坐標為m，則MF的長可用含m的代數(shù)式表示，然后根據(jù)S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC即可得出S四邊形ABCM關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形面積的最大值及點M的坐標；（3）當m＞0時，分旋轉(zhuǎn)后點與點落在拋物線上時，分別畫出圖形如圖2、圖3，分別用m的代數(shù)式表示出點與點的坐標，然后代入拋物線的解析式即可求出m的值，進而可得m的范圍；當m＜0時，用同樣的方法可再求出m的一個范圍，從而可得結(jié)果．【詳解】解：（1）對直線，當x=0時，y=2，當y=0時，x=4，∴點A的坐標是（0，2），點C的坐標是（4，0），把點A、C兩點的坐標代入拋物線的解析式，得：，解得：，∴拋物線的解析式為，∵拋物線的對稱軸是直線，C（4，0），∴點B的坐標為（﹣2，0）；故答案為：A（0，2），C（4，0），拋物線的解析式是；（2）過點M作ME⊥x軸于點E，交直線AC于點F，如圖1所示．設(shè)M（m，），則F（m，），∴，∴S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC=，∵0＜m＜4，∴當m=2時，四邊形面積最大，最大值為8，此時點M的坐標為（2，2）；（3）若m＞0，當旋轉(zhuǎn)后點落在拋物線上時，如圖2，線段與拋物線只有一個公共點，∵點的坐標是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；當旋轉(zhuǎn)后點落在拋物線上時，如圖3，線段與拋物線只有一個公共點，∵點的坐標是（m，m），∴，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；∴當m＞0時，若線段與拋物線只有一個公共點，m的取值范圍是：；若m＜0，當旋轉(zhuǎn)后點落在拋物線上時，如圖4，線段與拋物線只有一個公共點，∵點的坐標是（m，m），∴，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；當旋轉(zhuǎn)后點落在拋物線上時，如圖5，線段與拋物線只有一個公共點，∵點的坐標是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；∴當m＜0時，若線段與拋物線只有一個公共點，m的取值范圍是：；綜上，若線段與拋物線只有一個公共點，m的取值范圍是：或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元二次方程的解法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及拋物線上點的坐標特點等知識，具有較強的綜合性，屬于中考壓軸題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+kx﹣2k（k＜0）與x軸正半軸交于點C，與y軸的交點為A．（1）若拋物線經(jīng)過點B（﹣3，1），求拋物線的解析式；（2）無論k取何值，拋物線都經(jīng)過定點M，求點M的坐標；（3）在（1）的條件下，點P是拋物線上的一個動點，記△ABP的面積為S1，△ABM的面積為S2，設(shè)S2＝nS1，若符合條件的點P有三個，求n的值．【答案】（1）；（2）點M的坐標為（2，-4）；（3）n的值為．【分析】（1）直接把點B（-3，1）代入拋物線解析式進行求解即可；（2）由拋物線解析式為，則當時，，函數(shù)值與k的取值無關(guān)，由此即可得到答案；（3）設(shè)直線BM的解析式為，直線BM于y軸的交點為E，可求得直線BM的解析式為，得到E點坐標為（0，-2），從而求出；如圖所示，在直線AB上方作直線∥AB，且直線與拋物線只有一個交點，對應(yīng)的在直線AB下方作直線∥AB，其中直線與直線AB的距離等于直線與直線AB的距離，則（等底等高），根據(jù)除去，，這三個位置外，符合的P點的個數(shù)為4個或2個；推出，由此先求出直線AB的解析式為，則可設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立得，求得，從而求出點的坐標為（，），過點作x軸的垂線交AB于H，根據(jù)，求出即可得到答案．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點B（-3，1），∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）∵拋物線解析式為，當時，，函數(shù)值與k的取值無關(guān)，∴點M的坐標為（2，-4）；（3）∵拋物線與y軸交于點A，∴點A的坐標為（0，4），設(shè)直線BM的解析式為，直線BM于y軸的交點為E，∴，∴，∴直線BM的解析式為，∴E點坐標為（0，-2），∴；如圖所示，在直線AB上方作直線∥AB，且直線與拋物線只有一個交點，對應(yīng)的在直線AB下方作直線∥AB，其中直線與直線AB的距離等于直線與直線AB的距離，∴（等底等高），∵除去，，這三個位置外，符合的P點的個數(shù)為4個或2個；∴，設(shè)直線AB的解析式為，∴，∴，∴直線AB的解析式為，∴可設(shè)直線的解析式為，聯(lián)立得，∴=0，∴，∴，解得，∴點的坐標為（，），過點作x軸的垂線交AB于H，∴點H的橫坐標為，∴點H的縱坐標為，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，平行線間距問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解．11．（2023秋·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+2x與x軸正半軸交于點A，點B在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且在對稱軸右側(cè)，點C是平面內(nèi)一點，四邊形OBCD是平行四邊形．（1）求點A的坐標及拋物線的對稱軸；（2）若點B的縱坐標是﹣3，點D的橫坐標是，則S?OBCD＝；（3）若點C在拋物線上，且?OBCD的面積是12，請直接寫出點C的坐標．【答案】（1）A點坐標為（2，0），拋物線對稱軸為直線x=1；（2）；（3）（4，﹣8）．【分析】（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，求得x的值，從而確定A點坐標，利用對稱軸公式求得拋物線對稱軸；（2）分別求得B點和C點坐標，求得直線OD的解析式，然后通過求解△OBD的面積求得平行四邊形的面積；（3）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及平移的思想分析點B，點D及點C的坐標，然后仿照（2）中的解題思路分析求解．【詳解】解：（1）在y＝﹣x2+2x中，令y=0，可得：﹣x2+2x=0，解得：x1=0，x2=2，∵拋物線y＝﹣x2+2x與x軸正半軸交于點A，∴A點坐標為（2，0），拋物線y＝﹣x2+2x的對稱軸為直線=1，即A點坐標為（2，0），拋物線對稱軸為直線x=1；（2）設(shè)OD與拋物線對稱軸交于點E，連接BD，∵點B在拋物線的對稱軸上，且點B的縱坐標是﹣3，∴B點坐標為（1，-3），∵點D在拋物線上，且點D的橫坐標是，∴點D的縱坐標為=，∴D點坐標為，設(shè)直線OD的解析式為，將D點坐標為代入，可得，解得：，∴直線OD的解析式為，當x=1時，，∴E點坐標為，∴==，∴S?OBCD＝，故答案為：；（3）設(shè)OD與拋物線對稱軸交于點E，連接BD，設(shè)B點坐標為（1，-b），D點坐標為（a，﹣a2+2a），∵點D在拋物線上，且在對稱軸右側(cè)，且點C在拋物線上，四邊形OBCD為平行四邊形，∴OB=CD，OB∥CD，∵將點O向右平移1個單位長度，再向下平移b個單位長度后得到點B，∴將點D向右平移1個單位長度，再向下平移b個單位長度后可得到點C，∴C點坐標為（a+1，﹣a2+2a-b），將C點坐標代入到y(tǒng)＝﹣x2+2x中，可得：﹣（a+1）2+2（a+1）=﹣a2+2a-b，整理，可得：b=2a-1，設(shè)直線OD的解析式為，將D點坐標（a，﹣a2+2a），代入，可得，解得：，∴直線OD的解析式為，當x=1時，，∴E點坐標為，∴====，∵?OBCD的面積是12，∴，解得：a1=-4（舍去）或a2=3，當a=3時，b=2×3-1=5，將a=3，b=5代入（a+1，﹣a2+2a-b）中，∴C點坐標為（4，﹣8）．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，理解二次函數(shù)圖象上的點的特征，掌握平行四邊形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．12．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過，，三點．(1)求拋物線的解析式；(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線上的動點，判斷有幾個位置能使以點P，Q，B，O為頂點的四邊形為平行四邊形（要求），直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標．【答案】(1)(2)S的最大值為4(3)或或．【分析】（1）先假設(shè)出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)出M點的坐標，利用，即可進行解答；（3）由，則，是平行四邊形的邊，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為：，將，，三點代入函數(shù)解析式得：，解得，所以此函數(shù)解析式為：；（2）解：連接，∵M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，∴M點的坐標為，∴，∵，當時，S有最大值為：．（3）解：設(shè)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知，且，則，為平行四邊形的邊，∴Q的橫坐標等于P的橫坐標，又∵直線的解析式為，則，由，得，整理得：所以或解得或或（不符合題意，舍去），∵，∴不可能是對角線∴由此可得：或或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、面積的計算等，有一定的綜合性，熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．13．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，對稱軸為x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．(1)求點B的坐標．(2)已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．①求拋物線的解析式．②若點P在拋物線上，且S=4S，求點P的坐標．③設(shè)點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，請直接寫出線段QD長度的最大值和對應(yīng)的點Q的坐標．【答案】(1)點B的坐標為(2)①；②或；③有最大值，點的坐標為，．【分析】（1）根據(jù)對稱軸和點坐標直接求出點坐標即可；（2）①先根據(jù)對稱軸求出，再用待定系數(shù)法求出，即可得出解析式；②設(shè)點坐標為，根據(jù)面積關(guān)系求出的值即可；③用待定系數(shù)法求出的解析式，設(shè)出點的坐標，根據(jù)的代數(shù)式求最值即可．【詳解】（1）解：對稱軸為直線的拋物線與軸相交于、兩點，、兩點關(guān)于直線對稱，點的坐標為，點的坐標為；（2）解：①時，拋物線的對稱軸為直線，，解得，將代入，得，解得，拋物線的解析式為；②拋物線的解析式為，拋物線與軸的交點的坐標為，，設(shè)點坐標為，，，即，，解得，當時，，當時，，點的坐標為或；③有最大值，點的坐標為，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，，解得，即直線的解析式為，設(shè)點坐標為，，則點坐標為，，當時，有最大值，此時，．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．14．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)y1＝a（x﹣k）2+2k與二次函數(shù)y2＝a（x+k）2﹣2k的圖象稱為友好拋物線．(1)求證：無論k取何值，友好拋物線y1與y2的頂點都在某一確定的直線上．(2)若a＝1，k＝2，當﹣2＜x＜2時，請比較y1，y2的大小．(3)已知a＝1，k＞0，友好拋物線：y1，y2交于點A，且y1，y2與y軸分別交于點B、點C，求的值．【答案】(1)見解析；(2)當﹣2＜x＜1時，y1＞y2，當1＜x＜2時，y1＜y2；(3)【分析】（1）先求出友好拋物線的頂點，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可證明；（2）當a＝1，k＝2時，先求出交點坐標，再根據(jù)函數(shù)圖象比較y1，y2的大小；（3）當a＝1，k＞0時，先求出友好拋物線的交點橫坐標，再求出兩條拋物線與y軸的交點縱坐標，用三角形面積公式求解即可．（1）證明：∵y1＝a（x﹣k）2+2k，∴y1的頂點為（k，2k），∵y2＝a（x+k）2﹣2k，∴y2的頂點為（﹣k，﹣2k），設(shè)過y1，y2頂點的直線為y＝mx+n，把（k，2k），（﹣k，﹣2k）代入得：，解得：，∴y＝2x，∴無論k取何值，友好拋物線y1與y2的頂點都在直線y＝2x上；（2）解：a＝1，k＝2時，y1＝（x﹣2）2+4，y2＝（x+2）2﹣4，令y1＝y(tǒng)2，則（x﹣2）2+4＝（x+2）2﹣4，解得：x＝1，∴y1＝y(tǒng)2＝5，∴交點坐標為（1，5），∴當﹣2＜x＜1時，y1＞y2，當1＜x＜2時，y1＜y2；（3）解：a＝1，k＞0時，令y1＝y(tǒng)2，則（x﹣k）2+2k＝（x+k）2﹣2k，解得：x＝1，∴x＝1，將x＝0代入y1，y2得，y＝k2+2k，y＝k2﹣2k，|BC|＝y(tǒng)﹣y＝4k，∴S△ABC＝×BC×|x|＝×4k×1＝2k，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合運用新型題，要先弄清楚友好拋物線間的關(guān)系，再在利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題，如用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)值大小的比較，三角形面積求解等問題．15．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，其對稱軸直線與軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式為______；(2)如圖1，點為拋物線上第四象限內(nèi)的一動點，連接，，，求四邊形面積最大值和點此時的坐標；(3)如圖2，將該拋物線向左平移得到拋物線，當拋物線經(jīng)過原點時，與原拋物線的對稱軸相交于點，點為拋物線對稱軸上的一點，點是平面內(nèi)一點，若以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，請直接寫出滿足條件的點的坐標______．【答案】(1)(2)的最大值為17，此時點的坐標為(3)或或或【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式代入及點代入即可得到答案；（2）設(shè)，用m表示出面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最大值；（3）根據(jù)平移性質(zhì)得到新的拋物線解析式并求出點坐標，設(shè)出坐標，根據(jù)平移性質(zhì)及菱形性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得，，解得，∴拋物線解析式為：；（2）解：設(shè)，由題意可得，當時，，解得，，故，當時，，故，∵對稱軸直線與軸交于點，∴，，∵，∴當時最大，最大值為，當時，，∴；（3）解：由題意可得，B點移動到了O點，即函數(shù)向左平移了6個單位，，當時，，∴坐標為：，設(shè)F點坐標為，當，，時，∵，，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，∴，根據(jù)可得，，，∴或；②當，，時，∵，，，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，∴，根據(jù)，，解得：，，，綜上所述M點坐標為：或或或．【點睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)性質(zhì)及動點圍成菱形，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)解析式，設(shè)出動點根據(jù)性質(zhì)及菱形性質(zhì)求解．題型三：角度問題一、解答題1．（2022秋·浙江臺州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖像上有一點，使的面積等于6，求點的坐標；(3)對于（2）中的點，在此拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）將原點坐標代入拋物線中即可求出的值，也就得出了拋物線的解析式．（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出點的坐標，也就求出了的長，根據(jù)的面積可求出點縱坐標的絕對值，然后將符合題意的點縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出點的坐標，然后根據(jù)點在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的點是否符合要求即可．（3）根據(jù)點坐標可求出直線的解析式，由于，由此可求出點的坐標特點，代入二次函數(shù)解析式可得出點的坐標．求的面積時，可先求出，的長度即可求出的面積．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖像與軸相交于，，，，（2）解：假設(shè)存在點，過點作軸于點，的面積等于6，，當，，解得：或3，，，即，解得：或（舍去）．又頂點坐標為：1.5，．，軸下方不存在點，點的坐標為：；（3）解：點的坐標為：，，，當，，設(shè)點橫坐標為：，則縱坐標為：，即，解得或（舍），在拋物線上僅存在一點．【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖像交點、圖像面積求法等知識．利用已知進行分類討論得出符合要求點的坐標是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江寧波·九年級校考期中）如圖所示，拋物線與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P在拋物線上，且位于x軸的下方，若點，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式．(2)若D是拋物線上一點，且滿足，求點D的坐標．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把B、P兩點坐標代入拋物線解析式中進行求解即可；（2）分點D在點P左邊和右邊兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：把，代入中得：，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：如圖1所示，當點D作點P的左邊時，∵，∴，∴點D與點P關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即關(guān)于y軸對稱，∵，∴；如圖2所示，當點D在點P右邊時，延長交x軸于Q，設(shè)點Q的坐標為，∵，∴，∴，∴，∴點Q的坐標為，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得或（舍去），∴點D的坐標為；綜上所述，點D的坐標為或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江舟山·九年級校考階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，與y軸交于點C，點P為第二象限內(nèi)拋物線上一點，連接、，交于點Q，過點P作軸于點D．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）連接，當時，求直線的表達式；（3）請判斷：是否有最大值，如有請求出有最大值時點P的坐標，如沒有請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）有最大值為，P點坐標為【分析】（1）將，代入中，列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，求出a、b的值即可；（2）設(shè)與y軸交于點E，根據(jù)軸可知，，當，即，由此推斷為等腰三角形，設(shè)，則，所以，由勾股定理得，解出點E的坐標，用待定系數(shù)法確定出BP的函數(shù)解析式即可；（3）設(shè)與交于點N，過B作y軸的平行線與相交于點M．由A、C兩點坐標可得所在直線表達式，求得M點坐標，則，由，可得，，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由題意可得：解得：，∴二次函數(shù)的表達式為；（2）設(shè)與y軸交于點E，∵軸，，，，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，解得，，設(shè)所在直線表達式為解得∴直線的表達式為．（3）設(shè)與交于點N．過B作y軸的平行線與相交于點M．由A、C兩點坐標分別為，可得所在直線表達式為∴M點坐標為，由，可得，設(shè)，則，∴當時，有最大值0.8，此時P點坐標為．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)以及一次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖像的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識點，熟練運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，本題綜合性強，涉及知識面廣，難度較大，屬于中考壓軸題．4．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖1，一次函數(shù)y＝x﹣4的圖象分別與x軸，y軸交于B，C兩點，二次函數(shù)y＝ax2﹣x＋c的圖象過B，C兩點，且與x軸交于另一點A．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)點P是二次函數(shù)圖象的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；(3)如圖2，過點C作CD∥x軸交拋物線于點D．點M是直線BC上一動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點N，使得以點C，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，N1（1，﹣5），N2（﹣1，﹣3），N3（3，﹣3）【分析】（1）根據(jù)直線解析式求得與坐標軸的交點坐標，進而代入二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)tan∠ABC，求得∠ABC＝60°，∠ABP＝30°，過點P作PH⊥x軸于點H，由點P的橫坐標為m，和tan∠ABP，求得m；（3）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求得點的坐標，以點C，D，M，N為頂點的四邊形是菱形，設(shè)M（x，x﹣4），分以下情形討論，①以CD為對角線時，MN垂直平分CD，②以CM為對角線時，CD＝MD，③以CN為對角線時，CM＝CD＝2，分別根據(jù)菱形的性質(zhì)，勾股定理建立方程，解方程求解即可【詳解】（1）由直線y＝x﹣4，當x＝0時，y＝﹣4；當y＝0時，x＝4，∴C（0，﹣4），B（4，0），將點B、C代入y＝ax2﹣x+c得：，∴，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣4；（2）∵C（0，﹣4），B（4，0），∴OC＝4，OB＝4，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，∵∠ABC＝2∠ABP，∴∠ABP＝30°，如圖1，過點P作PH⊥x軸于點H，∵點P的橫坐標為m，∴BH＝4﹣m，PH＝|m2﹣m﹣4|，∴tan∠ABP＝，解得：m＝4（舍）或m＝﹣或m＝﹣，∴m的值為﹣或m＝﹣；（3）由y＝x2﹣x﹣4可知對稱軸為直線x＝1，∵C（0，﹣4），∴D（2，﹣4），∵以點C，D，M，N為頂點的四邊形是菱形，設(shè)M（x，x﹣4），①如圖2，以CD為對角線時，MN垂直平分CD，∴點M的橫坐標為1，當x＝1時，y＝﹣4＝﹣3，∴M1（1，﹣3），∴N1（1，﹣5），②以CM為對角線時，CD＝MD，∵C（0，﹣4），D（2，﹣4），∴22＝（x﹣2）2+（x）2，解得：x＝0（舍）或x＝1，∴M2（1，﹣3），∴N2（﹣1，﹣3），③如備用圖，以CN為對角線時，CM＝CD＝2，∴22＝x2+（x）2，解得：x＝1或x＝﹣1，∴M3（1，﹣3）或M4（﹣1，﹣5），∴N3（3，﹣3），N4（1，﹣5），綜上所述，存在，N1（1，﹣5），N2（﹣1，﹣3），N3（3，﹣3）【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求解析式，解直角三角形，菱形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）定義：若函數(shù)（c≠0）與軸的交點A，B的橫坐標為，，與軸交點的縱坐標為，若，中至少存在一個值，滿足＝（或＝），則稱該函數(shù)為友好函數(shù)．如圖，函數(shù)與軸的一個交點A的橫坐標為?3，與y軸交點C的縱坐標為?3，滿足＝，稱為友好函數(shù)．(1)判斷是否為友好函數(shù)，并說明理由；(2)請?zhí)骄坑押煤瘮?shù)表達式中的b與c之間的關(guān)系；(3)若是友好函數(shù)，為銳角，求c的取值范圍．【答案】(1)是友好函數(shù)，理由見解析；(2)；(3)或，且．【分析】（1）求出函數(shù)與坐標軸的交點，可直接根據(jù)友好函數(shù)的定義進行判斷；（2）當時，，即與y軸交點的縱坐標為c，將代入，即可求出b與c之間的關(guān)系；（3）分情況討論：①當C在y軸負半軸上時，畫出草圖，求出函數(shù)與x軸的一個交點為，則，所以只需滿足，即可判斷c的取值范圍；②當C在y軸正半軸上，且A與B不重合時，畫出草圖，顯然都滿足為銳角，即可寫出c的取值范圍；③當C與原點重合時，不符合題意．【詳解】（1）解：是友好函數(shù)，理由如下：當時，；當時，或3，∴與x軸一個交點的橫坐標和與y軸交點的縱坐標都是3，∴是友好函數(shù)；（2）當時，，即與y軸交點的縱坐標為c,∵是友好函數(shù)，∴時，，即在上，代入得：，∴，而，∴；（3）①如圖1，當C在y軸負半軸上時，由（2）可得：，即，顯然當時，，即與x軸的一個交點為，則，∴只需滿足，即∴；②如圖2，當C在y軸正半軸上，且A與B不重合時，∴顯然都滿足為銳角，∴，且；③當C與原點重合時，不符合題意，綜上所述，或，且．【點睛】本題考查了新定義，二次函數(shù)與坐標軸的交點等，解題關(guān)鍵是要有較強的理解能力及在第三問中注意分類討論思想的運用等．題型四：特殊三角形問題一、單選題1．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于點C，點D的坐標為(0，－1)，在第四象限拋物線上有一點P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，則點P的橫坐標為（

）A．1＋ B．1－C．－1 D．1－或1＋【答案】A【分析】根據(jù)拋物線解析式求出點C的坐標，再求出CD中點的縱坐標，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點P的縱坐標，然后代入拋物線求解即可．【詳解】令x=0，則y=-3，所以，點C的坐標為（0，-3），∵點D的坐標為（0，-1），∴線段CD中點的縱坐標為，∵△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，∴點P的縱坐標為-2，∴x2-2x-3=-2，解得x1=，x2=，∵點P在第四象限，∴點P的橫坐標為．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出點P的縱坐標是解題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）已知拋物線y=a(x?1)(x+)與x軸交于點A(1，0)和點B（點A始終在點B的右邊），與y軸交于點C，若△ABC為等腰三角形，則a的值為______．【答案】【分析】整理拋物線解析式，確定出拋物線與x軸的一個交點A和y軸的交點C，然后求出AC的長度，再分①a＞0，②a＜0時，列式計算即可．【詳解】解：y=a（x-1）（x+）=（x-1）（ax+2），所以，拋物線經(jīng)過點A（1，0），C（0，-2），AC=，點B坐標為（-，0），①a＞0時，點B在x軸負半軸上，由于點A始終在點B的右邊，此情況不符合題意，舍去；②a＜0時，點B在x軸的正半軸，符合點A始終在點B的右邊，只有AC=AB，則--1=，解得：a=，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及拋物線與x軸的交點問題，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物線經(jīng)過的兩個定點是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，且為直角三角形，則____________．【答案】/0.5【分析】先求出A、B、C的坐標，然后分當時，此時點B與原點重合；當時，，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，∴不妨設(shè)，當時，，∴，當時，此時點B與原點重合，則，∴此時點C也與原點重合，不能組成三角形，∴，當時，，∵，∴，解得（舍去）或，綜上所述，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，求出A、B、C的坐標，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江寧波·九年級寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：如圖，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B（點A在點B左側(cè)），我們規(guī)定：當為直角三角形時，就稱為該拋物線的“優(yōu)美三角形”．若拋物線的“優(yōu)美三角形”的斜邊長為4，求a的值______．【答案】【分析】設(shè)拋物線的頂點式，根據(jù)“優(yōu)美三角形”的條件得為等腰直角三角形，得，從而得出點的坐標，將點的坐標代入頂點式表達式即可求解．【詳解】解：設(shè)拋物線的頂點的坐標為，拋物線的頂點式為：，又拋物線的“優(yōu)美三角形”，為直角三角形，根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)，可知，為等腰直角三角形，設(shè)與對稱軸交于點，如圖，，或，或，或，故答案為：．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確理解新定義“優(yōu)美三角形”、熟練掌握二次函數(shù)的頂點式、圖像的對稱性質(zhì)以及圖像上點的特征是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題5．（2022·浙江·九年級自主招生）如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點、和原點O．P為二次函數(shù)圖像上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為，并與直線OA交于點C．(1)求出二次函數(shù)的解析式；(2)當點P在直線OA的上方時，求線段PC的最大值；(3)當時，探索是否存在點P，使得為等腰三角形，如果存在，求出P的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-x2+4x(2)(3)存在，點P的坐標為或或（5，-5）或（4，0）【分析】（1）設(shè)y=ax（x-4），把A點坐標代入即可求出答案；（2）根據(jù)點的坐標求出PC=-m2+3m，化成頂點式即可求出線段PC的最大值；（3）當0<m<3時，僅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；當m≥3時，PC=CD-PD=m2-3m，，分為三種情況：當OC=PC時，當OC=OP時，當PC=OP時，即可得到答案．【詳解】（1）解∶∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點和原點O．∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax（x-4），把點A（3，3）代入，得：3=3a（3-4），解得：a=-1，∴二次函數(shù)的解析式為y=-x（x-4）=-x2+4x；（2）解：根據(jù)題意得：0<m<3，PC=PD-CD，設(shè)直線OA的解析式為，把點A（3，3）代入，得：3=3k，解得：k=1，∴直線OA的解析式為y=x，∵D（m，0），PD⊥x軸，P在y=-x2+4x上，C在直線OA上，∴P（m，-m2+4m），C（m，m），∴PD=-m2+4m，CD=m，∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m，∴當時，線段PC最大，最大；值為；（3）解：存在，理由如下：∵C（m，m），P（m，-m2+4m），∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m，，，當0<m<3時，僅有OC=PC，由（2）得：PC=PD-CD=-m2+3m，∴，解得：或0（舍去），∴此時；當m≥3時，點C在點P的上方，此時PC=CD-PD=m2-3m，當OC=PC時，，解得：或0（舍去），∴此時點；當OC=OP時，有OC2=OP2，∴，解得：m=5或3（舍去）或0（舍去），∴此時點P（5，-5），當PC=OP時，，解得：m=4或0（舍去），∴此時點P（4，0）；綜上所述，存在，點P的坐標為或或（5，-5）或（4，0）．【點睛】本題主要考查對用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值等知識點的理解和掌握，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，此題是一個綜合性比較強的題目，（3）小題有一定的難度．6．（2022秋·浙江寧波·九年級校考期中）拋物線與x軸交于點和點，與軸交于點，連接，點是線段下方拋物線上的一個動點（不與點，重合），過點作軸的平行線交于點，交軸于點，設(shè)點的橫坐標為．(1)求該拋物線的解析式；(2)用關(guān)于的代數(shù)式表示線段，求的最大值及此時點的坐標；(3)過點作于點，，①求點的坐標；②連接，在y軸上是否存在點，使得為直角三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)①；②存在點或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點C的坐標，再求出直線的解析式，則，，

進而推出，由此求解即可；（3）①先由，得到，進而證明，得到，則，證明是等腰直角三角，得到，再由，推出，由，求出，則；②設(shè)，則，，，然后分別討論、、為直角頂點時，利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：把、代入得∴，即，

∴∴拋物線的解析式為：；（2）解：令得，∴設(shè)直線BC的解析式為，∴

∴，∴直線BC的解析式為：

∵P的橫坐標為t，軸，∴，，

∴，∵，∴當時，有最大值2，此時；（3）解：①∵、，∴，∵，∴，∵軸∴，，∴，∴，∴，又，，∴是等腰直角三角形

∴∵

∴∴，∵，∴

∴；②設(shè)，則，，，（Ⅰ）當時，，解得：（舍去）或，∴；（Ⅱ）當時，，解得：，

∴（Ⅲ）當時解得：（舍去）綜上所述，存在點或使得為直角三角形．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)綜合，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）拋物線W：y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點P為x軸上一點，是否存在這樣的點P，使得△BCP是以CP為腰的等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)點P的坐標為（-4，0）或（，0）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）存在，分兩種情況：當CP=CB時，點P與點P1重合，即可得到點P1（-4，0）；當CP=BP時，點P與點P2重合，設(shè)OP2=x，則BP2=4-x，由勾股定理得x2+32=（4-x）2，求出x即可得到P2（，0）．【詳解】（1）解：將點A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3中，得，解得，∴；（2）存在，當CP=CB時，點P與點P1重合，如圖，∵OB=4，∴P1（-4，0）；當CP=BP時，點P與點P2重合，設(shè)OP2=x，則BP2=4-x，由勾股定理得x2+32=（4-x）2，解得x=，∴P2（，0），綜上，點P的坐標為（-4，0）或（，0）時，△BCP是以CP為腰的等腰三角形．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，等腰三角形的定義，勾股定理，屬于基礎(chǔ)題型，正確掌握知識點并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A(﹣3，0)，B(4，0)兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．M為線段OB上的一個動點，過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．(1)求拋物線的表達式；(2)試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點Q的坐標為(1，3)或【分析】（1）將A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，求解即可；（2）求得直線BC的解析式，設(shè)點M（m，0），則點Q（m，﹣m+4），再分三種情況分別求解即可．【詳解】（1）解：將A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，∴，解得，∴拋物線的表達式為：；（2）存在點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形，理由如下：令x＝0，則y＝4，∴點C（0，4），∵A（﹣3，0）、C（0，4），∴AC＝5，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+4，設(shè)點M（m，0），則點Q（m，﹣m+4），①當AC＝CQ時，過點Q作QE⊥y軸于點E，連接AQ，∵CQ2＝CE2+EQ2，即，解得：舍去負值），∴點；②當AC＝AQ時，則AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：，解得：m＝1或m＝0（舍去），∴點Q（1，3）；③當CQ＝AQ時，則，解得：舍去）；綜上所述，點Q的坐標為（1，3）或．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活應(yīng)用相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)進行求解．9．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與直線y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（1，﹣2）兩點，且拋物線與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)在第四象限的拋物線上有一點P，若△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，求出點P的坐標．【答案】(1)y＝2x2﹣x﹣3(2)P（1，﹣2）【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）兩點坐標代入y＝ax2+bx﹣3可得拋物線解析式．（2）當x＝0時可求C點坐標，求出直線AB解析式，當x＝0可求D點坐標,由題意可知P點縱坐標為﹣2，代入拋物線解析式可求P點橫坐標．【詳解】（1）解：把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）兩點坐標代入y＝ax2+bx﹣3可得：，解得，∴y＝2x2﹣x﹣3；（2）把x＝0代入y＝2x2﹣x﹣3中可得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），把A（﹣1，0）、B（1，﹣2）代入y＝kx+c得：，解得，∴y＝﹣x﹣1，∴D（0，﹣1）．∵△PCD是以CD為底邊的等腰三角形，∴點P是CD垂直平分線與拋物線y＝2x2﹣x﹣3的交點,由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分線經(jīng)過（0，﹣2），∴P點縱坐標為﹣2，∴，解得：x＝1或-，∵點P在第四象限，即x＞0，∴x＝1．∴P（1，﹣2）．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，把x＝0代入二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可求圖象與y軸交點坐標，知道點P縱坐標帶入拋物線解析式求點P的橫坐標是解答的關(guān)鍵．10．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）拋物線yx2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)，B(5，0)兩點，頂點為C，對稱軸交x軸于點D，點P為拋物線對稱軸CD上的一動點（點P不與C，D重合）．過點C作直線PB的垂線交PB于點E，交x軸于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）當△PCF的面積為5時，求點P的坐標；（3）當△PCF為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標．【答案】（1）yx2x；（2）P(2，﹣3)或(2，5)；（3）P(2，)或(2，﹣2)或(2，)或(2，)【分析】（1）函數(shù)的表達式為：y（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）確定PB、CE的表達式，聯(lián)立求得點F（2，0），S△PCFPC×DF（2﹣m）（22）＝5，即可求解；（3）分當CP＝CF、CP＝PF、CP＝PF三種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）函數(shù)的表達式為：y（x+1）（x﹣5）x2x；（2）拋物線的對稱軸為x＝2，則點C（2，2），設(shè)點P（2，m），將點P、B的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝sx+t并解得：函數(shù)PB的表達式為：ymx，∵CE⊥PE，故直線CE表達式中的k值為，將點C的坐標代入一次函數(shù)表達式，同理可得直線CE的表達式為：y，解得：x＝2，故點F（2，0），S△PCFPC×DF（|2﹣m|）（|22|）＝5，解得：m＝5或﹣3，故點P（2，﹣3）或（2，5）；（3）由（2）確定的點F的坐標得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①當CP＝CF時，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②當CP＝PF時，同理可得：m，③當CF＝PF時，同理可得：m＝±2（舍去2），故點P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．11．（2023春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線與軸交于A、兩點，與軸交于點．點為該拋物線第四象限上的一點，過作軸交于點．(1)求直線的解析式；(2)求線段的最大值；(3)當面積最大時，求點的坐標；(4)當為等腰三角形時，直接寫出點的坐標．【答案】(1)(2)(3)(4)或或【分析】（1）先求出點B、C坐標，再用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，則，所以，利用二次函數(shù)最值求解即可；（3）根據(jù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（4）分三種情況：當時，當時，當時，分別求解好戲可．【詳解】（1）解：令，則，解得：，，，，令，則，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得，解得：，∴直線的解析式為；（2）解：設(shè)，則，，∵，∴當時，有最大值，最大值為；（3）解：，，，，隨著增大而增大，由（2）知，當時，最大值為，∴當面積最大時，P點坐標為．（4）解：，且，是等腰直角三角形，，∵軸，，，設(shè)，當時，得，，軸，軸，，∴令，則，解得：，，；當時，，則，解得：，，；當時，則，解得：，(舍去），；綜上，當為等腰三角形時，點的坐標為或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標軸交點，用待宣系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，本題屬二次函數(shù)綜合題目，難度較大，屬中考壓軸題目．12．（2022·浙江寧波·九年級浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的二次函數(shù)．(1)證明：函數(shù)圖像與軸有兩個交點；(2)如果函數(shù)圖像與軸交于點A，與軸分別交于、，且是直角三角形，求的值；(3)函數(shù)圖像與軸交于A、兩點，頂點為點，為等邊三角形，求的值．【答案】(1)見解析(2)或(3)或【分析】（1）求出根的判別式的值，即可進行證明；（2）證明，則，將求出點A的坐標，即可表示出的長度；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可表示出，即可進行解答；（3）過點作高，將頂點C的坐標表示出來，即可得出，將方程的兩個根表示出來，即可表示出，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∴，∴函數(shù)圖像與軸有兩個交點；（2）解：如圖：當時，，即當時，，∴，∴，∵是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴即，解得（舍），，．（3）過點作高，∵點C為二次函數(shù)的頂點，∴，∴當時，，∴，∴，因為為正三角形，∴，∴令，∴，解得（舍），，即，解得或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與x軸的交點問題，三角形相似的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．13．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知直線與x軸交于點B，與y軸交于點C；拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過B，C兩點．(1)求B、C兩點的坐標和拋物線的解析式；(2)拋物線與x軸的另一個交點為點A，在拋物線的對稱軸上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；(3)在直線的下方的拋物線上，是否存在一點N，使的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由；(4)設(shè)點P為拋物線的對稱軸上的一個動點，直接寫出當為直角三角形時點P的坐標．【答案】(1)，；(2)；(3)存在，；(4)P的坐標為或或或．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)拋物線的對稱性可知，當B，C，M共線時，的值最小，求出點坐標即可；（3）設(shè)，，過點作軸交于點，則，則，當時，的面積有最大值，此時，（4）設(shè)，分別求出，，，根據(jù)直角三角形斜邊的情況分三種情況討論即可．【詳解】（1）解：令則，，令，則，，拋物線的對稱軸為直線，，，將，代入中，，解得，；（2）解：由拋物線的對稱性可知，，，當B，C，M共線時，的值最小，將代入中，得，；（3）解：存在點，使的面積最大，理由如下：設(shè)，，過點作軸交于點，則，，