2025高考數學二輪復習利用導數證明問題導數與不等式的交匯命題是高考的熱點和難點,在利用導數證明不等式的問題中,常用的方法有構造函數、適當換元、合理放縮、利用最值、有界性、不等式及其性質等.考點一構造差函數法證明不等式例1(2023新高考Ⅰ,19)已知函數f(x)=a(ex+a)-x.(1)討論f(x)的單調性;(2)證明:當a>0時,f(x)>2lna+.(1)解

f'(x)=aex-1,x∈R.①當a≤0時,f'(x)≤0對任意x∈R恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)內單調遞減.②當a>0時,令f'(x)=0,得x=ln=-ln

a.隨x的變化,f'(x),f(x)的變化如下表:x(-∞,-ln

a)-ln

a(-ln

a,+∞)f'(x)-0+f(x)↘極小值↗所以函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(-ln

a,+∞),單調遞減區(qū)間是(-∞,-ln

a).綜上,當a≤0時,f(x)的單調遞減區(qū)間是(-∞,+∞),無單調遞增區(qū)間;當a>0時,f(x)的單調遞增區(qū)間是(-ln

a,+∞),單調遞減區(qū)間是(-∞,-ln

a).[對點訓練1](2024四川廣安二模)已知函數f(x)=ex-ax-1.(1)若f(x)存在極值,求a的取值范圍;(2)若a≤1,x∈(0,+∞),證明:f(x)>x-sinx.(1)解

由f(x)=ex-ax-1,x∈R,得f'(x)=ex-a,當a≤0時,f'(x)>0,則f(x)單調遞增,f(x)不存在極值;當a>0時,令f'(x)=0,則x=ln

a,當x<ln

a,則f'(x)<0,即f(x)在(-∞,ln

a)內單調遞減,當x>ln

a,則f'(x)>0,即f(x)在(ln

a,+∞)內單調遞增.所以x=ln

a是f(x)的極小值點,所以當a>0時,f(x)存在極值.綜上所述,f(x)存在極值時,a的取值范圍是(0,+∞).(2)證明

欲證不等式f(x)>x-sin

x在x∈(0,+∞)時恒成立,只需證明ex+sin

x-(a+1)x-1>0在x∈(0,+∞)時恒成立.設g(x)=ex+sin

x-(a+1)x-1,x∈(0,+∞),則g'(x)=ex+cos

x-(a+1),令m(x)=g'(x)=ex+cos

x-(a+1),x∈(0,+∞),則m'(x)=ex-sin

x.當x∈(0,+∞)時,ex>1,-1≤-sin

x≤1,所以m'(x)>0,所以m(x)即g'(x)在(0,+∞)內單調遞增,所以g'(x)>g'(0)=1-a,因為a≤1,所以g'(0)=1-a≥0,故當x∈(0,+∞)時,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)內單調遞增,所以g(x)>g(0)=0,即當a≤1,x∈(0,+∞)時,不等式f(x)>x-sin

x恒成立.考點二分離函數法證明不等式例2(2024安徽合肥模擬)已知函數f(x)=ax-lnx,a∈R.(1)若函數F(x)=f(x)-x2有兩個極值點,求a的取值范圍;F(x)有兩個極值點,所以方程-2x2+ax-1=0有兩個不相等的正實根,當0<x<x1時,F'(x)<0,F(x)單調遞減;當x1<x<x2時,F'(x)>0,F(x)單調遞增;當x>x2時,F'(x)<0,F(x)單調遞減.所以F(x)在x=x1處有極小值,在x=x2處有極大值,因此a的取值范圍是(2,+∞).令g(x)=x2-cos

x,∵g(-x)=g(x),∴g(x)為偶函數,當x∈[0,+∞)時,g'(x)=2x+sin

x,令k(x)=2x+sin

x,k'(x)=2+cos

x>0,∴g'(x)在[0,+∞)內單調遞增,∴g'(x)≥g'(0)=0,∴g(x)在[0,+∞)內單調遞增,由g(x)為偶函數知,g(x)在(-∞,0]內單調遞減,∴g(x)≥g(0)=-1.考點三放縮法證明不等式當a≥0時,因為x>0,所以f'(x)>0恒成立,則y=f(x)在(0,+∞)內單調遞增,且f(1)=0,所以f(x)恒大于或等于零不成立;當a<0時,由f'(x)=0,得x=-a,易知當x>-a時,f'(x)>0,當0<x<-a時,f'(x)<0,所以y=f(x)在(0,-a)內單調遞減,在(-a,+∞)內單調遞增.則f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1+a,若f(x)≥0恒成立,則ln(-a)+1+a≥0.令h(x)=ln(-x)+1+x(x<0),則h'(x)=h(x)在區(qū)間(-∞,-1)內單調遞增,在區(qū)間(-1,0)內單調遞減,所以h(x)max=h(-1)=0,所以當ln(-a)+1+a≥0時,a=-1.綜上,若f(x)≥0恒成立,則a=-1.令g(x)=x-sin

x(x≥0),則g'(x)=1-cos

x≥0恒成立,所以函數g(x)在[0,+∞)內單調遞增,故當x>0時,g(x)>g(0)=0,即sin

x<x.[對點訓練3](2024福建泉州模擬)已知函數f(x)=ex-axsinx-x-1(a∈R).(1)當a=0時,討論函數f(x)的單調性;(2)當a=時,證明:對任意的x∈(0,+∞),f(x)>0.(1)解

當a=0時,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)>0,解得x>0,f(x)在(0,+∞)內單調遞增;令f'(x)<0,解得x<0,f(x)在(-∞,0)內單調遞減.由(1)知,當a=0