6.2.4組合數

(2)1.前面我們已經知道，解有限制條件的排列問題主要有兩種方法：（1）

法，包括特殊元素（位置）

，相鄰問題用

，不相鄰問題用

.（2）

法，即先不考慮條件的限制而求出一個總數，然后從中減去不滿足條件的種數，間接得出滿足條件的種數.復習引入例1：

在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?例題分析：（1）從100件產品中任意抽出3件，不需考慮順序，因此這是一個組合問題；（2）可以先從2件次品中抽出1件，再從98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一個分步完成的組合問題；（3）從100件產品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情況，因此可以看作是一個分類完成的組合問題．課本P25例1：

在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?解：所有的不同抽法種數，就是從100件產品中抽出3件的組合數，所以抽法種數為解：從2件次品中抽出1件的抽法有

種，從98件合格品中抽出2件的抽法有

種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數為(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?課本P25例1：

在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?從100件產品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，因此根據分類加法計數原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數為解：方法1(直接法)：課本P25例1：

在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件.(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數，就是從100件產品中抽出3件的抽法種數減去3件都是合格品的抽法種數，即解：方法2(間接法)：變式：把(3)中的“至少”改為“至多”，則抽法有多少種?課本P25反思歸納1.有政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6門學科的學業水平考試成績，現要從中選3門考試成績.(1)共有多少種不同的選法?(2)如果物理和化學恰有1門被選，那么共有多少種不同的選法?(3)如果物理和化學至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法?課本P25練習解：（1）所有不同的選法數就是從6門考試成績中任選3門的組合數，所有選法種數為(2)先從物理、化學中選一門，再從剩下的4門中選2門，所有選法種數為1.有政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6門學科的學業水平考試成績，現要從中選3門考試成績.(3)如果物理和化學至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法?解法1：分兩種情況：物理、化學中只選一門和物理、化學兩門都選，所有選法種數為課本P25解法2：從中選3門考試成績，物理和化學至少有1門被選的選法種數，就是從6門考試成績中選出3門的選法種數減去從政治、歷史、地理、生物中選出3門的選法種數，即2.從7名男生5名女生中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數有多少種？(1)A、B必須當選；(2)A、B都不當選；(3)A、B不全當選；(4)至少有2名女生當選；解：(1)除A、B當選外，再從其它10個人中選3人，不同的選法種數有(2)A、B

都不當選的選法種數有解：(3)A、B不全當選的選法種數有2.從7名男生5名女生中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數有多少種？(3)A、B不全當選；(4)至少有2名女生當選；(4)至少有2名女生當選的選法種數有例2：從5名男同學，4名女同學中選3名男同學和2名女同學，分別擔任語文、數學、英語、物理、化學的科代表，分配的方法有多少種？解：完成這件事可以分為三個步驟：第1步，從5名男同學中選3名男同學有

種方法；第2步，從4名男女同學中選2名女同學有

種方法；第3步，將選出的5名同學分別擔任語文、數學、英語、物理、化學的科代表有

種方法；根據分步乘法計數原理，分配方法共有

種.例題反思歸納1.從1、3、5、7、9中任取3個數字，從2、4、6、8中任取2個數字，可以組成

個沒有重復數字的五位數.解：完成這件事可以分為三個步驟：第1步，從1、3、5、7、9中任取3個數字有種方法；第2步，從2、4、6、8中任取2個數字有種方法；第3步，將取出的5個數字組成沒有重復數字的五位數字有種方法；根據分步乘法計數原理，組成的五位數共有個.答案：7200練習解：

選出一個男生擔任體育班委，再選出1名女生擔任文娛班委，剩下的10人中任取3人擔任其它3個班委．由分步計數原理可得到所有方法總數為2.從7名男生5名女生中，選出5人，讓他們分別擔任體育委員、文娛委員等5種不同工作，但體育委員由男生擔任，文娛委員由女生擔任，共有多少種不同的選法？例題例3：已知平面M內有4個點，平面N內有5個點，則這9個點最多能確定：(1)多少個平面？解：可分三類：第一類：平面M內取1個點，N內取2個點，最多可確定

個；第二類：平面M內取2個點，N內取1個點，最多可確定

個；第三類：平面M和平面N，共

個.根據分步乘法計數原理,最多可確定平面

個.解：法一分三類：第一類：平面M內取1個點，N內取3個點，最多可確定

個；第二類：平面M內取2個點，N內取2個點，最多可確定

個；第三類：平面M內取3個點，N內取1個點，最多可確定

個.根據分步乘法計數原理,最多可確定平面

個.例3：已知平面M內有4個點，平面N內有5個點，則這9個點最多能確定：(2)多少個四面體？例3：已知平面M內有4個點，平面N內有5個點，則這9個點最多能確定：(2)多少個四面體？解：法二從9個點中取4個點的取法有

種，從平面M內的4個點中取4個點取法有

種，從平面N內的5個點中取4個點取法有

種，故最多可確定四面體

個.反思歸納練習2.空間中有10個點,其中有5個點在同一個平面內,其余點無三點共線,四點共面,則以這些點為頂點,共可構成四面體的個數為(

)A.205

B.110

C.204

D.200解析:方法一:可以按從共面的5個點中取0個、1個、2個、3個進行分類,則得到所有的取法總數為

=205.方法二:從10個點中任取4個點的方法數中去掉4個點全部取自共面的5個點的情況,得到所有構成四面體的個數為=205.答案：A1.200件產品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法種數為(

)隨堂檢測2.(2018·全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有____種.(用數字填寫答案)

解析：方法一：根據題意，