數學建模名詞解釋：一階差分方程標準答案：定義蜀洌(kJ/=…)的一階差分為：% @=。上工…)一階差分方程就是形如?=〃/｝無=a14」 0)的方程，其中浮與上弒的f函敗(1河池就是數列叫關系加=尸(/人無=①匕2^- ⑵其中F(x)、+〃幻.Q咸也可以稱為一^差分方程2．第9題名詞解釋：數學模型標準答案：數學模型(MathematicalModel)是由數字、字母或者其他數學符號組成的，描述現實對象數量規律的數學公式、圖形或算法.3．第10題名詞解釋：二階差分方程定義器洌（kJ?=…）的二階差分為：公工0二乩"1一“二飛三―2、+1t0r=0LZ…）二階差分方程就是形如(3)屋工工二/（%尸勺），1=0X2,■■(3)的方程，其中浮與E譙的二元函數（3腐即數列遞推關系凝+】=F（馬△+叫工★=Q.L，…其中二元函數產（馬刃=2x-y+r（*M.⑷式也可以稱為二階差分方程.4．第15題名詞解釋：（1）線性規劃模型；（2）線性規劃模型的可行域；（3）線性規劃模型的最優解和最優值；（4）不可行的線性規劃模型；（5）無界的線性規劃模型.標準答案：5．第4題5．第4題解答(1)線性規劃(linearpp吧antming,LP)就是對滿足有限多個線性的等式或不等式約束條件的決策變量的一個線性目標函效求最大值或最小值的最優化問題.線性規劃模型的一般表達式可寫成max(或血n)z=砧+?工溝H fc^st/昌+烏涇+…+4占M(或=5曲/聲+馬盧2 —(或=+冷&%陽+&產2+…+ =（或=*">?,>=1,4-未知數乙稱為決策變量目標函數經常記為z或w,稱為目標變量.目標函數的變量系數盯稱為價值系數.約束條件的變量系數與稱為工藝系數約束條件右端的常數4稱為資源限量.約束條件前的記號“st”是"subjectto”的縮寫，意即興受約束于”.決策變量的上下界約束一般要單列.(2)滿足約束條件的決策變量就是可行解(feasiblesohiticn),可行解的集合稱為可行域(feasibleregiwi).(3)使目標函數達到最大值(或最小值)的可行解稱為最優解(optimalsolutiGn)r相應的目標函數值就是最優值(optimalvahie).(4)沒有可行解的線性規劃模型稱為不可行(inffeasible).不可行的線性規劃模型沒有最優解.(5)如果最大(小)化線性規劃模型的目標函數可以在可行域取得任意大(小)的值，則稱為無界(unboimded).無界的線性規劃模型也沒有最優解.(1)(1)回答以下關于Tm性常系數齊次差分方程%i=Q+r)Rn4=0,L△??*的問題：(D當Q再用作數學儂時，模型假設是什么?<2)被&值記作/，寫出(1區的解的通項公式.(3)當小。時工求出Q成的平衡點<4)陰1點漸進穩定的充分必要條件是什么？標準答案:解答(D當(1閑用作數學模型時，x上是實際對象在第Jt時段的狀態值，參數r是用前差公式訐算的增員率：到二至三七氏二o,l4???A由a成可見。試的■假設為.用前差公式計算的增長率為常數".(工)a減的解比^)xe=x0a丈=oj&….(3)令％]=9=*，則⑴式變為￡=Q+f)k，當r,0.解得尸0,所以當小口時。俄有唯一的平衡點A0.0)根據等比數列的性質知:既斗=0當且僅當『5<1，即平衡點40是漸進穩定的當且僅當-2B.6．第11題司機在駕駛過程中遇到突發事件會緊急剎車，從司機決定剎車到車完全停住汽車行駛的距離稱為剎車距離，車速越快，剎車距離越長.請問剎車距離與車速之間具有怎樣的數量關系表1符號說明單位名稱說明Vm/s車速dm剎車距離從司機決定剎車到車完全停住汽車行駛的距離由m反應距離從司機決定剎車到踩下剎車踏板汽車行驗的距離出m制動距離從司機踩下剎車踏板到車完全停住汽車行駛的距離s反應時間從司機決定剎車到踩下剎車踏板的時間am/s2減速度汽車制動過程的減速度Fn制動力汽車制動過程的制動力M尬汽車質量電s2/m片=1/0)模型假設：（1）假設道路、天氣和駕駛員等條件相同,汽車沒有超載，也沒有故障；C2）假設汽車在平直道路上行駛，駕駛員緊急剎車，一腳把剎車踏板踩到底，汽車在剎車過程沒有轉方向；C3）假設駕駛員的反應時間為常數，汽車在反應時間做勻速直線運動；（4）假設汽車在制動過程做勻減速直線運動，減速度值是常數,制動力所做的功等于汽車動能的損失；（5）假設剎車距離等于反應距離加制動距離.根據假設O）,立即得到&-號v根據牛頓第二定律和假設（4）,有F=maFd2=所以魅=總L其中后=1/（2般）.最后，根據假設⑸,有d=卜~+上上式就是汽車剎車距離的數學模型.#題回答以下關于常系數非齊次差分方程(E，o)的阿題<1)福值記作/，當T=0時，寫出(1淺的解的通項公式(2)碉值記作當r#0時,寫出(1灑的解的通項公式(3)當"。明求出0成的平衡點(4)平衡點漸進穩定的充分必要條件是什么？標準答案：喑(1)當D時，。避的解即公差為力的的蝴9二/十地上二口工工…⑵當邙)時,Q閔的解為工LG+m(l+r)J5/=(),LZ?(3｝令%L=xt=￡,則Q)式^^￡=(l+F)r+8?當F/0,解x=-b/r.所以當丁.0時Q凌有所的平衡點a-加,(4)呼黃點上=-可廠是漸進穩定的當且僅當-280.6．第9題B1B1蛛網模型示盒圖閱讀材料商品在市場上的上市量和價格出現反復的振蕩，是出費者的需求關系和生產者的供應關系決定的.一方面，這一時期的￥取決于上市量，上市量越彩價格越低；另一方面，下一時期的上市看取決于這一時期的價格，價格好上市量越少.把時間離散成時段，段相當于一個生產周期，記商品福時段的上市量為毛，價格為義.一方面，價格居取決于上市量占，?時段的上市量為毛，價格為義.一方面，價格居取決于上市量占，?反映消費者的需求關系，稱為需求函數，其函數圖像看條下降曲線，稱為需求曲線；另一方面，下一時段的上市量叫近由」時段的價格先決定，記作為=其%。，g反映生產者的供應關系，用供應函數，其函數圖像是T上升曲線，稱為供應曲線.在直角坐標系畫出需求曲線和供應曲線，兩條曲線相交于平卷由于種種干擾，使得上市量和價格不可能保持在平衡點耳不妨設4偏離加利用需求曲線和供應曲線分析&和乳的變化趨孰們形象的將此強稱為蛛網強.平衡點片有穩定或不穩定兩種葡見圖L平衡點"是否穩定由需求曲線T和供應曲線g在用附近的例定.設。和珈分別為曲線手和X在與的切線斜率的絕對值.則當皿時先穩定，當的A1時尤不穩定.如果生產經營者的管理水平較高，在決定上市量也工時，不僅挑價格以，而且考慮前一階段的價格入，則對經濟穩定會更有利.問題4筒單地假設出.、由羥+1與久的平均值決定，建立差分方翼型，推導平衡點先穩定的條件，說明為什么對經濟穩定更有科均是穩定平衡點,（小九）趨向P口均是穩定平衡點,（小九）趨向P口P口是不穩定平衡點,（xkj值遠離及1515標準答案:解答設飛工由^^與人的平均值決定，則建立差分方程組整K-%=七（舞—與）其中心0,Q0.消去羥川與取得工（%工-%）+?（'-%）+核（0-5）:&充。L&…引入城觸…得2zm =0,1=OXX"-3土《（哂2-前/---在厚方程組中，令/+[=,=工，K.1="=y,可求得平衡點0^0（飛，0）?如果3%則特征根千對共地復數,根據韋達定理和特?程，有&4 所以中|=揚兄■=Jw/z,于是當于＜2時平f站穩定:當史2時平衡點先根定.與之前的穩定條件應上1相比,數的范圍放大了，對經濟穩定更有利.7．第11題怎么根據魚的長度估計重量可以假設魚的重量W與長度L有如下關系：W=aL3+b。利用表1的數據驗證這個模型.131313131314141515表1魚的數據，重量W單位為盎司，長度1單位為英寸W

W22222323232424242424L14141414W24252526262727282828L1713W28292930353640414144LW45464747484953566278L1718181820解答令自變量為變量為跖由表1數據』出（鼻嗎Xf=LZ…」00），用一元線性回歸模型次二?十瓦以下是回歸分析的MATLAB腳本工L=[-']kL用；X=[ones(sizeCO)XI;[b9binl^rint^tat]=r^ilabd^P),ylabd(11^tifleCW=aLA3+b9^itre(2)911cqpIot(i^in93F=i^ress0^計算結果整理成表2由結果得知；F統計量比較大，］遠小于0.05,說明回歸模型是顯著的；決定系數較接近L明回歸模型的擬合精確程度較高工誤差的分布沒有明顯趨目只有少數（10個）數據的誤差均值置信區間不含零點.以一些分析都驗證了模型嚴=送+b的合理性和有效性口但是，回歸系數匕的置信區間包含零點，而且零點接i間中此說明模型/=證+〃的截距項對因變量的影響不顯可以去掉，改用正比例函數模型獷=矗，回歸計拿0=0.0082841.表2計算結果回歸系數回歸系數估計值回歸系數置信區口b6=0君5716[-2.1366,3.8509]ao=0.m(B64[0.0070912,0.00898W=0.00S0364L3+0.85716Rf743%氏284.69,2與233乂靖、$工=36.998繪得的圖形:1(NH> 2(HH)31HM44W 60WTWOWMnesadualCaseOnlerPintId20洲柳印硼70 80 901HlCaseNwidnr"■三￥8．第16題考慮彈簧-質量系統，收集彈簧伸長的長度與彈簧末端懸掛的質量的實驗數據，記錄在表1（單位省略）.請計算出伸長與質量的函數關系的經驗公式.表1彈簧伸長和質量的測量數據質量50100150200250300伸長質量350400450500550伸長標準答案：解答記彈簧末端懸掛的質量為自變量X,彈簧的伸1因變量六由表1的樣本數據a*XE=LZ繪制散點可以直觀的看出產與工龍酸呈線性關系,所以采用一元線1歸模型F歸模型F=戶口+戶戶+以下是回歸分析的MATLAB腳本:^<5fc50:550)f;y^[l;1^75^,75^25;4375;4,875^,675;6J;7.25;8;8,75];X=[ones(size^)Lhx];[h.tint,rjiiil^tat]=regress^^Q^nre(lXplotO^y.'kaQ^Islinelegeiri(需測數據？回歸直線;2)xl疝d（*質量X/bcl（伸長力忖酗'彈簧-質量系統）計算結果整理成表2.由結果得知：F統計量很大,小于0.05,說明回歸模型是顯著的；回歸系數的置信區間彳含零點，說明回歸模型的自變量和截距兩項對因變量的影口顯著：決定系數很接近L說明回歸模型的擬合精確程度彳E雖然第5個數據的誤差均值置信區間［0.0427541037r79］不方點，但是置信區間偏離零點的程度不嚴重，不必剔除.表2計算結果回歸系數回歸系數估計值回歸系數置信區Ab0=0.32455[0.17445,0.47415A4=0.015373[0.01493,0.0158y=O32455TO.015373X胃=05985%產=6173,p-=4A365^1(T14r52=0.010528繪得的圖形工9．第7題物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：物體溫度對時間的變化率與物體溫度和它周圍介質溫度之差成正比.寫出牛頓冷卻定律的微分方程模型及滿足初始條件的特解.標準答案:解答記物體在時刻士的溫度為E/它周圍介質的溫度為a金保持不變,則根據牛頓冷卻定律建立微分方程模型其中比例系數 滿足碉條件叫）=》的特解為Hr）=/+（。―/）4丑）10．第8題閱讀材料合金強度與合金中的碳含量有密切關系，表1是收集到的一批數據.設自變量X為碳含量，因變量y為合金強度，用以下MATLAB腳本做一元線性回歸分析的計算：x=[;;;;;;;;;;;];y=[;;;;;;;;;;;];yX=[ones(size(x)),x];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,X)命令窗口顯示的計算結果：bint=rint=stat=問題請將計算結果整理成表格，并進行分析.標準答案:標準答案:標準答案:標準答案:解答表2計算結果回歸率數回歸案數估計值回歸率泉置信區間A4=27917[25,721,30.174]A4二13LM[115.38,1453],=27.9474T31￡4x3rJM76.25,jf=9.1322x^)10T『=0.77374由計算結果得知二F統計量較大，p值遠小于0.05,比是顯著的；回歸系數的置信區間都不含零點.說明回歸模用截矩兩項對因變量的影響都顯著.決定系數接近L說明恒合精確程度隹較高;雖然笫九個數據的誤差均值置信區TK16919］不含零點，但是置信區間偏離零點的程度不嚴重,11．第12題根據按揭貸款的等額本息還款法的算法：每月利息二本月剩余本金又貸款月利率每月本金=本月剩余本金-下月剩余本金每月月供額=每月本金+每月利息建立數學模型，并推出已知本金總額和按揭年數時月供額的計算公式.

解答記例率為r,設r為已知并弼不變，則月利率為加工本金總額為％元，做"銬揭，月供出元，辦理搦S之后第七月始金為5元.則根據事林息還款法的算法列式得：12．第13題設某城市1992—1998年電視機實際銷售量和年增長率如表1和圖所示（年增長率是根據數值微分三點公式計算所得），請回答以下問題：（1）描述銷售量的變化過程，并初步分析其原因；（2）引入合理的簡化假設，建立數學建模，描述銷售量的變化過程;(3)你建立的模型包含有哪些參數這些參數的實際意義是什么如何估計模型中的參數年份1992199319941995199619971998售量(千臺)年增長率(%)年份(乖+)明鐘翡宗寡衽年份(乖+)明鐘翡宗寡衽軟)協率觸出明鐘翡解答Cl)銷售量的年增長率隨著銷售量的增加而近似性下障，原因是該城市對電視機這種耐用消費品的保有量存上限，相當于阻滯增長作用.(2)假設銷售量的年增長率隨著銷售量的增加而線性降，建立阻滯增長模型如二n八-三用其解函N)At{N)0N)x(0=一，”…描述銷售量的變化過程;x0M”_/尸聞(3)阻滯增長模型包含有三個舂數：固有增長率八最容量N和初始值沏，可根據實際數據，取定初始時刻51%對阻滯增長模型的解函數作非線性擬合，估計這三個參數.MATLABU1W2二3鴦x=[9.5,l工25254a33后5369n8石53梵7]；目卯助⑴①何⑵產叼代(3**19%)工皿csdjTilinfit(ta￡[40鼻0,別)N倒1%xO^(l)J