2021-2022學年廣東省深圳市龍華區九年級第一學期聯考數學試卷（12月份）一、選擇題（共10小題，每小題3分）1.下列函數中是二次函數的是（）A.y＝x+1 B. C.y＝ax2+bx+c D.y＝x2【答案】D【解析】【分析】根據二次函數的定義逐項分析即可，二次函數的定義：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數．【詳解】A.y＝x+1，是一次函數，故該選項不符合題意；B.，不是二次函數，故該選項不符合題意；C.y＝ax2+bx+c，當是二次函數，故該選項符合題意；D.y＝x2，二次函數，故該選項符合題意；故選D【點睛】本題考查了二次函數的定義，理解二次函數的定義是解題的關鍵．2.下列幾何體中，有一個幾何體的主視圖與俯視圖的形狀不一樣，這個幾何體是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：、主視圖、俯視圖都是正方形，故不符合題意；、主視圖、俯視圖都是矩形，故不符合題意；、主視圖是三角形、俯視圖是圓形，故符合題意；、主視圖、俯視圖都是圓，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，解題的關鍵是掌握從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖．3.對于反比例函數y＝，下列說法不正確的是（）A.這個函數的圖象分布在第一、三象限B.點(1，4)在這個函數圖象上C.這個函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形D.當x＞0時，y隨x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根據反比例函數的性質：當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小進行分析即可．【詳解】解：A、反比例函數中的k＝4＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，正確，不符合題意；B、點（1，4）在它的圖象上，正確，不符合題意；C、反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確，不符合題意；D、反比例函數y＝中的k＝4＞0，其在每一象限內y隨x的增大而減小，不正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查反比例函數圖象與性質，關鍵掌握以下性質：反比例函數（k≠0），當k＞0，反比例函數圖象在一、三象限，每個象限內，y隨x的增大而減小；當k＜0，反比例函數圖象在第二、四象限內，每個象限內，y隨x的增大而增大4.菱形的對角線，則菱形的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由菱形的面積公式可求解．【詳解】解：菱形的面積==40，故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質，掌握菱形的面積等于對角線積的一半是解題的關鍵．5.在直角三角形中，各邊的長度都擴大3倍，則銳角A的三角函數值A.也擴大3倍 B.縮小為原來的C.都不變 D.有的擴大，有的縮小【答案】C【解析】【詳解】根據銳角三角函數的概念，可知在直角三角形中，各邊的長度都擴大3倍，銳角A的三角函數值不變．故選C．6.在一個不透明的袋子里，裝有6枚白色棋子和若干枚黑色棋子，這些棋子除顏色外都相同．將袋子里的棋子搖勻，隨機摸出一枚棋子，記下它的顏色后再放回袋子里．不斷重復這一過程，統計發現，摸到白色棋子的頻率穩定在0.1，由此估計袋子里黑色棋子的個數為（）A.60 B.56 C.54 D.52【答案】C【解析】【分析】設設黑色棋子有x枚，根據摸到白色棋子的頻率穩定在0.1列出方程求解即可．【詳解】解：設黑色棋子有x枚，∵摸到白色棋子的頻率穩定在0.1，∴，解得,經檢驗是方程的解，∴黑色棋子有54枚，故選C．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，根據頻率求頻數，解題的關鍵在于能夠根據題意列出方程求解．7.如圖，點E是△ABC內一點，∠AEB＝90°，D是邊AB中點，延長線段DE交邊BC于點F，點F是邊BC的中點．若AB＝6，EF＝1，則線段AC的長為（）A.7 B. C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根據直角三角形的性質求出DE，由EF=1，得到DF，再根據三角形中位線定理即可求出線段AC的長．【詳解】解：∵∠AEB＝90，D是邊AB的中點，AB＝6，∴DE＝AB＝3，∵EF＝1，∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．∵D是邊AB的中點，點F是邊BC的中點，∴DF是ABC的中位線，∴AC＝2DF＝8．故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形中位線定理，求出DF的長是解題的關鍵．8.新型冠狀病毒肺炎具有人傳人性，調查發現1人感染病毒后如果不隔離，那么經過兩輪傳染將會有225人感染，若設1人平均感染x人，則x為（）A.14 B.15 C.16 D.17【答案】A【解析】【分析】根據一元二次方程傳播問題的公式列出方程計算即可；【詳解】設1人平均感染x人，已題意可得：，解得：，（不符合題意）；故選A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，準確方程計算是解題的關鍵．9.二次函數的圖象如圖所示，對稱軸是，下列結論正確的是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據拋物線的性質，對稱軸，圖形的信息，逐一計算判斷即可．【詳解】∵，∴，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴，故A不符合題意；∵，∴，故B不符合題意；∵時，y=a-b+c，∴2a-2b+2c，∵，∴，∴-b-2b+2c，∴3b-2c，故C不符合題意；∵時，y=a-b+c，∵，∴，∴3a+c，故D符合題意；故選D．【點睛】本題考查了二次函數圖像，拋物線的性質，靈活運用圖像及其性質是解題的關鍵．10.如圖，已知，分別為正方形的邊，的中點，與交于點，為的中點，則下列結論：①，②，③，④．其中正確結論的有（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】B【解析】【分析】根據正方形的性質可得，然后利用SAS即可證出，根據全等三角形的性質可得：，根據直角三角形的性質和三角形的內角和，即可判斷①；根據中線的定義即可判斷②；設正方形的邊長為，根據相似三角形的判定證出，列出比例式，即可判斷③；過點作于，易證△AMN∽△AFB，列出比例式，利用勾股定理求出ME、MF和MB即可判斷④．【詳解】解：在正方形中，，，、分別為邊，的中點，，在和中，，，，，，故①正確;是的中線，，，故②錯誤;設正方形的邊長為，則，在中，，，，，，即，解得：，，，故③正確；如圖，過點作于，∴∴△AMN∽△AFB∴，即，解得，，根據勾股定理，，，，故④正確.綜上所述，正確的結論有①③④共3個故選：B．【點睛】此題考查的是正方形的性質、全等三角形的判定及性質、相似三角形的判定及性質和勾股定理，掌握正方形的性質、全等三角形的判定及性質、相似三角形的判定及性質和勾股定理是解決此題的關鍵．二、填空題（共5小題，每小題3分）11.如圖，已知l1∥l2∥l3，直線AB分別交l1、l2、l3于A、M、B，直線CD分別交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝_________．【答案】5.4【解析】【分析】由題意利用平行線分線段成比例定理列出比例式，以此進行計算即可得出答案．【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∴，解得CN＝3.6，∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4故答案為：5.4．【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應用，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．12.下面4個圖是一根電線桿在一天中不同時刻的影長圖，試按其一天中發生的先后順序排列，正確的是_____．【答案】④①③②.【解析】【詳解】試題分析：北半球而言，從早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長．先后順序為④①③②．故選B．

點睛：本題考查平行投影的特點和規律.在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長.13.△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面積為5，那么∠A的度數是_________．【答案】60°或120°##120°或60°【解析】【分析】首先根據已知條件可以畫出相應的圖形，根據AC=5，可以求出AC邊上的高，再根據∠A的三角函數值可得∠A的度數，注意需要分情況討論．【詳解】解：當∠A是銳角時，如圖，過點B作BD⊥AC于D，∵AC＝5，△ABC的面積為5，∴BD＝5×2÷5＝2，在中，sinA＝＝＝，∴∠A＝60°．當∠A是鈍角時，如圖，過點B作BD⊥AC，交CA的延長線于D，∵AC＝5，△ABC的面積為5，∴BD＝5×2÷5＝2，在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝，∴∠BAD＝60°．∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．故答案為60°或120°．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是畫出合適的圖形，作出相應的輔助線．14.如圖，四邊形ABCD是矩形，A、B兩點在x軸的正半軸上，C、D兩點在拋物線y=-x2+6x上．設OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周長為l，則l與m的函數解析式為________________．【答案】【解析】【分析】根據二次函數的對稱性、矩形的性質和坐標與圖形性質求得AB與AD，再根據長方形的周長公式求解即可．【詳解】解：在由拋物線知對稱軸為直線x=，過頂點F作FE⊥OB，垂直為E．∵四邊形ABCD為矩形且C、D在拋物線上，∴EF垂直平分AB，AD⊥AB，∴AE=EB=OE-OA=3-m，即AB=2AE=2（3-m），又，∴矩形ABCD的周長為=2AB+2AD=4(3-m)+2()=，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數的性質、矩形性質、坐標與圖形，本題難度中等，主要考查學生對二次函數性質的掌握．這類題型，抓住矩形的性質確定各點坐標與拋物線的關系為解題關鍵，做這類題要注意數形結合思想的運用．15.如圖，已知動點A在函數y=（x＞0）的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點E，使AE=AC，直線DE分別交x軸，y軸于點P，Q，當QE：DP=9：25時，圖中的陰影部分的面積等于___．【答案】【解析】【分析】作DF⊥x軸于點F，EG⊥y軸于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到＝，設EG=9t，則PF=25t，然后根據△ADE∽△FPD，據此即可得到關于t的方程，求得t的值，進而求解．【詳解】解：作DF⊥x軸于點F，EG⊥y軸于G，∴△QEG∽△DPF，∴＝，設EG=9t，則PF=25t，∴A（9t，），由AC=AEAD=AB，∴AE=9t，AD=，DF=，PF=25t，∵△ADE∽△FPD，∴AE：DF=AD：PF，9t：=：25t，即t2=，圖中陰影部分的面積=×9t×9t+××=，故答案為．【點睛】本題考查了反比例函數y=（k≠0）系數k的幾何意義：從反比例函數y=（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為．也考查了相似三角形的判定與性質．三、解答題（共7小題）16.計算：（1）sin60°cos60°+sin45°cos45°﹣sin30°cos30°；（2）(x+1)2＝3(x+1)．【答案】（1）；（2）x1＝﹣1，x2＝2【解析】【分析】（1）將特殊角的三角函數值代入計算即可；（2）方程移項后，利用因式分解法求出解即可．【詳解】解：（1）原式＝＝＝；（2）（x+1）2＝3（x+1），移項：（x+1）2﹣3（x+1）＝0，因式分解得：（x+1）（x+1﹣3）＝0，化簡得：（x+1）（x﹣2）＝0，∴x+1＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝2．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值、一元二次方程-因式分解法，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值，和熟練掌握因式分解的方法．17.在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A(0，2)、B(1，3)、C(2，1)．（1）以點O為位似中心，在給定的網格中畫出△A'B'C'，使△A'B'C'與△ABC位似，且相似比為2；（2）△A'B'C'周長_________；（3）△A'B'C'的面積_________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）6【解析】【分析】（1）根據位似比為2,得對應點的橫縱坐標都乘以，在給定網格中可知只能畫出一個圖形；（2）分別把、、長度求出，相加即可；（3）采取割補法，由正方形的面積減去3個三角形的面積即可求出答案．【詳解】（1）如圖，△A'B'C'為所作；（2），，，，故答案為：；（3），故答案為：6．【點睛】本題考查圖形的位似、勾股定理以及求三角形周長與面積，根據位似比畫出位似圖形是解題的關鍵．18.九（1）班為準備學校舉辦“我的夢●美麗中國夢”演講比賽，通過預賽共評選出甲、乙、丙三名男生和A、B兩名女生共5名推薦人選．（1）若隨機選一名同學參加比賽，求選中男生的概率．（2）若隨機選一名男生和一名女生組成一組選手參加比賽，用樹狀圖（或列表法）表示所有可能出現的結果，并求恰好選中男生甲和女生A的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據簡單概率公式計算即可；（2）畫樹狀圖求概率即可【詳解】解：（1）共有5人，男生有3人，則隨機選一名同學參加比賽，選中男生的概率＝；（2）畫樹狀圖為：共有6種等可能的結果數，其中選中男生甲和女生A的結果數為1，所以恰好選中男生甲和女生A的概率＝．【點睛】本題考查了簡單概率公式求概率，樹狀圖法求概率，掌握求概率的方法是解題的關鍵．19.如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小明與同學們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°，沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數據：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求點B距水平地面AE的高度；（2）求廣告牌CD的高度．（結果精確到0.1米）【答案】（1）點B距水平地面AE的高度為5米；（2）廣告牌CD的高度約為6.7米【解析】【分析】（1）過點B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分別為M、N，由坡度的含義可求得∠BAM=30゜，由含30度角的直角三角形的性質即可求得結果；（2）由輔助線作法及已知得四邊形BMEN是矩形，可得NE=BM，BN=ME=MA+AE，在Rt△BMA中可求得AM的長，從而可得BN；再由∠CBN=45゜可得CN=BN，進而得CE的長；在Rt△DAE中由三角函數知識可求得DE，根據CD=CE?DE即可求得CD的長．【詳解】（1）如圖，過點B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分別為M、N，由題意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝5（米），即點B距水平地面AE的高度為5米；（2）∵BM⊥AE，BN⊥CE，CE⊥AE，∴四邊形BMEN為矩形，∴NE=BM=5米，BN=ME，在Rt△ABM中，∠BAM＝30°，∴AM＝（米），∴ME＝AM+AE＝（5+21）米=BN，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝（5+21）米，∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE?tan53°≈21×＝28（米），∴CD＝CE﹣DE＝5+26﹣28＝5﹣2≈6.7（米），即廣告牌CD的高度約為6.7米．【點睛】本題是解直角三角形的應用，考查了矩形的判定與性質，解直角三角形，關鍵是理解坡度的含義，構造適當的輔助線便于在直角三角形中求得相關線段．20.如圖所示，在邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D兩點的一動點，N是CD上一動點，且AM+CN＝1．（1）證明：無論M，N怎樣移動，△BMN總是等邊三角形；（2）求△BMN面積的最小值．【答案】（1）見解析；（2）△BMN面積的最小值為【解析】【分析】（1）連接BD，證明△AMB≌△DNB，則可得BM=BN，∠MBA＝∠NBD，由菱形的性質易得∠MBN=60゜，從而可證得結論成立；（2）過點B作BE⊥MN于點E．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接BD，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴∠ADB＝∠NDB＝60°，故△ADB是等邊三角形，∴AB＝BD，又AM+CN＝1，DN+CN＝1，∴AM＝DN，在△AMB和△DNB中，，∴△AMB≌△DNB（SAS），∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，又∠MBA+∠DBM＝60°，∴∠NBD+∠DBM＝60°，即∠MBN＝60°，∴△BMN是等邊三角形；（2）過點B作BE⊥MN于點E．設BM＝BN＝MN＝x，則，故，∴當BM⊥AD時，x最小，此時，，．∴△BMN面積的最小值為．【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，垂線段最短，全等三角形的判定與性質等知識，關鍵是作輔助線證三角形全等．21.龍華天虹商場以120元/件的價格購進一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出100件．為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存．經調查發現，這種上衣每降價5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．該商場要想每周盈利8000元，應將每件上衣的售價降低多少元？【答案】應將每件上衣的售價降低30元【解析】【分析】設每件上衣應降價x元，則每件利潤為（80-x）元，本題的等量關系為：每件上衣的利潤×每周售出數量-固定成本=8000．【詳解】解：設每件上衣應降價x元，則每件利潤（80﹣x）元，列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000＝8000，解得：x1＝30，x2＝25因為為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存，所以x＝30．答：應將每件上衣的售價降低30元．【點睛】本題考查了一元二次方程應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．22.如圖1，平面直角坐標系中，，反比例函數的圖象分別交矩形的兩邊，于、兩點（、不與重合），沿著將矩形折疊使、兩點重合．（1）____________（用含有的代數式表示）；（2）如圖2，當點恰好落在矩形的對角線上時，求的長度；（3）若折疊后，是等腰三角形，請直接寫出此時點的坐標．【答案】（1）；（2）2；（3）或【解析】【分析】（1）根據點A的坐標可得點E的縱坐