微觀粒子具有波粒二象性，物質波不代表實在的物理量的波動，是概率波。為定量描述微觀粒子的狀態，量子力學引入波函數（即概率波的數學函數式），用表示，一般是時空的復函數：一、波函數玻恩假定：波函數模的平方是粒子的概率密度，即：代表t時刻，粒子出現在空間r點處單位體積元中的概率。1、波函數的標準條件則在體積V內出現的概率體積dV內粒子出現的概率波函數的標準條件是：單值，有限，連續，歸一化統計詮釋要求，作為可以接受的波函數應滿足：自然條件：

單值、有限和連續；歸一化條件：2、波函數的統計解釋體積dV體積V3、波函數的疊加原理波函數的疊加原理是：波函數可線性疊加電子束的雙縫干涉

若

1和

2是描述粒子可能狀態的波函數，那么這兩個函數的線性疊加

＝C1

1+C2

2

也是一個波函數，它所描述的狀態是該粒子的另一個可能的狀態。二、薛定諤方程1926年奧地利的物理學家薛定諤在德布羅意波假說的基礎上建立了勢場中微觀粒子的微分方程。薛定諤認為：（1）微觀粒子的運動狀態用波函數

(x,y,z,t)描述，這個波函數應該是適用于微觀粒子的波動方程的一個解。（2）必須能滿足德布羅意波公式的要求。（3）必須是線性微分方程，即其方程的解必須能滿足疊加原理(因為物質波能夠干涉)。薛定諤1933年獲諾貝爾獎（2）勢能函數（1）拉普拉斯算符1、一般的薛定諤方程（在非相對論的）（3）引入哈密頓量算符空間函數=時間函數若要相等，兩邊應該均為與時間與空間無關的常數，設常數為Ｅ（即粒子的總能量，又稱為能量本征值）。２、定態的薛定諤方程

如果微觀粒子受到的作用勢能不隨時間變化，則可把波函數分離變量，寫為：為定態波函數。代入薛定諤方程，得：等式右邊：一維定態薛定諤方程微觀粒子在外勢場中作一維運動，這時該方程為等式左邊：定態薛定諤方程：3、薛定諤方程的討論薛定諤方程在量子力學中的地位與牛頓方程在經典物理中的地位相當。

薛定諤方程不是實驗規律的總結，而是量子力學的一個基本假定，由實驗驗證。薛定諤方程的局限：非相對論；狄拉克：相對論形式。薛定諤方程揭示了微觀粒子的運動規律。例將波函數在空間各點的振幅同時增大D倍,則粒子在空間的分布概率將

(A)增大Ｄ２倍(B)增大2D倍(C)增大D倍(D)不變解：選D，因為整個場中各點波振幅同時增大D倍，對于概率分布無影響。1、一維定態薛定諤方程阱內：(0＜x＜a)阱外：(x<0orx>a)勢函數：無限深勢阱一、一維無限深勢阱定態薛定諤方程為：標準化條件：波函數連續可得邊值條件

令其通解可寫為：再加上邊值條件由（2）式得B=0；由（3）式得Asinka=0，因此：波函數為：歸一化條件：一維無限深方勢阱中粒子的定態波函數為：2、方程解的討論1）處在勢阱中的微觀粒子，其德布羅意波只能是駐波。要穩定，必為駐波，波長須滿足概率密度２）概率密度分布規律概率密度波函數3）能量本征值的討論能量量子化：能量取特定的分立值（能級），整數n叫主量子數。零點能不為零是微觀粒子波動性的必然結果。自然地得出能量的量子化條件,而無須象普朗克與玻爾那樣人為地假定。最低能量（零點能）：最低能量（零點能）只能為：粒子去哪兒了？能級間距能級間距與粒子質量和阱寬的平方成反比。若微觀粒子被限制在原子尺度內運動，能量的量子化是很顯著的，因此必須考慮量子性：

如果是微觀粒子若其在自由空間運動（相當于阱寬無窮大），其能級間距就非常小，就可認為能量的變化是連續的；如果是宏觀粒子，在宏觀尺度來講完全可以忽略其差異而認為能量的變化是連續的。3）玻爾對應原理：量子化連續如果是宏觀粒子，在較小尺度的空間里，也可以忽略其差異而認為能量的變化是連續的；能量足夠高時，粒子的概率密度在勢阱趨于一致，退化為經典圖像。例一粒子被限制在相距為l

的兩個不可穿透的壁之間，如圖所示，描寫粒子狀態的波函數為

=cx(l-x)

其中c為待定常量，求在區間（0~l/3）發現該粒子的概率。解：先由波函數的歸一化條件來確定c由此解得則在區間（0~l/3）內發現該粒子的概率為一、氫原子的薛定諤方程氫原子中電子的勢能函數由于U只是r的函數，不隨時間變化，故也是一個定態問題，故其薛定諤方程為：由于勢能函數只是r的函數，且具有球形對稱，故改寫為球坐標形式的薛定諤方程：由于是定態問題(是駐波），對波函數進行變量分離，令：將其代入上，并運用待定系數的方法，經整理可得三個分別只含的三個常微分方程，即：解方程的結果，只有讓三個待定系數取某些特定的值，方程才有可接受的解，由此可得到描述粒子運動狀態的三個重要的量子數：主量子數n，角量子數l，磁量力數ml

1、能量量子化（主量子數n）

二、方程解的物理意義主量子數（n=1,2,3,…..）：決定氫原子的能量取值。與玻爾的結論一致若E>0，即Ek>

V

：電子不受氫核的束縛，為自由電子，能量連續。若E<0，即Ek＜

V

：根據其波函數必須滿足的標準條件，解（3）式得氫原子系統的能量：2、角動量量子化（角量子數l）解上述方程可得軌道角動量的大小為：說明軌道角動量L的大小是量子化的，式中l是角量子數。計算表明：當主量子數n確定后，角量子數可取

l=0，1，2，3，…，(n-1)角動量L共有n個分立的值。玻爾理論不同在光譜學中常用spdf……等字母，分別表示l=0,1,

2,3,…..,

(n-1)電子的狀態。例如，n=2,l=0,1就分別稱之為2s態和2p態。3、角動量空間量子化（磁量子數ml

）計算表明：軌道角動量的大小是量子化的，而對于一個給定的角動量L其在z軸方向的投影Lz也是量子化：ml稱為磁量子數：決定了軌道角動量在空間的可能取向。四、簡并現象簡并態簡并度簡并現象：同一能量的粒子可取若干個不同的運動狀態的現象。簡并態：指不同的運動狀態的粒子，對應于同一能級的狀態。簡并度：指一個能級所能允許的不同的狀態數。例如：氫原子中電子的簡并度在一個給定的能級n，角動量大小有n個可能取值：對應每個角動量大小又有2l+1個可能取向：例按照量子力學計算：(1)氫原子中處于主量子數n=3能級的電子，軌道角動量可以取哪些值？(2)若氫原子中電子的軌道角動量為，則其在外磁場方向分量的可能取值有哪些？

答：依據角動量大小的計算結果：答：依據角動量大小的計算結果：能量量子化的實驗基礎：原子光譜為分立的線狀光譜。角動量量子化如何驗證呢？斯特恩-蓋拉赫實驗一、軌道磁矩與軌道角動量的關系原子角動量量子化原子磁矩的量子化理論聯系電子的橢圓軌道運動的等效圓電流為：電子原子核T為電子作橢圓軌道運動的周期。電子的軌道磁矩：I為等效圓電流；A為橢圓面積。電子繞核作橢圓運動電子原子核電子的軌道運動的橢圓面積為：其中角動量；轉動慣量為?？紤]到電子形成等效電流方向與電子運動方向反向，故磁矩與角動量方向反向，所有矢量關系為：角動量取向量子化由角動量在外場方向（z軸）的投影分量量子化來描述，即：，所以軌道磁矩在z軸上的投影為：波爾磁子：電子的軌道磁矩取向的量子化：電子的軌道磁矩大小的量子化：在量子力學中，可知電子軌道角動量大小是量子化的，那么軌道磁矩的大小也是量子化的。二、斯特恩-蓋拉赫實驗

軌道磁矩取向量子化的驗證→角動量取向量子化的證據電磁學中已經說明，一般取與磁場垂直的方向為勢能零點，那么磁矩與磁場夾角為θ

時的勢能為：磁場方向如果磁場在z軸方向不均勻，那么磁矩在z軸方向的受力為：z軸方向的位移為：高溫爐幾個斑紋就有幾個磁矩的取向，也就對應幾個角動量取向。斑紋斑紋數=2l+1z軸方向的位移為：磁矩角動量三、斯特恩-蓋拉赫實驗結果與討論1、對于Zn、Cd、Hg、Sn等原子，射線無偏轉，斑紋條數為1，說明角量子數l=0，總角動量為0。2、對于基態氧原子，斑紋條數為5，說明角量子數l=2，角動量有5個取向，即：ml=0,±1,±2

。3、斯特恩-蓋拉赫實驗結果證實了軌道磁矩取向是量子化的，間接證明了角動量取向是量子化的。高溫爐斑紋數=2l+1=24、對于Li、Na、K、Ag、Cu等原子，斑紋條數為2。l=1/2?1943年諾貝爾獎斯特恩斯特恩-蓋拉赫的原始實驗中，以銀原子蒸汽做的實驗，當時實驗者光測到兩條斑紋，他們就得出角動量量子化的結論?，F在我們知道還需深入考慮？高溫爐銀原子一、實驗上的證據1、氫原子光譜的精細結構關于精細結構的理論探索：索末斐的理論：修正氫原子模型1）原子質量不是無限大電子并不是繞固定不動的原子核轉動，而應該是原子核和電子繞著他們的共同質心轉動。2）電子繞核運行的軌道是橢圓。1891年，麥克爾遜通過更精確的實驗發現，原子光譜的每一條譜線，實際上是由兩條或多條靠得很近的譜線組成的。這種細微的結構稱為光譜線的精細結構。泡利的理論：角量子為1/2，沒能給出物理解釋。氫原子光譜的精細結構2、基態銀原子的斯特恩-蓋拉赫實驗高溫爐銀原子用處于基態的銀原子作實驗時，由于l=0，故ml＝0，原子束不應有分裂，但實驗發現銀原子束分裂成兩束，改用處于基態氫原子束做實驗，同樣發現原子束分裂成兩束。處于基態的原子l=0，所以電子軌道角動量為零：所以磁矩為零，但實驗測得銀原子束分裂成兩條，即有磁矩，且在空間是量子化的，如何解釋呢?

1925年，荷蘭物理學家烏侖貝克和高斯米特，針對上述實驗提出了電子自旋的假說：二、電子自旋與自旋軌道耦合電子總角動量：軌道角動量自旋角動量1）自旋角動量的大小是量子化的，只能取一個確定的值：2）自旋角動量的方向是量子化的，只能取兩個可能的方向：自旋角量子數自旋磁量子數1、電子自旋2、自旋軌道耦合以電子為參考系，原子核繞電子作圓周運動，產生磁場，電子自旋磁矩與磁場相互作用，具有能量，使得同一個角量子數的能級分裂為j=l±1/2的兩個能級：1）角量子數等于0，即：l=0，不考慮自旋軌道耦合：雖然軌道角動量為0，所以軌道磁矩為0，但存在自旋角動量，故有自旋磁矩，所以基態銀原子的斯特恩-蓋拉赫實驗中，原子束在非均勻磁場中將分裂成兩條。2）角量子數不等于0，即：l=1,2,…,(n-1)自旋軌道耦合導致能級分裂成兩條，依據電子的能級躍遷頻率假設，所以原來的單條譜線是由兩條或多條譜線組成的。自旋軌道耦合引起的能量差很小，所以躍遷產生的頻率或波長差也是很小的，但用比較精密的光譜儀還是容易觀測到的。這樣形成的光譜線組合叫光譜的精細結構。主線系漫線系三、描述原子核外電子的狀態的量子數總結1、主量子數n：n=1,2,3,……

２、角量子數l：l=0,1,2,……,(n-1)

３、磁量子數ml：ml=0,±1,±2,……,±l

５、自旋磁量子數ms：ms=±1/2決定原子系統能量的可能取值：決定電子軌道角動量的可能取值：決定電子軌道角動量在空間的可能取向：決定電子自旋角動量在空間的可能取向：４、自旋角量子數s：s=1/2

決定電子自旋角動量的可能取值：由于自旋角量子數是確定的，所以電子的運動狀態僅由四個量子數決定，即：簡并性質：對于同一個主量子數n，電子可能具有的運動狀態數為2n2個，簡并度為2n2。費米子與玻色子：

費米子：?/2的奇數倍的自旋量子數，如中子、質子、電子；

玻色子：?/2的偶數倍的自旋量子數，如光子、介子等。1、主量子數n：n=1,2,3,…… ２、角量子數l：l=0,1,2,……,(n-1) ３、磁量子數ml：ml=0,±1,±2,……,±l

４、自旋磁量子數ms：ms=±1/2例直接證實了電子自旋存在的最早的實驗之一是［］

(A)康普頓實驗(B)盧瑟福實驗

(C)戴維孫－革末實驗(D)斯特恩－革拉赫實驗例在原子中電子具有的四個量子數(n，l，ml，ms)是

(1)(2，0，1，1/2)(2)(2，1，0，1/2)(3)(2，1，1，1/2)(4)(2，1，-1，1/2)

以上四種取值中，哪些是正確的？［］

(A)只有(1)、(2)正確(B)只有(2)、(3)正確

(C)只有(2)、(3)、(4)正確(D)全部正確例原子內電子的量子態由n、l、ml和ms四個量子數表征。當n、l、ml一定時，不同的量子態數目為_______；當n、l一定時，不同的量子態數目為_______；當n一定時，不同的量子態數目為_______。

答：2,2×(2l+1),2n2

CD一、原子的殼層

存在多種相互作用：

原子核與電子的相互作用；電子間的相互作用；電子自旋軌道耦合相互作用。量子力學無法嚴格求解，在獨立粒子近似，仍可用四個量子數來描述電子狀態。1916年柯賽爾提出原子核外電子的殼層分布模型：

1）主量子數相同的電子組成一個主殼層主量子數n1234567光譜學表示KLMNOPQ2）主量子數相同，角量子數不同的電子組成一個支殼層角量子數l0123456光譜學表示spdfghi殼層的形象化描述K主殼層：僅由一個s支殼層組成。L主殼層：包括一個s支殼層和一個p支殼層。M主殼層：包括一個s支殼層、一個p支殼層和一個d支殼層。二、電子在原子殼層中的填充規則1925年奧地利物理學家泡利在仔細分析了原子光譜及光譜在外磁場中分裂的塞曼效應之后指出：基態原子核外的電子如何在殼層內排布的呢?1、泡利不相容原理

一個原子中不可能有兩個或兩個以上的電子處在同一量子狀態，具有完全相同的四個量子數(n,l,ml,ms)。

-----------泡利不相容原理

依據泡利不相容原理，不同主殼層或支殼層最多可容納的電子數為：主殼層：支殼層：原子中各殼層和分殼層可容納的最多電子數（2）進一步的研究表明，泡利不相容原理只對費米子成立而對玻色子不成立。備注：（1）在鉀（Ｋ，z=19）之后，原子的能量由n和l共同決定，此后原子殼層實際可容納的電子數與上表不同。

l

n0s1p2d3f4g5h6iZn=2n21K2L3M4N5O6P7Q22222226666661010101010141414141818182222262818325072982、能量最低原理

原子系統處于正常狀態時，每個電子都趨向于占居最低能級。

-----------能量最低(小)原理原子系統的能量主要由主量子數決定，且不同角量子數，其能量也稍有不同，一般原則：

原子在元素周期表中的原子序數不太大的情況下，主量子數n越小，能量越低，而且當n一定時，角量子數l越小，能量越低。

存在反常情況：當n>4時，會出現先填充n較大的l較小的支殼層。我國科學工作者總結出實用規律：

判據：n+0.7l，這個值越大，能量越高。填充次序：1s,2s,2p,3s,3p,[4s,3d],4p,[5s,4d],5p,[6s,4f,5d],6p,[7s,5f,6d].三、電子組態的書寫規則主量子數用數字表示，角量子數用光譜學符號表示，支殼層排布的電子數用上標表示。書寫順序按能量最低順序書寫，太長時通常只寫最外兩至三層，例如：Na（Z＝11）的電子組態：M殼層(n=3)s支殼層l=0，ml=0，ms=1/23s11s22s22p63s1可簡寫為：2p63s1

K主殼層(n=1)s支殼層l=0，ml=0，ms=1/2

1s2電子組態表示為L主殼層(n=2)s支殼層l=0，ml=0，ms=1/2

2s2