第八章平面解析幾何第五節橢圓·考試要求·掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質．必備知識落實“四基”

自查自測知識點一橢圓的定義1．判斷下列說法的正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(

)(2)到點F1(1，0)，F2(－1，0)的距離之和等于2的點的軌跡是橢圓．(

)××

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核心回扣1．平面內與兩個定點F1，F2的________________________________的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．2．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數．(1)若a>c，則點M的軌跡為______．(2)若a＝c，則點M的軌跡為______．(3)若a<c，則____________．距離的和等于常數(大于|F1F2|)橢圓線段點M不存在

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核心回扣橢圓的標準方程和幾何性質標準方程圖形

標準方程

性質范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b_____________________對稱性對稱軸：_________對稱中心：_________頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)__________________________________________

坐標軸原點B1(－b，0)，B2(b，0)－b≤x≤b，－a≤y≤aA1(0，－a)，A2(0，a)，標準方程

性質軸長軸A1A2的長為______；短軸B1B2的長為______焦距|F1F2|＝2c離心率e＝_______________a，b，c的關系a2＝_________

2a2bb2＋c2

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√核心考點提升“四能”

橢圓的定義及應用【例1】(1)一動圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內切，那么動圓的圓心P的軌跡是(

)A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．雙曲線的一支√A

解析：設動圓P的半徑為r，又圓A：(x＋1)2＋y2＝1的半徑為1，圓心A(－1，0)，圓B：(x－1)2＋y2＝64的半徑為8，圓心B(1，0)，則由題意分析可知|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，|AB|＝2，可得|PA|＋|PB|＝9.又9>2＝|AB|，則動圓的圓心P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為9的橢圓．

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橢圓定義的應用技巧(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程，求與橢圓相關的周長、面積、弦長的最值等．(2)橢圓的定義常和余弦定理、正弦定理結合使用，求解關于焦點三角形的周長和面積問題．

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求橢圓標準方程的主要方法(1)定義法：先根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義，并確定a2，b2的值，再結合焦點位置寫出橢圓方程．特別地，利用定義法求橢圓方程要注意條件2a＞|F1F2|.(2)待定系數法：利用待定系數法要先定形(焦點位置)，再定量，即首先確定焦點所在的位置，然后根據條件建立關于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，可設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．

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求橢圓離心率(范圍)的方法(1)求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，再除以a2，轉化為含有e的方程(或不等式)求解．

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與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質．(2)利用函數，尤其是二次函數．(3)利用不等式，尤其是基