3.2導數在函數單調性、極值中的應用

思維導圖

知識點總結

利用導數解決單調性問題

本考點以考查導數的運算以及導函數值與函數單調性之間的關系為主，其中

含有參數的函數的單調性問題是高考的熱點.

1.函數./U）的單調性與導函數/（工）的正負之間的關系

（1）在某個區間3,份上，如果f（x?o,那么函數），=/U）在區間3,加上單調

遞增；

（2）在某個區間3,份上，如果絲KQ,那么函數y=/U）在區間（。，與上單調

遞減.

2.用充分必要條件詮釋導數與函數單調性的關系

⑴在區間m,切內，/（幻＞03（幻＜0）是危）在區間（。，份上單調遞增（減）的充

分不必要條件.

（2/x）20（nx）W0）在區間（%。）內恒成立是7W在區間（%。）上單調遞增（減）

的必要不充分條件.

◎）若火幻在區間（樂坊的任意子區間上都不恒等于零，貝ij/a）》o（fa）wo）

是yu）在區間m,份上單調遞增（減）的充要條件.

利用導數解決極值與最值問題

1.函數的極值與導數

/5）=0

條件劭附近的左側/（］）*附近的左側/a）

＞0,右側/（J-X0V0,右側/（x）＞0

極值/Co）為回極大值/口0）為國極小值

極值點「＜）為題極大值點.門為畫極小值點

2.函數的最值與導數

（1）函數./U）在區間m,以上有最值的條件

如果在區間m,一上函數y=/U）的圖象是一條連續不斷的曲線,那么它必有

最大值和最小值.

（2）求y=/U）在區間團，加上的最大（小）值的步驟

①求函數y=/W在區間（。，加上的極值;

②將函數y=/U）的各極值與端點處的函數值數。），負切比較,其中最大的一

個是最大值，最小的一個是最小值.

典型例題分析

考向一求函數的單調區間（不含參數）

例1函數火X）=。-3H.的單調遞增區間是（）

A.（一8,2）B.（0,3）

C.（1,4）D.（2,+8）

答案D

解析=U-3)V+(x-3)(cr)r=(x-2)eA,令/(x)>0,解得x>2.所以單調

遞增區間為(2,+-).

確定函數單調區間的步驟

⑴確定函數.")的定義域.

(2)求/(%).

(3)解不等式了。)>0,解集在定義域內的部分為單調遞增區間.

(4)解不等式解集在定義域內的部分為單調遞減區間.

考向二討論含參函數的單調性

例2已知函數人工)=or+lnx(aeR),求函數人工)的單調區間.

1+1

解由已知得/(力=。；=——U>0),

①當。20時，由于.》(),故(?>(),函數/5)的單調遞增區間為

(0,+OO).

②當。<0時，令，(幻=0,得戶-5?在區間(0,-3±,fW>0；在區間

(-幺+8)上，,㈤<o.函數府)的單調遞增區間為(0,-力，單調遞減區旬為

C'+8).

1.(1)研究含參數的函數單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類

討論.

(2)劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為。的

點和函數的間斷點.

2.個別導數為()的點不影響所在區間的單調性，如=/W=3^>

0(/'(x)=0在/=0時取到)，段)在R上是增函數.

考向三函數單調性的簡單應用

例3（多選）定義在（0,號上的函數於），已知/⑴是它的導函數，且恒有cos

xf（x）+sin歡x）V0成立，則（）

A?附＞啦府）B.也府）＞艱

C.4）〉小局D.&尋小周

答案CD

f（x）（兀、f（x）cosx+f（x）sinx

解析構造函數g（?=彳懸可?則g'a）=-------訴h-------＜（）,

即函數且⑴在（o,習上單調遞減，所以惡＞ge），所以冏＞4竭，同理，g《l

＞g胤即7竭＞仍局.故選CD.

以抽象函數為背景、題設條件或所求結論中具有“兀0土g。），yu）ga）,

f（x）

九了”等特征式，旨在考查導數運算法則的逆向、變形應用能力的客觀題，是

近幾年高考試卷中的一位“常客”，常以壓軸題小題的形式出現，解答這類問題

的有效策略是將前述式子的外形結構特征與導數運算法則結合起來,合理構造出

相關的可導函數，然后利用該函數的性質解決問題.

考向四利用導數解決函數的極值問題

例4如圖所示是函數），二次工）的導數的圖象，給出下列四個結論:

①/U）在區間（-3,1）上是增函數；

②A?在區間（2,4）上是減函數，在區間（-1,2）上是增函數；

③1是40的極大值點；

④-1是人工）的極小值點.

其中正確的結論是（）

A.①③B.②③

C.②③④D.②④

答案D

解析由題意，得-3vxv-l或2vxv4時，/(x)vO；-lvxv2或x

>4時，/?>(),故函數尸兀E)在(-3,-1)和(2,4)上單調遞減，在(-1,2)

和(4,+8)上單調遞增，-1是/氏)的極小值點，2是4E)的極大值點，故②④正

確.

函數極值問題的常見類型及解題策略

(1)已知導函數圖象判斷函數極值的情況.先找導數為0的點，再判斷導數

為0的點的左、右兩側的導數值符號.

(2)已知函數求極值.求/Q)f求方程/1)=0的根一列表檢驗/'⑴在/Q)=0

的根的兩側的符號一得出結論.

(3)已知極值求參數.若函數府)在點(皿聞處取得極值，貝1J/5))=0,且

在該點左、右兩側的導數值符號相反.

考向五利用導數求函數的最值

例5已知函數負x)=evcosx-x.

(1)求曲線)，=/U)在點(()，八()))處的切線方程；

(2)求函數兒丫)在區間［。，3上的最大值和最小值.

v

解(l)Vy(x)=ecosx-xI

/.y(0)=I,/(x)=cv(cosx-sinx)-1,

(0)=0,?,.曲線y=yw在(0,m))處的切線方程為"1.

=ex(cosx-sin.￥)-1,

令g(x)二/⑴，則g'(x)=-2cAs巾1&0在在，］上恒成立，且僅在x=0處等

號成立,

???g(x)在［o,目上單調遞減，

.?.g(x)<g(O)=O,.?/(x)WO且僅在x=O處等號成立，」.危)在［(),耳上單

調遞減，

?\/(X)max=./(O)=1.7(X)min=，］)=~2'

求函數/U)在［凡〃上的最值的方法

(1)若函數在區間［%句上單調遞增或遞減，則犬。)與八與一個為最大值，一

個為最小值；

(2)若函數在區間［〃，例內有極值，則要先求出函數在［。，加上的極值，再與

、/(4),./(〃)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；

(3)函數、”)在區間3,6上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)

值點，此結論在導數的實際應用中經常用到.

提醒：求函數在無窮區間(或開區間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還

要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖

象觀察得到函數的最值.

考向六利用導數求解函數極值和最值的綜合問題

例6甲、乙兩地相距400千米，一汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得

超過100千米/時.已知該汽車每小時的運輸成本/(元)關于速度M千米/時)的函

數關系式是=]920(/一須~+15x

(1)當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為多少元？

(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大速度行駛？并求出此時運輸成本

的最小值.

解(1)當汽車以60千米/時的速度勻速行駛時，全程運輸成本為常

乂(而某X604—擊X6。、15X60)=1500元。所以當汽車以60千米/時的速度

勻速行駛時，全程運輸成本為1500元.

(2)設全程運輸成本為/(幻元，則於)二竿(代|而/-加+15,=宗-|必

1°x(x-80)

+6000(0<v<100),f(X)=—X2-5X=---正一，令八x)=0,解得x=80,

當04<80時，/(x)<0,當804W100時，/(x)>0,所以函數於)在(0,80)

上單調遞減，在(80,100］上單調遞增，所以人幻的最小值為18())=竽.所以為

使全程運輸成本最少，汽車應以80千米/時的速度行駛，此時運輸成本取得最小

值丁兀.

1.解決函數極值、最值綜合問題的策略

(1)求極值、最值時，要求步驟規范，含參數時，要討論參數的大小.

(2)求函數最值時，不可想當然地認為極值點就是最值點，要通過比較才能

下結論.

(3)函數在給定閉區間上存在極值，一般要將極值與端點值進行比較才能確

定最值.

2.利用導數解決生活中優化問題的一般步驟

(1)設自變量、因變量，建立函數關系式)，=.危)，并確定其定義域.

(2)求函數的導數/(x),解方程/(#=0.

(3)比較函數在區間端點和極值點的函數值的大小，最大(小)者為最大(小)值.

(4)回歸實際問題作答.

基礎題型訓練

一、單選題

1.定義在R上的連續可導函數/("，當XH0時，滿足r(x)+組立>0,則函數

g(x)=f(M+(的零點的個數為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】構造〃(力=f/(力,求導，根據題意可得人(力的單調性,g(x)=〃x)+)的零點

X

個數轉化為y=〃a)與0)的交點個數，畫出簡圖即可求解.

【詳解】解：由/'(力+組U>0可得『/F)：2"⑻>0,即Wr(x)+2獷(力>0,

XX

所以[//(%)]'>0.

令〃("=x2f(x),則〃(x)在(7),0卜(0,轉)上單調遞增.

令g(x)=/(x)+’=0,則XV(X)=T.

所以g(x)=/(x)+!的零點個數為方程〃(x)=T的根的個數，即)，=力(工)與y=T(，-0)

X

的交點個數.

作出簡圖(如圖所示)，

由圖可知y=/?(%)與y=-x(x力0)的圖象沒有交點.

所以函數g(x)=/(x)+，的零點的個數為0.

X

故選:A.

2.若函數/(x)=hu?-辦在區間(3,4)上有極值點，則實數〃的取值范圍是()

A.陷B.件+8)C.[11]D./

【答案】D

【分析】根據極值點的概念，轉化為導函數有零點求參數范圍問題

【詳解】由已知得/'(1)=上竺，若函數/("=欣-如在(3,4)上有極值點，貝打―仆=0在

.1

xc(3,4)上有解，即％=56(3,4),解.得;<〃<；.

故選：D

3.若函數凡丫)=3+江+.1既有極大值又有極小值，則。的取值范圍是()

A.(―8,—75)B.(―8,—75)U(x/3?+°°)

C.(―G，y/3)D.(百，十8)

【答案】B

【分析】求出導函數用勾，根據函數小)=3+d+工既有極大值乂有極小值，則函數/")

有兩不同的零點，即A〉。，從而可得答案.

【詳解】解：/'(刈=3/+*+1,

因為函數危)=3+aF+x既有極大值又有極小值，

所以函數/'(X)=3/??1有兩不同的零點，

即△=44-12>0，解得〃>6或〃<-石,

所以4的取值范圍是(-8,—x/3)U(x/3,+°°).

故選：B.

4.我國著名數學家華羅庚先生曾說：數缺形時少直觀，形缺數時難人微，數形結合百般好,

隔裂分家萬事休.在數學的學習和研窕中，常用函數的圖像研究函數的性質，也常用函數的

【分析】利用排除法求解，先判斷函數的奇偶性，再判斷函數的單調性即可

【詳解】解：函數的定義域為｛x\x￥0),

因為〃_幻=冷=誓=八幻，

|-x||x|

所以函數為偶函數，其圖像關于y軸對稱，所以排除BC,

當x>0時，/(x)=@三，則=―少，

XX

當Ovxve時，/(.r)>0,當時，/(.r)<0,

所以f(x)在(0,c)遞增，在(e,+8)上遞減，

所以排除D,

故選：A

5.己知函數f(%)的定義域為R,對任意的xeR,有/(x)+r(x)>0,則()

A.^(1)>/(0)B.^(1)</(0)

C.//(])</(_])D./川)=/㈠)

【答案】A

【分析】構造函數g(?=/(x)e，求導分析單調性即可比較大小.

【詳解】令g(x)=/(x)e',有<3=[外力+"”上>0,

可得困數g(x)在K上單調遞增，有g(l)>g(。)，

得力(1)>八0),又有g(l)>g(一1),

有￥⑴有e2f

故選：A

6.已知f(x)是定義在R上的函數，/(x)是“力的導函數，滿足:<f(x)+(l+l)r(x)>0,

且/⑴=9則不等式/(I)>K下的解集為()

Z41c十11

A.(-1,1)B.(^O,-1)U(1,-KO)C.(-oo,-l)D.(1，鈣)

【答案】D

【分析】構造函數g*)=(e'+l)/(x)，利用導數求得g(”的單調性，由此求得不等式

〃幻>或t的解集?

2(/+1)

【詳解】令g(x)=(，+i)/a),則g'*)=，/(x)+e+i)r(x)>o,

所以g(x)在R上單調遞增，不等式/(X)>2(7+1)可化為("+1)fM>寸，

而/⑴=g,貝ljg(l)=(e+l)〃l)=^l,即g(x)>g(l),

所以x>l,即不等式解集為(1,+00).

故選：D

二、多選題

7.已知定義在R上的函數.f(x),其導函數尸("的大致圖象如圖所示，則下列敘述不正確

的是()

A.仆)>/'(e)>/'(")

B.函數f(x)在句上遞增,在也詞上遞減

C.函數/(力的極值點為Je

D.函數“X)的極大值為了傳)

【答案】ABD

【解析】對A,B由導數與函數單調性的關系，即可判斷〃口，/(力，/(c)的大小以及/(.r)

的單調性，對C,D由極值的定義即可判斷.

【詳解】解：由題圖知可，當X?YO,C)時，制勾>0,

當xw(c,e)時，r(x)<0,當x?e,+oo)時,>0,

所以“X)在(f?上遞增，

在(c,e)上遞減，在伍”)上遞增，

對A,/(J)>/(e),故A錯誤；

對B,函數〃力)在可上遞增,在He］上遞增,在［c,d］上遞減,故B錯誤;

對C,函數/(x)的極值點為c,0故c正確；

對D,函數/(力的極大值為/(c),故D錯誤.

故選：ABD.

8.已知奇函數/(x),xeR,且/(1)=/(兀一x),當kw仇?時，/'(x)cosx+/(x)sinx>0,

當x-時，△2-2,下列說法正確的是()

2cosx

A./(x)是周期為2兀的函數

B.犯是最小正周期為2兀的函數

COSX

C.以立關于但,()］中心對稱

cosx>

D.直線尸米與叢。若有3個交點，則

cosxI3乃5萬」［_5乃3;zJ

【答案】AC

【分析】根據奇函數xeR,且/")=/(兀-力，可確定函數f(x)的周期,即可判

斷A；設*(x)=綏確定函數g(?的奇偶性與對稱性即可判斷函數B,C；根據

「Q

r(x)cosx+/(x)sinx>0可判斷函數g(x)在xc0,-上的單調性，結合對稱性與周募性即

可得函數g(x)的大致圖象，根據直線，=心與左。若有3個交點，列不等式即可求女的取

COSX

值范圍，即可判斷D.

【詳解】解：因為/。)=/(兀一"，所以“X)的圖象關于對稱，乂因為“X)為奇函

數，所以/(力=一/(一切，貝1」/(兀+司=/(一切=一/(力，

則“2兀+x)=—〃x+兀)=〃x),故/(x)是周期為2兀的函數，故A正確；

設g(x)="U,其定義域為-g+2E,g+2E，&wZ,則

COSA-I2L)

g(H+g(…)二旦駕八尸)止)+2^_=0,所以g(x)關于］5，。］中心對稱，即

COSXCOS(兀-x)COSX-COSX\2)

坦關于(￡，o］中心對稱，故C正確;

cosx12/

又g(―)=d(3)=-4?=七(X)，所以g(x)為上的奇函數，結合g(x)+g(兀一力二0可

得一g(-x)+g(兀-x)=0，艮Pg(_x)=g(兀_工)

故忠是周期為兀的函數，故B錯誤；

COSX

當xjo,"所以短(X)二.(x)cosx：/(x)sinx>0,故g(x)在x上單調遞增，由

L2)cosxL2)

于g(x)關于與。)中心對稱，所以g(“在內仁"上單調遞增，

且當Kfg時，&-2,又函數g(x)的周期為兀，則可得g(x)大致圖象如下：

zcos.X

故選：AC.

三、填空題

9.若函數/(x)=lnx-q在U,e］上的最小值為：，則實數。的值為

【答案】-G.

【詳解】試題分析：貨，(1)當2o時，函數戶E在［L。］上為增函數，

XXX

■

最小值為門M二=：，則q=■1，矛盾舍去；(2)當q,：0時，/x)〉0,則xe(-〃,+co),

/■

此時,(x)為增函數；力<0,則xc(o,—4),此時函數,(X)為減函數.當04-0工1，

即一1三a＜0時，則函數,I門在［l，e］為增函數，所以.八」的最小值為=3則

矛盾舍去；當1＜一。冬,，即-，&。＜一1時，則函數fix）在為減函數，

在l-ae）為增函數，則/（xl的最小值為4-G=lnl-al7=j解得：a=$滿足

■

條件；當一即時，則函數fW在［1.4為減函數，則戶田的最小值為

t=j——=—,解得：cz=—?矛盾舍去.綜上，。=.

考點：1.導數在函數中的應用；2.分類討論的思想與方法.

【易錯點晴】本題主要考查的是導數在函數中的應用，屬于中檔題.若求函數的最小值，必

然找函數的增減性，屬于需要求函數的導數.因為導數中含有參數。，則對。進行分類討

論.另外在求解過程中，需要注意求出的。值是否滿足前提，否則很容易出現錯誤.

10./（A）=-1V3+1X2+2^,若/（x）在住,+8）上存在單調遞增區間，則〃的取值范圍是

（1、

【答案】-丁+8

【分析】分析可知，3xe■|，+8），使得4＞3（/7）,求出函數y=-X）在停+00上

的值域，可得出實數。的取值范圍.

【詳解】因為/（幻=一:/+1/+2?，則/（6=一￡一不+幼，

有已知條件可得:3xeR,+x］,使得/料＞0,即空;（丁7）,

當T（…＞巡）4=$所以a＞］.

（1）

故答案為：一汗，+8.

I97

11.己知函數“X）的定義域為［-1.5］,其部分自變量與函數值的對應情況如表：

X-10245

“X)312.513

“X）的導函數r（x）的圖象如圖所示.給出下列四個結論:

①f(X)在區間［-1,0］上單調遞增;

②/(“有2個極大值點；

③/("的值域為［1,3］；

④如果代上,5］時，/(x)的最小值是1,那么，的最大值為4.

其中，所有正確結論的序號是.

【答案】③④

【分析】畫出函數圖象，數形結合作出判斷.

【詳解】根據函數/("的導函數/'(X)的圖象與表格，整理出函數/(x)的大致圖象，如圖

所示.

_±n_Lu

-1\O245X

對于①，/(“在區間［-1，。］上單調遞減，故①錯誤；

對于②，/(可有1個極大值點，2個極小值點，故②錯誤；

對于③，根據函數/(力的極值和端點值可知，/("的值域為［1,3］,故③正確；

對F④，如果工目/,5］時，/("的最小值是1,那么/的最大值為4,故④正確.

綜上所述，所有正確結論的序號是③④.

故答案為：③④

14

12.已知曲線C：—+—=1,點尸是曲線。上的一點，則點。到坐標原點的距離的最小值

是.

【答案】3

【分析】設點P*o,%），得出>02=苧7，從而得出點P到坐標原點的距離d=

結合導數求出最小值即可.

14

【詳解】設點P（x。,%）,則有不+下=1,

X。）0

所以為2=答'E〉D

點P到坐標原點的距離d=&+%2=

設f=/2，=(r>l),

/-1

4(7-1)-4/(/+1)(/-3)

則/'?)=1+

(-1)2(一)2

在（1,3）上,f'QXO,在（3,+8）卜..尸⑺>0,

4/

所以削,口在”3時有最小值/⑶=9,

所以d=%的最小值為?=3.

故答案為：3

四、解答題

13.已知函數/"）=工111工一4[2一]）+4.

⑴若/（x）單調遞減，求。的取值范圍；

（2）若/。）有兩個極值點看,看且%>3%,證明：c"）x；￡>3上

【答案】（1）].+8]

⑵證明見解析.

【分析】（1）由題知生乎42a在（0,y）恒成立，進而雙幻=如—a>0）,求解最大值即

可得答案;

（2）由題知Ovav：且毛>3$>0,進而將所證明問題轉化為證明

11―Inx=lax.-23Inx.-Inx,,

21nx1+31nx,>-^ln3-10,再根據〈'',2。=—!——=■,得

-2[lnx2=2ax2-2x1-x2

21n再+31n.t2=3-（2?五+3）-10,再令"五，則進一步轉化為證明不等式

A-1斗&I3J

4

—（2/+3）>-ln3,再構造函數力（。=叱（2，+3）,求最值即可證明.

/-I2/-II3J

【詳解】（1）解：由題知函數的定義域為（0,+8），r（A）=lnx-2oi-+2,

因為〃力單調遞減,

所以/'(x)<0在(0,y)恒成立，即lnx-2ax+2Ko在(0,+。)恒成立，

所以，皿以K2〃在(0,+8)恒成立，

X

令g(x)=ln：+2(x>o),則g(x)=,

所以，當0<xv，時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；當％>,時，g'(x)<0,g(x)單調遞減;

ec

所以，當X=g時，g(x)取得極大值gg)=e,也是最大值.

r\

所以2a?e,解得即。的取值范圍為1+8.

2L2，

(2)解：由(1)知/'(x)=lnx-2ot+2,

因為/(x)有兩個極值點與，天，

所以，/'(])=111工-20￥+2有兩個變號零點不電,

所以，結合(1)知，+

另一方面，當時，y=lnx與y=2ax-2的圖象至多只有一個交點,

e

所以，0<4<弓且犬2>3內>(),

要證e%%:>3?，只需證21nxi+31n.r2>yln3-10,

Inx}-2時+2=0/In芭=2叫_2則2a如百一加勺

由，,j、:=

Inx=2ax—2'、玉一々

lnx2-2ax2+2=022

所以，21nxl+3Inx,=2。（2$+3x>）-10=~（2x1+3x2）-10

王一看

In

上_(2?五+3)-10,

令'=｝，貝

3

所以，要證21n$+31nx2>，ln3-10,只需證詈⑵+3)>￡ln3.

3

In/2r-51nr--+l

令h(t)=凈心,可周，則他）=

(1)2

353(2r-3)(r-l)

令〃⑺=2-51n.；+l,貝IJ/Q)=2、+*>0,

所以，“⑴在上單調遞增，H（/）<?（11）=|2+51n3-8<0,

33

所以，"⑺<0在［￡（0《I）成立，即硝）在飛（04）上單調遞減,

3

所以低In3,gp—(2r+3)>—ln3.

r-12

所以，21nx+31nw>，ln3-10成立,

所以，3°苦\；>33成立，原不等式成立.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于結合已知條件，將問題轉化為證明

罟⑵+3）吟2進而利用導數證明不等式即可.

14.已知awR,設函數〃x)=aln(x+a)+lnx.

（1）討論函數/（x）的單調性;

（2）若/（》）《5*+1115-1恒成立，求實數〃的取值范圍.

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）0<a<l.

【分析】（1）求出函數導數，討論〃的范圍確定導數正負可得出單調性；

（2）根據/_l>x可將不等式等價為aln（x+a）—/r+inaK0,構造函數

/?（x）=aln（x+a）—/x+lna,求出導數，當。之1時，，易得。=1；當0va<l時，，得出函數單

調性，可轉化為Ina-/一恒成立，構造函數，利用導數可出.

，/、a1（a+\）x+a

【詳解】解：（1）/W=--+-=-z..X>（）且X>-〃，

x+axx（x+a）

@a>0,>0,/(x)單調遞增：

②於一1,/。)<0,/("單調遞減：

(3)—1<e?<0,-------->—a>0,

a,一時，r(M<。，/(X)單調遞減；

xe(一麻,+8)時，/^)>0,/("單調遞增.

(2)/(x)=^ln(x+d)+lnx<eHX+ln--1,

即aln(x+4)+lnx?e"'+lnx-lna-l,a>0,即aln(x+a)+lnaWe"'-1,

令g(x)="-xT(x>。)，則g'(x)="-l>0,

???g(力在(0,y)單調遞增，.?.g(x)>g(0)=0,即"一”一1>0,即

Zx-l>?2x?則原不等式等價'為aIn(x+a)+Ina?a-x,

即?ln(x+?)-tz2.v4-ln?<0,

令Mx)=a】n(x+4)-a2x-lna,

md\a2~Q~x+ci—a'

則h(x)=---------a'=-----------------，

x+ax+a

令"(x)=0,可得x=!zC,

a

當cdl時，〃'(力40,則力(6在(0,+e)單調遞減，

則只需滿足〃(0)=a1na+lnaW。，.?.InaWO,解得0<aW1,=1：

/.2\/?2\

當0<a<l時，可得/心)在0,二^-單調遞增，在—,+<?單調遞減，

IaJIaJ

則〃(x)max="=。1?1工一。(1一/)+111440,整理可得］n〃一/一白《。，

^(p(a)=\na-a2-a,l/lij(pr(a)=--2a-l=-1-2t/--,

aa

則可得。(。)在((用單調遞增，在&)單調遞減，

則WGmax二夕9=一52-=<(),故。<"1時,，7(X)W0恒成立,

I，/4

綜上，Ova41.

【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數解決不等式的恒成立問題，解題的關鍵是構造合適的

函數，將不等式等價轉化為利用導數求函數的最值問題.

15.已知函數/(%)=￡2.

.1

⑴討論的單調性；

(2)設〃是兩個不相等的正數，月"+ln/?=〃+lna,證明：a+b+\nab>2.

【答案】⑴八力在(e,0),(0,1)上單調遞減；在(1,y。)上單調遞增.

⑵證明見解析

【分析】(1)先求函數的定義域.，對函數求導，令導數為0,解出x,然后在定義域范圍內

分析即可.

(2)利用分析法證明，變形要證明的式子，結合構造新函數利用函數的導數進行證明.

【詳解】(1)/(%)=%的定義域為(y,o)u(o,*0),

令r(6=o,得：x=i,

當4變化時廣(X),/(6的關系如下表:

XS，o)0(0,1)1(1,+00)

/'("—無意義一0+

小)無意義、

“X)在(—,0),(0,1)上單調遞減；在上單調遞增.

(2)證明：要證a+Z?+lrG〃>2,

只需證：(t7+lnZ?)+(Z?+ln：7)>2

根據a+ln/?=Z?+lna,只需證：b+Inf；>1

不妨設a<b,由a+ln/2=h+lna得：a-\na=b-\nb^

兩邊取指數，e“TM=ein「化簡得：J=上

ab

pve.pv?

令：g(x)=一,則g(a)=g(〃)，g(x)=-------=y(x)，

XX

根據(l)得g(〈在(Y0,0),(0,1)上單調遞減;

在(1.y)上單調遞增(如下圖所示)，

由于g(X)在(0,1)上單調遞減,在于+00)上單調遞增,

要使g(a)=g(b)且一"

則必有0va<l*>l,即0va<l<6

由Ovavlvb得:b>\y\-\na>\.

要證。+Inc,>1,只需證：b>i-\na,

由于g(x)在(1,+Q0)上單調遞增，要證:b>\-\na,

只需證：g(b)>g(l-lna),

又g(a)=g(b),只需證:g(a)>g(l-lna),

e

只需證：。"、/嶗_；,

—>-------=--------

aI-ln?1-lna

只需證：e"(l-lna)>e,

只需證：匕也>[,

ee

只需證：匕也-4>0,

即證-------e-a>0,

e

令e(x)=1hlV-e"v,(O<x<l),^(l)=O,(j?(fl)=1,

只需證：>(x)>O,(O<x<l),

，/、1T11ex-av

(P(x)=---+e-=----+—=-------，

exexeexe

令人(x)=e"-ex,

Ml)=O,"(x)=eX-evO,(Ovxvl)M(x)在(0,1)上單調遞減,

所以人(力>〃(1)=0,

所以d(x)=—^Z^<0

ex?e

所以8(力在(0,1)上單調遞減，所以8(x)>0⑴=0

所以夕(〃)>0

所以：a+b+\nab>2.

【點睛】函數與導數綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現，

難度相當大，主要考向有以下幾點：

1、求函數的單調區間(含參數)或判斷函數(含參數)的單調性；

2、求函數在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數；

3、求函數的極值(最值)；

4、求函數的零點(零點個數)，或知道零點個數求參數的取值范圍；

5、證明不等式；

解決方法：對函數進行求導，結合函數導數與函數的單調性等性質解決，

在證明不等式或求參數取值范圍時，通常會對函數進行參變分離，構造新函數,

對新函數求導再結合導數與單調性等解決.

16.求函數—彳+1的極小值.

【答案】:

O

【分析】利用導數判斷原函數的單調性，并結合極值的定義運算求值.

【詳解】./y=4.r-l,

當時，＜0,當時，y'＞。，

44

則函數），=2/_1+1在上單調遞減，在4,+8）上單調遞增,

17

當x=T時，函數y=2『—X+1取到極小值y=

48

提升題型訓練

一、單選題

1.若函數），=/（幻的導函數圖象如圖所示，則該函數圖象大致是（）

［分析】直接根據導函數的圖像判斷原函數的單調性即可.

【詳解】由導函數圖像可知，原函數的單調性為先單增后單減再單增，符合的只有A選項.

故選：A

2.函數/*)=&'-gV-x的極小值為()

113

A.0B.-------C.e—D.不存在

2e2

【答案】A

【分析】求出函數導數，根據導數判斷出函數的單調性，即可求出極小值.

【詳解】/(x)=xe'-^-x2-x,:.f\x)=ex+xex-x-\=(x+})^ex-\),

令沖)>0,解得X<-1或x>o；令r(x)<0,解得TvxvO,

\/(X)在(fT，(O,吹)單調遞增,在(T，。)單調遞減，

\/(X)在x=0處取得極小值為0.

故選：A.

3.若毛，仁

則"不<々"是"/sin百>x}sin々"成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據結構，構造函數利用導數判斷出單調性，直接利用

充要條件的定義進行判斷

sinxr,、xcosx-sinx

【詳解】構造函數/(%)=-------,則尸(x)=--------；——

X

令M%)=xcosx-sin."c0.—,則"'(x)=-Ksinx<。,

I2J

故〃(％)=xcosx-sinx,x“。，為減函數，且〃(0)=0,

3口/、xcosx-sinx,、

故/(x)=-----------<0’

71

故〃耳=手在0,上單調遞減.

,,...,sinx.sinx..

rL2

故由$</可得--->----,即xsinX1>Nsinx2,

x\X22

反之故由七sin%>xNin七可得把心>也乜，根據減函數可得芭<七.

X1x2

故"菁<七"是"Wsin*>/肉11占”成立的充要條件.

故選：C

4.在半徑為R的球內放置一圓柱體，使圓柱體的兩底面圓周上所有的點都在球面上，當圓

柱體的體積鼓大時，其高為()

A.巫RB.在RC.—RD.好R

3322

【答案】A

【分析】由題意畫出圖形，利用勾股定理可得匯+，=R2,得出圓柱的體積公式，換元后

4

求導，利用導數求出體積的最大值時對應的高即可.

【詳解】設圓柱底面圓半徑為小高為人，如圖，

則h=小片-戶,

圓柱體積為V=7vr'-h=R2—r2,

設《R〉一產=[,則，=*_產，

所以V=2k(W"),

R

故V'=-6/+2冗R2=_6T(產一-),

3

RRR

當產=一時，v，=o,當/>一時，r<o,當/〈一時，丫，>0,

333

所以當『=與時，圓柱體積取得最大值，此時h=2f=2得羊R

故選：A

③x=2是極值點；④)/⑴在(-2,2)上先減后增.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根據導函數圖象的正負性得到原函數的增減性，再依次判斷即可

【詳解】解：對于①,由圖可得當xe(-5,-3)時，/'(6>0,所以解I在(-5,-3)遞增,故

錯誤；

對于②，由圖可得當天?0,4)時，f(x)>0,/(幻單調遞增：xw(4,y)時，((X)<0,f(x)

單調遞減，所以尤=4是函數/*)的極大值點，故正確；

對于③，當xe(0,2)時，r(x)>0,〃幻單調遞增；當xw(2,4)時，/(x)>0,/(x)單調遞

增，所以x=2不是函數/（x）的極值點，故錯誤;

對于④，在區間（-2,2）內導數r（”先為負數后為正數，所以函數/*）先遞減后遞增，故正

確，

故選：C

【分析】利用導數分析函數y=〃”的單調性與極值，進而可得出函數的圖象.

【詳解】解：因為=所以f（x）=e=?x,

令g(x)=/(*)=。'一貝ijg(x)=e'—/,

令g〈_r)=e，-5=0,解得x=2一ln2,且x<2-ln2時，g(x)<0,x>2-ln2時，g(x)>0,

所以x<2—ln2時，/（力單調遞減，心>2-出2時，/&）單調遞增，且/（0）=1>0,

/(l)=e-^<0,/'(2)=0,

所以在(0,1)上存在陽，使得/(%)=0,又/(2)=0,令.尸(x)=e，-]x=0,則有2個實

數根即2,

所以當％"或x>2時,盟鄉>0,當為。<2時，/'（力<。，

所以函數3="力在（7>,大）和（2,+8）上是增函數,在伍,2）上是減函數,且〃0）=1>0,

/（2）=0,結合選項得出A選項符合函數/（工）=］一二』2的大致圖象.

4

故選：A.

【點睛】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性

與極值是解決本題的關鍵,難度中等.

二、多選題

7.已知e是自然對數的底數，則下列不等關系中不事俄的是()

..2,_3.zIn22

A.In2>—B.In3<-C.In?i>—D.---<—

eeeInn7t

【答案】AC

【分析】構造函數，需借助導函數判斷函數的單調性，利用函數單調性進行求解.

【詳解】^/(x)=lnx--U>0),則八L二.

exexe

當xe(e,+oo)時，e-xv(),二/(x)單調遞減；

當xc(0,e)時，e-x>0,/'*)>(),.??/*)單調遞增；

「?當工二e時，/(幻取最大值，/(A)_=/(e)=lne--=l-l=O.

e

??./*)的值域為(F，O],

/./(x)=lnx--<0,即InxE2,當且僅當X=e時，等號成立.

ee

則有ln2<3,故A選項錯；ln3<2,故B選項對；In”二故C選項錯；

eee

人/、Mx,八、，/、1-lnx

令g(x)=—(x>0),g(x)=——,

XX

當xe(e,+8)時，g'(x)<o,二以工)單調遞減；

/、/八InnIn421n2In2

由ev兀v4,則有g(兀)>g(4),即an——>—=,

兀442

由In兀>0,可得里<多，故D選項對.

Initn

故選：AC.

8.己知函數/(x)=co“+cos2x,則下列說法正確的有()

A,函數/(%)為偶函數B.函數/(4)的最小值為-2

C.函數/(X)的最大值為2D.函數/(x)在(0,2兀)上有兩個極值點

【答案】AC

【分析】根據奇偶性直接判斷A；結合〃工)=2(-胃—求解最值判斷BC；利用導數,

結合三角函數性質求解極值點個數判斷D.

【詳解】解