南充市高2025屆高考適應性考試（一診）數學試卷注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，是實數集，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合，進而得到，進而根據交集的定義計算即可.【詳解】因為或，所以，又，所以.故選：B.2.若復數z滿足，則在復平面內z對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據復數的運算法則及幾何意義求解即可.【詳解】由，得，所以在復平面內z對應的點為，位于第一象限.故選：A.3.甲同學近10次數學考試成績情況如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，則甲同學數學考試成績的第75百分位數是（）A.118 B.121 C.122 D.123【答案】D【解析】【分析】根據百分位數的定義計算．【詳解】已知數據按從小到大排列為：，，因此第75百分位數是第8個數123.故選：D．4.已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點滿足，則拋物線方程為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線的焦半徑公式可得，即可求得，從而求解.【詳解】由題意，得，即，所以拋物線方程為.故選：D.5.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出兩直線垂直的充要條件，進而根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若直線與直線垂直，則，解得，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.6.已知一個圓錐的體積為，其側面積是底面積的2倍，則其表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據圓錐的側面展開圖和圓錐體積公式以及側面積公式，即可求出結果.【詳解】設底面半徑為，高為，母線為，如圖所示：則圓錐的體積，所以，即，又，即，所以，則，解得，所以圓錐的表面積為.故選：B．7.已知函數的圖象關于直線對稱，若方程在上恰有兩個實數根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式及函數的對稱性求出，即可得到函數解析式，再求出函數在上的單調性，求出端點函數值與最大值，依題意與在上恰有兩個交點，即可求出參數的取值范圍.【詳解】因為（其中），又函數的圖象關于直線對稱，且，所以，解得，所以，當時，則，令，解得，且，令，解得，且，所以在上單調遞增，在上單調遞減，且，，，因為方程在上恰有兩個實數根，即與在上恰有兩個交點，所以，即的取值范圍是.故選：C8.定義在R上的函數的圖象關于點對稱，且滿足，，當時，都有，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據函數的圖象關于點對稱可得到，進而求得，，反復利用，適當賦值，再結合條件當時，都有即可求解.【詳解】因為函數的圖象關于點對稱，所以，令，則，又，所以，由，令，則，令，則，令，則，令，則，令，則，同理，令，由，則，即，由，令，則，令，則，令，則，令，則，因為當時，都有，而，則，，所以.故選：D.【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是利用，結合賦值法，采用兩邊夾逼的方法，求出結果.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在邊長為2的正方體中，E為AD的中點，F為的中點，過點、E、B作正方體的截面α，則下列結論中正確的是（）A.三棱錐的體積為B.與所成角的余弦值為C.D.二面角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據等體積法直接計算即可；對于BCD，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，所以，，，，，，則，，則，所以與所成角的余弦值為，故B錯誤；對于C，由B知，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，可得，所以，即，又平面，所以平面，即，故C正確；對于D，在正方體中，平面，所以平面的一個法向量為,所以，所以二面角的余弦值為，故D正確.故選：ACD.10.設函數，，則下列結論中正確的是（）A.存在，使得B.函數的圖象與函數的圖象有且僅有一條公共的切線C.函數圖象上的點與原點距離的最小值為D.函數的極小值點為【答案】BD【解析】【分析】構造函數，進而結合導數分析單調性，得到恒成立，從而判斷A；分析可得函數與互為反函數，圖象關于直線對稱，結合圖象即可判斷B；表示出函數圖象上的點與原點距離，進而結合基本不等式求解判斷C；令，進而結合導數分析單調性，從而判斷D.【詳解】對于A，設，則，令h′x>0，即；令h′所以函數hx在0,1上單調遞增，在1,+所以，即恒成立，故A錯誤；對于B，函數，則，即，所以函數與互為反函數，圖象關于直線對稱，且直線為函數與唯一的公切線，故B正確；對于C，函數圖象上的點與原點距離為，當且僅當，即時等號成立，所以函數圖象上的點與原點距離的最小值為，故C錯誤；對于D，令，則，令，即；令，即，所以函數Fx在0,1上單調遞減，在1,+所以當時函數Fx取得極小值，故D正確.故選：BD.11.雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為A，B，若P是右支上一點（與B不重合）如圖，過點P的直線與雙曲線C的左支交于點Q，與其兩條漸近線分別交于S，T兩點，則下列結論中正確的是（）A.P到兩條漸近線的距離之積為B.當直線l運動時，始終有C.在中，D.內切圓半徑取值范圍為【答案】ABC【解析】【分析】選項A,設出點，然后計算出漸近線，分別計算距離求解即可；選項B，設直線，然后分別聯立雙曲線和漸近線方程計算交點，計算即可；選項C，利用點坐標表示出，然后利用三角形內角的角度關系得到，，由選項可知，只需得到分母的值就可以得到正確答案；選項D,高中我們求三角形內切圓半徑的方法為，然后化簡求解即可.【詳解】由題可知雙曲線的標準方程為，故兩個漸近線方程分別為與，設點，由題可知所以點到兩個漸近線的距離分別為故由題可知，故，故選項A正確；設點顯然直線的斜率存在,設直線聯立方程，，得所以直線分別與漸近線與聯立得得所以有即由題可知，所以，故選項B正確；不妨設，由題可知，所以有由題可知，故所以整理得，故選項C正確；由三角形內切圓的半徑求法可知其內切圓半徑易知得因為得,所以，因為，所以，所以，，故選項D錯誤.故選：ABC【點睛】關鍵點點睛，在解析幾何中當我們需要運用距離公式的時候，特別是很多距離相加，式子中會存在較多的根號，我們經常利用三角換元然后化簡求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則______.【答案】##【解析】【分析】先求出的坐標，再根據平面向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，即.故答案為：.13.某一隨機變量X的分布列如下表，且，則______.X0123P0.1m0.2n【答案】8【解析】【分析】根據題意可得，即可求得的值，進而結合期望公式可求得，進而得到.【詳解】由題意，得，解得，所以，所以.故答案為：8.14.已知平面四邊形中，，，，，則該平面四邊形面積的最大值為_____________.【答案】【解析】【分析】先根據余弦定理可得，進而表示出四邊形面積，進而得到，進而求解.【詳解】連接，由余弦定理得，，即，即，又四邊形的面積，則，即，即，當且僅當時，等號成立，所以平面四邊形面積的最大值為.故答案為：.第Ⅱ卷四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據兩角和的正弦公式化簡題干條件可得，進而得到，進而求解；（2）根據三角形的面積公式及余弦定理求解即可.【小問1詳解】因為，在中，，即.小問2詳解】由（1）知，，所以，即，所以，又，即，所以的周長為.16.已知動點與定點的距離和P到定直線的距離的比是常數，記點P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的標準方程；（2）設點，若曲線C上兩點M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據距離公式列出方程即可求解；（2）設，可得直線的方程，呢絨聯立方程組，結合對稱性與弦長公式列出方程即可求解.【小問1詳解】由題意，，整理化簡得，，所以曲線C的標準方程為.【小問2詳解】由題意，直線的斜率都存在，設，則直線的方程為，分別延長，交曲線于點，設，聯立，即，則，根據對稱性，可得，則，即，解得，所以直線FM的斜率為.17.如圖，在三棱錐中，平面，，，點M，N分別是線段SB，AC上的動點，且滿足.（1）證明：平面；（2）當線段MN的長度最小時，求直線SC與平面AMN所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先根據平面可得，再根據線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，表示出，進而確定線段MN的長度最小時的值，再根據空間向量求解即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，又，，平面所以平面.【小問2詳解】以為原點，以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，因為，，所以，，所以，所以當時，最小，此時，，則，，設平面AMN的一個法向量為，則，即，取，則，又，設直線SC與平面AMN所成角為，則，即直線SC與平面AMN所成角的正弦值為.18.已知函數.（1）判斷函數的單調性，并求出的極值；（2）討論方程的解的個數；（3）求證：【答案】（1）取得極小值，無極大值（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）直接利用導數判斷函數單調性，進而求得極值；（2）結合函數的圖象求解即可；（3）轉化為證明，構造函數，，進而結合導數證明即可.【小問1詳解】由，，則，由于恒成立，因此令，即，令，即或，所以函數在和0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，當時，函數取得極小值，無極大值【小問2詳解】由（1）知，函數在和0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，且，畫出函數的大致圖象：由圖可知，當時，函數y=fx與有2個交點，方程有2個解；當或時，函數y=fx與有1個交點，方程有1個解；當時，函數y=fx與有0個交點，方程有0個解.【小問3詳解】證明：由，，即，即，設，，所以，令，當時，，所以函數hx在0,+∞上單調遞增，則所以令，即；令，即，所以函數在0,1上單調遞減，在1,+∞上單調遞增，所以，所以.19.今年立秋以后，川渝地區持續性高溫登上熱搜，引發關注討論.根據專家推測，主要是由于大陸高壓和西太平洋副熱帶高壓呈現非常強大，在高壓的控制下，川渝地區上空晴朗少云，在太陽輻射增溫和氣流下沉增溫的共同作用下，兩個地區的氣溫出現了直接攀升的狀態.川東北某城市一室內游泳館，為給顧客更好的體驗，推出了A和B兩個套餐服務，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一；該游泳館在App平臺上推出了優惠券活動，下表是App平臺統計某周內周一至周六銷售優惠券情況.星期t123456銷售量y（張）21822423023223690經計算可得：，，.（1）因為優惠券銷售火爆，App平臺在周六時系統出現異常，導致當天顧客購買優惠券數量大幅減少，現剔除周六數據，求y關于t的經驗回歸方程；（2）若購買優惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐包含兩張優惠券，B套餐包含一張優惠券，記App平臺累計銷售優惠券為n張的概率為，求；（3）請依據下列定義，解決下列問題：定義：如果對于任意給定的正數，總存在正整數，使得當時，（a是一個確定的實數），則稱數列收斂于a.運用：記（2）中所得概率的值構成數列.求的最值，并證明數列收斂.參考公式：，.【答案】（1）（2）（3）最大值為，最小值為，證明見解析【解析】【分析】（1）計算出新數據的相關數值，代入公式求出的值，進而得到y關于t的經驗回歸方程；（2）由題意可知，，其中，，構造等比數列，再利用等比數列的通項公式求解；（3）分為偶數和奇數兩種情況討論，結合指數函數的單調性求解；利用數列收斂的定義，準確推理、運算，即可得證．【小問1詳解】由題意，，，則，，所以y關于t的經驗回歸方程為.【小問2詳解】由題意，可知，，當時，，即，又，所以當時，數列為各項都為1的常數列，即，所以，，又，所以數列為首項為公比為的等比數列，所以，即.【小問3詳解】由（2）知，，當