高中數學精選資源PAGE2/2§1周期變化學習目標核心素養1.了解現實生活中的周期現象，能判斷簡單的實際問題中的周期．(難點)2．初步了解周期函數的概念，能判斷簡單的函數的周期性．(難點、重點)1.通過周期函數的概念的學習，逐步培養數學抽象素養．2．借助周期函數的判定，培養邏輯推理素養.1．周期函數的概念一般地，對于函數y＝f(x)，x∈D，如果存在一個非零常數T，使得對任意的x∈D，都有x＋T∈D且滿足f(x＋T)＝f(x)，那么函數y＝f(x)稱作周期函數，非零常數T稱作這個函數的周期．2．最小正周期如果在周期函數y＝f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就稱作函數y＝f(x)的最小正周期．思考：1.為什么規定T非零？提示：T若為零，則任意函數都是周期函數．2．常函數f(x)＝c，x∈R是周期函數嗎？若是，其周期是什么？提示：是周期函數，其周期是任意非零實數．1．下列變化中，不是周期現象的是()A．“春去春又回”B．鐘表的分針的運行C．天干地支表示年、月、日的時間順序D．某同學每天上學的時間D[由周期現象的概念知，某同學每天上學的時間不是周期變化．故選D．]2．探索如圖所呈現的規律，判斷2019至2020箭頭的方向是()ABCDC[觀察題圖可知0到4為一個周期，則從2019到2020對應著3到4.]3．某物體作周期運動，如果一個周期為0.4秒，那么運動4秒，該物體經過了________個周期．10[4÷0.4＝10，所以經過了10個周期．]4．已知函數feq(\a\vs4\al\co1(x))是定義在R上的偶函數，且對于任意的x∈R都有feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))＋feq(\a\vs4\al\co1(2))，f(1)＝4，求feq(\a\vs4\al\co1(3))＋feq(\a\vs4\al\co1(10))的值．[解]由題意可知feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))＋feq(\a\vs4\al\co1(2))，令x＝－2，可求得feq(\a\vs4\al\co1(－2))＝0，又函數feq(\a\vs4\al\co1(x))是定義在R上的偶函數，所以feq(\a\vs4\al\co1(2))＝0，即feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，所以feq(\a\vs4\al\co1(x))是以4為周期的周期函數，又feq(\a\vs4\al\co1(1))＝4，所以feq(\a\vs4\al\co1(3))＋feq(\a\vs4\al\co1(10))＝feq(\a\vs4\al\co1(－1))＋feq(\a\vs4\al\co1(2))＝feq(\a\vs4\al\co1(1))＋0＝4.周期現象【例1】水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，假設水車5分鐘轉一圈，計算1小時內最多盛水多少升？[思路點撥]由于水車每隔5分鐘轉一圈，所以要計算1小時內最多盛水多少升，關鍵是確定1小時內水車轉多少圈．[解]因為1小時＝60分鐘＝12×5分鐘，且水車5分鐘轉一圈，所以1小時內水車轉12圈．又因為水車上裝有16個盛水槽，每個盛水槽最多盛水10升，所以每轉一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水車1小時內最多盛水160×12＝1920(升)．1．周期現象的判斷首先要認真審題，明確題目的實際背景，然后應抓住“間隔相同，現象(或值)重復出現”這一重要特征進行判斷．2．收集數據、畫散點圖，分析數據特點，能直觀的發現函數的周期性．eq\o([跟進訓練])1．利用本例中的水車盛800升的水，至少需要多少時間？[解]設x分鐘后盛水y升，由例1知每轉一圈，水車最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝eq\f(x,5)×160＝32x，為使水車盛800升的水，則有32x≥800，所以x≥25，即水車盛800升的水至少需要25分鐘．周期函數[探究問題]1．若存在非零常數a，使函數feq(\a\vs4\al\co1(x))在定義域上滿足：feq(\a\vs4\al\co1(x＋a))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x))，則feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函數嗎？若是，其周期是什么？提示：由已知得，feq(\a\vs4\al\co1(x＋2a))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x＋a))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，根據周期函數的定義，feq(\a\vs4\al\co1(x))是以2a為一個周期的周期函數．2．若存在非零常數a，使函數feq(\a\vs4\al\co1(x))在定義域上滿足：feq(\a\vs4\al\co1(x＋a))＝eq\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x)))，則feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函數嗎？若是，其周期是什么？提示：由已知得，feq(\a\vs4\al\co1(x＋2a))＝eq\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x＋a)))＝eq\f(1,\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，根據周期函數的定義，feq(\a\vs4\al\co1(x))是以2a為一個周期的周期函數．【例2】已知函數feq(\a\vs4\al\co1(x))滿足feq(\a\vs4\al\co1(x))feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝13，求證：feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函數．[證明]由已知得feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝eq\f(13,f(\a\vs4\al\co1(x)))，所以feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝eq\f(13,f(\a\vs4\al\co1(x＋2)))＝eq\f(13,\f(13,f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x)).所以feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函數，4是它的一個周期．判定一個函數是周期函數需分兩步1先猜想出其周期；2用周期函數的定義證之.eq\o([跟進訓練])2．已知函數feq(\a\vs4\al\co1(x))滿足feq(\a\vs4\al\co1(x＋1))＝eq\f(1＋f(\a\vs4\al\co1(x)),1－f(\a\vs4\al\co1(x)))，求證：feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函數．[證明]由已知得，feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝eq\f(1＋f(\a\vs4\al\co1(x＋1)),1－f(\a\vs4\al\co1(x＋1)))＝eq\f(1＋\f(1＋f(\a\vs4\al\co1(x)),1－f(\a\vs4\al\co1(x))),1－\f(1＋f(\a\vs4\al\co1(x)),1－f(\a\vs4\al\co1(x))))＝eq\f(2,－2f(\a\vs4\al\co1(x)))＝－eq\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x))).所以feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝－eq\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x＋2)))＝－eq\f(1,－\f(1,f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x)).所以feq(\a\vs4\al\co1(x))是周期函數，4是它的一個周期．周期函數的應用【例3】設feq(\a\vs4\al\co1(x))是(－∞，＋∞)上的奇函數，feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x))，當0≤x≤1時，feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x.(1)求feq(\a\vs4\al\co1(π))的值；(2)當－4≤x≤4時，求feq(\a\vs4\al\co1(x))的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(－∞，＋∞)內函數feq(\a\vs4\al\co1(x))的單調遞增(或減)區間．[思路點撥]第(1)問先求函數feq(\a\vs4\al\co1(x))的周期，再求feq(\a\vs4\al\co1(π))；第(2)問，推斷函數y＝feq(\a\vs4\al\co1(x))的圖象關于直線x＝1對稱，再結合周期畫出圖象，由圖象易求面積；第(3)問，觀察圖象寫出．[解](1)由feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x))，得feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－f(\a\vs4\al\co1(x))))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，所以feq(\a\vs4\al\co1(x))是以4為周期的周期函數，∴feq(\a\vs4\al\co1(π))＝feq(\a\vs4\al\co1(－1×4＋π))＝feq(\a\vs4\al\co1(π－4))＝－feq(\a\vs4\al\co1(4－π))＝－eq(\a\vs4\al\co1(4－π))＝π－4.(2)由feq(\a\vs4\al\co1(x))是奇函數與feq(\a\vs4\al\co1(x＋2))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x))，得feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((\a\vs4\al\co1(x－1))＋2))＝－feq(\a\vs4\al\co1(x－1))＝feq(\a\vs4\al\co1(1－x))，即feq(\a\vs4\al\co1(1＋x))＝feq(\a\vs4\al\co1(1－x)).故知函數y＝feq(\a\vs4\al\co1(x))的圖象關于直線x＝1對稱．又0≤x≤1時，feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x，且feq(\a\vs4\al\co1(x))的圖象關于原點成中心對稱，則feq(\a\vs4\al\co1(x))的圖象如圖所示．當－4≤x≤4時，feq(\a\vs4\al\co1(x))的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×eq(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4.(3)函數feq(\a\vs4\al\co1(x))的單調遞增區間為[4k－1,4k＋1](k∈Z)，單調遞減區間為[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．1．已知feq(\a\vs4\al\co1(x))是R上最小正周期為2的周期函數，且當0≤x＜2時，feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x3－x，則函數y＝feq(\a\vs4\al\co1(x))的圖象在區間[0,6]上與x軸的交點的個數為()A．6 B．7C．8 D．9B[當0≤x＜2時，令feq(\a\vs4\al\co1(x))＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，又feq(\a\vs4\al\co1(x))的最小正周期為2，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，∴y＝feq(\a\vs4\al\co1(x))的圖象在區間[0,6]上與x軸的交點個數為7.]2．已知feq(\a\vs4\al\co1(x))是定義在R上的奇函數，且滿足feq(\a\vs4\al\co1(x＋4))＝feq(\a\vs4\al\co1(x))，則f(2)＝()A．0 B．1C．2 D．3A[由題意，feq(\a\vs4\al\co1(x))為周期函數且周期為4，∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，又f(－2)＝－f(2)，則f(2)＝－f(2)，所以f(2)＝0.]研究周期函數時，通常先研究其在一個周期上的性質，然后把它拓展到定義域上，這樣可簡化對函數的研究.1．應用周期現象中“周而復始”的規律性可以達到“化繁為簡”“化無限為有限”的目的．2．只要確定好周期現象中重復出現的“基本單位”，就可以把問題轉化到一個周期內來解決．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)任何周期函數都有最小正周期． ()(2)若T是奇函數feq(\a\vs4\al\co1(x))的一個周期，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,2)))＝0． ()(3)若T是函數feq(\a\vs4\al\co1(x))的一個周期，則nTeq(\a\vs4\al\co1(n∈N*))也是函數feq(\a\vs4\al\co1(x))的一個周期． ()[答案](1)×(2)√(3)√2.設feq(\a\vs4\al\co1(x))是定義在R上的周期為3的周期函數，如圖表示該函數在區間(－2,1]上的圖象，則feq(\a\vs4\al\co1(16))＝()A．1 B．0C．－1 D．2A[由于feq(\a\vs4\al\co1(x))是定義在R上的周期為3的周期函數，所以feq(\a\vs4\al\co1(16))＝feq(\a\vs4\al\co1(5×3＋1))＝feq(\a\vs4\al\co1(1))，而由圖象可知f(1)＝1，所以feq(\a\vs4\al\co1(16))＝1.]3．一個質點，在平衡位置O點附近振動，如果不考慮阻力，可將此振動看作周期運動，從O點開始計時，質點向左運動第一次到達M點用了0.3s，又經過0.2s，第二次通過M點，則質點第三次通過M點，還要經過的時間可能是________s.1.4[質點從O點向左運動，O→M用了0.3s，M→A→M用了0.2s，由于M→O與O→M用時相同，因此質點運動半周期eq\f(T,2)＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，從而當質點第三次經過M時用時應為M→O→B→O→M，所用時間為0.