遼寧省普通高中2024-2025學年高二上學期11月期中數學調研

測試試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知a,6為兩條直線，a,夕為兩個平面，且滿足aua,bu/3,

a/〃，則“a與b異面，，是“直線b與/相交，，的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22

2.若方程左T”3表示雙曲線，則實數發的取值范圍是（）

A.k<\B.l<k<3

C.k>3D.左<1或左>3

3.兩平行直線加工-3丁-2=0與4%-6?-7=0之間的距離為（）

V13V13355岳

A.26B.13C.26D.26

工+J

4.設是橢圓/b2（a>b>0）的長軸，若把一百等分，過每個分點作

N8的垂線，交橢圓的上半部分于Pi、尸人…、P99,尸/為橢圓的左焦點，則

|耳4|+W4|+|￡6|+…+|耳&|+出道的值是（）

A.98aB.99ac.10°。D.

5.已知/為直線2x+V-4=0上的動點，8為圓（x+iy+/=l上的動點，點CO，。），則

2恒用+忸a的最小值為（）

A.4有B.3新C.2石D.亞

6.在四棱錐尸一NBC。中，用,平面/2。,73,2。，二面角尸一°。一/的大小為

45\AD+CD=2t若點P,C,D均在球。的表面上，則球。的表面積最小值為（

）

8灰8V3

---兀一兀--71

A.3乃B.27c.3D.2

7.已知曲線。：（*+尸）=9（》一一「）是雙紐線，則下列結論正確的是（

)

A.曲線C的圖象不關于原點對稱

B.曲線C經過4個整點（橫、縱坐標均為整數的點）

c.若直線了=h與曲線c只有一個交點，則實數上的取值范圍為（一叱一］

D.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

8.已知平面上兩定點/、B,則所有滿足1^1（彳>°且2/1）的點尸的軌跡是一

個圓心在N8上，半徑為1一萬的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現,

故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體/Be。r由GA表面上動點P滿足悶=2|啊

則點尸的軌跡長度為（）

4兀V3K

生+扃一+---D.(2+今

A.2兀B.3C.32

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列說法命題正確的是（）

A.已知1=（°，1，1）,彼=（0，。，-1）,則］在石上的投影向量為I22；

B.若直線/的方向向量為e=0，°，3）,平面。的法向量為"一1"。匕［則〃/￡

C.已知三棱錐點尸為平面/8C上的一點，且

OP=；OA+mOB-nOC（n,meR）m-n=L

D.若向量萬=加+5+4，（、/，z都是不共線的非零向量）則稱,在基底

8'"｝下的坐標為（見”的，若方在單位正交基底依友研下的坐標為（123）,則

7在基底團一.二+/現下的坐標為PP3

*y2

10.已知片，工是雙曲線氏/一3一的左、右焦點，過片作傾斜角為

71

%的直線分別交夕軸、雙曲線右支于點M、點、P,且=下列判斷正確的是

（）

ZFPF=-'仄

A.?3B.￡的離心率等于213

c.雙曲線漸近線的方程為丫=土瓜口.“尸耳耳的內切圓半徑是（3>

11.在直三棱柱/8C—4qG中，AAl=AB=BC=2>2,河是的中點，N

是4cl的中點，點尸在線段qN上,

點Q是線段CM上靠近M的三等分點,R是線段

cM

的中點，若依〃面4,則（).

B.尸為耳"的中點

2748

-------71

C.三棱錐的體積為］D.三棱錐尸一/BC的外接球表面積為81

三、填空題（本大題共3小題）

12.已知圓J/+「=16與圓C,：/+/+丘+嚴機一16=0交于出2兩點，當上變

化時，M4的最小值為46，則m=.

13.如圖，已知四邊形4BCD是菱形,/8=3。=4,點￡為/8的中點，把

V/AE沿。￡折起，使點N到達點P的位置，且平面尸DEL平面8CDE,則異面直線

PD與BC所成角的余弦值為.

P

C-----=1（加>0）口

14.傾斜角為銳角的直線,經過雙曲線3m2m2的左焦點片，分別交雙曲

線的兩條漸近線于43兩點，若線段的垂直平分線經過雙曲線C的右焦點片，則

直線/的斜率為

四、解答題(本大題共5小題)

15.如圖所示，三棱柱/8C-44G中，側棱"4垂直于底面，AB=5,

/4=NC=3,8C=4,點尸，。分別為/8Q的中點.

(1)求證：BC-LPD;

(2)求點C到平面必4的距離

16.己知圓°：/+V=4.

⑴直線4x-3y+a=0截圓。的弦長為26,求a的值.

⑵記圓。與x、＞軸的正半軸分別交于4臺兩點，動點。滿足亞回同，問：動點

。的軌跡與圓。是否有兩個公共點？若有，求出公共弦長；若沒有，說明理由.

17.如圖，四棱錐尸一4臺。中，

AB=PA=4,CD=CB=2,尸。=26，ZABC=60°,平面尸/Bc平面尸C。=/,且

///平面ABCD,平面尸4D_L平面4BCD.

(1)求四棱錐尸-42。的體積;

(2)設0為尸0上一點，若。/=求二面角。一N8一0的大小.

22-弓在C上，且放行軸,

。言+會=l(a>b>0)

18.已知橢圓的右焦點為F,點、

過點M且與橢圓C有且只有一個公共點的直線與x軸交于點P.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點尺是橢圓C上異于河的一點，且三角形兒。尺的面積為24,求直線妹的方程;

(3)過點P的直線交橢圓C于。，E兩點(。在￡的左側)，若N為線段尸尸的中點，

直線NE交直線板于點0,7為線段。廠的中點，求線段收的最大值.

19.在空間直角坐標系。一孫z中，已知向量”=(a,6,c),點片(x。,&*。)，若直線/以

.為方向向量且經過點P°,則直線/的標準式方程可表示為

==口==20)-p

abc；若平面。以〃為法向量且經過點《，則平面。的點法式

方程表示為a(x-Xo)+6(y-%)+c(z-z0)=O.

x—1y-2z

(1)已知直線/的標準式方程為1-后2,平面名的點法式方程可表示為

技+7-z+5=0,求直線/與平面四所成角的正弦值；

(2)已知平面里的點法式方程可表示為2x+3y+z-2=0,平面外一點尸(1,2,1),求點

產到平面里的距離；

(3)(i)若集合M={(X,%Z)||X|+|"<2,|Z]<1},記集合M中所有點構成的幾何體為S,

求幾何體S的體積；

(ii)若集合N={(x,y,Z)\\x\+\y\<2,\y\+\z\<2,\z\+\x\<2}j記集合N中所有點構成的

幾何體為T,求幾何體？相鄰兩個面(有公共棱)所成二面角的大小.

答案

1.【正確答案】C

【詳解】當“。與6異面”，若直線6與/不相交，由于6，/U￡,則6〃/,

又a/〃，則”//6,這與。和°異矛盾，故直線°與/相交，

故“。與6異面，，是“直線6與/相交，，的充分條件；

當“直線6與/相交”，若。與6不異面，則。與°平行或相交，

若。與6平行，又。〃/,則〃/6,這與直線°和/相交相矛盾；

若。與6相交，設afU=N,貝Mea且Ne尸，得Ne/,

即/為直線的公共點，這與。〃/相矛盾；

綜上所述：。與6異面，即“。與6異面”是“直線°與/相交”的必要條件；

所以“。與b異面，，是，，直線b與/相交，，的充分必要條件.

故選：C.

2.【正確答案】B

22

【詳解】若方程左T*3表示雙曲線，

則（左-1）（左-3）＜0,得］＜k＜3,

故選：B

3.【正確答案】C

m-3-2

———w—

【詳解】由題意知4-6-7,所以加=2,

c7八

人公rc2x—3y—=0

貝/x-6—=°化為2,

7

-2+-

/23V13

所以兩平行直線2x-3尸2=°與4尤-6歹-7=°之間的距離為#+（-3）22°

故選：C.

4.【正確答案】D

【詳解】設橢圓右焦點為尸2，由橢圓的定義知與照+正/2,…，99）,

99

X（出引+1月引）=2。X99=198a

由題意知片，P"…,%關于'軸成對稱分布，

99199

2（山吊）二2（歸引+正41）=99。

Z.i=l2i=i.

又片川+〔片例=2Q.

故所求的值為101。.

故選：D.

5.【正確答案】C

【分析】設。"°）1（3）,不妨令的=2|孫根據兩點間的距離公式求出點。的

坐標，則要使N明+即|最小，即2（/即+|即）最小，求出|第+阿|的最小值即可得

解.

【詳解】設"屈叮以西,以）,不妨令忸C|=2|陽,

2-"

貝（IJa-I）2+/=7（XIXO）

整理得3（X［+1）+3y；=-4x?+4玉+8玉/+4,

又3（再+以+3y；=3,所以4x：-4國-8X1/-1=0,

則（2%+1）（2/-4無］-1）=0,解得'2,

所以存在定點2'°［使得忸。=2|即，

要使2|/修+忸C|最小，即2R0+忸必）最小，

則4,B,。三點共線，且D4垂直于直線2x+>-4=°時取得最小值，如圖所示，

2x|--|+0-4

,,,,2x―',）——=2后

所以2國+忸a的最小值為c

故選C.

【關鍵點撥】設"（％，0），3（再,凹），令忸q=2即，將所求轉化為求期+|即的最小值,

是解決本題的關鍵.

6.【正確答案】C

【詳解】由題設，A,B,C,。在一個圓上，故N/OC+N/2C=180。，又4BLBC,

所以//Z）C=90。，即/D,C。，故"C是四邊形/BCD外接圓的直徑,

由P4_L平面ABCD,BC,CD,ACcz平面ABCD,則PAIBC,

PAVCD,PA1AC,

由尸PA,/8u平面尸43,則BC」平面尸P8u平面PN3,貝。8C1P8,

由以「3=",pA,ADu平面尸/D,則CO1平面P/D,R4u平面P4D,貝|

CD1PA,

故△P8C,△PCD,VPC/都是以PC為斜邊的直角三角形，故PC中點為P-ABCD外

接球球心，

且/PD4為二面角尸-⑦-”的平面角，故NPD4=45。,

因為/PD/=45。，AD+CD=2,

令AD=%且0<%<2,貝=CD=2—x,

故ZC=ylAD2+CD2=,2--4x+4,

R=~=~ylPA2+AC2=--y/3x2-4x+4=--.3(x--)2+-

所以外接球半徑2222V33

?_V6.,V68

X2

~~RmM=——八471X(——)=-7T

當3時，3,此時球O的表面積的最小值為33

故選：C

7.【正確答案】D

【詳解】對于A,結合曲線。：&+#=9（/-力，將（_x,_y）代入,

方程不變，即曲線C的圖象關于原點對稱，A錯誤；

對于B,令k°,則（丁）=",

解得》=土3,

2-11+V153,

令x=±l,則（1+力=9（1一力,y=---------<1

解得2,

2-17+V369)

令x=±2,則-（4一力,y=----------<2

解得2

故曲線C經過的整點只能是（°，°），（3，°），（-3,0）,B錯誤；

對于C,直線、=丘與曲線C：G+力=9仁-力必有公共點（0,0）,

22

<（.X+/J=9（X-/）

因此若直線”.與曲線C只有一個交點，則|昨近只有一個解（°，°）,

即“1+〃）=9/（1-〃）只有一個解為》=0,即/（J時，xp+r）=9x2（1-/）無解,

故1-r40,即實數人的取值范圍為（一°°，7]"1,+8）,c錯誤,

對于D,由「(x+/嚇)―9GyD),可得一+—―-IL,y=o時取等號,

x+y

則曲線C上任意一點到坐標原點。的距離為"43,即都不超過3,D正確,

故選：D

8.【正確答案】C

【分析】根據阿氏圓性質求出阿氏圓圓心。位置及半徑，P在空間內軌跡為以。為

球心的球，球與面N5CZ）,4BB4,8°G4交線為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角,

求出在截面內的圓弧的長度即可.

【詳解】

圖①

在平面中，圖①中以8為原點以為x軸建系如圖，設阿氏圓圓心°（③°）,半徑為小

PA2叫=*=2

■：\PA\=2\PB\,:.=2,.\r=

~PB1-22

\AM\"

1---\=2=2

設圓。與45交于M由阿氏圓性質知

v|BM|=2-\BO|=2-a,:.\AM\=2\BM\=4-2a

4—2cl+2—a—6—3u—3,.e.Q=1,0(1,0)

P在空間內軌跡為以。為球心半徑為，的球,

若尸在四邊形/844內部時如圖②，截面圓與AB,網分別交于M,R,所以p在四邊

形內的軌跡為MR,

3

、一,圖②小。I=2,忸。|=1,在Rt^RBO中

:.MR=2x-^-n

ZROB=60°,33,

2

當P在面ABB^內部的軌跡長為§無，

2

-71

同理，當尸在面N8CD內部的軌跡長為3

當尸在面8CG片時,如圖③所示,

。6，面BCCA,平面BCC\BI截球所得小

圓是以2為圓心，以2尸為半徑的圓,截面圓與BB〃8。分別交于凡。,且

BP=SP?-OB?=V^I=G,

尸在正方形BO。蜴內的軌跡為RQ,

磁=生義6=3兀

22,

22V34V3

—兀+―兀H-----71=—71H------兀

綜上：P的軌跡長度為33232

故選C.

9.【正確答案】CD

【分析】根據投影向量公式計算判斷A,應用向量共線判斷B,判斷四點共面判斷

C,根據基底運算判斷D.

【詳解】對于A,由于'=（0/，1）,3=（0,0,-1）,則a在B的投影向量為

。葉（。。】）

故A錯誤;

對于B,因為直線/的方向向量為0=(L°6),平面c的法向量為1’‘3人所以

。歷=-2+2=0,所以〃/e或/ue,B錯誤；

對于C,因為尸為平面N8C上的一點，所以尸，C四點共面，

OP=—OA+mOB—nOC(n,meR)

則由空間向量共面定理以及2,可得，

1,1

-+m-n=1m—n=—

2，所以2,C正確；

對于D,萬在單位正交基底依瓦計下的坐標為023),即0=。+2彼+3"

所以,在基底卡樂"'明下滿足：

x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+x)b+zc=a+2b+3c

13

故x+.v=l,y-x=2,z=3,可得2,2,z=3,

，,

則亦在基底但一行花+反以下的坐標為l^2)＞故D正確.

故選CD.

10.【正確答案】ACD

【詳解】如圖所示，

因為MO分別是咫，百巴的中點，所以△尸￡旦中，尸鳥〃M。，所以PE上》軸,

_n尸pp_-

A選項中，因為直線尸片的傾斜角為6,所以123,故A正確;

PP.273473

B選項中，直角居中，F\F[=2c,23°,'3°,

PF.-PF,=2a=^ce=-=V3

所以3,得：a,故B不正確；

絲也

C選項中，由。2=f+/,即。2=3/,即/+/=3/,即。，

y-±—x=±V2x

所以雙曲線的漸近線方程為：。，故C正確;

D選項中，△尸耳耳的周長為設內切圓為r,根據三角形的等面積法，有

1-------

3JC

故D正確

故選：ACD.

11.【正確答案】ACD

【詳解】對于選項AB,連接20并延長交C4于S,連接NS,

由平面幾何知識可得：S是°4的中點，且N,R,S三點共線，。是VN3C重心，

因為尸滅〃面4cAPRu平面B[NSB,平面qNSBCl平面4cA/=40,所以尸尺〃8?,

作SK//瓦。交4N于K,由直棱柱性質有4N//8S,因此用心°是平行四邊形,

BlK=SQ=^BS=^BlN

又由平面幾何知識知&'是M中點，因此?是人區中點，

NP=-NK=-x-B.N=-B,N

從而223131即尸為4"上靠近N的三等分點，所以A正確,

B錯誤;

對于選項C,B'P-BQ-^BS因此片尸08是平行四邊形，所以8P與印。互相平分,

從而尸與B點到平面8cM的距離相等，三棱錐尸一用CM的體積等于三棱錐

8一8C”的體積,

一B[CM=^51-BCM=-x—x2xlx2=一

而323,所以c正確;

對于選項D,?."NBC的外心是S,由NS//CG得NS,平面/8C,

...三棱錐尸-N3C的外接球球心一定在直線NS上,

設三棱錐P-N8C的外接球球心為0,半徑為R,OS=h,

則R2=OA2=SA2+S02=攤j+h2=2+h2

2

R1=OP2=NP2+ON2=—+(2-=—-4分+h

I3J

,5「2、25187

2+h2=—-4/7+A2h=-R2=2+——=——

9,解得:9,8181,

球表面積為'=4府所以D正確.

故選：ACD.

12.【正確答案】±2

【詳解】x2+y2=16^x2+y2+kx+y+m-l6=0^^

可得兩圓的公共弦所在線的方程為：息+了+機，

由圓G：/+r=16可得G(o,o),圓的半徑為4,

d=M2

圓心G到N8直線的距離為a+/

AB

\\,因為1+*21,

J16一加2

所以,左=。時等號成立,

又因為|4B|的最小值為4右,

所以2,16-療=46,解得加=土2

故答案為.±2

3

13.【正確答案】4/0,75

【詳解】因為故/尸/切或其補角就是異面直線尸。與2C所成的角，

連接尸/,易知「。=/。=4,PE=AE=2,

因為平面尸DE。平面菱形48CD中，AB=BD,

即"8。是正三角形，E為4B中點，則NE1OE,所以又BESE,

所以/尸理即為平面尸。￡與平面8C0E所成的二面角的平面角，

因為平面PDE工平面BCDE,

所以/尸防=90。，ZPEA=90°,所以尸

所以PA=VPE2+AE2=2^/2,在APDA中，

42+42-^V?J

PD2+AD2-PA23

cos/PDA=

由余弦定理得2PD-AD2x4x44,

3

所以異面直線尸。與3C所成角的余弦值為4.

14.【正確答案】7/7

【詳解】

設/(再必),8(%%)

,_y；=0①

—=0②

12，2

則且

=(%-%)(,+%)

①-②可得

%一%2」

21

再-X2演+工3k.k

riOM~AB

整理得,2即3(*),

如圖，在Rt△隼明中，耳耳目。耳I,則/血￡=2/孫0

tanNMOF,=tan24MF。=2tan［孫。=

故1一tan-/M0,即期1-七,

將此式代入（*）得，li*B3解得'廠于依題意，如＞0,則相一7.

V7

故答案為.萬

15.【正確答案】（1）證明見解析；

12面

⑵41.

【詳解】（1）由/B=5,/C=3,BC=4,得次=/C2+BC、則44c8=90°,即

BC1AC,

由44口平面48C,BCu平面4BC,貝

而N4n/C=N,44],/Cu平面/CC/1,于是2?CJ_平面/CG4,連接"G,

又/Gu平面"G4,則8CL/G,由點尸，〃分別為/民印的中點，得4CJ/PD,

所以BCCD.

（2）連接4C,交"0于點E,連接3E,過點c作CF工BE,尸為垂足，

由，4="=3,側棱垂直于底面，得且一2,

又C8L/G,C5nc￡=c；C8,C￡u平面C5￡,則平面C8E,

又CFu平面cg￡,則又CF工BE,BEC4cl=E,AE1,/。1u平面48cl

因此W_L平面BCtA,即cp為點。到平面PBCt的距離，

由5C_L平面NCC/i,CEu平面/CC]4,得BCJ_CE,

BCCE4,、12面

BE一庶一4\

所以點c到平面.G的距離

16.【正確答案】（1）。=±5

8-

(2)有，公共弦長為r

,,陋丫」2⑸L

【詳解】(1)圓心。到直線4x-3y+a=0距離為"二，故(5J(2J，解得

。=±5；

(2)42,0)1(0,2),設0(3),由3|=0囪得(X-2)2+R=2，+“-2)2]

化簡得：x2+y2+4x-8y+4=0gp(x+2)2+(y-4)2=16

所以動點。的軌跡是以(24)為圓心，4為半徑的圓E,

圓心距°￡=也2+4,=2指,4一2<2石<2+4,兩圓相交，

所以兩圓有兩個公共點，

由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為x-2y+2=0,

121_22「金L

圓心（°，°）到公共弦的距離為々+22出,則公共弦長為V'亞）5.

17.【正確答案】（1）6；

⑵45。.

【詳解】（1）因為///平面/u平面P/8,平面p48c平面488=

所以IHAB,同理得IHCD,所以AB//CD,

因為N3=4,BC=CD=2,48c=60。，所以N8CD=120。，

所以ZDBC=ZBDC=30°且

BD=\JBC2+CD2-2BC-CDcos120°=722+22-2x2x2cosl20°=273,

AD=VAB2+BD2-2AB-BDcos30°=,42+（2^-2X4X2A/3X—=2

所以N￡>8/=30。且\\J2

底面梯形《BCD的高為h=BDsin/ABD=xsin30。=6

5=-x（2+4）xV3=3A/3

所以底面梯形,BCD的面積2,

在APAD中，PA=4,AD=2,PD=2V3,

所以尸/2=/。2+?。2,所以

因為平面尸/D，平面4s8,平面「力。C平面48CD=4D,PDLAD,尸Du平面

PAD,

所以尸。,平面ABCD,

V=—S-PD=—x3\/3x2A/3=6

所以四棱錐尸-/BCD的體積33

（2）因為4。=2,BD=20AB=4,所以/爐=AD?+即，幺。，

所以D8,AD,。尸兩兩垂直，可以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系

則￡>(0,0,0),a(2,0,0),8@,2瘋0),乳―1,居0),尸傘,。,26)，

所以及=@_技2百)G4=(3,-A/3,0)C5=(l,V3,0)

設函=XCP=(2,-V3A,2百幾),

所以諼=0-詬=0-/1,-6+&,-26/1)/=而-通=?-/1,6+后,-26/1)

因為3="，所以（3-㈤2+3（彳一i）2+上力=（1一㈤2+3（i+㈤2+12萬

解得T,因此超V孚與T

QBVm

<_

設爪=（x,y,z）為平面PAQ的法向量，則QAlm

QB?m=；1+之,y-導=0

QAm=^x-^-y—y/3z=0

則

取了=1,貝g工=百，z=2,即加=(6,1,2),

因為「。，平面/BCD,所以平面/BCD的法向量為五=（°，0，1）,

,,\m-n\173x0+1x0+2x11272

COSei~____-=-______________________L-________

設二面角0_"_C為/則Hl?l，疔+仔+2葭12收2

所以由圖二面角2一/8-0的大小為45。.

一一1

18.【正確答案】（1）98

8

y--x

⑵3

(3)2

【詳解】（1）由題意知點I3J在C上，且軸，設橢圓焦距為2c,

貝!]c=l,

C:[+4=l（a>6>0）v=±—

將x=c代入ab中，得a,

則。3,結合a2-b2=c2=l,

從而。2=9,〃=8,

22

上+匕=1

二橢圓C方程為98.

（2）由題意知過點M且與橢圓C有且只有一個公共點的直線的斜率不為0,

令△=（）,即8/-〃2+9=0①，

（⑻,8

又/"=叼+”過I3人則3②，

fm=-3

聯立①②可得〔"=9,則/：x=-3y+9,即得點p為（9,0）.

18

Sc=-x9x—=12M

設原點。（0,0）,由A.皿23,反c“網=24,

故S4MPR=2s40PM,

從而E到/的距離為。到/距離的2倍,即火在/關于。對稱的直線上，

又K在