專題06利用導數研究函數的最值一、單選題1．函數在上的最小值為（）A． B．4 C． D．【解析】，所以時，，遞減，時，，遞增，所以是在上的唯一極值點，極小值也是最小值．．故選：D．2．函數在區間上的最大值是（）A． B．C． D．【解析】因為，，則，令得，所以，當，，單調遞增；當，，單調遞減，所以，當時，有最大值.故選：D.3．一邊長為的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長為的小正方形，然后做成一個無蓋方盒.當方盒的容積最大時，（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】由題意可得：無蓋方盒的底面是邊長為的正方形，高為，則無蓋方盒的容積，，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故時，方盒的容積最大，故選：B..4．設函數，若有成立，則實數取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由，得，令，得或，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，因為，，所以由有成立，可得，所以，故選：A5．若函數在上有最大值，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由題知，，，由得，，由得或.所以函數在上遞減，在上遞增，上遞減，若函數在上有最大值，則，解得.故選：A．6．已知函數，對定義域內任意x都有，則實數k的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】因為，對定義域內任意x都有，則對恒成立，令，則，令，解得：，令，解得：，在上單調遞減，在上單調遞增，故的最小值是，故．選項A正確，選項BCD錯誤.故選:A.7．直線分別與曲線，相交于、兩點，則的最小值為（）A． B． C．2 D．【解析】令，其中，則.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，故，易知點，，故，因此，的最小值為.故選：C.8．若關于的不等式在上有解，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由，得，又關于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，則，設，，則，即在上單調遞增，則，于是有，從而得在上單調遞增，因此，，則，所以的取值范圍是.故選：D二、多選題9．已知函數，則（）A．在上單調遞增B．是的極大值點C．有三個零點D．在上最大值是【解析】因為，所以，令，解得或，與隨的變化情況如下表：200極大值極小值因此函數在，上單調遞增，在上單調遞減，故錯誤；是的極大值點，故正確；因為，，，，由函數的單調性及零點存在性定理可知有三個零點，故正確；當的定義域為時，在，上單調遞減，在，上單調遞增，又，，所以在，上的最大值是4，故正確．故選：．10．已知函數，下列說法中正確的有（）A．函數的單調減區間為B．函數的極大值為，極小值為C．當時，函數的最大值為，最小值為D．曲線在點處的切線方程為【解析】由可得，對于A：由即，解得：，所以函數的單調減區間為，故選項A正確；對于B：由即，解得：；由即，解得：或；所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值為，的極小值為，故選項B正確；對于C：由選項B知：在單調遞增，所以在上單調遞增，所以當時，函數的最大值為，最小值為，故選項C不正確；對于D：由導數的幾何意義可得在點處切線的斜率曲線在點處的切線方程為即，故選項D正確；故選：ABD.11．設的最大值為，則（）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【解析】對于選項A，當時，則，，在區間上，所以在區間上遞減，所以，故選項A正確.對于選項B，當時，，則，在區間上遞增，即，故選項B正確.對于選項C，當時，當時，恒成立，所以，所以，故選項C錯誤.對于選項D，當時，，則，在區間上遞增，，故選項D錯誤.故選：AB.12．已知不等式恒成立，則實數的取值可以是（）A． B． C． D．【解析】不等式，而或，則當時，令，，時，，顯然在單調遞減，而，使得，時，時，在上遞增，在上遞減，又，從而得，最小值1不能取到，即恒成立，所以，則當時，令，，同理可得恒成立，所以，綜上：不等式恒成立的實數滿足，則選項A，B符合.故選：AB三、填空題13．函數在區間上的最大值是________．【解析】，令，則，所以時，，函數單調遞增；時，，函數單調遞減；所以函數在處取得極大值，也是最大值，因此14．已知函數，若函數在區間上存在最大值，則實數的取值范圍是____________.【解析】因為，則，令，可得；令，可得或.所以，函數的單調遞增區間為、，單調遞減區間為，所以，，令，即，即，解得，如下圖所示：

由題意可得，解得.因此，實數的取值范圍是.15．已知函數，若存在成立，則實數a的取值范圍是________．【解析】由題意，函數，可得，設，可得，函數在上為單調遞增函數，又由，所以函數在上只有一個零點，設為，即，即，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以當時，函數取得最小值，其中最小值為，要使得存在成立，所以，即實數a的取值范圍是.16．已知，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍是________．【解析】依題意，知，即對任意恒成立，從而，因此由原不等式，得恒成立．令，則．令，得．當時，．函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減，所以，故實數的取值范圍是．四、解答題17．已知在時有極值0.（1）求常數，的值；（2）求在區間上的最值.【解析】（1），由題知：聯立（1）?（2）有(舍)或.當時在定義域上單調遞增，故舍去；所以，，經檢驗，符合題意（2）當，時，故方程有根或由，得或由得，函數的單調增區間為：，，減區間為：.函數在取得極大值，在取極小值；經計算，，，，所以最小值為0，最大值為4.18．設函數（為常數），.曲線在點處的切線與軸平行（1）求的值；（2）求的單調區間和最小值；【解析】（1），，因為曲線在點處的切線與軸平行，所以，所以.（2），定義域為，令得，當變化時，和的變化如下表：1－0＋增0減由上表可知的單調遞減區間為，單調遞增區間為，最小值為.19．已知函數（1）設是的導函數，討論函數的單調性；（2）當時，求函數在上的最小值.【解析】（1）由已知，設，，當時，在上恒成立，在上遞增，當時，令得，得，在上遞減，在上遞增，綜上所述：當時，是上的增函數，當時，在是減函數，在上是增函數，（2）由（1）知，①當時，在上遞增，又，時，時，，則在上遞減，在上遞增，，當時，，由（1）知在上遞增，又，則在上遞減，在上遞增，，當時，由（1）知，在上遞減，在上遞增，且，時，時，，在上遞減，在在遞增，則，綜上所述：函數在上的最小值為.20．已知函數.（1）若曲線在點處的切線方程為，求的解析式；（2）當時，若在區間上的最大值為，求a的值.【解析】（1）.由導數的幾何意義得.∵切點在直線上，∴，∴，∴函數的解析式為.（2）當時，.①若，∵，∴在區間上為增函數，，∴，舍去；②若，為減函數，∴，∴在區間上為增函數，，∴，舍去；③若，當時，在區間上為增函數，當時，在區間上為減函數，，∴.綜上，.21．已知函數.（1）求函數在區間上的最大值和最小值(參考數據：)；（2）若不等式有解，求實數a的取值范圍.【解析】（1）求導得：，令可得，令可得，于是函數在單調遞增，在單調遞減，于是當時，取最大值為，又，，于是當時，取最小值為綜上：當時，取最大值為，當時，取最小值為（2）原不等式即為：，可化簡為記，則原不等式有解可轉化為的最大值求導得：，于是函數在上單調遞增，在上單調遞減于是：，于是，解得：.22．已知函數.（1）當時，求過坐標原點且與函數的圖像相切的直線方程；（2）當