知識點新課程標準的要求層次要求領域目標要求隨機事件的概率①了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性,了解概率的意義以及頻率與概率的區別②了解兩個互斥事件的概率加法公式.了解隨機現象與概率的意義,加強與現實生活的聯系,以科學的態度評價身邊的一些隨機現象.教師應通過日常生活中的大量實例,鼓勵學生動手試驗,正確理解隨機事件發生的不確定性及其頻率的穩定性.讓學生體驗觀察、實驗、歸納、類比、推斷等數學活動在概率學習中的重要性,提高直覺思維能力.增加學生合作學習交流的機會,讓學生積極參與到數據的收集、分析、整理與描述的數學活動中,在體會概率意義的同時,感受與他人合作的重要性.在數據收集和整理的過程中,敢于面對困難,克服困難,初步形成實事求是的科學態度和鍥而不舍的求學精神古典概型①理解古典概型及其概率計算公式,會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率②學會把一些實際問題化為古典概型問題③了解整數型隨機數的意義,能運用模擬方法(包括計算器產生隨機數來進行模擬)估計概率幾何概型①初步體會幾何概型的意義②讓學生初步學會把一些實際問題化為幾何概型問題③了解連續型隨機數的意義,能運用模擬方法(包括計算器產生隨機數來進行模擬)估計概率本章教學的重點是頻率與概率的意義、古典概型、幾何概型、事件的關系和運算.在教學時要注意以下幾點:.鼓勵學生動手操作和主動參與,讓他們在試驗、觀察、交流等活動中體會和理解隨機事件發生的不確定性及其頻率的穩定性等相關內容.鼓勵學生動手操作、主動參與統計試驗,不但能激發學生學習概率統計的興趣,而且在反復的統計試驗中可以更好地體會和理解統計思想.在引出概率的統計定義時,盡管學生在初中已經做過擲硬幣的試驗,但對試驗數據的整理和分析是比較初步的,如果學生能動手畫出條形圖和折線圖等,通過觀察與交流的方式,可以對隨機事件發生的不確定性及其頻率的穩定性有更深入的理解.在概率的正確理解的部分,教學中可以讓學生動手做兩個試驗,連續擲兩個硬幣的試驗與邊框中有放回的摸球試驗,通過觀察與分析、交流等方式幫助學生澄清日常生活中遇到的一些錯誤認識..注意與初中概率統計的銜接.這一章的知識與初中內容聯系密切,一些內容在初中都接觸過,要與初中內容銜接,就必須深入了解初中概率部分的內容、要求,了解它們與這一部分內容的聯系與區別.從小學到初中再到高中,概率統計的內容是采用逐步滲透、螺旋上升的方式.在初中,介紹了隨機事件的概念,要求會運用列舉法計算簡單隨機事件的概率,通過試驗,獲得隨機事件發生的頻率,知道大量重復試驗時頻率可作為隨機事件發生概率的估計值.由此可以看到,高中有些內容是與初中相同的.在教學中可以用回憶復習等方式先回顧初中相應的內容,在此基礎上要有更深層次的理解.比如,在頻率與概率部分,不但知道頻率可以作為概率的近似,而且要知道頻率與概率的區別在于頻率是隨機的,每次試驗得到的頻率可能是不同的,而隨機事件的概率是一個常數,是隨機事件發生可能性大小的度量,它不隨每次試驗的結果改變.在初中要求會運用列舉法計算簡單隨機事件的概率,而高中提高到理解古典概型的特征,在古典概型中運用古典概型求概率的公式計算隨機事件的概率.隨機事件的關系與運算、概率的性質、幾何概型、隨機模擬方法等是高中的新內容,初中沒有涉及..教學中要注重統計思想和概率的意義的解釋,而不能把重點放在復雜的計算上.一種統計方法只能解決部分實際問題,在面臨新的問題時,需要的是新思想.教學的目的不僅是為了讓學生掌握現有的知識,而且還要培養學生分析問題和解決問題的能力,培養學生的創新精神,所以統計思想的解釋就顯得尤為重要.在用頻率近似概率時利用的是樣本的數字特征估計總體的數字特征的統計思想.同樣隨機模擬的理論依據仍然是用樣本估計總體的思想.在古典概型的教學中,讓學生學會把一些實際問題化為古典概型,而不是把重點放在“如何計數”上..重視現代信息技術的應用.現代信息技術對概率統計的發展起到了決定性的作用.隨機模擬試驗需要產生大量的隨機數,同時又要統計試驗的結果,如果離開計算機的幫助,需要花費大量的時間,統計試驗結果的困難是可想而知的.用計算機進行模擬試驗的另一個好處是相同的試驗可以在短時間內多次重復,可以對試驗結果的隨機性和規律性有更深刻的認識.現代信息技術的應用使統計試驗變得十分方便,而且可以通過大量重復試驗比較結果的穩定性.本章對學生的最低要求是會用計算器產生隨機數進行簡單的模擬試驗,并統計試驗結果.有條件的學校可以讓學生學會用一種統計軟件,例如軟件,多次重復模擬試驗,并統計模擬的結果,畫出頻率折線圖等統計圖.第課時隨機事件的概率.了解隨機事件、必然事件、不可能事件、等可能性事件、確定事件等基本概念..了解隨機事件的發生存在著規律性和隨機事件概率的定義..理解頻率與概率的區別與聯系.重點:一是事件、隨機事件、頻數、頻率、概率的概念;二是頻率與概率的區別與聯系.難點:理解頻率與概率的關系.在一些賭王爭霸的影片中,我們經常看到兩個新老賭王擲骰子或梭哈來定輸贏,在擲骰子時會存在千術,比如在骰子中灌入鉛.請指出下面三個事件分別是什么事件.①當不灌鉛時,出現六點向上.②當在六點灌鉛時,出現六點向上.③當在六點灌鉛時,出現一點向上(注:六點的對面為一點).問題:()在上面的問題中,分別對應著隨機事件、不可能事件、必然事件.

()必然事件:在條件下(條件可以是一個條件也可以是一組條件),一定會發生的事件叫作相對于條件的必然事件,簡稱必然事件.

()不可能事件:在條件下,一定不會發生的事件稱為相對于條件的不可能事件,簡稱不可能事件.

()確定事件:必然事件與不可能事件統稱為相對于的確定事件,簡稱確定事件.

()隨機事件:在條件下,可能發生也可能不發生的事件稱為相對于條件的隨機事件,簡稱隨機事件.問題:()隨機事件的頻率:在相同的條件下重復次試驗,觀察某一事件是否出現,稱次試驗中事件出現的次數為事件出現的頻數,稱事件出現的比例()

為事件出現的頻率.

()隨機事件的概率:一般來說,隨機事件在每次試驗中是否發生是不能預知的,但是在大量重復試驗后,隨著試驗次數的增加,事件發生的頻率會逐漸穩定在區間[]中的某個常數上,這個常數可以用來度量事件發生的可能性的大小,稱為事件的概率,記作().

問題:頻率和概率的區別與聯系()區別:頻率隨著試驗次數的改變而改變,即頻率是隨機的,且試驗前是不確定的,而概率是一個確定的常數,是客觀存在的,與試驗次數無關,是隨機事件自身的一個屬性.

()聯系:在相同的條件下,隨著試驗次數的增加,隨機事件發生的頻率會在某個常數附近擺動并趨于穩定,所以可用頻率作為概率的近似值,當試驗次數越來越多時頻率向概率靠近,概率是頻率的近似值.

問題:不可能事件、必然事件、隨機事件的概率若事件是不可能事件,則();若事件是必然事件,則();若事件是隨機事件,則()∈[].不可能事件、必然事件和隨機事件這三個概念既有區別又有聯系.在具體的每次試驗中,根據試驗結果可以區分三種事件.但在一般情況下,隨機事件也包含不可能事件和必然事件,并且將它們作為隨機事件的特例.

說起概率論起源的故事,就要提到法國的兩個數學家.一個叫帕斯卡,一個叫費馬.帕斯卡認識的朋友中有兩個是賭徒年,法國一位貴族梅累向帕斯卡提出了一個十分有趣的“分賭注”問題.這兩個賭徒說,他倆下賭金之后,約定誰先贏滿局,誰就獲得全部賭金.賭了半天贏了局贏了局,時間很晚了,他們都不想再賭下去了.那么,這個錢應該怎么分?是不是把錢分成份,贏了局的就拿份,贏了局的就拿份呢?或者,因為最早說的是滿局,而誰也沒達到,所以就一人分一半呢?通過兩人對這個問題的討論,概率論從此就發展起來了..下列現象中,是隨機現象的有().①在一條公路上,交警記錄某一小時通過的汽車超過輛;②若為整數,則為整數;③發射一顆炮彈,命中目標;④檢查流水線上一件產品是合格品還是次品.個個個個【解析】當為整數時一定為整數,是必然現象,其余個均為隨機現象.【答案】.從一批準備出廠的電視機中隨機抽取臺進行質量檢查,其中有臺是次品.若用表示抽到次品這一事件,則對這一事件發生的說法正確的是()..概率為.頻率為.概率接近.每抽臺電視機,必有臺次品【解析】臺電視機中有臺次品,連續從這臺中抽取,每次抽取一臺次試驗中必會抽到這臺次品一次,故發生的頻率為.【答案】.某人拋出一枚硬幣次,結果正面朝上有次,設正面朝上為事件,則事件出現的頻數為,事件出現的頻率為.

【解析】在次試驗中,隨機事件出現了次,所以事件的頻數是,頻率為.【答案】.盒中僅有只白球只黑球,從中任意取出一只球.()“取出的球是黃球”是什么事件?它的概率是多少?()“取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少?()“取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少?【解析】()“取出的球是黃球”在題設條件下根本不可能發生,因此它是不可能事件,其概率為.()“取出的球是白球”是隨機事件,它的概率是.()“取出的球是白球或黑球”在題設條件下必然發生,因此它是必然事件,它的概率是.隨機事件、不可能事件、必然事件的判斷指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機事件.()明年春天雨水將會比較充沛;()出租車司機小李駕車通過幾個十字路口都將遇到綠燈;()若∈,則≥;()拋一枚骰子兩次,朝上面的數字之和大于.【方法指導】先回顧事件的分類,再判斷事件的類型,進而得出結論.【解析】由題意知:()()中事件可能發生,也可能不發生,所以是隨機事件;()中事件一定會發生,是必然事件;()中由于骰子朝上面的數字最大是,兩次朝上面的數字之和最大是,不可能大于,所以該事件不可能發生,是不可能事件.【小結】事件的分類主要是根據事件發生可能性的大小來確定,有些事件需要進行適當地推理.用頻率估計概率某射手在同一條件下進行射擊,結果如下表所示:射擊次數擊中靶心次數擊中靶心的頻率()填寫表中擊中靶心的頻率.()這個射手射擊一次,擊中靶心的概率大約是多少?()若該射手在一次射擊訓練中射中靶心的次數為次,你估計該射手這次訓練射擊了多少次?【方法指導】()頻率;()概率可用頻率來估計;()射擊次數≈.【解析】()表中依次填入的數據.()由于頻率穩定在常數附近,所以射手射擊一次,擊中靶心的概率約是.()設射擊了次,則≈≈次.【小結】隨機事件發生的概率是大量試驗下的頻率的近似值,是一個確定的數,故可用大量試驗下的頻率來估計.隨機試驗的結果判斷指出下列試驗的結果:()從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各個的袋子中任取個小球;()從四個數中任取兩個數(不重復)作差.【方法指導】按照順序列出所有抽取小球的結果;根據抽取兩數作差是有順序的,因此列出抽取的所有結果作差.【解析】()結果:紅球,白球;紅球,黑球;白球,黑球.()結果,,,,,.即試驗的結果為.【小結】在解答本題的過程中,易出現結果重復或遺漏的錯誤,導致這種錯誤的原因是沒有按一定的順序列出結果.判斷下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是隨機事件?()“拋一石塊,下落”;()“在標準大氣壓下且溫度低于℃時,冰融化”;()“某人射擊一次,中靶”;()“如果>,那么>”;()“從分別標有號數的張標簽中任取一張,得到號簽”;()“某電話機在分鐘內收到次呼叫”.【解析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的定義可知,事件()、()是必然事件;事件()是不可能事件;事件()、()、()是隨機事件.口袋里有個黑球和若干白球,現不許將球倒出來數,王蘭從口袋里隨機摸出一個球,記下其顏色,再把它放回口袋中,不斷重復上述過程,她總共摸了次,其中有次摸到黑球,你估計口袋中的白球個數為多少?【解析】設口袋里有白球個,則口袋里共有球()個,于是王蘭每次摸一球,記下顏色放回,均勻后再摸一個記顏色,這樣摸到黑球的概率,實驗中摸到黑球的頻率為,∵≈,∴≈,解得≈,∴估計口袋中有白球個.袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑個球,分別寫出以下隨機試驗的條件和結果.()從中任取球;()從中任取球.【解析】()條件為從袋中任取球.結果為紅、白、黃、黑,共種.()條件為從袋中任取球.若記(紅,白)表示一次試驗中,取出的是紅球與白球.結果為(紅,白),(紅,黃),(紅,黑),(白,黃),(白,黑),(黃,黑),共種..下列說法正確的是()..任何事件的概率總是在()之間.頻率是客觀的,與試驗次數無關.隨著試驗次數的增加,頻率一般會越來越接近概率.概率是隨機的,在試驗前不能確定【解析】中應是[]中()為試驗次數中概率不受試驗的影響.【答案】個同類產品中含有個次品,現從中任意抽出個,必然事件是().個都是正品.至少有一個是次品個都是次品.至少有一個是正品【解析】都是隨機事件;因為只有個次品,所以“抽出的個全是次品”是不可能事件;“至少有一個是正品”是必然事件.【答案】.將一枚硬幣連續拋擲次記錄朝上一面的正反情形,可能出現的結果共有個.

【解析】分別為(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(反,反,反),共種結果.【答案】.對某廠生產的某種產品進行抽樣檢查,數據如下:調查件數合格件數根據上表所提供的數據,若要從該廠生產的此種產品中抽到件合格產品,大約需要抽取多少件產品?【解析】次抽查的合格頻率分別為,則合格概率估計為.設若想抽到件合格品,大約抽件產品,則,所以.(年·重慶卷)下圖是某公司個銷售店某月銷售某產品數量(單位:臺)的莖葉圖,則數據落在區間[)內的頻率為().A.0.2.0.4【解析】由莖葉圖可知數據落在區間[)的頻數為,所以數據落在區間[)的頻率為.【答案】

.先從一副撲克牌中抽取張紅桃張梅花張黑桃,再從抽取的這張牌中隨機抽出張,恰好紅桃、梅花、黑桃種牌都抽到,這個事件()..可能發生.不可能發生.必然發生 .無法判斷【解析】因為張牌中,紅桃、梅花、黑桃中任兩種的張數之和都小于,故從張撲克中抽取張,三種牌一定都有.【答案】.下列說法正確的是()..任一事件的概率總在()內.不可能事件的概率不一定為.必然事件的概率一定為.以上均不對【解析】任一事件的概率總在[]內,不可能事件的概率為,必然事件的概率為.【答案】.在件瓷器中,有件一級品件二級品,從中任取件.()“件都是二級品”是事件.

()“件都是一級品”是事件.

()“至少有一件是一級品”是事件.

【解析】()因為件瓷器中,只有件二級品,取出件都是二級品是不可能發生的,故是不可能事件.()“件都是一級品”在題設條件下是可能發生也可能不發生的,故是隨機事件.()“至少有一件是一級品”是必然事件,因為件瓷器中只有件二級品,取件必有一級品.【答案】不可能隨機必然.某校舉辦年元旦聯歡晚會,為了吸引廣大同學積極參加活動,特舉辦一次摸獎活動.凡是參加晚會者,進門時均可參加摸獎,摸獎的器具是黃、白兩色的乒乓球,這些乒乓球的大小和質地完全相同.另有一只密封良好且不透光的立方體木箱(木箱的上方可容一只手伸入).擬按中獎率為設大獎,其余則為小獎,大獎獎品的價值為元,小獎獎品的價值為元.請你運用概率的有關知識設計一個摸獎方案以滿足校方的要求.【解析】在箱子里放個乒乓球,其中個黃色的個白色的.摸到黃球時為大獎,摸到白球時為小獎..從名學生中選取名組成參觀團,若采用下面的方法選取,先用簡單隨機抽樣法從人中剔除人,剩下的人按系統抽樣的方法進行,則每人入選的概率()..不全相等 .均不相等.都相等且為 .都相等且為【解析】每人入選的概率相等,故選.【答案】.給出關于滿足?的非空集合、的四個命題:①若任取∈,則∈是必然事件;②若任取?,則∈是不可能事件;③若任取∈,則∈是隨機事件;④若任取?,則?是必然事件.其中正確的命題有().個個個個【解析】∵?,∴中的任一個元素都是中的元素,而中至少有一個元素不在中,因此①正確,②錯誤,③正確,④正確.【答案】.某人撿到一塊不規則形狀的五面體石塊,他在每個面上作了記號,投擲了次,并且記錄了每個面落在桌面上的次數(如表).如果再投擲一次,請估計石塊的第面落在桌面上的概率是.

石塊的面頻數【解析】我們從表格中可知,總共投擲了石塊次,其中第面落在桌面上的次數為次,故我們可利用它落在桌面上的頻率估計其概率值為.【答案】.下面是某批乒乓球質量檢查結果表:抽取球數優等品數優等品出現的頻率

()在上表中填上優等品出現的頻率;()估計該批乒乓球優等品的概率.【解析】()依次填上的頻率是.()從表中數據可以看出,這批乒乓球優等品的概率大約是..擲一顆骰子,骰子落地時,記“向上的點數是”的概率為,“向上的點數大于”的概率為,則.

【解析】根據題意得,則,故.【答案】.某教授為了測試貧困地區和發達地區的同齡兒童的智力,出了個智力題,每題分.然后作了統計,表中是統計結果:貧困地區:參加測試的人數得分以上的人數得分以上的頻率發達地區:參加測試的人數得分以上的人數得分以上的頻率()利用計算器計算兩地區參加測試的兒童中得分以上的頻率;()估計兩個地區參加測試的兒童得分以上的概率;()分析貧富差距為什么會帶來人的智力的差別.【解析】()貧困地區:參加測試的人數得分以上的人數得分以上的頻率發達地區:參加測試的人數得分以上的人數得分以上的頻率()概率大約分別為和.()經濟上的貧困導致該地區生活水平落后,兒童的健康和發育會受到一定的影響;另外經濟落后也會使教育事業發展落后,導致智力出現差別.第課時古典概型的特征和概率計算公式.了解基本事件的特點,會用列舉法把一次試驗的所有基本事件列舉出來..理解古典概型的概念及其特點,會判斷一個試驗是否為古典概型..會應用古典概型的概率公式計算隨機事件的概率.重點:會利用古典概型求隨機事件的概率.難點:熟練地應用互斥事件和對立事件概率公式,將所求事件分解為概率更易于計算的彼此互斥事件的和,化整為零,化難為易,也可采取逆向思維,求其對立事件的概率.一位魔術師要表演紙牌魔術,他要邀請一位觀眾從他準備的一副有張牌的撲克中任意抽取一張牌,如果你是被邀請的觀眾,那么你抽到大王的概率是多少?抽到一張紅心牌的概率是多少?問題:在上面的情境中,抽到的牌的可能結果總共有種,每張牌抽到的可能性是相等的,大王只有張,紅心牌有張,所以抽到大王的概率為

,抽到紅心牌的概率為

,這種概率的求法其實就是我們這節課所學的古典概型.

問題:基本事件()基本事件:在試驗中,能夠描繪其他事件且不能再分的最簡單事件是基本事件.()基本事件的特點:①任何兩個基本事件是互斥的.

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.如擲骰子的試驗中,隨機事件“出現的點數是偶數”是由個基本事件組成的,分別是“出現的點數是點”“出現的點數是點”“出現的點數是點”.

問題:古典概型()古典概型的定義:①有限性:試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;②等可能性:每個基本事件出現的可能性相等.

我們把具有上述兩個特點的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.()古典概型的概率計算公式:對于古典概型,如果實驗的所有可能的結果(基本事件)的個數為,那么每一個基本事件的概率都是

,若隨機事件包含的基本事件數為(≤),則隨機事件的概率為

.

問題:古典概型的計算步驟()求出基本事件的總個數,基本個數較少時,通常用列舉法把所有的基本事件列舉出.()求出事件包含的基本事件個數(≤).()求出事件的概率()

.

概率論是從研究古典概型開始的,早在原始社會,那時的占卜師們使用動物的趾骨作為占卜工具,將一個或多個趾骨投擲出去,趾骨落地后的不同形狀指示神對人事的不同意見.由于投擲趾骨這個過程所產生的結果具有不可預測性,而每次投擲的結果也互不影響,這與我們今天投擲骰子的基本原理有點相似,因此趾骨可以被看作是骰子的雛形.但是由于趾骨形狀的規則性較差,各種結果出現的機率不完全相同(即不具備等可能性),所以趾骨產生的隨機過程還不是我們今天意義上的獨立隨機過程..一個家庭有兩個小孩,則所有可能的基本事件有()..(男,女),(男,男),(女,女).(男,女),(女,男).(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).(男,男),(女,女)【解析】由于兩個孩子出生有先后之分.【答案】.下列試驗是古典概型的是()..任意拋擲兩枚骰子,所得點數之和作為基本事件.為求任意的一個正整數平方的個位數字是的概率,將取出的正整數作為基本事件.從甲地到乙地共條路線,求某人正好選中最短路線的概率.拋擲一枚均勻的硬幣至首次出現正面為止【解析】選項,若以所得的點數之和為基本事件,則和為的有一種(),和為的有兩種()、(),…,顯然,每個基本事件對應的概率不相等,故不為古典概型.選項,以正整數集為基礎研究,結果有無窮多個,故不為古典概型.選項,有種試驗結果,選擇每條路的可能性相等,故為古典概型.選項,拋擲硬幣出現正面的試驗次數是不確定的,故不為古典概型.【答案】.學校為了研究男女同學學習數學的差異情況,對某班名同學(其中男生人,女生人)采取分層抽樣的方法,抽取一個容量為的樣本進行研究,某女同學甲被抽到的概率是.

【解析】這是一個古典概型,每個人被抽到的機會均等,都為.【答案】.盒子里共有大小相同的只白球只黑球.若從中隨機摸出兩只球,求它們顏色不同的概率.【解析】設只白球為只黑球為,則從中隨機摸出兩只球的情形有,共種,其中兩只球顏色不同的有種,故所求概率為.古典概型的判斷下列試驗中,是古典概型的有.

()種下一粒種子觀察它是否發芽;()從直徑為±0.的一批合格產品中任意抽一根,測量其直徑;()拋一枚硬幣,觀察其出現正面或反面;()某人射擊中靶或不中靶;()兩個奧運會志愿者相約在中午點到點之間在志愿服務地點交接班.【方法指導】首先閱讀條件分清事件關系,其次根據古典概型的特點進行判斷,最后得出結論.【解析】()有兩個基本事件“發芽”“不發芽”,這兩個基本事件對應的概率不相等,故不為古典概型.()中的250mm±0.6mm是個無限集,結果有無窮多個,故不為古典概型.()有種試驗結果,出現正面和反面的可能性相等,故為古典概型.()中某人射擊中靶或不中靶兩個基本事件概率不一定相等,故不為古典概型.()兩個奧運會志愿者相約在中午點到點之間交接班,基本事件是中午點到點之間的任何一個時間兩人交接班,基本事件有無窮多個,故不為古典概型.【答案】()【小結】要判斷古典概型就是判斷:每個基本事件的發生是否是等可能;試驗可能出現的結果是否為有限個.基本事件個數的計算將一顆均勻的骰子先后拋擲兩次,計算:()一共有多少種不同的結果;()其中向上的點數之和是質數的結果有多少種?【方法指導】根據拋擲骰子順序確定結果,根據兩次之和確定“點數之和是質數”的結果有多少種.【解析】()將拋擲兩次骰子的所有結果一一列舉如下:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共有種不同的結果.()點數之和是質數的結果有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種.【小結】()求基本事件的基本方法是列舉法.基本事件具有:①不能或不必分解為更小的隨機事件;②不同的基本事件不可能同時發生.因此,求基本事件時,一定要從可能性入手,對照基本事件的含義及特征進行思考,并將所有可能的基本事件一一列舉出來.()對較復雜的問題中基本事件數的求解還可應用列表或樹形圖.應用列舉法解古典概型問題袋中有個球,其中個白球個紅球,從袋中任意取出兩個,求下列事件的概率.()取出的兩球都是白球;()取出的兩球一個是白球,另一個是紅球.【方法指導】解答本題首先將它們的所有情況一一列出,然后計算它們的概率.【解析】設個白球的編號為個紅球的編號為.從袋中的個小球中任取兩個的所有可能結果如下:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共個.()從袋中的個球中任取兩個,所取的兩球全是白球的基本事件數,即是從個白球中任取兩個的基本事件數,共有個,即為(),(),(),(),(),().∴取出的兩個球全是白球的概率為.()從袋中的個球中任取兩個,其中一個是紅球,而另一個為白球,其取法包括(),(),(),(),(),(),(),(),共個.∴取出的兩個球一個是白球,另一個是紅球的概率為.【小結】列舉法可以使我們明確基本事件的構成,此法適合于基本事件比較少的情況,列舉時要按規律進行,通常采用分類方法列舉,這樣可以避免重復、遺漏,此題是按分別在第一位進行列舉的.在兩個箱子里,各有一個黑球和一個白球,所有的球除顏色外完全相同.從兩個箱子里都摸出一個球.()若將試驗的結果——“兩個白球”“兩個黑球”“一個白球一個黑球”視為基本事件,能構成古典概型嗎?()求摸出的球是一個白球與一個黑球的概率.【解析】()摸出的兩個球的所有可能結果可表示為:“黑、黑”“白、白”“黑、白”“白、黑”.這個結果是有限的,也是等可能的,這種試驗是古典概型.但將“摸出一個白球與一個黑球”視為基本事件時,是將“黑、白”與“白、黑”兩個結果合為一個結果,使得個結果出現的可能性不全相等,故這時的試驗不是古典概型.()由()的分析可知,當試驗的結果視為“黑、黑”“白、白”“黑、白”“白、黑”個結果時,試驗為古典概型,“摸出的球是一個白球與一個黑球”所包含的基本事件數為,故所求概率為.連續擲枚硬幣,觀察落地后這枚硬幣出現正面還是反面.()寫出這個試驗的所有基本事件;()求這個試驗的基本事件的總數;()記“恰有兩枚正面向上”這一事件,則包含哪幾個基本事件?【解析】()這個試驗的基本事件集合為:Ω()基本事件的總數是.()“恰有兩枚正面向上”包含以下個基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).先后拋擲兩枚大小相同的骰子.()求點數之和出現點的概率;()求出現兩個點的概率;()求點數之和能被整除的概率.【解析】如圖所示,從圖中容易看出基本事件與所描點一一對應,共種.()記“點數之和出現點”為事件,從圖中可以看出,事件包含的基本事件共個:(),(),(),(),(),().故().()記“出現兩個點”為事件,從圖中可以看出,事件包含的基本事件只有個,即().故().()記“點數之和能被整除”為事件,則事件包含的基本事件共個:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),().故()..從集合{}中任取兩個數相乘,積是偶數的概率是().....【解析】任取兩個數相乘,共有××××××,共種結果,其中積為偶數的有種結果,故所求概率為.【答案】.下課以后,教室里最后還剩下位男同學和位女同學.如果沒有同學一塊兒走,則第位走的是男同學的概率是().....【解析】已知有位女同學和位男同學,所有走的可能順序有(女,女,男,男),(女,男,女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男),所以第位走的是男同學的概率是.【答案】.口袋中有個大小相同的紅球、白球、黑球,其中紅球個,從口袋中摸出一個球,摸出白球的概率為,則口袋中黑球的數目為個.

【解析】摸出紅球的概率為,因為摸出紅球、白球和黑球是互斥事件,所以摸出黑球的概率為,故黑球的數目為個.【答案】.某學校籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有名隊員,某些隊員不止參加了一支球隊,具體情況如圖所示,現從中隨機抽取一名隊員,求:()該隊員只屬于一支球隊的概率;()該隊員最多屬于兩支球隊的概率.【解析】()設“該隊員只屬于一支球隊”為事件,則事件的概率為().()設“該隊員最多屬于兩支球隊”為事件,則事件的概率為().(年·江西卷)集合{}{},從中各任意取一個數,則這兩數之和等于的概率是().. ...【解析】從中各取一數共有種情況:(),(),(),(),(),(),其中兩數之和為的有(),()兩種情況,∴.【答案】

.下列對古典概型的說法中正確的是().①試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;②每個事件出現的可能性相等;③每個基本事件出現的可能性相等;④基本事件總數為,隨機事件包含個基本事件,則()..②④.①③④.①④.③④【答案】人并排坐在一起照相,則甲恰好坐在正中間的概率為().....【解析】人并排照相,中間位置有等可能的種排法,∴甲坐正中間的概率為,故選.【答案】.已知集合{},點的坐標為(),其中∈∈.記點落在第一象限為事件,則().

【解析】點的坐標可能為(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種,其中落在第一象限的點的坐標為(),故().【答案】.有一項活動,需在名教師和名學生中任意選人參加.()需一人參加,求選到教師的概率;()需兩人參加,求選到的都是學生的概率.【解析】因為任意選人參加,所以每個人被選中的可能性相等,為古典概型.()一共有個人,故有種選人情況,而選到教師的情況有種,故概率.()用數字代表教師代表學生,則有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共個基本事件,其中兩個數均為到之間的有個,故概率..在一個袋子中裝有分別標注數字的五個小球,這些小球除標注數字外完全相同,現從中隨機取個小球,則取出的小球標注的數字之和為或的概率是().....【解析】隨機從袋子中取個小球的基本事件為(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共有種,其中數字之和為或的有(),(),(),∴數字之和為或的概率是.【答案】.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別有點),骰子朝上的面的點數分別為、,則的概率為().....【解析】由于先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別有點),出現朝上的面的點數看成有序實數對(),共有×種,且每一種的可能性都相等,而滿足的有(),(),()這種情況,所以所求的概率為.【答案】.將一枚骰子拋擲兩次,若先后出現的點數分別為、,則方程有實根的概率為.

【解析】一枚骰子擲兩次,其基本事件總數為,方程有實根的條件為≥.使≥的基本事件個數由此可見,使方程有實根的基本事件個數為,于是方程有實根的概率為.【答案】.設函數()從集合{}中任取一個數從集合{}中任取一個數,求使函數的定義域為全體實數的概率.【解析】∵∈{}∈{},∴()的所有可能為:(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種.而,有≤,即≤,∴滿足定義域為的()的所有可能為:(),(),(),(),(),(),共種,∴函數的定義域為全體實數的概率..“漸升數”是指每個數字比其左邊的數字大的自然數(如),在二位的“漸升數”中任取一數比大的概率是.

【解析】十位是的“漸升數”有個,十位是的“漸升數”有個,…,十位是的“漸升數”有個,所以二位的“漸升數”有個,以為十位比大的“漸升數”為個,分別以、、、、為十位的“漸升數”均比大,且共有個,所以比大的“漸升數”共有個,故在二位的“漸升數”中任取一數比大的概率是.【答案】.為了對某課題進行研究,用分層抽樣方法從三所高校的相關人員中,抽取若干人組成研究小組,有關數據見下表(單位:人).高校相關人數抽取人數()求;()若從高校抽取的人中選人作專題發言,求這人都來自高校的概率.【解析】()由題意可得,所以.()記從高校抽取的人為,從高校抽取的人為,則從高校抽取的人中選人作專題發言的基本事件有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種.設選中的人都來自高校的事件為,則包含的基本事件有(),(),(),共種,因此().故選中的人都來自高校的概率為.第課時建立概率模型.通過實例,理解古典概型的兩個基本特征,能判斷一個試驗是否為古典概型,能分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數..通過實例,理解古典概型及其概率計算公式,會用列舉法計算一些隨機事件包含的基本事件數及事件發生的概率..通過實例,能利用樹狀圖法、列表法、坐標法建立概率模型來解決簡單的實際問題.重點:建立實際問題古典概型的方法以及利用樹狀圖法、列表法、坐標法計算基本事件數.難點:放回和不放回問題的古典概型的基本事件數的計算.在某條人流量較大的街道上,有一中年人吆喝著“送錢嘍”,只見他手拿一只黑色小布袋,袋中只有個黃色和個白色的乒乓球(完全相同),旁邊立著一塊黑板,上面寫著:從袋中不放回地摸出個球,如果摸得同一顏色球個,攤主送給摸球者元錢;如果摸得不是同一顏色球個,摸球者付給攤主元錢.小李想:摸球次,情況有“黃”“黃白”“黃白”和“白”四種情況,摸得個同一顏色球的概率為,贏的錢多輸的錢少,穩賺!于是他決定摸球次,結果發現自己不但沒贏,還輸了不少!同學們,你們能用概率知識解釋這一現象嗎?問題:()上述情境中有“黃”“黃白”“黃白”和“白”四種情況,但這四種情況發生的可能性不相等,故不能作為基本事件求概率.

()若將個黃球編號為,將個白球編號為,利用列舉法分析可知從這個球中摸出個球的基本事件有個,摸出的三個球顏色全部相同的基本事件有個,顏色不完全相同的基本事件有個,所以小李摸一次球輸的概率為.

問題:古典概型的每次試驗有一個并且只有一個基本事件發生.運用公式時必須確定所有可能的基本事件是等可能發生的.

問題:建立古典概型()一題多解與多題一解:有些實際問題根據不同的角度可以建立不同的古典概型來解決,所以有些古典概型存在一題多解的情形,在多解的方法中,再尋求較為“簡捷”的解法;另一方面,不斷歸納,總結,又可以用同一種模型去解決很多不同的問題,即多題一解思想.

()古典概型角度的選擇:在建立古典概型時,在確定每一個出現的結果的可能性相等的前提下,要盡可能地減少基本事件的個數,同時也要保證問題中所研究的事件都能輕易地表示成若干個基本事件的和.

問題:古典概型概率計算事件的概率().

概率論的起源(一)年,意大利的帕奇歐里在一本有關計算技術的教科書中提出了一個問題,一場賭賽,勝六局才算贏,當兩個賭徒一個勝五局,另一個勝兩局時,中止賭賽,賭金該怎樣分配才合理?柏奇歐里給出的答案是按∶分.后來人們一直對這種分配原則表示懷疑,但沒有一個人提得出更合適的辦法來.時間過去了半個世紀,另一名意大利數學家卡當()潛心研究賭博不輸的方法,出版了一本《賭博之書》.在書里提出了這樣一個問題:擲兩顆骰子,以兩顆骰子的點數和作賭賽,那么押幾點最有利?卡當認為最好.卡當還對帕奇歐里提出的問題進行過研究,提出過疑問,指出需要分析的不是已經賭過的次數,而是剩下的次數,卡當對問題的解決,雖然有了正確的思路,但沒有得到正確的答案..下列是古典概型的是()..拋擲兩粒均勻的骰子,所得的點數之和作為基本事件.為求任取一個正整數,該正整數平方值的個位數字是的概率,將取出的正整數作為基本事件.從甲地到乙地共有條路線,求某人正好選中最短路線的概率.向一個圓面內隨機地投一個點,該點落在圓內任意一點都是等可能的【解析】對于,所得點數之和為基本事件,個數雖有限,但不是等可能發生的;對于,基本事件的個數都是無限的;只有是古典概型.故選.【答案】.甲、乙兩人一起去游“西安世園會”,他們約定,各自獨立地從到號景點中任選個進行游覽,每個景點參觀小時,則最后一小時他們同在一個景點的概率是().....【解析】若用代表處景點,顯然甲、乙兩人最后一小時的選擇結果為(),(),(),…,(),共種,其中滿足“最后一小時他們同在一個景點”包括(),(),(),…,(),共個基本事件,所以所求的概率為.【答案】.盒子里共有大小相同的只白球只黑球.若從中隨機摸出只球,則它們顏色不同的概率是.

【解析】設只白球為只黑球為,則從中隨機摸出只球的情形有{},{},{},{},{},{},即試驗共包括個等可能發生的基本事件,事件“只球顏色不同”包括{},{},{},共個基本事件,故所求概率為.【答案】.從分別寫有、、、、的張卡片中任取張,則這張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率是多少?【解析】從張卡片中任取張的基本事件為(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共計個.而恰好是按字母順序相鄰的基本事件為(),(),(),(),共計個,故此事件的概率為().優化概率模型任取一個正整數,求該數的平方的末位數字是的概率.【方法指導】從正整數的平方的末位數字是考慮正整數個位上數字的特點,由此建立模型.【解析】因為正整數的個數是無限的,故不屬于古典概型.但是一個正整數的平方的末位數字只取決于該正整數的末位數字,正整數的末位數字是,…中的任意一個數字.現任取一個正整數,…這個數字在該正整數的末位是等可能出現的,因此,所有的基本事件為,…,共個.而任取一個正整數,且該數的平方的末位數字是的事件有,共個.故所求概率為.【小結】同一個問題由于考慮的角度不同,其解法繁簡差別較大,因此,在寫試驗的所有可能結果時,務必抓住欲求事件的本質,而把其他無關的因素拋開,以簡化求解過程.樹狀圖與列表法分析概率模型有、、、四位貴賓,應分別坐在、、、四個席位上,現在這四人均未留意,在四個席位上隨便就座.()求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率;()求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率;()求這四人恰好有一人坐在自己的席位上的概率.【方法指導】利用樹狀圖列出“四位貴賓就座情況”,根據樹狀圖確定對應概率.【解析】將、、、四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來:如上圖所示,本題中的等可能基本事件共有個.()設事件為“這四人恰好都坐在自己的席位上”,則事件只包含個基本事件,所以().()設事件為“這四人恰好都沒有坐在自己席位上”,則事件包含個基本事件,所以().()設事件為“這四人恰好有一人坐在自己席位上”,則事件包含個基本事件,所以().【點評】.當事件個數沒有很明顯的規律,并且涉及的基本事件又不是太多時,我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來,這是進行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準確地列出所有的基本事件,并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況..在求概率時,若事件可以表示成有序數對的形式,則可以把全體基本事件用平面直角坐標系中的點表示,這樣可以準確地找出基本事件的個數.故采用數形結合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀,給問題的解決帶來方便.古典概型與統計的綜合應用先后擲兩枚骰子,設第一次點數為,第二次點數為,兩次點數用有序數對()表示,求:()列出所有的基本事件.()第一次出現奇數點,第二次出現偶數點的概率.()點數之和為的倍數的概率.()點數之和大于且小于的概率.()至少有一個點或點的概率.【方法指導】此題用列表的方式較方便,寫基本事件時可做到不重不漏,求某事件發生的概率時,只要找準滿足條件的事件個數即可.【解析】()先后拋擲兩枚骰子的點數情況如表所示:點點點點點點點()()()()()()點()()()()()()點()()()()()()點()()()()()()點()()()()()()點()()()()()()(表)()由表可知,第一次出現奇數點,第二次出現偶數點包括的基本事件個數為,故其概率為.()點數和的所有可能情況如表所示:點點點點點點點點點點點點(表)記事件{點數之和為的倍數},則由表可知包含的基本事件共個,因此().()記事件{點數之和大于且小于},則由表可知包含的基本事件共個,因此().()共有種不同的結果,其中至少有一個點或點的事件包括個基本事件,所以至少有一個點或點的概率為.【小結】在求概率時,通常把全體基本事件列表或用直角坐標系中的點表示,以方便我們更直接、更準確地找出某個事件所包含的基本事件的個數,然后再根據古典概型的概率公式求相應的概率.有號、號、號三個信箱和、、、四封信,若封信可以任意投入信箱,投完為止,則其中信恰好投入號或號信箱的概率是多少?【解析】由于每封信可以任意投入信箱,對于信,投入各個信箱的可能性是相等的,一共有種不同的結果,投入號信箱或號信箱有種結果,故信恰好投入號或號信箱的概率為.連續擲三枚硬幣,觀察落地后這三枚硬幣出現正面還是反面.()基本事件是三正、二正一反、一正二反,三反這個嗎?若不是,列出這個試驗的基本事件的個數.()恰有兩枚正面朝上的概率是多少?【解析】不是,上述列舉的種情況并不都是基本事件,基本事件是不能再被分割的,而二正一反和一正二反中包含了多個事件.基本事件列舉如下:()按每枚出現的正、反情況進行列舉.故共有(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)個基本事件.()“恰有兩枚正面朝上”包含了以下個基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),故概率為.在探究三的條件下,求:()滿足的概率;()滿足<的概率.【解析】所有基本事件共個,2a(續表)2a()滿足的基本事件有個,故.()滿足<的基本事件有個,故..某天上午要安排語文、數學、歷史、體育四節課,則體育課不排在第一節的概率為().. . . .【解析】我們不考慮語文、數學、歷史排在第幾節,只考慮體育的排法,體育等可能地排在第一節、第二節、第三節、第四節,共個基本事件,因此,體育課不排在第一節的概率為.【答案】.在五個數字中,若隨機取出三個數字,則剩下的兩個數字都是奇數的概率為().. . . .【解析】對應于從五個數字中隨機取出三個數字,則剩余的兩個數字的所有可能結果為、、、、、、、、、、,共個等可能發生的基本事件,其中剩下兩個數字都是奇數包含、、、,共個基本事件,則所求概率為.【答案】.在大小相同的個球中個是紅球個是白球,若從中任取個,則所取的個球中至少有一個紅球的概率為.

【解析】記大小相同的個球分別為紅、紅、白、白、白,則基本事件為(紅,紅),(紅,白),(紅,白),(紅,白),(紅,白),(紅,白),(紅,白),(白,白),(白,白),(白,白),共個,其中至少有一個紅球的事件包括個基本事件,所以所求事件的概率為.【答案】.若連續擲枚硬幣.()有多少個基本事件?()求“恰有兩次正面朝上”的概率.【解析】()用樹狀圖列舉如下:故共有個基本事件.()“恰有兩次正面朝上”共有個基本事件,故所求概率為.(年·新課標全國卷)從中任取個不同的數,則取出的個數之差的絕對值為的概率是().. . . .【解析】從中任意取出個數,一共有如下情形:(),(),(),(),(),(),共種.設事件為:取出的個數之差的絕對值為,則事件包含的情形如下:(),(),共種.根據古典概型,得到事件發生的概率().【答案】

.從臺電腦中任抽臺進行質量檢測,每臺電腦被抽到的概率是().....【解析】把抽到每一臺電腦都看成一個基本事件,試驗的所有基本事件數是,且每個基本事件都是等可能發生的.“任抽臺”這一事件含有個基本事件,故所求概率為.【答案】.袋中共有個除了顏色外完全相同的球,其中有個紅球、個白球和個黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于().. . . .【解析】袋中的個紅球、個白球和個黑球分別記為.從袋中任取兩球有:{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},{},共個基本事件,其中滿足兩球顏色為一白一黑的有:{},{},{},{},{},{},共個基本事件.所以所求事件的概率為.【答案】.據人口普查統計,育齡婦女生男生女是等可能的,如果允許生育二胎,則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是.

【解析】該婦女生育兩胎有(男,男)、(男,女)、(女,男)、(女,女)種等可能結果.故兩胎均是女孩的概率為.【答案】.在直角坐標平面內,已知點集,在中任取一點,則這個點在軸上方的概率是多少?【解析】集合中共有個點,分別為()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、()、().其中在軸上方的有個,故所求概率..在瓶飲料中,有瓶已過了保質期,從中任取瓶,取到的全是已過保質期的飲料的概率為().....【解析】設過保質期的瓶記為,沒過保質期的瓶用、、、表示,試驗的結果為:由圖可知試驗可能的結果數是瓶都過保質期的結果只有個,故.【答案】.有個興趣小組,甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組,每位同學參加各個小組的可能性相同,則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為().. . . .【解析】甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組共有種可能,其中兩位同學參加同一個興趣小組有種可能,所以兩位同學參加同一個興趣小組的概率為.【答案】.已知正整數滿足4a,則都是偶數的概率是.

【解析】正整數滿足的實數對共有(),(),(),(),(),(),().所以都是偶數的概率為.【答案】.從中任取兩個不同的數字,求()>的概率.【解析】設()>為事件,則()>?>,所以事件就是從中任取兩個不同的數字組成的兩位數大于.由于的個位數字是,所以事件轉化為從中任取一個不小于的數.此時,所有的基本事件為,共個等可能發生的基本事件,事件包含,共個基本事件,所以()..在棱長分別為的長方體上隨機選取兩個相異頂點,若每個頂點被選的概率相同,則選到兩個頂點的距離大于的概率為.

【解析】從個頂點中任取兩點有種取法,其線段長可以為,,,,,①其中條棱線,長度都小于等于;②邊長為的長方形的對角線為<,共有條;故長度大于的有28-12-4條,故兩點距離大于的概率.【答案】.如圖,從()()()()()()這個點中隨機選取個點.()求這點共線的概率;()求這點的縱坐標之和為的概率.【解析】從這個點中隨機選取個點的所有可能結果是:1A1A1A2C1A2C2A2A2C2C1C2A1C2A1C1C1C1C2C2C1C1C2C2C,共種.()選取的這點共線的所有可能結果有1A2C1A2C1C2A1C2A,共種,因此,這個點共線的概率為.()選取的這個點的縱坐標之和為的所有可能結果有2C1C1C2C1C,共種,因此,這個點的縱坐標之和為的概率為.第課時互斥事件.了解事件間的相互關系,理解互斥事件、對立事件的概念..通過實例,了解兩個互斥事件的概率加法公式及對立事件的概率計算公式..會用概率的加法公式求某些事件的概率.重點:互斥事件的概念及其概率的加法公式,在此基礎上討論對立事件,以及用古典概型解決實際應用問題.難點:互斥事件和對立事件的區別與聯系.老師把一枚骰子拋擲后,看了下點數,然后蓋住,叫四個同學猜,甲說是點,乙說點數是奇數,丙說不超過點,丁說點數是偶數,老師聽后微笑地說,有三人猜對了.問題:甲和丁的猜測、乙和丁的猜測是不可能同時發生的,若丁猜對了,則甲、乙都猜錯了,與老師的說法矛盾,所以只能是丁猜錯了,其他三人都猜對了,故點數為.

問題:()在一個隨機試驗中,我們把一次試驗下不能同時發生的兩個事件和稱作互斥事件.

()事件事件發生是指事件和事件至少有一個發生.若事件和事件是互斥事件,則().()不能同時發生且必有一個發生的兩個事件叫作互為對立事件.事件的對立事件記作,可以得出兩事件的概率關系為()().

問題:互斥事件與對立事件有何關系?如何從集合的角度理解對立事件與互斥事件?對立事件是特殊的互斥事件,互斥事件不一定是對立事件.對立事件只有兩個,互斥事件可能有多個,如在一次試驗中,…事件只有個發生,則,…互斥.

從集合的角度來看,事件、互斥是指事件所含的結果組成的集合與事件所含的結果組成的集合的交集為空集;事件與對立,是指事件所含的結果組成的集合,是全集中由事件所含的結果組成的集合的補集,即∩?,且∪.

如圖、互斥∩?,即(∩).

、對立∩?,且∪,即(∩)且(∪)().

問題:如果,…兩兩互斥,此時,…的概率滿足(…)()()…().

奇怪的選舉假定有張、王、李三個同學競選學生會主席.民意測驗表明,選舉中有愿意選張不愿選王,有愿意選王不愿選李.是否是愿意選張而不愿選李的多?直觀感覺的答案顯然是肯定的.其實結果是:不一定!奇怪的選舉使入迷惑的地方是我們以為“好惡”關系總是可以傳遞的,就像>>,可以推出>那樣.但事實上,“好惡”關系是不可以傳遞的.這個例子說明,在對兩個以上事物作兩兩對比選擇時,有可能產生矛盾..在一批產品中取出三件,設表示“三件產品全不是次品”表示“三件產品全是次品”表示“三件產品不全是次品”,則下列結論正確的是().與互斥與互斥.任兩個均互斥.任兩個均不互斥【解析】表示三件產品都是正品表示三件產品都是次品表示一件正品兩件次品,兩件正品一件次品和三件正品,即與互斥與互斥與不互斥.【答案】.某校派出甲、乙兩支球隊參加全市足球冠軍賽,甲、乙兩隊奪冠的概率分別是和,則該校球隊奪得全市足球冠軍的概率為().....【解析】由題目可知,兩支球隊奪冠為互斥事件,且(甲奪冠)(乙奪冠),故(甲奪冠)(乙奪冠).【答案】.某射擊運動員在一次射擊命中環的概率是,命中環的概率是,不夠環的概率是,則這個射手在一次射擊中命中環或環的概率是.

【解析】.【答案】.在數學考試中,小明的成績在[]分的概率是,在[)分的概率是,在[)分的概率是,在[)分的概率是,在[)分的概率是,計算:()小明的考試成績在分以下的概率;()小明的考試成績在分及分以上的概率.【解析】分別記小明的考試成績在[]分、[)分、[)分、[)分、[)分為事件、、、、,這五個事件彼此互斥.()小明的考試成績在分以下的事件記為,則()()()()().()小明的考試成績在分及分以上的事件記為,則()()()()()().也可考慮用對立事件()().互斥事件與對立事件的判斷一個射手進行一次射擊,記“命中的環數大于”為事件,“命中的環數大于”為事件,“命中的環數小于”為事件,“命中的環數小于”為事件.那么、、、中有多少對互斥事件?是否有對立事件?【方法指導】判斷兩個事件是不是互斥事件,就是考察它們能否同時發生.如果不能同時發生,則是互斥事件;反之則不是互斥事件.【解析】與與與是互斥事件,但不是對立事件.因為此三組中的任意兩個事件都是不可能同時發生的,所以是互斥事件.同時,不能保證其中一個一定發生,故二者不是對立事件與既是互斥事件,又是對立事件.【小結】要判斷兩個事件是不是互斥事件、是不是對立事件,只需要找出各個事件包含的所有結果,看它們之間能不能同時發生,這樣便可判斷是否互斥,在互斥的前提下判斷是否對立.事件概率的計算某地區的年降水量在下列范圍內的概率如下表所示:年降水量(單位:)[)[)[)[)概率()求年降水量在[)()范圍內的概率;()求年降水量在[)()范圍內的概率.【方法指導】記這個地區的年降水量在[)、[)、[)、[)()范圍內分別為事件、、、.這四個事件是彼此互斥的,根據互斥事件的概率加法公式即可得出結果.【解析】()年降水量在[)()范圍內的概率是()()().()年降水量在[)()范圍內的概率是()()()().【小結】注意互斥事件的概念,只有當、兩事件互斥時()()()才成立.互斥事件與對立事件概率的應用做投擲顆骰子的試驗,用()表示點的坐標,其中表示第顆骰子出現的點數表示第顆骰子出現的點數.()求點在函數的圖像上的概率;()求點不在函數的圖像上的概率;()求點的坐標()滿足<≤的概率.【方法指導】投擲兩顆骰子時,可能出現的點數的情況總數為個,另外要注意點在函數圖像或不在函數圖像上的條件,對于否定性問題常利用對立條件求解.【解析】每顆骰子出現的點數都有種情況,所以基本事件總數為個.()記“點在函數的圖像上”為事件,則事件有個基本事件,即{(),(),(),(),(),()},∴().()記“點不在函數的圖像上”為事件,則“點在函數圖像上”為事件,其中事件有個基本事件.即{(),(),(),(),()},∴()().()記“點坐標滿足<≤25”為事件,則事件有個基本事件.即{(),(),(),(),(),(),()},∴().【小結】在求解古典概型的概率時,如果事件包含的基本事件的個數較多,情況較為復雜,可考慮對事件進行適當的分類以求出基本事件數,分成若干彼此互斥的事件,這是分類討論思想的運用;在討論時應遵循不重不漏的原則,先根據問題的需要確定一個分類標準,然后按照這個標準把符合要求的各類情況一一列舉出來,并分別進行求解.判斷下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是隨機事件.()“拋一石塊,下落”;()“某人射擊一次,中靶”;()“從分別標有號數的張標簽中任取一張,得到號簽”;()“沒有水分,種子能發芽”.【解析】根據定義,事件()是必然事件;事件()是不可能事件;事件()()是隨機事件.由經驗公式知,每天在學校食堂某窗口排隊等候就餐的人數及其概率如下表:排隊人數[)[)[)[)[)[∞)概率()求等候就餐人數為[)的概率;()若等候就餐的人數大于或等于,則應增加一個新窗口,請問增加新窗口的概率是多少?【解析】()記“等候就餐人數為[)”為事件,“等候就餐人數為[)”為事件,“等候就餐人數為[)”為事件,“等候就餐人數為[)”為事件,則,且彼此互斥,所以()()()().()要增加新窗口,則等候就餐的人數大于或等于,包含兩種情況:等候就餐的人數為[)和[∞),記“等候就餐的人數大于或等于16”為事件,“等候就餐的人數為[)”為事件,“等候就餐的人數為[∞)”為事件,則,且互斥()()().故增加新窗口的概率是.某學校籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊的某些隊員不止參加了一支球隊,具體情況如圖所示,現從中隨機抽取一名隊員,求:()該隊員只屬于一支球隊的概率;()該隊員最多屬于兩支球隊的概率.【解析】()設“該隊員中屬于一支球隊”為事件,則事件的概率().()設“該隊員最多屬于兩支球隊”為事件,則事件的概率()..拋擲一枚骰子,向上的點數是或為事件,向上的點數是或為事件,則().? 表示向上的點數是或或【解析】可知、既不互斥,也不存在包含關系.【答案】.袋中有紅、黃、白色球各一個,每次任取一個,有放回地抽取次,則下列事件概率為的是()..顏色全相同 .顏色全不相同.顏色不全相同 .顏色無紅色【解析】有放回地抽取次,共有種不同的取法,而顏色全相同的情況有種,顏色全相同的概率為,由對立事件可知,顏色不全相同的概率為.【答案】.袋內裝有大小相同的紅球、白球和黑球各若干個,從中摸出一球,摸出紅球的概率是,摸出黑球的概率是,則摸出白球的概率是.

【解析】摸一球的結果包含了摸出紅球、摸出黑球、摸出白球這三個互斥事件,這三個事件的概率之和為,故摸出白球的概率為.【答案】.某鄉村醫院一天中派出醫生下鄉醫療的人數是不確定的,派出醫生人數及其概率如下:醫生人數人及以上概率計算:()派出醫生至多人的概率;()派出醫生至少人的概率.【解析】().().(年·安徽卷)若某公司從五位大學畢業生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人,這五人被錄用的機會均等,則甲或乙被錄用的概率為().....【解析】五人中選用三人,列舉可得基本事件個數是個,“甲或乙被錄用”的對立事件是“甲乙都沒有被錄用”,即錄用的是其余三人,只含有一個基本事件,故所求概率是.【答案】

.把紅、藍、黑、白四張紙牌隨機分給甲、乙、丙、丁個人,每人分得一張,事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()..對立事件.互斥但不對立事件.不可能事件 .以上都不對【解析】由互斥事件與對立事件的概念進行判斷.【答案】.從,…這個數中任取兩數,其中:①恰有一個是偶數和恰有一個是奇數;②至少有一個是奇數和兩個都是奇數;③至少有一個是奇數和兩個都是偶數;④至少有一個是奇數和至少有一個是偶數.上述事件中,對立事件是()..①.②④.③.①③【解析】由對立事件的定義可知③為對立事件;①中,兩事件為同一事件;②中前一事件包含后一事件,可同時發生;④中,至少有一個奇數即一奇或兩奇,至少有一個偶數即一偶或兩偶,兩事件存在交集,可同時發生.故選.【答案】.甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率是,甲不輸的概率為,則甲、乙二人下成和棋的概率為.

【解析】甲不輸包含了甲勝或和棋這兩個互斥事件,∴和棋的概率為.【答案】.在一個盒中裝有支圓珠筆,其中支一等品支二等品和支三等品,從中任取支,求下列事件的概率.()恰有支一等品;()恰有支一等品;()沒有三等品.【解析】用數字代表支一等品代表支二等品代表支三等品,從中任取三支,共有個基本事件,分別為(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),().()恰有支一等品說明在這組數中,只有一個的整數,共有個,故概率為.()恰有支一等品說明在這組數中,有兩個的整數,共有個,故概率為.()“沒有三等品”與“有三等品”是對立事件,若有三等品,則說明一定含有,共有個,故概率值為..先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別有點、、、、、),骰子朝上的面的點數分別為、,則的概率為().....【解析】由于先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別有點、、、、、),出現朝上的面的點數看成有序實數對(),共有×種,且每一種的可能性都相等,而滿足的、有(),(),()這種情況,所以所求的概率為.【答案】.把張卡片分別寫上,…后,任意疊在一起,從中任取一張,設“抽得大于的奇數”為事件,“抽得小于的奇數”為事件,則()是().. .. .以上都不對【解析】由題可知、互斥,且()(),∴()()().【答案】.一個學校的足球隊、籃球隊和乒乓球隊分別有名、名和名成員,一些成員參加了不止支球隊,具體情況如圖所示,隨機選取名成員,則他參加了不止支球隊的概率為,參加足球或籃球隊的概率為.

【解析】由圖可知,所有成員有人,其中參加不止支球隊的成員有人,故.參加足球或籃球隊的人數為,故.【答案】.受轎車在保修期內的維修費等因素的影響,企業生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關,某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車,甲品牌車保修期為年,乙品牌車保修期為年,現從該廠已售出的兩種品牌轎車中分別隨機抽取輛,統計出在保修期內出現故障的車輛數據如下:品牌甲首次出現故障的時間(年)<≤<≤<≤>轎車數量(輛)品牌乙首次出現故障的時間(年)<≤<≤>轎車數量(輛)()從該廠生產的甲種品牌轎車中隨機抽取一輛,求首次出現故障發生在保修期內的概率;()從該廠生產的乙種品牌轎車中隨機抽取一輛,求首次出現故障發生在保修期內的概率.(將頻率視為概率)【解析】()設分別表示甲種品牌轎車首次出現故障在第年,第年和第年之內,設表示甲種品牌轎車首次出現故障在保修期內.因為彼此互斥,且()()(),所以()()()()(),即首次出現故障發生在保修期內的概率為.()乙種品牌轎車首次出現故障未發生在保修期內的概率為,故首次出現故障發生在保修期內的概率為..在張卡片上分別寫有數字,然后將它們混合,再任意排列成一行,則得到的數能被或整除的概率是.

【解析】(法一)用列舉法可知組成四位數,共有種結果,能被或整除,即只要滿足末位是或或,共有種,∴.(法二)只考慮末位共有種情況,滿足條件的有種,∴.【答案】.某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別.公司準備了兩種不同的飲料共杯,其顏色完全相同,并且其中杯為飲料,另外杯為飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從杯飲料中選出杯飲料.若該員工杯都選對,則評為優秀;若杯選對杯,則評為良好;否則評為合格.假設此人對和兩種飲料沒有鑒別能力.()求此人被評為優秀的概率;()求此人被評為良好及以上的概率.【解析】將杯飲料編號為,編號表示飲料,編號表示飲料,則從杯飲料中選出杯的所有可能情況有(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),共種.用表示“此人被評為優秀”表示“此人被評為良好”表示“此人被評為良好及以上”,()().()∵(),∴()()().第課時模擬方法——概率的應用.注意幾何概型的兩個特點:試驗結果有無限多個、每個基本事件出現的可能性相等..對于公式的記憶與掌握不可忽視..要看清題目本質,做題時選取正確的幾何度量進行運算.重點:幾何概型及其適用范圍與求概率的方法.難點:幾何概型幾種類型的辨別.某超市為了吸引顧客,設立了一個蒙眼飛鏢投靶有獎活動(靶如圖所示),并規定:顧客每購買元的商品,就能獲得一次投靶的機會.飛鏢投在紅色區域,顧客可獲得元購物券;飛鏢投在黃色區域,顧客可獲得元購物券;飛鏢投在綠色區域,顧客可獲得元的購物券,靶分成等份.若甲顧客購買了元的商品,且假設他投靶不會脫靶,不會投在靶心和等分線上,則他獲得元、元或元購物券的概率分別是多少?問題:()在上面的問題中,可以通過幾何概型知識進行解決,他獲得元、元或元購物券的概率分別是

,,.

()幾何概率模型:如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.

()幾何概型具有下列兩個特征:①每次試驗的結果有無限多個,且全體結果可用一個有度量的幾何區域來表示.

②每次試驗的各種結果是等可能的.

問題:幾何概型的計算公式在幾何概型中,事件的概率的計算公式:()

.

問題:幾種常見的幾何概型()線段型:設線段是線段的一部分,向線段上任投一點.若落在線段上的點數與線段的長度成正比,而與線段在線段上的相對位置無關,則點落在線段上的概率為的長度的長度.

()面積型:設平面區域是平面區域的一部分,向區域上任投一點,若落在區域上的點數與區域的面積成正比,而與區域在區域上的相對位置無關,則點落在區域上的概率為的面積的面積.

()體積型:設空間區域是空間區域的一部分,向區域上任投一點.若落在區域上的點數與區域的體積成正比,而與區域在區域上的相對位置無關,則點落在區域上的概率為的體積的體積.

()角度型:設角度區域是角度區域的一部分,向角度區域上任投一點.若落在區域上的點數與區域的角度成正比,而與區域在區域上的相對位置無關,則點落在區域上的概率為的角度的角度.

問題:古典概型與幾何概型中基本事件發生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件是有限個,幾何概型是要求基本事件有無限多個.古典概型利用事件所含基本事件數的比值求,而幾何概型是利用其幾何度量的比值求.

模擬方法是一種非常有效而且應用廣泛的方法.它可以在短時間內完成大量的重復試驗,然后估計某些隨機事件發生的概率.我們常用到的幾種模擬方法有:()直接試驗法.比如教材中的向正方形中撒芝麻或者豆粒和使用轉盤模擬試驗過程等.()隨機數表法.隨機數是在一定范圍內隨機產生的數,并且得到這個范圍內的每一個數的機會一樣.()利用計算機或計算器產生隨機數進行模擬試驗.比如用軟件產生隨機數..關于幾何概型和古典概型的區別,下列說法正確的是()..幾何概型中基本事件有有限個,而古典概型中基本事件有無限個.幾何概型中基本事件有無限個,而古典概型中基本事件有有限個.幾何概型中每個基本事件出現的可能性不相等,而古典概型中每個基本事件出現的可能性相等.幾何概型中每個基本事件出現的可能性相等,而古典概型中每個基本事件出現的可能性不相等【解析】幾何概型中基本事件有無限個,而古典概型中基本事件有有限個,故正確.幾何概型與古典概型中每個基本事件出現的可能性都相等,因此、錯誤.【答案】.取一個正方形及其外接圓,隨機向圓內拋一粒豆子,則豆子落入正方形外的概率為().....【解析】所求概率為圓面積與正方形面積的差值除以圓面積.【答案】.在平面直角坐標系中,設是橫坐標與縱坐標的絕對值均不大于的點構成的區域是到原點的距離不大于的點構成的區域,向中隨機投一點,則落入中的概率為.

【解析】如圖,區域表示邊長為的正方形的內部(含邊界),區域表示單位圓及其內部,因此.【答案】.在長為的線段上任取一點,并以線段為邊作正方形,求這個正方形的面積介于與之間的概率.【解析】依題意≤≤,∴≤≤,∴在線段上滿足條件的構成的線段長度為.記事件{面積介于與之間},則().幾何概型的概率計算如圖所示兩盞路燈之間的長度是米,由于光線較暗,想在其間再隨意安裝兩盞路燈,問與與之間的距離都不小于米的概率是多少?【方法指導】在之間每一個位置安裝路燈都是一個基本事件,基本事件有無限多個,且每一個基本事件的發生都是等可能的,因此事件發生的概率只與長度有關,符合幾何概型條件.【解析】記事件為:“與與之間的距離都不小于米”,把三等分.由于中間長度為×米,所以().【小結】我們將每個事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機取一點,該區域中每一點被取到的機會都一樣,而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到上述區域內的某個指定區域中的點,這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解.幾何概型隨機模擬應用向如圖所示的正方形中隨機撒一把豆子,用隨機模擬的方法估計圓周率的值.【方法指導】可以利用一般的人工隨機模擬的辦法,如撒一把豆子,也可以考慮利用計算機隨機模擬的方式,借助函數解決.【解析】(法一)隨機撒一把豆子,每個豆子落在正方形內任何一點是等可能的,落在每個區域的豆子數與這個區域的面積近似成正比,即≈.假