試題PAGE1試題廣東省深圳市寶安區2023-2024學年高二上學期11月調研測試卷高二數學試題一、單選題1.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.2.三棱錐中，D為BC的中點，E為AD的中點，若，則=（）A. B.C. D.3.經過兩點的直線的一個方向向量為，則（）A. B. C. D.34.已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且的斜率為，則的斜率為（）A.3或 B.3 C.或 D.5.設，則“直線與直線平行”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為（）A.或 B.或C.或 D.或7.直線，分別過點，它們分別繞點P和Q旋轉，但保持平行，那么，它們之間的距離d的取值范圍是（）A. B.C. D.8.兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡長為（）A. B. C. D.二、多選題9.直線過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線在軸上的截距可能是（）A.3 B.0 C. D.110.已知，直線，與交于點，則下列說法正確的是（）A.當時，直線在軸上的截距為1B.不論為何值，直線一定過點C.點在一個定圓上運動D.直線與直線關于直線對稱11.已知直線，圓，則下列命題正確的是（）A.，點在圓外B，使得直線與圓相切C.當直線與圓相交于PQ時，交點弦的最小值為D.若在圓上僅存在三個點到直線的距離為1，m的值為12.下列關于空間向量的命題中，正確的有（）A.直線的方向向量，平面的法向量是，則B.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底C.若非零向量滿足，則有D.若是空間的一組基底，且，則四點共面三、填空題13.若a，b為正實數，直線與直線互相垂直，則最大值為______.14.平行線與間距離為________．15.若圓關于直線對稱，則此圓的半徑為________．16.直線被圓截得的最短弦長為________.四、解答題17.已知的三個頂點分別為、、．求：（1）邊上高所在直線的方程；（2）邊上的中線所在直線的方程．18.在直三棱柱中，，分別是，的中點，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19.在平面直角坐標系中，圓C過點，且圓心C在上．（1）求圓C的方程；（2）若點D為所求圓上任意一點，定點E的坐標為，求直線DE的中點M的軌跡方程．20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上一點．（1）證明：；（2）若是棱上靠近點的三等分點，求點到平面的距離．21.已知兩圓和，求：（1）當取何值時兩圓外切？（2）當時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.22.已知四棱錐的底面是直角梯形，，，底面，且，點為的中點．（1）求證：平面；（2）平面內是否存在點，使平面？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

廣東省深圳市寶安區2023-2024學年高二上學期11月調研測試卷高二數學試題一、單選題1.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據已知求出，進而即可根據投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.2.三棱錐中，D為BC的中點，E為AD的中點，若，則=（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用給定的空間向量的基底，結合空間向量的線性運算表示作答.【詳解】三棱錐中，D為BC的中點，E為AD的中點，且，如圖，.故選：D3.經過兩點的直線的一個方向向量為，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據斜率公式求得，結合直線的方向向量的定義，即可求解.【詳解】由點，可得直線的斜率為，因為經過兩點的直線的一個方向向量為，所以.故選：D.4.已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且的斜率為，則的斜率為（）A.3或 B.3 C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用傾斜角與斜率的關系求解.【詳解】設的傾斜角為，由，即，解得或，因為，所以，所以，易得的傾斜角為銳角，所以的斜率為3．故選:B.5.設，則“直線與直線平行”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據一般式中兩直線平行滿足的條件，即可求解.詳解】若直線與直線平行，則，解得或，故“直線與直線平行”是“”的必要不充分條件，故選：B6.過點且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】分截距不為0和截距為0兩種情況，利用待定系數法求解.【詳解】當截距不為0時，設方程為，將代入，可得，解得，故直線方程為，即；當截距不為0時，設方程為，將代入，，解得，故直線方程為，即，故直線方程為或.故選：B7.直線，分別過點，它們分別繞點P和Q旋轉，但保持平行，那么，它們之間的距離d的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通過作圖分析可知，當且僅當直線與直線，均垂直的時候，它們之間的距離即為，d的最大值，通過分析可以發現旋轉是連續變化的，且，可以無限接近直線，因此，且d可以無限接近于0.【詳解】如圖所示：

當直線與直線，均不垂直的時候，它們之間的距離即為，當直線與直線，均垂直的時候，它們之間的距離即為，所以當且僅當與重合時，d有最大值，可以發現旋轉到一定程度時直線與直線，均無限接近的時候，d無限趨于0，但注意到直線，平行，且直線是連續旋轉的，因此直線，之間的距離d的取值范圍是.故選：A.8.兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意建立坐標系，由題意可得點M的軌跡方程，進而可得M點的軌跡長．【詳解】以點A為坐標原點，直線AB為x軸，建立直角坐標系，如圖，則，設點，由，得，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其周長為，所以M點的軌跡長為.故選：A.二、多選題9.直線過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線在軸上的截距可能是（）A.3 B.0 C. D.1【答案】ABD【解析】【分析】通過討論直線截距是否為的情況，即可得出結論【詳解】由題意，直線過點，在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，當直線的截距為0時，顯然滿足題意，為：；當直線的截距不為0時，設橫、縱截距分別為，則直線方程為：，∴，解得：或，∴直線的縱截距可取.故選：ABD.10.已知，直線，與交于點，則下列說法正確的是（）A.當時，直線在軸上的截距為1B.不論為何值，直線一定過點C.點在一個定圓上運動D.直線與直線關于直線對稱【答案】BC【解析】【分析】A由解析式確定x軸上的截距判斷；由方程確定與相互垂直及所過定點坐標判斷B、C；根據對稱軸為，互換其中一條直線的判斷是否與另一直線方程相同判斷D.【詳解】當時，直線在x軸上的截距為，故A錯誤；直線，當時恒成立，所以恒過定點，故B正確；因為不論取何值，直線與都互相垂直，且恒過定點，恒過定點，所以點在以和為直徑端點的圓上運動，故C正確；將方程中的互換得到，與直線的方程不一致，故D錯誤.故選：BC11.已知直線，圓，則下列命題正確的是（）A.，點在圓外B.，使得直線與圓相切C.當直線與圓相交于PQ時，交點弦的最小值為D.若在圓上僅存在三個點到直線的距離為1，m的值為【答案】ACD【解析】【分析】根據點與圓的位置關系判斷A，由直線系所過定點在圓內判斷B，根據交點弦的性質求解可判斷C，根據圓與直線的位置關系判斷D.【詳解】將點的坐標代入圓的方程，得，所以點在圓外，故A正確；整理直線的方程為：，由解得，可知直線過定點，將定點代入圓的方程，可得，所以定點在圓內，則直線與圓一定相交，故B錯誤；當圓心與直線所過定點的連線垂直于直線時，交點弦長最小，此時圓心到直線的距離為，由勾股定理知，故C正確；當圓心到直線的距離為1時，在圓上僅存在三個點到直線的距離為1，即，解得，故D正確.故選：ACD.12.下列關于空間向量的命題中，正確的有（）A.直線的方向向量，平面的法向量是，則B.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底C.若非零向量滿足，則有D.若是空間的一組基底，且，則四點共面【答案】BD【解析】【分析】根據空間向量基本定理，以及直線方向向量與平面法向量的關系判斷即可.【詳解】對于A，直線的方向向量，平面的法向量是，此時，所以，故A錯誤；對于B，因為是空間的一組基底，所以對于空間中的任意一個向量，存在唯一的實數組，使得，由空間向量的基本定理可知，向量也是空間一組基底，故B正確；對于C，若非零向量滿足，則與關系不定，有可能平行，故C錯誤；對于D，若是空間的一組基底，且，，由空間向量的基本定理可得，四點共面，故D正確.故選：BD.三、填空題13.若a，b為正實數，直線與直線互相垂直，則的最大值為______.【答案】##0.125【解析】【分析】由直線垂直的條件求得關系，再由基本不等式得最大值．【詳解】由題意，即，由基本不等式得，所以，當且僅當，即時等號成立．故答案為：．14.平行線與間的距離為________．【答案】##【解析】【分析】利用平行線間的距離公式計算可得答案.【詳解】將方程兩邊乘以2，得，所以兩平行線間的距離為．故答案為：．15.若圓關于直線對稱，則此圓半徑為________．【答案】【解析】【分析】即圓心在直線上，代入解出即可求.【詳解】因為圓關于直線對稱，所以圓心在直線上，得，得，所以，半徑為．故答案為：．16.直線被圓截得的最短弦長為________.【答案】【解析】【分析】求出直線過定點，當時直線被圓截得的最短弦長，從而求出最短弦長.【詳解】直線，即，令，解得，所以直線恒過點，又圓的圓心為，半徑，因為，當時直線被圓截得的最短弦長，最短弦長為.故答案為：四、解答題17.已知的三個頂點分別為、、．求：（1）邊上的高所在直線的方程；（2）邊上的中線所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求解邊AC所在直線的方程，再根據直線垂直斜率關系求解即可；（2）求解中點，結合直線垂直的斜率關系求解.【小問1詳解】因為、，故，邊AC所在直線的方程為：，即為：，由，故所以AC邊上的高所在直線的斜率為，又，故為：，即；【小問2詳解】設AC邊上的中點為D，則，即，故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即.18.在直三棱柱中，，分別是，的中點，，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據題意，建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算即可證明線面平行.（2）根據題意，利用空間向量的夾角的余弦表示，即可得到結果.【小問1詳解】由為直三棱柱，得平面，又，以的原點，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由，，且，分別是，的中點，得，于是，，設平面的法向量為，則，取，得，顯然，即平面，而平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）可知，平面的一個法向量為，顯然軸垂直于平面，不妨取其法向量為，設二面角所對應的平面角為，則，顯然二面角為銳二面角，則，即二面角的余弦值為.19.在平面直角坐標系中，圓C過點，且圓心C在上．（1）求圓C的方程；（2）若點D為所求圓上任意一點，定點E的坐標為，求直線DE的中點M的軌跡方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先設出方程，將點坐標代入得到關于參數的方程組，通過解方程組得到參數值，從而確定其方程；（2）首先設出點M的坐標，利用中點得到點D坐標，代入圓的方程整理化簡得到的中點M的軌跡方程.【小問1詳解】由已知可設圓心，又由已知得，從而有，解得：．于是圓C的圓心，半徑．所以，圓C的方程為,【小問2詳解】設，則由M為線段ED的中點得：，解得，又點D在圓C：上，所以有，化簡得：．故所求的軌跡方程為．20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是棱的中點，點是棱上一點．（1）證明：；（2）若是棱上靠近點的三等分點，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，則有，再證明平面，根據線面垂直的性質即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】因底面，底面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為，點是棱的中點，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則，令，則，所以，所以點到平面的距離為．21.已知兩圓和，求：（1）當取何值時兩圓外切？（2）當時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.【答案】（1）41（2）；【解析】【分析】（1）求出圓的標準方程，利用兩圓外切的性質進行求解即可；（2）利用兩圓的方程作差求出公共弦所在直線的方程，然后利用弦長公式求解即可.【小問1詳解】和,化簡為標準方程分別為：，所以，因為兩圓外切，所以，即，所以；【小問2詳解】當時，，兩圓相減得：，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為:，圓心到直線距離為，所以公共弦長為.22.已知四棱錐的底面是直角梯形，