龍巖市一級校聯盟2024—2025學年第一學期半期考聯考高二數學試題（考試時間：120分鐘總分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線傾斜角為，且經過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.2.公差不為0的等差數列中，，則的值不可能是（）A.9 B.16 C.22 D.253.已知數列，，，則（）A.8 B.16 C.24 D.644.從含有3件次品的8件新產品中，任意抽取4件進行檢驗，抽出的4件產品中恰好有2件次品的抽法種數為（）A. B. C. D.5.已知點關于直線對稱的點在圓上，則（）A.1 B. C. D.6.數學與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當中都蘊含了一個美麗的數學模型Fibonacci（斐波那契數列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這個數列的前兩項都是1，從第三項起，每一項都等于前面兩項之和.請你結合斐波那契數列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共7級臺階，小明每步可以上一級或二級，請問小明的不同走法種數是（）A21 B.13 C.12 D.157.已知圓，一條光線從點射出經軸反射，則下列結論正確的是（）A.圓關于軸的對稱圓的方程為B.若反射光線與圓相切于點，與軸相交于點，則C.若反射光線平分圓的周長，則反射光線所在直線的方程為D.若反射光線與圓交于，兩點，則面積最大值為18.已知數列的前項和為，，，且關于的不等式有且僅有4個解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知的展開式的第2項與第3項系數的和為3，則（）A.B.展開式的各項系數的和為C.展開式的各二項式系數的和為256D.展開式常數項為第5項10.傳承紅色文化，宣揚愛國精神，湖洋中學國旗隊在高一年級招收新成員，現有小明、小紅、小華等7名同學加入方陣參加訓練，則下列說法正確的是（）A.7名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為840B.7名同學站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數為720C.7名同學站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數為480D.7名同學分成三組（每組至少有兩人），進行三種不同的訓練，則有630種不同的訓練方法11.已知圓和圓.其中正確的結論是（）A.當時，圓和圓有4條公切線B.若圓與圓相交，則的取值范圍為C.若直線與圓交于，兩點，且（為坐標原點），則實數的值為D.若，設為平面上的點，且滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，則所有滿足條件的點的坐標為或三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與圓，則兩圓的公共弦所在的直線方程為____________________.13.已知，若過定點A的動直線和過定點的動直線交于點（與A，不重合），則的值為__________.14.在數列相鄰的每兩項中間插人這兩項的平均數，構造成一個新數列，這個過程稱為原數列的一次"平均拓展"，再對新數列進行如上操作，稱為原數列的二次“平均拓展”.已知數列的通項公式為，現在對數列進行次“平均拓展”，得到一個新數列，記為與之間的次平均拓展之和，為與之間的次平均拓展之和，，則__________；依此類推，將數列1，3，5，，21經過次“平均拓展”后得到的新數列的所有項之和記為，則__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知.（1）求的值；（2）求的值.16.已知的三個頂點的坐標分別是，，.（1）求的面積；（2）求外接圓的方程.17.已知數列的前項和，數列是各項均為正數的等比數列，，且.（1）求和的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.18已知圓和點.（1）點在圓上運動，且為線段ME的中點，求點的軌跡曲線的方程.（2）設為（1）中曲線上任意一點，過點向圓引一條切線，切點為.（i）求的取值范圍.（ii）試探究：在軸上是否存在定點（異于點），使得為定值？若存在，請求出定點的坐標，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.19.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，以他的名字命名的函數稱為高斯函數，函數，其中表示不超過的最大整數.例如：，，.已知數列滿足，.（1）求.（2）證明：數列是等比數列.（3）求的個位數.

龍巖市一級校聯盟2024—2025學年第一學期半期考聯考高二數學試題（考試時間：120分鐘總分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線的傾斜角為，且經過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據直線的傾斜角求出直線的斜率，再利用點斜式求直線方程.【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因為直線過點，所以直線的方程為，整理有：故選：A2.公差不為0的等差數列中，，則的值不可能是（）A.9 B.16 C.22 D.25【答案】C【解析】【分析】由等差數列的性質可得，即可得，的所有可能取值，即可求解.【詳解】因為，所以，又，，所以或或或或或或或或，所以的值可能是，，，，.故選：.3.已知數列，，，則（）A.8 B.16 C.24 D.64【答案】D【解析】【分析】由可求得，進而求出，可求出.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以數列an為等比數列，（），所以.故選：D.4.從含有3件次品的8件新產品中，任意抽取4件進行檢驗，抽出的4件產品中恰好有2件次品的抽法種數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由分步乘法計數原理，先抽次品，再抽正品，即可求解.【詳解】由題意，8件新產品中有3件次品，件正品，先從3件次品中取出2件次品，有種抽法，再從件正品中取出2件正品，有種抽法，所以抽出的4件產品中恰好有2件次品的抽法種數為.故選：.5.已知點關于直線對稱的點在圓上，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出關于直線對稱的點的坐標代入圓求解即可.【詳解】解：設對稱的點，則，解得，所以，所以，所以.經檢驗符合題意.故選：C.6.數學與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當中都蘊含了一個美麗的數學模型Fibonacci（斐波那契數列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，這個數列的前兩項都是1，從第三項起，每一項都等于前面兩項之和.請你結合斐波那契數列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共7級臺階，小明每步可以上一級或二級，請問小明的不同走法種數是（）A.21 B.13 C.12 D.15【答案】A【解析】【分析】設級臺階的走法為，找出數列的遞推公式，即可求解.【詳解】設級臺階的走法為，則，，當時，，所以，，，，.故選：.7.已知圓，一條光線從點射出經軸反射，則下列結論正確的是（）A.圓關于軸的對稱圓的方程為B.若反射光線與圓相切于點，與軸相交于點，則C.若反射光線平分圓的周長，則反射光線所在直線的方程為D.若反射光線與圓交于，兩點，則面積的最大值為1【答案】C【解析】【分析】對于A，由對稱的性質直接求解即可；對于B由題意可反射光線過點，則，利用圓的性質求切線長即可；對于C，確定直線過點，，由兩點式求直線方程即可；對于D，設，利用性質，把弦長、弦心距用表示，從而求出面積的最大值.【詳解】對于A，圓的標準方程為：，圓心，半徑，圓心關于軸的對稱點為，半徑為，所以圓關于軸的對稱圓的方程為：，即，故A錯誤；關于B，點關于軸的對稱點為，，根據已知條件有：，所以，故B錯誤；對于C，因為反射光線平分圓的周長，所以反射光線經過圓心，所以反射光線過，，所以反射光線的方程為，整理得：，故C正確；對于D，反射光線過點，若直線的斜率不存在，直線與圓相離，不合題意；所以直線斜率存在設為，所以直線的方程為：，整理有：，設，則圓心到直線的距離為，所以，所以，則當時，，故D錯誤.故選：C8.已知數列的前項和為，，，且關于的不等式有且僅有4個解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數列的遞推關系構造出常數列，再求通項，然后分離參變量，再利用數列的單調性思想，研究不等式成立的條件.【詳解】因為，所以，所以，即，所以數列是常數列，當時，，所以，即，因為，所以，令，所以，當時，，即，，，，，，為了滿足不等式有且僅有4個解，則，此時有，，，.故選：.【點睛】方法點睛：通過數列遞推關系構造出常數列，不等式恒成立或有解問題要用分離參變量方法，數列的單調性用作差或作商法來研究.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知的展開式的第2項與第3項系數的和為3，則（）A.B.展開式的各項系數的和為C.展開式的各二項式系數的和為256D.展開式的常數項為第5項【答案】ACD【解析】【分析】應用的展開式的通項公式結合題意求出，再利用通項公式研究常數項；由可求展開式的各項系數的和；由二項式系數性質可求展開式的各二項式系數的和.【詳解】解：因為的展開式的通項公式為，（），所以，即，解得（舍去），故A正確；所以（），當，即時為常數項,故D正確；所以展開式的各項系數的和為，故B錯誤；所以展開式各二項式系數的和為，故C正確.故選：ACD.10.傳承紅色文化，宣揚愛國精神，湖洋中學國旗隊在高一年級招收新成員，現有小明、小紅、小華等7名同學加入方陣參加訓練，則下列說法正確的是（）A.7名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為840B.7名同學站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數為720C.7名同學站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數為480D.7名同學分成三組（每組至少有兩人），進行三種不同的訓練，則有630種不同的訓練方法【答案】AD【解析】【分析】A先從7個位置中選3個排小明等3人，隨后排列剩下4人，可得排法總數；B將小明，小紅兩人捆綁為1人，隨后與剩下5人一起排列，可得排法總數；C先排剩下5人，隨后將小明小紅排進5人的空隙中，可得排法總數；D先將7人按2+2+3形式分為3組，再給每組安排訓練，可得安排總數.【詳解】A選項，先從7個位置中選3個排小明等3人，有種方法，隨后排列剩下4人，有種方法，則共有種方法，故A正確；B選項，將小明，小紅兩人捆綁為1人，有2種排列方法，隨后與剩下5人一起排列，有種方法，則共有種方法，故B錯誤；C選項，先排剩下5人，有種方法，再將小明小紅排進5人產生的6個空隙中，有種方法，則共有種方法，故C錯誤；D選項，由題分組情況為2人的2組，3人的一組，則有種方法，隨后安排訓練，有種方法，則共有種方法，故D正確.故選：AD11.已知圓和圓.其中正確的結論是（）A.當時，圓和圓有4條公切線B.若圓與圓相交，則的取值范圍為C.若直線與圓交于，兩點，且（為坐標原點），則實數的值為D.若，設為平面上的點，且滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，則所有滿足條件的點的坐標為或【答案】ABD【解析】【分析】對于，當時，由圓的一般方程得到圓的標準方程進而得到圓心和半徑，判斷兩圓的位置關系即可求解；對于，根據兩圓相交得到，進而得到的取值范圍；對于，設Px1,y1，Qx2,y2，聯立直線和圓的方程，可得的取值范圍，由韋達定理代入即可求解；對于，設點，由可得兩直線方程，根據弦長和半徑相等得到圓心到直線的距離相等，再根據有無數多條直線，得到關于的方程有無數多組解，從而解出，，即得到的坐標.【詳解】對于，當時，，，，，，，所以，所以，因為，所以圓和圓外離，所以圓和圓有4條公切線，故正確；對于，，若圓與圓相交，則，解得，故正確；對于，若直線與圓交于，兩點，設Px1,y1，Qx聯立，得，所以，解得，，所以，因為，所以，故不正確；對于，設點，直線和的方程分別為，，即，，因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，所以，化簡得或，因為存在過點無窮多對互相垂直的直線和，所以關于的方程有無窮多解，從而有或，解得或，故正確.故選：.【點睛】關鍵點點睛：設點，由可得兩直線方程，根據弦長和半徑相等得到圓心到直線的距離相等，因為存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，得到關于的方程有無數多組解，從而解出，.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓與圓，則兩圓的公共弦所在的直線方程為____________________.【答案】【解析】【分析】判斷兩圓位置關系，再將兩圓方程相減即得.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，于是，即圓相交，由消去二次項得，即，所以兩圓的公共弦所在的直線方程為.故答案為：13.已知，若過定點A的動直線和過定點的動直線交于點（與A，不重合），則的值為__________.【答案】1【解析】【分析】根據題意直線方程可得，，分析可知，即可得結果.【詳解】因為動直線過定點，動直線過定點，且，可知，即，所以.故答案為：1.14.在數列相鄰的每兩項中間插人這兩項的平均數，構造成一個新數列，這個過程稱為原數列的一次"平均拓展"，再對新數列進行如上操作，稱為原數列的二次“平均拓展”.已知數列的通項公式為，現在對數列進行次“平均拓展”，得到一個新數列，記為與之間的次平均拓展之和，為與之間的次平均拓展之和，，則__________；依此類推，將數列1，3，5，，21經過次“平均拓展”后得到的新數列的所有項之和記為，則__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由已知，分析每次構造后的值，總結規律求出；由分析可得，利用分組求和即可計算.【詳解】設表示與之間的次平均拓展之和，所以數列bn對于而言，第一次構造得到1，2，3，其中，第二次構造得到1，，2，，3，其中，第三次構造得到1，，，，，3，其中，第四次構造得到1，，，，，，3，其中，由觀察歸納，第次構造得到1，，，，3，則；因為經過次“平均拓展”得到的新數列的項分別為1，，，，3，，，，5，，7，，9，，，由，則，，則，，則，，所以數列bn的各項分別為，，，，所以，因，所以.故答案為：；.【點睛】關鍵點點睛：經過次構造可得1，，，，3，則；數列bn每次構造后所添加的個數相同，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由展開式的通項計算即可；（2）利用賦值法計算即可.【小問1詳解】二項式展開式的通項為，，因為，所以；【小問2詳解】令，則，令，則，可得，因此.16.已知的三個頂點的坐標分別是，，.（1）求的面積；（2）求外接圓的方程.【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）求出與點到直線的距離，再利用求解即可；（2）利用待定系數法設圓的一般方程，建立方程組，求出即可.【小問1詳解】解：已知，，直線的斜率，則直線的方程為，點到直線的距離.又，所以的面積.【小問2詳解】解：設外接圓的方程為，把點，，的坐標代入圓的方程，得,可得，經檢驗符合題意.所以圓的方程為.17.已知數列的前項和，數列是各項均為正數的等比數列，，且.（1）求和的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據與關系求an的通項公式，由等比數列基本量的運算即可求解bn的通項公式；（2）用裂項相消法求奇數項的和，由錯位相減法求偶數項的和，即可求解.【小問1詳解】數列an的前項和，當時，，當時，，因為也適合上式，所以，設數列bn的公比為，因為，所以，解得，又，所以；【小問2詳解】由題意得，設數列的奇數項之和為，偶數項之和為，則，，所以，兩式相減得，所以，故.18.已知圓和點.（1）點在圓上運動，且為線段ME的中點，求點的軌跡曲線的方程.（2）設為（1）中曲線上任意一點，過點向圓引一條切線，切點為.（i）求的取值范圍.（ii）試探究：在軸上是否存在定點（異