2025年高考數學熱點題型突破：平面向量重難點題型

匯總

向量草雍直敷型匯總(17類題型)

近5年考情(2020—2024)

考題統計考點分析考點要求

2024年/卷第3題，5分平面向量數量積的運算、化簡、證明及

數量積的應用問題，如證明垂直、距離

2024年甲卷(理)第9題，5分(1)向量的有關概念

等是每年必考的內容，單獨命題時，一

2023年/卷第3題，5分(2)向量的線性運算和向量

般以選擇、填空形式出現.交匯命題

2023年〃卷第13題，5分共線定理及其推論

時，向量一般與解析幾何、三角函數、

(3)投影向量

2023年乙卷(理)第12題，5分平面幾何等相結合考查，而此時向量

(4)平面向量的坐標表示及

2022年北京卷第10題，5分作為工具出現.向量的應用是跨學科

坐標運算

知識的一個交匯點，務必引起重視.

(5)平面向量的數量積及其

預測命題時考查平面向量數量積的幾

2020年新高考/卷，第7題,5分幾何意義

何意義及坐標運算，同時與三角函數

及解析幾何相結合的解答題也是熱點

--------------------------------------------------------------°0------------------------------------------------------------------------

題型一向量的概念辨析易錯題梳理.........................................................2

題型二向量的垂直與共線..................................................................4

題型三向量的夾角與模長計算..............................................................6

題型四投影向量...........................................................................8

題型五用其他向量表示已知向量..........................................................10

題型六平面向量共線定理.................................................................13

題型七平面向量共線定理的推論..........................................................15

題型八極化恒等式求數量積...............................................................22

題型九投影法求數量積...................................................................30

題型十拆分向量求數量積.................................................................34

題型十一建立坐標系解決向量問題........................................................38

題型十二三角形四心的識別...............................................................47

題型十三向量的四心運算................................................................54

題型十四等和線問題.....................................................................62

題型十五通過平面向量共線定理的推論求最值.............................................71

題型十六奔馳定理.......................................................................78

題型十七向量中的隱圓問題...............................................................86

Q（熱點題型）O

題型一向量的概念辨析易錯題梳理

9基域知識

1、零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區別.

2、平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；

共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系.

3、共線向量與相等向量關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一■定是相等向量.

4、若兩向量共線，則兩向量所在的直線有平行和重合兩種可能

5、零向量是影響向量平行或共線判斷的“幽靈”，要特別注意

6、向量相等具有傳遞性，即若a=b,b=c,則Q=而向量的平行不具有傳遞性，即若Q〃匕〃c,未必有

a//co因為零向量平行于任意向量，當b=0時,Q,C可以是任意向量，所以Q與c不一定平行。但若6W0,則

必有Q〃b,b〃C=Q〃C

L（多選）下列結論中正確的是（）

A.若同=忖,則a=b

B.若日|=落貝!

C.若是不共線的四點，則“存=皮”是“四邊形4BCD為平行四邊形”的充要條件

D.“Z=A的充要條件是“同=帆且日〃戶

【答案】BC

【分析】根據平面向量的性質、平行的性質與充分必要條件的定義逐個辨析即可.

【詳解】對于4,兩個向量的長度相等.但它們的方向不一定相同；

對于由平面向量相等可得B正確；

對于。，若4B。。是不共線的四點，則當金=反時，|AB|=|。。|且AB〃,故四邊形ABCD為

平行四邊形；

當四邊形ABCD為平行四邊形時，MB|=|DC|且AB〃DC,故且入友歷同向，故覆=方方，故。正確；

對于D,當4〃4且方向相反時，即使同=吼，也不能得到看=k,故D錯誤;

故選：BC

2.有下列結論：

①表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；?M

②若立片立則游擊不是共線向量；

③若\AB\=|方同，則四邊形ABCD是平行四邊形；

④若慶=方，元=4,則右=右；

⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.

其中，錯誤的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由向量的定義、有關性質逐項判定可得答案.

【詳解】對于①，表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同，①正確；

對于②，若4#日也有可能不長度不等，但方向相同或相反，即共線，②錯誤；

對于③，若同=|反則泰，反不一定相等，所以四邊形ABCD不一定是平行四邊形，③錯誤;

對于④，若前=行，方=總則碗=5,④正確；

對于⑤，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑤錯誤.

綜上，錯誤的是②③⑤，共3個.

故選：B.

3.下列命題中，正確的個數是（）

①單位向量都相等;②模相等的兩個平行向量是相等向量；

③若4,日滿足國>|用，且W與一同向，則司>1

④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；

⑤若云〃。力/力則4〃才

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【分析】根據平面向量的基本概念，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.

【詳解】單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①錯誤；

模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②錯誤；

向量有方向，不能比較大小，故③錯誤；

向量是可以自由平移的矢量，當兩個向量相等時，它們的起點與終點不一定相同，故④錯誤；

當廣=6時，可滿足日〃及卜〃乙但H與才不一定平行,故⑤錯誤；

綜上，正確的個數是0

4.（多選）下列敘述中錯誤的是（）

A.若4=人則34>21B.若4〃廠,則日與天的方向相同或相反

—>

C.若日〃H〃落則汗〃不D.對任一非零向量落是一個單位向量

同

【答案】ABC

【分析】對于4,根據向量的概念判斷，對于BCD,舉例判斷.

【詳解】因為是既有大小又有方向的量，所以向量不能比較大小，故A錯誤;

由于零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯誤；

對于C,若占為零向量，則工與才可能不是共線向量，故。錯誤；

對于。，對任一非零向量乙—表示與日同向的單位向量，故。正確.

同

故選：4BC

題型二向量的垂直與共線

9蠹硒知識

(1)向量共線定理:如果a=/ib且bW0,則aIIb;反之Q〃匕且bW0,貝V一存在唯一一個實數4,使a=Ab.

⑵兩個向量日，擊的夾角為銳角?日＞0且4,1不共線；

兩個向量4,1的夾角為鈍角Q&?日＜0且云，日不共線.

(3)a_La,6=0

⑷若云=(6,y),則＞萬=(/lx,初)

向量共線運算：已知a—(劣1,%),廣=(22,%),則向量6(6#：0)共線的充要條件是為曲一?Ui=0

5.向量4=(1,3),b=(3%—1,%+1),c=(5,7),若(a+b)//(a+c)，且匹=ma+nb，則館十九的值為

()

A.2B.C.3D.J

【答案】。

【分析】先利用平面向量加減法的坐標運算和向量共線的坐標表示求出力=1,再利用向量的坐標表示得到

關于M、口的方程組進行求解.

【詳解】由題意，得日+廣=(3宏，%+4),a+c—(6,10),

因為(a+b)//(a+c)，所以307=6++24,解得x=l,

則c=ma+nb=(m,3m)+(2n,2n)=(m+2n,3m+2n)=(5,7),

解得

即，故771+71=3.

3m+2n=7[n—2

6.已知向量4=(1,1),(―1,1),1=(4,2),若1=石+/"、〃eR,則)+〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】。

【分析】由題意，根據平面向量加法的坐標表示，可列方程，可得答案.

???

【詳解】由匹=求+必則(4⑵=4(1,1)+〃(—1,1),即二:;j，解得｛：：!_1，

故/I+〃=2,

故選：D

7.設向量日=(cosa;,V2sinx),&=(1,—V2)，其中xG[0,兀].

(1)若(4-磯〃九求實數力的值；

(2)已知c=(m,-1)且不_L日，若f(%)=4?落求/(力)的值域.

【答案】⑴普;(2)[-2,V2].

【分析】(1)根據給定條件結合向量的坐標運算，向量共線的坐標表示計算得解.

(2)由向量垂直的坐標表示求出3,再借助數量積建立函數關系求解作答.

【詳解】⑴因向量日=(cosrr,V2siriT),6=(1,—V2)，則a—b—(cos/—l,A/2sinx+V2),

又(4—W〃U,則有(一(cosi—1)—(V2sinTd-A/2)X1=0,即V2sinrc+V2cosx=0,于是得tana;=

-1,

而/e[0,7r],解得x=,

所以實數，的值是年.

4

(2)因為'=(m,—1)且3_L唬則m+V2=0,即nz=—V2，有3=(—V2,—1),

/(a7)=a?c=—V2cosa;—V2sinx=—2sin(/+十)，因nG[0,兀],貝I⑦+十E[十，"|■兀],sin(/+￡)E

[—^^,1],即/(劣)6[―2,V2]，所以/(力)的值域[—2,，^].

8.(多選)已知向量日=(1,V3),b=(cosa,sina),則下列結論正確的是()

A.若4〃b,則tana=V3

B.若日_L日，則tana=—

C.若C與廣的夾角為酒■，則\a-b\=3

O

D.若4與日方向相反，則日在日上的投影向量的坐標是乎)

【答案】46。

【分析】利用向量共線的坐標表示判斷4;利用垂直的坐標表示判斷3利用數量積的運算律求解判斷C;求

出投影向量的坐標判斷。.

【詳解】向量a—(1,A/3),b—(cosa,sina),

對于4由日〃廣，得sin<7=A/3COS(7,因此tana=V3,A正確；

對于_B,由日_L廣，得Vasina+cosa=0,因此tana，B正確；

o

對于。，日與日的夾角為《■，同=2,|力=1,4?廣=2xlx1~=l,

因此技一4=y/a2-\-b，2—2a-b=V3,C錯誤；

對于O,4與丁方向相反，則，在日上的投影向量為二4=-4日=(-《，一空)，0正確.

國22V22)

故選：ABD

題型三向量的夾角與模長計算

S基礎知識

a-(江+磯

五與b夾角公式：cos。=—汗與4+廣夾角公式：cos。

同w同忖+色

模長公式:a-a=|a|『或|a|=y/a-a=y/~^,\a+b\=J（江+磯2

注意：涉及\ma±nb\這類條件時一般要進行平方

9.已知向量同=3,同=2,、與「的夾角為卷，則忱—3同=()

O

A.6B.3V6C.3D.3V2

【答案】A

【分析】由數量積公式結合,_3間=J(2W_3/得出答案.

【詳解】解:因為向量同=3,吼=2,1與〉的夾角為卷,

所以4?b=3x2xcos卷=3

O

所以12日一3冏=V(2a—3b)2=y/4a2—12a-b+962=V4x9—12x3+9x4=6

10.已知向量4,b滿足|a|=1,|ft|=3,a—b=(2,V6),則國+間=

【答案】

【解析】|a|=1,|?|=3,a—?=(2,V6)可得.一爐=彥+62—2a-&=22+(V6)2=10=>a,0,

故|3a+6|=/9浮+廬+64?J=V9+9=3A/2

11.已知向量4=(l,2)￡=(4,k),若4與葉垂直，則4與4+廣夾角的余弦值為()

【答案】A

【解析】因為日與日垂直，故日?日=1X4+2fc=0,解得k=—2,則b=(4,—2),

4+日二(5,0),設方與4+聲夾角為。，則cos。="，+烏=5---=.故選：A.

\a\-\a^b\V12+22X55

12.設向量4=(T,-4),6=(1,—力)，向量Z與帥勺夾角為銳角，則力的范圍為,

【答案】力＞0且力W2

【分析】根據已知可得小自＞0,且點S■不共線，求解即可.???

【詳解】向量a=(x,—4),6=(1,—x)，由二〃廣得，/X(―/)—1X(—4)=0,所以力=±2.

一.h

由已知得，0V(4,b)vg,所以cos(a,b)=>0,即日?b>0,且由b不共線.

2同同

則4?日=/x1+(—4)?(—力)=5/>0,所以/>0.

又由日不共線，則xW±2.所以力的取值范圍為力>0且1W2.

故答案為：力>0且力W2.

13.向量4=(2,t),b=(―L3),若4,廣的夾角為鈍角，則t的范圍是

【答案】土<弓且t大―6

【解析】若4,廣的夾角為鈍角，則且不反向共線，視，=一2+3±<0,得力V。.

O

向量4=(2,力)，自=(—1,3)共線時，2x3=—力,得力=-6.此時a——2b.

9

所以方■且土W—6.

o

14.已知乙；為單位向量，且阿一5間=7,則日與日一聲的夾角為()

R2K

A'匹3BcD.萼

-T-i0

【答案】。

【分析】設工與"日夾角為仇利用國一5時=7求出4屯在利用夾角公式計算即可.

【詳解】因為心方為單位向量,

由（3a—5b|=7,

所以（34—5^=49=9彥一304Z+25廬=49,

即9—30a。25=49=>41-，設日與日一日夾角為仇

<2)==等，又匹°捫，所以夕=看

J」2x(T)+l26

15.(2024?高三?上海奉賢?期中)已知平面向量4,1的夾角為『若同=1,歸一間，則\b\的值為

【答案］3方

【解析】由|2a—b|=V10兩邊平方得(2a—10,4a2—4a-b+^=4—4x1x|間,cosJ+|^2=10,

時一2四.同一6=0,(同一3囂)?|+四)=0,解得吼=3聲

16.已知周，￡表示兩個夾角為冷的單位向量，O為平面上的一個固定點，P為這個平面上任意一點，當

方=力信+,最時，定義3,切為點P的斜坐標.設點Q的斜坐標為(2,1),則\OQ\=.

【答案】77

【詳解】由題知OQ=2翦+苞，又言，最表示兩個夾角為弓的單位向量，

O

所以\OQ\=NOQ?OQ=J(2/+￡y=信4卜2+4前?芭+￡2=,4+4><cos~1_+1=V7

17.(2024?江西宜春?三模)已知a,日均為非零向量，若\2a-b\=\b\=2\a\，則名與日的夾角為

【答案】譽

【解析】由|24-山=磯可得|2"彈=|汜即4同2一4工［+廊=間*,解得同2,

a-blai2

因為同=2同，所以cos伍冉1

\a\\b\2同22

又因為0W〈區p《乃，所以@今二三

O

故答案為：卷.

O

題型四投影向量

s基礎知識

向量日在日上的技彩向量：魯一h-b=\a\-COS61?上~,其中7ZT是與日同方向的單位向量

W

向量日在日上的投影向量模長：若

18.已知Z3是夾角為120°的兩個單位向量，若向量4+需在向量4上的投影向量為2落則久=()

c2V3_n2V3

A.-2B.2c-一~FD-I-

【答案】4

->

(a+/lb),a(a+zlfe)-a

【詳解】日+需在向量4上的投影向量為—a=2a=>2.

o\12a\12

2

=>值+硝?a=|a|+/l|a|,同cosl20a=1—y/l=2=>A——2.

19.(2024.福建泉州.模擬預測)在平面直角坐標系xOy中，點P在直線/+2夕+1=0上.若向量4=

(1,2),則OP在日上的投影向量為()

A.L_2B.L1C.

~5'~~5~5'~55

【答案】A

【解析】由題可設P(—2%一11)，則OP=(-2t-l,t),

所以歷(-2t-l,t)-(l,2)=—1,又同=〃12+22=0,

故歷在日上的投影向量為

—>

|函cos〈（5Aa）m:\OP\A

a7I國同同

20.已知向量4=(—2,2),■=(1,1),則日一日在日方向上的投影向量為,

【答案】(一1,—1)

【分析】根據投影向量的計算公式即可求解.

【詳解】2=(—2,2),?=(l,l)=>a—b=(—3,1),

日一日在日方向上的投影向量為紀婪占=二^(1,1)=(—1,一1)

時2

故答案為：(-1,-1)

21.已知點4(一1,。。。。。°。。2)、。(一2,。。。。-1)、。⑶。。。。4),則向量存在

方方向上的投影向量的模長為

【答案】A

【解析】7Z=（2,1）,麗=（5,5）,則向量次在向量麗方向上的射影為

—；八AB-CD（2,1）-（5,5）2x5+lx5372

ABcos3=-—=f二=---產——=----

CD752+525722

22.已知同=2,4與式的夾角為冬，3是與廣同向的單位向量，則4在廣方向上的投影向量為()

O

A.1B.—1C.eD.—e

【答案】。

【解析】4在日方向上的投影向量為冏cos伍冉-3=2cos等竟=一3,故選：。

O

23.已知忖=3,3是與日方向相同的單位向量.若向量方在于方向上的投影向量是43,則。廣=.

【答案】12

【分析】先求得立在4方向上的投影，再乘以與；方向相同的單位向量3,即得到投影向量，利用向量的數量

積運算即可得到。日的值.

【詳解】設日與，的夾角為仇則日在，方向上的投影為同cos/

所以向量昂在日方向上的投影向量為3?郎os0=43,故同cos(9=4,

故日了=同?Mcos。=忖?同cos。=3x4=12.

24.若向量4=(①⑵,1=(2,3),'=(2,—4),且4〃落則日在日上的投影向量為()

812

B.C.(8,12)

135l3D-

【答案】A

【解析】由題意知向量日=(2,2)了=(2,3),匹=(2,—4),

因為4〃匹,所以一4/—4=0,得2=—1,所以a—(—1,2),|a|—V5,

又。=(2,3)，所以彳=(右，左),85伍了)=帝-2+6_4

75x713—V65

25.(2024.黑龍江哈爾濱.模擬預測)已知向量43滿足忖=2,廠=(3,0),口一同=可,則向量其在向量1

方向上的投影向量為()

A.(y,0)B.g,0)C.令，0)D.(1,0)

【答案】。

【解析］因為同=2,吼=3,根一同=AM,

所以|a—fc|'2=<F—24+廬=22—24+32=10,得4=日,

所以向量旨在向量S■方向上的投影向量為筆不(3,

題型五用其他向量表示已知向量

S基M知識

(1)基本思珞:利用向量的假性運算對已知向量進行拆分,逐漸精化為只有基底向量的形式

(2)坐標表示;待定系數法

(3)常見模型補充:向量中的定比分點恒?式(爪型圖)

在△ABC中，。是BC上的點，如果萼=21,則而=mAC+—^AB

CDnm+nm+n

—

26.在△4BC中，點。滿足超=3屈，則（）

A.CD=^-CA+^-CBB.CD=^CA+^-CB

44oo

C.CD=^-CA+^-CBD.CD=^-CA+^CB

44oo

【答案】A

【分析】根據題意畫出△ABC并確定點。的位置，即可以向量el,屈為基底表示出CD.

【詳解】根據題意如下圖所示：

根據向量加法法則可知（5方=64+力，又力=3品，所以力=jAB

即包=次+與京=為+與（屈—刀）=占咒+3怎，

441744

可得方=二可十3怎.故選：A

44

27.若向量4=（2,1）,b=（—1,2）,2=（0號）,則3可用向量落日表示為（）

A.+bB.——bC.-|-a+-^-6D.^-a—

【答案】A

［分析］根據向量基本定理，設才=多4+yb,代入計算得到方程組，解出即可.

【詳解】設c=xa,+yb,即=a;（2,1）+y（—1⑵=（^2x—y,x+2y'）,

2x—y—0，解得卜二當，則匹=［日+日

則有

x+2y=^ly=i2

28.如圖所示的A4BC中，點L＞、E分別在邊8。、AD上，且8O=OC.ED=2AB,則向量與=（）

A.~AB+^-ACB.^AB+^-ACC.^AB+^ACD.^AB+^-AC

33666633

【答案】B

【解析】???NB=Z5+阮，刀=怒+況，

又???BD=DC,.?.助=-血.?.由5=］（加+同，???

叉；ED=2AE,.?.AE=《AD,.?.麓=《益=4毋+±二.故選：B.

3366

29.已知△4BC的邊BC的中點為。，點E在△4BC所在平面內，且說=2差一屬，若m無+"及5=

AB，則772+?2=()

A.7B.6C.3D.2

【答案】4

【解析】因為反5=2房一國，所以巨4+]■后方=2月及

因為麗=方方+諼所以與N+十反5=2屈=2(反?+函，

所以2無=_戢__|■反=―泰—|■(由5—確=｝晶—■花

所以4屈+3市？=加，

因為mCE+nAC=AB,所以m=4,n=3,故m+n=7.故選：A.

30.如圖所示，點。在線段RD上，且BC=3CD,則初=()

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.^-AC--ABD.^AC-^-AB

oooo

【答案】。

【分析】根據平面向量的基本定理求解即可.

【詳解】因為BC=3CE>,所以司=:反5,

因為力=方方+況=+f■阮=衣+/(萬一西，

所以之=N苕—二%反即國5=三回苕—豆故選：c.

4433

31.如圖，在△ABC中，俞=是8N的中點，若M=+方，則小+九=()

【答案】D

【分析】利用向量的線性運算求得AP=yAB+jAC,由此求得小,九,進而求得m+n.

12

【詳解】因為P是BN的中點，所以麗=-1-W.

所以讖=存+麗=毋+:麗=毋+;（俞一晟）=春年+春俞=春年+；丞?，所以m,=

/乙乙乙乙生

\-,九=十，所以m+n=-|".

32.已知在△ABC中，N是邊4B的中點，且4屈=反5,設4W■與CN交于點P.記9=落/=立

⑴用落廣表示向量詢，CN；

⑵若2同=|小,且京，戲,求伍內的余弦值.

【答案】⑴疝=引+?法,CN^^-a-b

（2）cos伍,弓二J

【分析】（1）根據平面向量的基底與三角形法則即可用a,1表示向量3法，CN-,

（2）由赤，毋得由，岳。。，代入向量數量積公式即可求得〈肩辦的余弦值.

【詳解】（1）^^AC-AB=b-a

AM=AB+BM=AB+^-BC=a+^-（b-a）=^-a+~^

44v744

CN=CA+AN=-ACH~AB=Ja,-b

⑵?.?N,P,C三點共線，.-.由蘇，旗得函，旗。，

0=CN?AB0°=（4'_；）.4,即/同2=隹

.'./M=|a||fe|cos^a,&^=2同2cos力,

COS（鼠K）=!，,@0的余弦值為十.

題型六平面向量共線定理

s基M知識

平面向量共線定理:三點4,B,。共線丞?共線（功能：證明三點共線）

33.已知向量AB=（2,1）,BC=（7,m）,CD=（3,—1），若48,。三點共線，則m=

【答案】6

【分析】根據給定條件，求出由，再利用共線向量的坐標表示計算作答.

【詳解】因瑟=（7,m），無=（3,—1）,則助=瑟+濟=（10,m-1）,

又AB—（2,1）,且。三點共線，即AB〃BD,因此2（m—1）—1x10=0,解得？n=6,

所以m=6.

故答案為：6

34.已知AB=3?+最）,CB=￡—&CD=2前+最，則下列結論中成立的是（）

A.三點共線B.三點共線C.，。三點共線D.。，口，。三點共線

【答案】。

【分析】根據平面向量的線性運算可得N3=2①,從而可求解.

【詳解】解：AC=AB—CB=3（苴+最）—（苞一/）=4司+21=2CD,

所以4,。，。三點共線.

故選C.

35.如圖，在O4BCD中，點河為AB的中點，點N在上，3BN=BD.

求證：M,N,。三點共線.

【詳解】設司=區蘇=兀

則CM=l.^+b,CN=b+^-BD=b+^-{a-b）=-^-a+^-b,

/OOOO

---?R—?

所以CM=*CN,

又因為近，國有公共起點。，所以。三點共線.

36.已知AW=4+5認JVP=—2（4—4。，PQ=3（4—。,則（）

A.M,N,P三點、共線B.M,N,Q三點共線

C.河，P,Q三點共線D.N,P,Q三點共線

【答案】B

（解析】NP=一24+8b,PQ^3（a-fe）,

：.NQ=NP+PQ=—2a+8b+3（a—b'）=a+5b,

?：MN^a+5b,：.MN^NQ,

由平面向量共線定理可知，說與汨為共線向量，

又?.?謝與而有公共點N,Q三點共線，故選：B.

37.已知不共線的向量4工,且存=4+2及/=—54+6求也=74—2譏則一定共線的三點是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】利用向量的共線定理——判斷即可.

【詳解】對A,AD=AB+BC+CD=3a+6^,

所以說=3金，則AB,。三點共線，A正確；

^B,AC=AB+BC=-4a+8^,

則不存在任何/ICR,使得彳苕=AAB，所以AB,C不共線,B錯誤；

對。，阮=云+況=24+4員

則不存在任何〃CR,使得M=nBC，所以B,C,。不共線，。錯誤;

對。,AC=AB+BC=-4a+8^,

則不存在任何teA,使得包=tAC，所以AC,。不共線，D錯誤

38.如圖，在△ABC中，司=2方百，巔=反5.

⑴用N立歷表示怒，魂；

⑵若點河滿足畫？=-，存+1■芯,證明：三點共線.

【答案】⑴^^=-2毋+3曲屋二-2毋+1■萬萬

（2）證明見解析

【分析】（1）利用向量的線性運算和基本定理求解即可.

（2）利用三點共線的判定證明即可.

【詳解】⑴因為包=2品，麓=/，

AC^AB+BC^AB+3BD

—AB+—_AB）——2_AB+3AD,

BE=BA+AE=-AB+^AC

=-AB+-j-（BC-BA）=-^AB+^-BC

=-yAB+yx3BD=-yAB+yx3（AD-AB）

=-2AB+1-AD.

（2）由AM=--AB+^AC,

可得無法=-^■毋+*x2AE=-yAB+1-AE,

所以2用法=—毋+3麓，廢一毋=2（0一廉），即彘=2面卷

所以6,三點共線.

題型七平面向量共線定理的推論?M

核心?技巧

平面向量共線定理的推論一一系數和為1:

已知PC=APA+[iPB

A

①若/I+〃=1,則A、8、。三點共線;

②若則A、B、。三點共線，則4+〃=1.

證明

證明①：由c+"=l=>A,_B,。三點共線.

由力+g=1得：PC-xPA+yPB=xPA+(1—x)PB=>PC—PB-x{PA—PB)nBC-xBA.

即共線，故A,B,。三點共線.

(2)由A,B,。三點共線=>/+g=1.

由A,5。三點共線得歷，國共線，即存在實數/U吏得反5=4巨1

故BP+PC=A(BP+PA)=>PC=APA+(1—A)PB.即2==1—4,則有2+g=1.

39.在△ABC中，N是入。上的一點，且俞=!覺，。是BN上的一點，設NA=小存+白衣,則實

O-L-L

【分析】根據給定條件，利用基底向量Z邑N苕表示出席,再借助平面向量基本定理列式計算作答.

【詳解】在△ABC中，由俞=jNC得：俞=；前,因為P是BN上的一點，則有而=ABN,AeR,

即讖一毋=4(俞一岳)，叁=(1-/1)京+4而=(1-/1)巔+彳於，

—>—>9—?—>—>(m=l—AQ

又4P=7nA8+=4。，且AB,力C不共線，于是得L_2，解得館=白，

115五11

所以實數小的值為三.

40.(深圳二模)已知△OAB中，(5^=況，OD=2DB,AD與BC相交于點河，而=奴51+'如，則有

序數對(x，n)=()

【答案】。

【分析】根據平面向量共線定理得到N而=九而，。而瓦利用64、。豆分別表示出面，再根據平面

向量基本定理得到方程組，解得人小再代入計算可得.

【詳解】依題意力、M、D三點共線，故大或=AAD,

=OA+A(jOB-OA)=^-OB+(l-^)OA,

又。、m、B三點共線，故(5法=瓦

則OM^OC+CM^OC+nCB^OC+n{OB-OC)

=(^-n)OC+uOB=^LOA+u6B,

所以

所以0河=高0_5+^。4,又(W=；rQ4+yOB,所以《:

24\y=2

所以有序數對(ny)=

41.在AABC中，已知助=2DC，無=/,BE與AD交于點O.若歷=xCB+yCA(x,yEA),則2

+y=-

【答案】言

5

17

【分析】根據向量線性運算的幾何表示可得己5=3xCD+yCA,CO=xCB+2yCE，然后利用共線向量的

推論即得.

【詳解】因為京5=2皮，