第49講直線、平面垂直的判定與性質

知識梳理

知識點1：直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直,那稱這條直線和這個平面相互垂直.

知識點2：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語

圖形語言符號語言

言

一條直

1

線與一個平

面內的兩條a,bua

判斷定aLI

相交直線都7>=>I-La

理bLl

垂直，則該acb=P

直線與此平

面垂直

兩個平

面垂直，則

在一個平面a1/3

面_L面aryp=a

內垂直于交>=>Z7_La

bu/3

=＞線_1面

線的直線與bLa

另一個平面

垂直

一條直

線與兩平行ZZZZ7

平面中的一

平行與

a//yffl八

個平面垂

垂直的關系aLa\

直，則該直

線與另一個

平面也垂直

兩平行ab

直線中有一

平行與條與平面垂a//b]

\^>bLa

垂直的關系直，則另一a-La]

條直線與該

平面也垂直

知識點3：性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同?b

性質定alia

au(3>=>〃//〃

一平面的兩條7

理ac(3=b)

直線平行

文字

圖形語言符號語言

語言

垂直

垂直與于同一直a-La]

_/a//B

aL(3\"

平行的關系線的兩個/

平面平行/

如果

一條直線

垂直于一

線垂直個平面，則

I-La,a(^a=>l-La

于面的性質該直線與工V

平面內所

有直線都

垂直

知識點4：平面與平面垂直的定義

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直,又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩

條交線互相垂直.（如圖所示，若ac0=CD,CD1y,且ac7=筋,萬門7=3瓦,

則a，/3）

一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

知識點5：判定定理(文字語言、圖形語言、符號語言)

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面b

卜=a-L尸

bu隊

過另一個平面b

的垂線，則這兩Z：/

個平面垂直

知識點6：性質定理(文字語言、圖形語言、符號語言)

文字語言圖形語言符號語言

性質定理兩個平面垂直，a-LJ3

a(~\B-a

則一個平面內垂直>=>bLa

<bu/3

于交線的直線與另bLa

一個平面垂直

【解題方法總結】

判定定理,判定定理)

線，線,性質定理線_1面<性質定理面,面

(1)證明線線垂直的方法

①等腰三角形底邊上的中線是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形對角線互相垂直；

④直徑所對的圓周角是直角；

⑤向量的數量積為零；

⑥線面垂直的性質(a_La,>ucr=>a_LZ?)；

⑦平行線垂直直線的傳遞性(a1c,a〃bnbLc).

(2)證明線面垂直的方法

①線面垂直的定義；

②線面垂直的判定(a_L8,a_LGCU6Z,butz,bcc=P=>a_La)；

③面面垂直的性質(a，/3,ac/3=b,a，b,aua=a，0)；

平行線垂直平面的傳遞性QaLa,bIla=>bLa)；

⑤面面垂直的性質(a_L7,尸_L/,ec￡=/n/_L/).

(3)證明面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理(a_L〃,aua=>a_L￡).

空間中的線面平行、垂直的位置關系結構圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關系

中處于核心位置.

必考題型全歸納

題型一：垂直性質的簡單判定

例1.(2024?甘肅蘭州?校考模擬預測)設相，"是兩條不同的直線，a,尸是兩個不同的平

面，則下列說法正確的是()

A.若根則機_La

B.若m〃0,。La,則m_La

C.若根則機_La

D.若機_L尸,則用_La

例2.(2024?重慶?統考模擬預測)已知/,m,〃表示不同的直線，。，/，/表示不同

的平面，則下列四個命題正確的是()

A.若/〃er,旦mlla,貝!!B.若e，，，mlla,nY/3,貝）|加〃〃

C.若“〃//,且m_La,則/_LaD.若m±a,nil（3,則a_Lp

例3.（2024?陜西咸陽?統考二模）已知加，”是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的

平面，有以下四個命題：

①若m//n,nua,則加〃a,②若mua,mL（3,則<z_L/，

③若M7_L（Z,mL（3,則a〃。，④若aJ_p,mua,“ua,則機_1_〃

其中正確的命題是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

變式1.（2024?河南?校聯考模擬預測）已知a,夕是兩個不同的平面，根，"是兩條不同的

直線，則下列命題中正確的是（）

A.若a_1_/?,/〃_!_a,〃z_L”,則〃_1_尸B.若a〃/3,mua,nu0,則

C.若m工n,mua,nu0,則a_L#D.若m1a、ni〃n,n〃0,則

變式2.（2024?陜西咸陽?統考模擬預測）如圖所示的菱形ABCZ）中，

=2,NBA。=60。,對角線AC,8。交于點。，將△AS。沿折到△A3。位置，使平面

ABD_L平面BCD.以下命題:

①BE>_LAC；

②平面AOCJ_平面BCD；

③平面A_BC_L平面ACD;

④三棱錐A-BCD體積為1.

其中正確命題序號為（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

變式3.（2024?廣西南寧?武鳴縣武鳴中學校考三模）已知/,山，〃是三條不同的直線,

a,夕是不同的平面，則下列條件中能推出的是（）

A.Iua,mu（3,且

B.lea,mu(3,nu/3,且/!.機，ILn

C.mua,nuB,mlln,且/_L〃？

D.Iua,UIm,且_L￡

【解題方法總結】

此類問題可以轉化為一個正方體的棱、面等，進而進行排除.

題型二：證明線線垂直

例4.（2024?貴州黔東南?凱里一中校考模擬預測）如圖，在三棱柱ABC-44G中,

AB=BC,AB[=B?.

4C

B

(1)證明：AC±BtB.

例5.（2024?廣東深圳?統考二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為矩形,

PA±ABCD,PA=AD=72AB,點M是PD的中點.

（1）證明：AM±PC；

例6.（2024?河南?校聯考模擬預測）己知三棱柱4BC-A4G中，

AB=AC=2,AA=AB=AC=2,ABAC=90°,E是BC的中點，F是線段AG上一點.

（1）求證：AB±EF；

變式4.（2024?福建寧德?校考模擬預測）圖1是由直角梯形ABC。和以C。為直徑的半

圓組成的平面圖形，AD//BC,ADJ.AB,AD=AB=^BC=1.E是半圓上的一個動

點，當周長最大時,將半圓沿著C。折起，使平面PCD,平面48CZ）,此時的點E

到達點尸的位置，如圖2.

（1）求證：BD±PD；

變式5.（2024?河南?校聯考模擬預測）如圖，已知三棱柱ABC-\BXCX中，

AB=AC=2,AA=A3=4C=2jLN54C=90。，E是BC的中點，歹是線段AG上一

點.

⑴求證：ABYEF；

⑵設P是棱4A1上的動點（不包括邊界），當APBC的面積最小時，求棱錐P-ABC的體積.

變式6.（2024?貴州畢節?校考模擬預測）在梯形ABCD中，AB//DC,ZZMB=90°,

CD=2,AC=AB=4,如圖1.沿對角線AC將△ZMC折起，使點。到達點尸的位置，E

為BC的中點，如圖2.

圖1圖2

（1）證明：PELAC.

【解題方法總結】

三線合一（有等腰三角形就必用）

共面n勾股定理（題目中線段數據多）

證明414先看兩直線位置關系

其他（初中平面幾何學習的其他垂直證明方法）

異面n考慮用線面垂直推導異面垂直n找重垂線n在重垂線對應平面內找1

題型三：證明線面垂直

⑴求證：超1平面人。。14；

（2）求四棱錐c-的體積.

例7.（2024?云南?校聯考模擬預測）如圖，在四棱錐尸-Q4BC中，已知

TTTTTT

OA=OP=l,CP=2,AB=4^CPO=-,^ABC=-fZAOC=~.

例8.（2024?云南昭通?校聯考模擬預測）如圖，在三棱錐C-中，平面

ABD,E為A3的中點，AB=BC=AC=2,CG=2EG.

⑴證明：AB上平面CEO；

例9.（2024?內蒙古赤峰?赤峰二中校聯考模擬預測）如圖1,在五邊形ABCQE中，四邊

形ABCE為正方形，CDA.DE,CD=DE,如圖2,將A/WE沿BE折起，使得A至4處，

且48，”.

圖1圖2

（1）證明：Z）E2平面48E；

變式7.（2024?重慶巴南?統考一模）如圖所示，在三棱錐P-ABC中，已知平面

ABC,平面PAB_L平面P3C.

p

⑴證明：3C/平面R4B；

變式8.（2024?廣東廣州?統考三模）如圖，在幾何體ABCDEF中，矩形BDEF所在平

面與平面ABCO互相垂直，S.AB=BC=BF=1,AD=CD=5EF=2.

⑴求證：2（7，平面。。&

變式9.（2024?天津津南?天津市咸水沽第一中學校考模擬預測）如圖，在三棱柱

A8C-A|BCi中，平面ACC4,平面ABC,AC=8C=CC；=2,。是的中點，且

NACB=90",NDAC=60；

（1）證明：平面C8D；

【解題方法總結】

垂直關系中線面垂直是重點.

'①垂直兩條相交線；

心②垂直里面作垂線；

線垂面哪里找《…田’十、士士—附/E*土日K及

③直（正）棱柱的側棱是垂線；

、④正棱錐的頂點與底面的中心的連線是垂線.

E[①垂直面里所有線（證線線垂直）；

線垂面有何用

[4②過垂線作垂面（證面面垂直）.

證明線面垂直常用兩種方法.

方法一：線面垂直的判定.

線線垂直二線面垂直，符號表示為：aLb,aLc,bua,cua,bcc=P,那么aJ_e.

方法二：面面垂直的性質.

面面垂直二線面垂直，符號表示為：a±/3,a^/3=b,a^a,a±b,那么a_l_尸.

題型四：證明面面垂直

例10.（2024?山西運城?山西省運城中學校校考二模）如圖，在三棱柱ABC-AB。1中，

側面為菱形，ZCBBj=60°,AB=BC=2,AC=ABt=72.

(1)證明：平面AC4,平面BBCC；

例11.(2024?貴州貴陽?校聯考三模)如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為

直角梯形，AB//CD,AB=^CD,CDA.CE,ZADC=NEDC=45。,AD=&.，

BE=6

(1)求證：平面平面ABCD；

例12.（2024?西藏日喀則?統考一模）如圖，已知直角梯形ABCD與ADEF,

2DE=2BC=AD=AB=AF=2,AD±AF,ED//AF,ADLAB,BC//AD,G是線段

8尸上一點.

(1)平面ABCD_L平面ABF

變式10.（2024?廣東梅州?統考三模）如圖所示，在幾何體PABCO中，AD_L平面

上4B,點C在平面PAB的投影在線段PB上（8C<PC）,BP=6,AB=AP=2欄,

DC=2,CD〃平面A4B.

（1）證明：平面PCD_L平面PAD.

變式11.（2024?河北張家口?統考三模）如圖，在三棱柱ABC-AqG中，側面3耳GC

為菱形，/CBBi=6ff,AB=BC=2,AC=ABi=也.

(1)證明：平面AC4,平面BBCC；

變式12.(2024?陜西西安?西安市大明宮中學校考模擬預測)如圖，在長方體

ABCD-ABCD中，AB=2BC=2,=4,尸為棱A3的中點.

APB

(1)證明：平面PC，J_平面尸〃2；

(2)畫出平面2PC與平面AADR的交線，并說明理由；

⑶求過。,P，C三點的平面a將四棱柱分成的上、下兩部分的體積之比.

變式13.(2024?云南?云南師大附中校考模擬預測)如圖，尸為圓錐的頂點，A,3為底

2兀

面圓。上兩點，ZAOB=~,E為PB中點，點尸在線段AB上，且AF=2FB.

p

（1）證明：平面AOP_L平面0￡尸；

變式14.（2024?江蘇南京?南京市第一中學校考模擬預測）在如圖所示的空間幾何體

中，AACE）與AACB均是等邊三角形，直線瓦＞，平面ACD,直線平面A3C,

DE1BE.

【解題方法總結】

主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直二面面垂直）.證明時，先從現有

的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決.

題型五：垂直關系的綜合應用

例13.(2024?貴州銅仁?統考二模)如圖，在直三棱柱4BC-4耳￡中，ABAC=90°,

AB=AC=1.

B]

(1)試在平面ABC內確定一點“，使得AHJL平面ABC,并寫出證明過程;

例14.(2024?全國?校聯考模擬預測)如圖，在正三棱柱ABC-A4G(側棱垂直于底

面，且底面三角形ABC是等邊三角形)中，BC=CQ,M、N、尸分別是CG，AB,

的中點.

(1)求證：平面NPC〃平面；

(2)在線段8月上是否存在一點。使A4,平面4MQ?若存在，確定點。的位置；若不存

在，也請說明理由.

例15.（2024?天津?耀華中學校考二模）如圖，在三棱錐A-BCD中，頂點A在底面

BCD上的射影。在棱8。上，AB=AD=y/2,BC=BD=2,ZCBD=90°,E為CO的中

點.

（1）求證：