空間向量與立體幾何

一、選擇題

LAB+BC-CA=（）

A.2C4B.*C.QD.2AC

2.正三棱錐p—ABC的側面都是直角三角形,El分別是A氏3C的中點，則P3與平面

PER所成角的正弦值為（）

6633

3.在四棱柱ABC。-4gCQ中，底面ABCD是正方形，側棱明，底面A3CD已知

45=1，胴=有，￡為線段A3上一個動點，則2E+CE的最小值為（）

AB

-272Vl0C-A/5+1D-2+V2

4.已知打=（-1,2,1）,5=（2,-2,0）,則°在B方向上的投影數量為（）

A.-V6B，76C一9D.至

22

5.如圖,已知正四棱錐P—ABCO的所有棱長均為1萬為尸。的中點，則線段以上的動

點M到直線3E的距離的最小值為（）

A.昱B.交C.-D.1

3232

6.已知空間向量，=2a-3B+3"，Z=32+B+"，則萬+q以｛薇斗為單位正交基底時的

坐標為（）

A.（5,-3,4）B.（5,-2,4）C.（2,-3,3）D.（3,1,1）

7.在下圖所示直四棱柱A3CD-A4GA中，底面ABCD為菱形，

AB=bZDAB=1-4^=2,動點P在體對角線30上，則頂點3到平面APC距離的

A.lB史C巫D.也

222

8.如圖，在直三棱柱ABC-4與G中，△ABC是等邊三角形，出=血，鈿=2,則點。到

直線A片的距離為()

AV6BCD

~~,亍~

二,多項選擇題

9.在平行六面體ABCD—ABC'。'中，若AB所在直線的方向向量為(-2,1,3),則C7>

所在直線的方向向量可能為()

A.(2,l,3)B.(2,-1,-3)C.(-4,2,6)D.(4,-2,6)

10.以下關于向量的說法正確的有()

A.若￡=石,則問=同

B.若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓

C.若￡=_石且K，則

D.若％與B共線，B與"共線，則￡與"共線

11.在如圖所示的空間直角坐標系中，ABC。-A4G。是棱長為1的正方體，貝女)

A.平面45耳4的一個法向量為(0,1,0)B.平面片CD的一個法向量為(1,1,1)

C.平面片C"的一個法向量為(1,1,1)D.平面ABCQ]的一個法向量為(0,1,1)

三、填空題

12.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABC。，的邊長都是1，且它

們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和5b上移動，且CM

和BN的長度保持相等，記CM=BN=a(0<a<應),當MN的長最小時，平面肱VA

與平面MNB夾角的正弦值為.

C

13.在正方體ABCD-AB'C'D'中，點E是上底面AB'C'D'的中心，若

AE=xAD+yAB+zAA',貝ij實數x+y+z=.

14.已知直線/的一個方向向量為而=(1,0,-1),若點1)為直線I外一

點,A(4,l,-2)為直線/上一點，則點P到直線/的距離為.

四、解答題

15.如圖，在棱長4的正方體ABCD-A4G2中，E是AAI的中點，點P在棱CC]

上，且CF=L

(1)求平面ABCO與平面DEF夾角的余弦值；

(2)若尸為平面ABCD內一點，且RP_L平面￡＞石尸，求點P到平面￡)石尸的距離.

16.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD

4AZ)=90°，DA=DC=2AB^2-

P

(1)點E在側棱pg上，且PZ)//平面EAC，確定E在側棱pg上的位置；

(2)若平面Q4D_L平面ABCD，且PA=P￡)=2四，求二面角A-PD-5的余弦值.

17.如圖，直三棱柱ABC-A與G的體積為4,△ABC的面積為2VL

(1)求A到平面Ad。的距離；

(2)設。為4。的中點，A^^AB,平面ABC，平面求二面角A—BD—C

的正弦值.

18.已知M,G分別是空間四邊形ABCD的兩邊3C,CD的中點，化簡下列各式:

^AB+BC+CD'^

(2)須+，而+配)；

___.1_,___.

(3)AG--(AB+AC).

19.已知五=(1,一2,4),1=(1,0,3)，5=(0,0,2).求:

⑴e+cj;

(2)4a-b+2c?

參考答案

1.答案：D

解析：AB+BC-CA^

=AC-CA^

=AC+AC^

=2痔

故選:D

2.答案：C

解析：因為正三棱錐p—ABC的側面都是直角三角形，

所以可以以尸為原點，附PB,PC分別為x,yz軸建立空間直角坐標系，

設d=FB=PC=2,

因為分別是AB,BC的中點，

所以P(0,0,0),4(2,0,0),6(0,2,0),C(0,0,2),E(l,l,0),F(0,1,1),

PB=(O,2,O),PE=(l,l,O),PF=(O,l,l),

設平面PER的法向量為言=(x,y,z)，

.-?--?,

wm-PE=0x+V=0一/<、

則有1_____=^>m=

m-PF=Q〔y+z=0

??|-2|J

所以總與平面PEF所成角的正弦值為:cosPB,m=I,,1=—=士

11

\PB\XU2XV1+1+13

故選:C

3.答案：B

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系A-孫z,

則40,0,0),〃(0,1,百)，。(1』,0).

???E為線段A3上一個動點，

.?.設EQ,O,O)(O</<1),

則D[E=77+1+3=77+4，CE=7(?-1)2+1，

故問題轉化為求〃石+.=?彳+7^的最小值問題，即轉化為求平面直角坐

標系/0M中的一個動點P90)到兩定點M(0,-2),N(1,1)的距離之和的最小值的問題，如

圖所示.

時，+CE)mm=[Jr+4+J(…l)2+l]m1n=|MN|=A/I+9=屈，

故選:B.

4.答案：C

解析:泡方向上的投影數量為團*喑策號祟3全=考

故選：c.

5.答案：D

解析：連接AC，E),記直線AC，的交點為。，

由已知，平面ABCD,AC±BD,

以點。為原點，函，礪，礪為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系,

由已知AB=BC=CD=ZM=1,=PB=PC=？。=1,

所以OA=OC=；AC=*，OB瀉5=口=容

(6、,pfo,o,—Icf-—,0,0

則A士■,0,0,B0,—,0,E—,u,—

244J

(V2V2A/2^—(41y/2(0c0)

所以3E=—一，一一，一，BA=一，——,0,AP=—一,0,一

4242222

設戒=2旃(0W2W1),

則兩=麗+麗=麗+2點」(1-力交,-交,也/

\'222

1-1

|W-BE|一%H—_73(22+1)

所以麗7在前上的投影向量的模為24

屁F6

2

又|W|=^!(1-2)2+|+122=—2+1,

所以動點M到直線BE的距離d=,22—2+i—g(22+l『=

所以d二息2-I)?+；'

所以當力=1時,動點航到直線BE的距離最小，最小值為L

2

故選：D.

方法二：因為△尸5C為等邊三角形,E為尸C的中點，所以PELBE，

由已知Q4=l，PC=1,AC=后，所以PT+。。2=,

所以PALPC，

所以PE為異面直線外，3E的公垂線段，

所以PE的長為動點M到直線BE的距離最小值，

所以動點“到直線3E的距離最小值為工，

2

故選：D.

6.答案：B

解析：空間向量2=2a—3B+3c，q=3a+B+c，則p+q=5a-2b+4c

故萬+7以｛￡,￡4為單位正交基底時的坐標為（5,-2,4）.

故選:B.

7.答案：A

解析：連接AC交BD于點。，

由題意，得AC’BD，OB=OD=-AB=-,

22

OA=OC=^AB2-OB2=Jl2-^=與

如圖，以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A0，-孝，00,今0g,0,21

所以衣=（0,后0）,通=西=（—1,0,2），設麗=2祈（0<2<1），

、

（）君2。

所以Q=麗=赤+九西=,0+2-1,0,2=-2+1,

'1'~22J

7

萬

設平面APC的一個法向量為為=(%,y,z)，則I上AC，

nlAP

n-AC=6y=0y=0

所以取，

n-AP=l-2+1x+^-y+2Az=Q」"卜x=44

22

則為=（440,24—1）,

設頂點B到平面APC距離為d,

|AB-H|2A22

則1=

同J（4"+（24-1）2A/2022-42+1

當4=0時d=0.

J22

d二i;

當0<4VI時，V2022-4A+l

所以當工=2即4=工時點3到平面APC距離最大為」==L

227162

故選：A.

8.答案：C

解析：取AC的中點。，

則=百，

以。3所在直線為x軸,。C所在直線為y軸，。與AC中點連線所在直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,

所以A（O,-1,O）,4（A/3,0,V2）,C（O,1,O）,

所以葩=（6,1,四）,A=（O,—2,0）,

\CA-AB\2_V6

所以再在福上的投影的長度為X

I麗I76-V

故點C到直線A片的距離為〃=

故選:C.

9.答案：BC

解析：由已知可得AB〃C'。'，故它們的方向向量共線，

對于B選項，(2,-1,-3)=-(-2,1,3),滿足題意；

對于C選項，(T,2,6)=2(-2,1,3),滿足題意；

由于A、D選項不滿足題意.

故選：BC.

10.答案：AC

解析：若％=小則￡和B的大小相等，方向相同，故A正確；

將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個球，故B錯誤;

若2=_],B=_"，貝U￡=—(—")=￡，故c正確；

若Z與B共線，B與之共線，則當3=0時，無法判斷a與"的關系，故D錯誤.

故選：AC.

11.答案：AC

解析：由題意,知A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),￡>(0,1,0),4(1,0,1),Q(1,1,1),

2(0,1,1).蒞=(0,1,0),AD_L平面4344,故A正確；

?.?CD=(-1,0,0),且(1,1』).(一1,0,0)=-1。0,.?.(1,1,1)不是平面BQ。的法向量，故B

不正確；

?.?麻=(0,1,-1)，西=(-1,0,1)，(1,1,1)-(0,1-1)=0,=又

BCnCR=C,.?.(1,1,1)是平面31c2的一個法向量，故C正確；

=(0,1,1),且(0,l,l)-(0,Ll)=2w0,.YO,1,1)不是平面ABG2的法向量，故D不

正確.

12.答案：其1或2近

33

解析：以3原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(l,0,0),C(0,0,l),F(l,l,0),石(0,1,0)，

aa

因為0/=翻=。，N

萬萬J

所以MN=-\fla+1=Ja-,

當。=年時，肱V最小，此時，M,N為中點，則加&,0,￡|,N&,g,0)

取MN的中點G,連接AG，BG，則」」］,

G(R244)

因為AM=4V，BM=BN，所以AG,肱V，BGLMN，

所以NAG5是平面Mg與平面MNB的夾角或其補角，

因為GA=f——

(24

111

--+--+--

所以cos（GX,曲）GAGB416161

研.阿1111口113

—H---------1-------X-+一+一

4161641616

所以平面與平面肱VB夾角的余弦值是工，

3

所以平面M股與平面肱VB夾角的正弦值是[：=半.

13.答案：2

解析：因為通=/+/=/+工/=封+工（行7+而

22、

_11___.1.1.

=AA'+-A'B'+-A'D'=-AD+-AB+AA',

2222

^AE=xAl5+yAB+zAAr>

以x=一，y——，z=l'x+y+z=2.

故答案：2.

14.答案：^/17

解析：由題意可得I的一個單位方向向量為

AP=(-5,0,1),

故點P到直線/的距離d=獷_於2=726^9=717-

[IHJ

故答案為:g.

15.答案：（I,⑸；

21

⑵詼

21

解析：（1）以。為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立

如圖所示的空間直角坐標系,

則￡（4,0,2）,F（0,4,1）,0,4），DE=（4,0,2）,DF=（0,4,l）.

n-DE=4x+2z=0

設平面DE尸的法向量為為=（x,y,z）,則<

n-DF=4y+z=0

取y=l,則尤=2，z=-4，得力=（2,1,-4）.

因為OR_L平面ABC。，所以平面ABC。的一個法向量為西=（0,0,4），

D￡）1H

則平面ABCD與平面￡>￡F夾角的余弦值為cos（DD^,n）=ll

'/|DD,||n|21

（2）設P（a,40）,則印=（a,伍T）.

因為D]P-L平面DE產，所以D]P〃尢，則^二彳二-得a=2，b=l，即P（2,l,0）.

所以點尸到平面DEF的距離為"M=西.

因為麗=（2,1,0），

向21

16.答案：（1）E為側棱pg上靠近5處的三等分點；

⑵立

3

解析：（1）連接3￡>，設3￡>nAC=R，連接EF，則平面尸￡歸口平面E4C=￡F，

〃平面￡AC，PDu面PDB，PD//EF

?.?底面ABC。是直角梯形，ABIICD，且￡）C=2AB，

:.DF=2BF，則PE=25E，

E為側棱PB上靠近B處的三等分點；

（2）?.?平面P4DJ_平面ABC。，^-PA=PD=2-J1?

:.PO±AD>平面PAD。平面ABCD=AZ），POu平面PA。，

.?.PO_L平面ABCD，（。為AD中點）

如圖所示建立空間直角坐標系,

依題意有4(1,0,0),6(1,1,0),￡>(—1,0,0),

PO=VPA2-A（92=不，則。（0,0,⑺，

.-.DP=（l,0,V7）,加=（2』,0），顯然瓦=（0,1,0）是平面APO的一個法向量，

n,-DP=0x+V7z=0

設％=（無2,為,Z2）是平面3po的一個法向量，則,22

“-DB=02%+%=°

取22=4得石=卜?,2嶼/，

.cos/zTK-"「巧=旦

??3八一|一||一|一2，

㈣I叫3

二二面角A.-BD-C,的大小的余弦值為叵.

3

17.答案：(1)V2

⑵—

2

14

解析：（1）三棱錐A-A3C的體積V為三棱柱45。-4與。］體積的§,即V=§.

設點A到平面AXBC的距離為h,則V=-x2y/2h.

3

由q=』xl^Jlh解得h=A/2.

33

故點A到平面A{BC的距離為72.

（2）如圖，連接AB"交48于點E,因為4^=43,所以AELA^.

B

又平面ABC，平面AB44，所以平面ABC,AE±BC.

由（1）知，點A