第3講等式與不等式的性質

知識梳理

1、比較大小基本方法

方法

關系做差法做商法

與。比較與1比較

a>ba-b>04〉1(。，Z?〉0)或q<l(a,b<0)

bb

a=ba-b=O-=l(Z?^0)

b

a<ba-b=O@<1(。，Z?>0)或3>l(a,b<0)

bb

2、不等式的性質

（1）基本性質

性質性質內容

對稱性a>b<^b<a\a<b<^b>a

傳遞性a>b,b>c^>a>c；a<b,b<c^>a<c

可加性a>b<^>a+c>b>c

可乘性a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^ac<bc

同向a>c,c>d^a+c>b+d

可加性

同向同正a>b>0,c>d>0^ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>0,neN"=>an>bn

【解題方法總結】

1、應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，解題時要做到言必有據，特

別提醒的是在解決有關不等式的判斷題時，有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

2、比較數（式）的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、

利用函數的單調性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與。的大小；（4）下結論.

作商比較大小（一般用來比較兩個正數的大小）的步驟是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結論.

其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于0或1比較大小.

作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，

且是塞或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.

必考題型全歸納

題型一：不等式性質的應用

【解題方法總結】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明.

2、充分利用基本初等函數性質進行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例1.（多選題）（2024?重慶?統考模擬預測）已知a>b>c,ac>0,則下列關系式一定

成立的是（）

A.c2>bcB.Z?c（a-c）>0

cb一

C.a+b>cD.-H—>2

bc

【答案】BD

【解析】因為〃。>0,所以〃>b>c>0或

當a>b>c〉0時，boc1,A不成立，Z?c（a-c）>0,a+b>c,

由7>0,2>0,故岸22乒=2,當且僅當9=2,即/,=c時，等號成立，

bcbe\bcbc

因為沙〉c,故等號不成立，故5+2>2；

bc

當0>〃〉人>。時，be<c2bc（Q-c）>。，

不妨設2>—3,貝！J〃+b=c,故此時C不成立，

由故字22、以=2,當且僅當￡=2,即b=c時，等號成立，

bcbe\bcbc

ch

因為Z7>c,故等號不成立，故：+g>2；

bc

綜上：BD一定成立.

故選：BD

例2.（多選題）（2024?山東?校聯考二模）已知實數4c滿足。>b>c,且

a+b+c=O,則下列說法正確的是()

A.--—>—--B.a-c>2bC.a2>b2D.ab+bc>0

a-cb-c

【答案】BC

【解析】對于A,9：a>b>c,.'.a-c>b-c>0,/.—-—<——,A錯誤；

a-cb-c

對于B,'：a>b>c,Q+5+C=0,:.a>0,c<0,:.b+c=-a<0,a-b>0,

:.a-b>b-\-c,BPa-c>2b,B正確；

122

對于C,\-a-b>Ofa+b=-c>G,:.c^-b=(<7+6)(<2-/?)>0,gpa>bfC正確；

對于D,ab+bc=b(a-^-c)=-b2<0,D錯誤.

故選：BC.

例3.(多選題)(2024?全國?校聯考模擬預測)^a>0>b>c,則下列結論正確的是

()

A.->-B.b2a>c2a

cb

C.———>—D.a-cN2d(a-b)(b-c)

【答案】ACD

【解析】-：a>0>b>c,則b-c>0,bc>0,:心；=空出>6,即q>f,A正

cbbecb

確；

例如“=1,6=—2,c=-3,/=(-2)2=4,。2°=(-3)2=9,顯然4<9,B錯誤；

,a—bbci(c—b)?n—hh.

由〃〉0〉b>。得。一匕<0,。一。>0,-----------=一(-----7>0，即----->一，C正確；

易知a-c>0,a-b>0,b-c>0,

ci—c—2^1(a—b)(b一c)=(<7—b)+(b-c)—2J(a-Z?)(b—c)=(Ja-b—yjb—c)~20,

a-c>2d(a-b)(b-c),D正確；

故選：ACD.

題型二：比較數(式)的大小與比較法證明不等式

【解題方法總結】

比較數(式)的大小常用的方法有比較法、直接應用不等式的性質、基本不等式、利

用函數的單調性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結論.

作商比較大小（一般用來比較兩個正數的大小）的步驟是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結論.

其中變形是關鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于0或1比較大小.

作差法是比較兩數（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數（式）均為正數，

且是累或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

bbb

右。>0,/?>0,則一>1b>a；—<1b<a；——1b=a；

aaa

bbb

若〃<0力<0,則一—==

aaa

例4.（2024?全國?高三專題練習）若0<。<4。+8=1,則將“也；,2曲4+片從小到大

排列為.

【答案】a<2ab<-^<a2+b2<b

-12

【解析】???0vav〃，a+b=l,不妨令〃=§乃=耳，

45

貝!J有2ab=§,/+〃=§,

.,.有b>/+/>—>2ab>a,

2

BP6Z<lab<—<a2+b2<b.

2

故答案為：a<2ab<—<a2+b2<b.

2

例5.（2024?全國?高三專題練習）如果給出下列不等式：

①?a3>b3；③@2ac2>2bc2；⑤色>1；@a2+b2+\>ab-\-a-\-b.

62UI）

其中一定成立的不等式的序號是.

【答案】②⑥

【解析】令。=1涉=-1,->7,排除①，后=后,排除③選項，7=-1<1,排除⑤.

abb

當c=0時，排除④.由于幕函數y=/為R上的遞增函數，故〃3>/，②是一定成立的.由于

a1+b2+>0,i^a2+b2+1>ab+a+b.故⑥正

確.所以一定成立的是②⑥.

ha

例6.(2024?高三課時練習)(1)已知〃>b>0,c<d<0,求證：——<——；

a-cb-d

(2)設x,yeR,比較-尸)"與孫(x-y)2的大小.

【解析】(1)由。>匕>0,c<d<0,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,從而得

0<^—.

ci—cb—d

ba

又a>b>3所以----<----

a-cb-d

(2)因為_y2)2_孫(1_,)2=14+,4_%3,一孫3=%3(%一,)+,3(,一%)

=(x-y)(x3-y3)=(x-y)2(x2+xy+/)=(x-y)2[++|j2之。，當且僅當x=y時等

號成立，

所以當x=y時，(x2-/)2=xy(x-y)2；

當時，(爐一,2)2>孫(]一丁)2.

例7.(2024?全國?高三專題練習)(1)試比較(x+l)(%+5)與(x+3)2的大小；

(2)已知〃>人，—<-r,求證：ab>0.

ab

【解析】(1)由題意，(x+l)(x+5)-(x+3)2

=+6尤+5—%2—6無一9——4v0,

所以(％+1)(X+5)<(%+3)2.

(2)證明：因為工<《，所以!一?<。，即字<0,

ababab

而所以/?一。<0,則就〉0.得證.

題型三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍

【解題方法總結】

在約束條件下求多變量函數式的范圍時，不能脫離變量之間的約束關系而獨立分析每

個變量的范圍，否則會導致范圍擴大，而只能建立已知與未知的直接關系.

例8.(多選題)(2024?全國?高三專題練習)己知實數x,y滿足

~3<x+2y<2,—1<2x—y<4,貝°()

A.x的取值范圍為(-1,2)B.V的取值范圍為(-2,1)

C.無+y的取值范圍為(-3,3)D.*一，的取值范圍為(-1,3)

【答案】ABD

【解析】因為-l<2x-y<4,所以-2<4x-2y<8.因為-3<x+2y<2,所以

-5<5x<10,則-1<%<2,故A正確；

因為-3〈尤+2y<2,所以一6<2尤+4y<4.因為一1<2x-y<4,所以-4<-2尤+y<1,所以

-10<5y<5,所以一2<y<l,故B正確；

936114

因為-3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以_]<￡（無+2y）<],_/E（2x_y）<],則

—2<x+y<2,故C錯誤；

因為一3<x+2y<2,-l<2x-y<4,所以一]+貝|

-1<彳-”3,故。正確.

故選：ABD.

例9.（2024?廣東?高三校聯考期末）已知lVa-bV3,3<a+b<l,則5o+b的取值范

圍為（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

、/\/\/\/、fm+n=5fm=2

3

【解析】^5a+b=m（<a—b）+nya+b）=\ni+n）a-r\ji—m）b,所以<,

貝lJ5a+Z?=2（a-b）+3（a+Z?）,又1（。一/?43,3<tz+Z?<7

所以242（a—6）46,9V3（a+6）421,由不等式的性質得：H42（a—6）+3（“+6）W27,

則5a+b的取值范圍為[11,27].

故選：D.

例10.（2024?全國?高三專題練習）已知”aV2,-l<b<4,則。-26的取值范圍是

（）

A.-1<a-2b<4B.-6<a-2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<8

【答案】A

【解析】因為一1?〃44,所以一8W—2/?W2,

由得一74a—2b44.

故選：A.

例11.（2024?全國?高三專題練習）已知三個實數。、b、c,當c>0時，Z?W2〃+3c且

根=/,則三主的取值范圍是____________.

b

【答案】（-8,3

【解析】當。>0時滿足：瓦2〃+3。且慶=〃2,

二《,,2"+3c,BPa2-2ac-3c2<0,進而（與②-2.烏一3,,0,解得一啜/3.

CCCC

所以c或1￡C?-i,

a3a

a—2c_ac—2c2_ccY_

ba1a\aJa

c「1、

令一=t,tG-,+ooo（-oo-l］,

a_3）

/⑺=-2/+f=-2上一；］+1，

由于feg,+oo）u（-oo-f|

所以/■⑺在t?（?，1］單調遞增，在f?管，？字單調遞減，

當"如嘲土當I時，〃-1）=一3,

所以4）￡（

g1,

故答案為：蹤？

題型四：不等式的綜合問題

【解題方法總結】

綜合利用等式與不等式的性質

例12.（多選題）（2024?河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習）已知。〉0,

4151

b>0,且滿足。之一+丁，b>-+-.則/+〃2的取值可以為（）

abba

A.10B.11C.12D.20

【答案】CD

41S1

【解析】因為。之一+:，b>—+—,

abba

所以b2>5+—,

ba

故24+色+5+2W9+2jq-2=11,

ba\ba

當/=4+f,〃=5+2且f=2,而“=〃時/力/，即等號不能同時成立，

baba

所以/+〃>1],故AB錯誤，CD正確.

故選：CD.

例13.（多選題）（2024?全國?高三專題練習）已知/（丁+1）=1,則（）

1

A.xy<lB.x9y>~-

5

C.x+xy<\D.x9+xy<-

【答案】ABD

【解析】由丁（丁+1）=1得“，由于y??。，所以0</41,

所以彳、2=1_/？[0,1）,因此一1〈孫<1且孫wo,故A正確，

無。=子7，當y<o時，",一手力-二"，由于>+一<-2,當且僅當、=一1時，等號

y+1J+-y

0c>----1--->—11

成立，故、.1-2,當丁上。時，x2y>0,所以故B正確，

y+—2

y

x2（l+y）2=x2（l+2>+/）=x2（/+l）+2x2y=l+2x2y<l+x2（l+/）=2,當且僅當

1f—l

2y=1+9？>1,無2=3時取等號，故一逝4彳。+/）=X+孫4應，所以C錯誤，

222

x+Xy=l-xy+xy=-(xy-^\+|<|,當且僅當孫=g取等號，又/(9+1)=1,所以

與邛或者-奈尸￥等號成立，

X

故選：ABD

例14.（多選題）（2024?全國?模擬預測）已知實數a,b滿足七>不,則（）

A.l°g0.2023a<l°go.2O23人B.a3<b3

-bb+1D-"+力的最小值為1

C.->-----

aa+1

【答案】BC

【解析】由3；可知Q〉0,b>0,由不等式的性質可知，貝!JO<a<〃.

7a7bab

選項A：因為對數函數y=logo.2023元為減函數，0<a<b,所以logo.2023a>logo.2023b，故A

錯誤；

選項B：由函數y=%3的單調性可知〃3<〃，故B正確;

必工「Ibb+\b(a+l)-a(b+l)

選項C:因為------7=——2—-—-前土°，所以卜然，故,正確;

aa+1

選項D：ab-\------=(ab+l]-\-------l>2.(ab+l)x-------1=1,

ab+1')ab+lVab+1

當且僅當成+1二1二，即必=0時取得等號，顯然等號不成立，故D錯誤.

ab+1

故選：BC.

例15.(2024?全國?高三專題練習)已知實數a,b,c滿足〃+0+c=0,a2+b2+c2=1,則

a的最大值是一.

【答案】亞

3

222

【解析】a+b+c=lf

b+c=-a,b2+c2=1-a2,

,be=g?(2Z?c)=([(〃+c)2-(b2+/)]=/-3

：.b、c是方程：N+QX+〃2—：=o的兩個實數根，

A>0

—4(〃2—5)>0

2

即a92<-

3

33

即a的最大值為亞

3

故答案為：好.

3

題型五：糖水不等式

【解題方法總結】

糖水不等式：若a>b>0,機>0,則一定有生絲>2,或者竺

a+mab+mb

例16.（多選題）（2024?全國?高三專題練習）已知糖水中含有Qg糖（人>〃〉0）,若

再添加機g糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大），根據這個事

實，下列不等式中一定成立的有（）

aa+ma+ma+2m

A.——<------------<---------

bb+mb+mb+2m

21

C.(tz+2m)(Z?+m)<(d：+m)(Z?+2m)D.

【答案】ABD

【解析】對于A,由題意可知￡＜十,正確;

bb+m

a+m+2m—ma+2m

對于3,因為根＜2%所以"正確;

b+mb+m+2m-m~b+2m

十八〃+根a+m+ma+2m\/c\/\

對于C,-------<-------------=---------BaPn(z6z+m)(Z7+2m)<(6z+2m)(Z77+m)錯誤;

b+mb+m+mb+2m

22+1_3_11

對于。,3T<3。+「*一聲"〈聲正確.

故選：ABD

例17.（2024?山西?統考一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜.這

hb+m

句話用數學符號可表示為：上＜2_