普通高中2024—2025學年（上）高二年級期中考試數學（人教版）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線經過點，，則直線的方程為（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出直線的斜率，再由斜截式得到直線方程，最后化為一般式即可.【詳解】因為直線經過點，，所以，所以直線的方程為，即.故選：D2.若橢圓的長半軸長等于其焦距，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因為橢圓的長半軸長等于其焦距，所以，解得.故選：A3已知直線與直線垂直，則實數（）A.3 B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】若直線與垂直，則需滿足【詳解】因為直線與直線垂直，所以，解得故選：B.4.拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將方程化為標準式，即可求出其準線方程.【詳解】拋物線即，則拋物線的準線為.故選：D5.已知圓的圓心在第二象限，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由方程表示圓得，結合圓心在第二象限可得到結果.【詳解】由方程表示圓得，，解得.圓心坐標為，由圓心在第二象限得，所以實數a的取值范圍為.故選：C.6.在四面體中，E為棱的中點，點F為線段上一點，且，設，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據空間向量線性運算法則計算可得.【詳解】因為E為棱的中點，所以，因為，所以，又，所以.故選：B7.已知點P為圓上一動點，若直線上存在兩點A，B，滿足，且，則r的最小值為（）A4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據題意，由4，且，可得，點P在以為直徑的圓M上，轉化為圓C與圓M有公共點，當圓C與圓M外切，且時，r取得最小值.【詳解】設的中點M，由，且可得，點P在以為直徑的圓M上，且圓C與圓M有公共點，圓心到直線的距離為，當圓C與圓M外切，且時，r取得最小值故選：C.8.已知正方體的棱長為1，M為棱的中點，G為側面的中心，點P，Q分別為直線，上的動點，且，當取得最小值時，點Q到平面的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，設，，根據，得到，從而得到，再由向量模的坐標表示求出的最小值及此時、的值，最后利用空間向量法求出點到平面的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，，設，，所以，，因為，所以，即，所以，又，所以，當且僅當時取等號，此時，所以，，，設平面的法向量為，所以，取，所以當取得最小值時，點Q到平面的距離.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知向量，滿足，，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據空間向量坐標表示得線性運算即可判斷A；根據空間向量的模的坐標公式即可判斷B；根據空間向量共線定理即可判斷C；根據空間向量夾角的坐標公式即可判斷D.【詳解】對于A，由，，得，所以，所以，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，，則，故D錯誤.故選：BC.10.已知直線的方程為，圓的方程為，則下列結論正確的是（）A.直線恒過定點B.圓的半徑為12C.直線與圓恒有兩個交點D.圓心到直線距離的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】將直線方程變形為，令，即可求出直線過定點坐標，即可判斷A，根據圓的方程判斷半徑，從而判斷B，求出圓心與直線過定點的距離，即可判斷C、D.【詳解】因為直線的方程為，即，令，解得，所以直線恒過定點，不妨設定點為，故A正確；圓的方程為，則圓心，半徑，故B錯誤；因為，所以點在圓內，所以直線與圓恒有兩個交點，故C正確；當且僅當時，圓心到直線距離的最大值為，故D正確.故選：ACD11.已知點為拋物線的焦點，點為拋物線上位于第一象限內的點，直線為拋物線的準線，點在直線上，若，，，且直線與拋物線交于另一點，則下列結論正確的是（）A.直線的傾斜角為B.拋物線的方程為C.D.點在以線段為直徑的圓上【答案】BCD【解析】【分析】過點作，垂足為，根據拋物線的定義知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判斷A；根據為等腰直角三角形，可求出可判斷B；將直線的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理求出的值可判斷C；設線段的中點為，求出的坐標，得到可判斷D.【詳解】如圖，過點作，垂足為，由拋物線的定義知，與全等，則，，，，，，則，直線的傾斜角為，故A錯誤；設直線與軸交于點，則，由上可知，，則為等腰直角三角形，，，得，所以拋物線方程為，故B正確；由上可知，直線方程為，設，，，，聯立，整理得，則，，則，，故C正確；設線段的中點為，則，，，由上可知，則，又，點在以線段為直徑的圓上，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面的法向量為，平面的法向量為，若α//β，x，，則______.【答案】10【解析】【分析】根據α//β，由求解.【詳解】解：因為平面的法向量為，平面的法向量為，且α//β，所以，則，解得，所以，故答案為：1013.已知雙曲線的一條漸近線與雙曲線的一條漸近線關于直線對稱，且這兩條漸近線的夾角為30°，則雙曲線與的離心率之積為______.【答案】【解析】【分析】設雙曲線的一條漸近線方程為，雙曲線的一條漸近線方程為，根據漸近線關于直線對稱,且夾角為30°,得到漸近線斜率值，進而得到離心率乘積即可.【詳解】不妨設雙曲線的一條漸近線方程為，且在第一象限內直線下方;雙曲線的一條漸近線方程為，且在第一象限內直線上方，因為這兩條漸近線關于直線對稱,且夾角為，所以漸近線的傾斜角為，漸近線的傾斜角為,則離心率與漸近線斜率關系式為.故與的離心率之積為故答案為：.14.過圓上的一個動點作圓的兩條切線，切點分別為，，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】作圖，根據圓的切線的性質，設，則，根據點在圓上求出的范圍，進而得到的范圍，最終得到PQ的取值范圍.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，將圓化為，，半徑為2，，點在圓上，，設與交于點，，，則，在中，，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓經過點，，且圓C與直線，均相切.（1）若經過圓心C的直線與，平行，求直線的方程；（2）求圓C的標準方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意直線到直線，的距離都等于圓的半徑，設直線的方程為，再根據兩平行直線的距離公式計算即可；（2）根據題意利用待定系數法求出即可.【小問1詳解】由題意直線到直線，的距離都等于圓的半徑，設直線的方程為，則，解得，所以直線的方程為；【小問2詳解】由題意可得，解得，所以圓C的標準方程為.16.如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，平面，，，，.（1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）證明：M，C，G，H四點共面.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出關鍵點坐標，得到方向向量，借助向量夾角余弦值公式計算即可；（2）借助向量法，運用空間向量共面的基本定理驗證即可.【小問1詳解】連接，因為四邊形為菱形，又，所以為等邊三角形，取的中點E，連接，則，所以.因為平面，平面平面，所以以A為原點，以所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系則由，可知所以于是故直線與直線所成角的余弦值為【小問2詳解】證明：因為，所以分別為中點，則連接，則設，由（1）知則則解得所以故M，C，G，H四點共面.17.已知點在雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0上，且的實軸長為（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點直線與交于另一點，且點位于軸下方，若，求點的坐標.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據雙曲線的定義及已知條件列出方程組來求解和.（2）利用三角形面積關系得到直線平行關系，進而得出直線方程，再通過聯立直線方程與雙曲線方程求解點的坐標.【小問1詳解】由題設條件，可得，解得，故雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】因為，所以點到直線的距離相等.又點位于軸下方，所以由（1）可知，所以，則直線的方程為聯立整理得解得或.當時，點；當時，點，綜上，點的坐標為或.18.如圖，在平行六面體中，底面是矩形，，，點E，F分別為，，的中點，且.（1）證明：平面平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設，根據數量積的運算律求出，進而可得為的中點，從而可證明，，再根據線面垂直得判定定理以及面面垂直得判定定理即可得證；（2）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】設，則，則，所以，因為為的中點，所以，，則，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】由，可得，則，如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，設，則，則，設平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，所以，設直線與平面所成角為，則，解得，所以的長度為.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.19.已知點，，定義A，B的“倒影距離”為，我們把到兩定點，的“倒影距離”之和為6的點M的軌跡C叫做“倒影橢圓”.（1）求“倒影橢圓”C的方程；（2）求“倒影橢圓”C的面積；（3）設O為坐標原點，若“倒影橢圓”C的外接橢圓為E，D為外接橢圓E的下頂點，過點的直線與橢圓E交于P，Q兩點（均異于點D），且的外接圓的圓心為H（異于點O），證明：直線與的斜率之積為定值.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據“倒影距離”和“倒影橢圓”的定義求解即可；（2）分類討論去絕對值符號，作出“倒影橢圓”的圖象，再結合圖象求面積即可；（3）先求出橢圓的方程，設直線的方程為，聯立方程，利用韋達定理求出，再分別求出線段的中垂線的方程，設的外接圓的圓心的坐標為，由這兩條中垂線方程得出的關系，進而可得出結論.【小問1詳解】設Mx,y由“倒影距離”的定義可知，，，由題意，即，所以“倒影橢圓”C的方程為；【小問2詳解】由，得，當時，，當時，由對稱性知，，其圖象如圖所示，故“倒影橢圓”C的面積；【小問3詳解】由上圖